Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 23.5.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Berechnen Sie für alle drei Kurven γ_{1}, γ_{2}, γ_{3} : [0, 1] → ℂ das Integral ∫_{γ_{k}} z^{2}dz mit

γ_{k}(t) = \{ \begin{matrix}t + it^{2} für & k = 1 \\ t + it für & k = 2 \\ t + i\sqrt{t} für & k = 3. \end{matrix}

Diskutieren Sie die Ergebnisse.

Aufgabe 2. Berechnen Sie ∫_{γ} z^{n}dz ∀ n ∈ ℤ mit der Kurve γ über den Einheitskreis ∂K_{1}(0) und der Parametrisierung γ : [0, 1] → ℂ, t ↦ e^{i2πt}. Hinweis: Der Fall n = −1 unterscheidet sich stark von allen anderen, und n ≥ 0 kann (muß aber nicht) anders behandelt werden als n ≤ −2.

Aufgabe 3. Sei D ⊂ ℂ und γ: [0, 1] → D eine geschlossene, glatt parametrisierte Kurve und f: D → ℂ holomorph. Zeigen Sie, daß dann das folgende Integral rein imaginär ist:

I := ∫_{γ} \overline{f(z)}f′(z) dz.

(Hinweis: Untersuchen Sie das Integral I + \overline{I}.)

Aufgabe 4. Zeigen Sie

∫_{−∞}^{∞} \frac{dt}{1 + t^{2}} = π,

indem Sie ∫_{γ} \frac{dz}{z} berechnen mit der Parametrisierung γ : [−∞, ∞] → ℂ, t ↦ \frac{1+ti}{1−ti}. Hinweis: Bestimmen Sie die Spur von γ und finden Sie eine andere Parametrisierung dieser Spur, in der Sie das Integral kennen.