Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 9.5.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal:

• Konstruiere in der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis S mit Mittelpunkt 0 und Radius 1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse seien A = 1 ∈ ℂ und B = −1 ∈ ℂ.

• Konstruiere das Lot L auf \overline{AB} durch 0 (y-Achse). Sei D einer der Schnittpunkte mit dem Einheitskreis S. Konstruiere den Mittelpunkt G von \overline{0D}.

• Zeichne um G einen Kreisbogen mit Radius |\overline{GB}|. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit L(= y-Achse), welcher innerhalb S liegt, sei H.

• Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius |\overline{0H}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{2} und A_{3}.

• Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius |\overline{A_{2}A_{3}}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{1} und A_{4}, wobei A_{1}, A_{2} auf der gleichen Seite von \overline{AB} liegen.

Dann beweisen (a),(b),(c): (A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}) sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.

A_{2} A_{3}  0 B  A A_{1} A_{4} D G H

(a) Zeigen Sie: Die Länge |\overline{0H}| =: h = g^{−1} ist das Inverse des goldenen Schnittes, h = \frac{\sqrt{5}−1}{2}.

(b) Zeigen Sie, daß die Koordinaten z_{n} = x_{n} + iy_{n} der Eckpunkte A_{n}, mit n = 1, 2, 3, 4, gegeben sind durch

z_{1} = \overline{z_{4}} = \frac{h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3 + h} , z_{2} = \overline{z_{3}} = −\frac{1 + h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{2 − h} .

Hinweis: Für das Inverse des goldenen Schnittes gilt h^{2} = 1 − h.

(c) Beweisen Sie die Identitäten (z_{1})^{2} = z_{2}, (z_{2})^{2} = z_{4}, z_{2}z_{3} = 1 und z_{1}z_{4} = 1.

Aufgabe 2. (a) Zeigen Sie: Für alle x ∈ ℝ (oder x ∈ ℂ) gilt

x^{n} − 1 = ∏_{k=0}^{n−1} (x − ζ^{k}) = (x − 1) ∏_{k=1}^{n−1} (x − ζ^{k}) mit ζ = e^{\frac{2πi}{n}} .

(b) Zeigen Sie, daß für n ∈ ℕ, n ≥ 1, gilt

∏_{k=1}^{n−1} sin (\frac{kπ}{n} ) = \frac{n}{2^{n−1}} ,  (1)

indem Sie lim_{x→1} \frac{x^{n}−1}{x−1} zum einen direkt und zum anderen über die Darstellung aus (a) berechnen.

Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel, daß sich Umkehrfunktionen arcsin(z) und arccos(z) von sin und cos wie folgt ausdrücken lassen durch einen Zweig log des komplexen Logarithmus:

arcsin(z) = −i log (iz + \sqrt{1 − z^{2}}) , arccos(z) = −i log (z + i\sqrt{1 − z^{2}})

(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel, daß sich eine Umkehrfunktion arctan(z) des komplexen Tangens darstellen läßt durch:

arctan(z) = \frac{1}{2i}Log (\frac{1 + iz}{1 − iz} ) .

Leiten Sie aus der Reihendarstellung Log(1+z) = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1} \frac{z^{k}}{k} des Hauptzweigs des komplexen Logarithmus, für |z| < 1, folgende Reihendarstellung für arctan(z) her:

arctan(z) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{z^{2k+1}}{2k + 1} , |z| < 1.