Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 16.5.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. (a) Seien f, g : ℂ → ℂ definiert durch f(z) = |z|^{4} − 2|z|^{2} und g(z) = x^{3}y^{2} + ix^{2}y^{3} mit z = x + iy. Geben Sie alle Punkte an, an denen f bzw. g komplex differenzierbar oder sogar holomorph sind.

(b) Sei D ⊂ ℂ und D^{∗} := {z |z̄ ∈ D}. Eine Funktion h : D → ℂ sei in z_{0} ∈ D komplex differenzierbar. Zeigen Sie, daß h̃ : D^{∗} → ℂ definiert durch h̃(z) := \overline{h(\overline{z})} in \overline{z_{0}} ∈ D^{∗} komplex differenzierbar ist. Geben Sie h̃′(\overline{z_{0}}) an.

Aufgabe 2. Sei f = u + iv : ℂ → ℂ zweimal reell differenzierbar. Der Laplace-Operator ist definiert durch Δ = ∂_{x}∂_{x} + ∂_{y}∂_{y}. Zeigen Sie:

(a) Ist f holomorph, so sind u und v harmonisch in dem Sinne, dass Δu = 0 = Δv.

(b) Ist \overline{f} holomorph, so sind u und v harmonisch in dem Sinne, dass Δu = 0 = Δv.

(c) Der Laplace-Operator kann durch die Wirtinger-Ableitungen ausgedrückt werden mit Δ = 4∂_{z}∂\overline{z} = 4∂\overline{z}∂_{z}.

(d) Seien f, \overline{g} nicht-konstante holomorphe Funktionen mit g : ℂ → ℂ zweimal reell differenzierbar, dann ist f · g nicht holomorph.

Aufgabe 3. Finden Sie holomorphe Funktionen f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) mit

(a) u(x, y) = x^{3} − 3xy^{2}

(b) u(x, y) = −x^{3} + 2x^{2} + y^{2}(3x − 2)

(c) u(x, y) = sin(x)e^{−y}

(d) v(x, y) = arctan(\frac{y}{x}) für x, y > 0.

Hinweis: Erraten erlaubt!

Aufgabe 4. Zeigen Sie: Sind f_{1}, f_{2}, ..., f_{n} zweimal komplex differenzierbar in D ⊂ ℂ, und die Funktion |f_{1}(z)|^{2} + |f_{2}(z)|^{2} + ... + |f_{n}(z)|^{2} konstant in D, so ist bereits jede Funktion f_{1}, f_{2}, ..., f_{n} konstant in D.