Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 30.5.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Sei D ⊆ ℂ ein Gebiet. Eine Funktion f : D → ℂ sei holomorph und besitze eine Stammfunktion auf D. Weiter soll für alle z ∈ D gelten f(z) ≠ 0. Zeigen Sie:

(a) Dann existiert eine holomorphe Funktion h : D → ℂ mit f(z) = exp(h(z)).

(b) Dann existiert für alle n ∈ ℕ^{×} eine holomorphe Funktion H : D → ℂ mit H^{n} = f.

Hinweis: Betrachten Sie die Stammfunktion von f′/f.

Aufgabe 2. Das Hookeche Kraftgesetz und das Newtonsche Gravitationsgesetz können durch eine komplexe Transformation ineinander überführt werden. Sei γ(t) eine Kurve, die in der komplexen Zahlenebene das Hookesche Kraftgesetz erfüllt

\frac{d^{2}γ}{dt^{2}} = −Cγ,  (1)

wobei C ∈ ℝ konstant ist. Dann erfüllt die Kurve η(τ(t)) := (γ(t))^{2} mit \frac{dτ}{dt} = |γ(t)|^{2} das Newtonsche Gravitationsgesetz

\frac{d^{2}η}{dτ^{2}} = −C̃ \frac{η}{|η|^{3}} ,  (2)

wobei C̃ = 2(|\frac{dγ}{dt} |^{2} + C|γ|^{2}) ist.

(a) Zeigen Sie, daß C̃ tatsächlich konstant ist.

(b) Zeigen Sie, daß Gleichung (2) durch η erfüllt wird. (Hinweis: Berücksichtigen Sie die Kettenregel \frac{d}{dτ} = \frac{1}{|γ(t)|^{2}} \frac{d}{dt})

Aufgabe 3. Sei C = 1. Bis auf einen globalen Faktor hat (1) die allgemeine Lösung γ(t) = ϱe^{it} + \frac{1}{ϱ}e^{−it} mit ϱ ∈ ℝ, wobei wir ϱ > 1 annehmen.

(a) Zeigen Sie, daß γ(t) eine Ellipsenbewegung beschreibt, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, und geben Sie die Länge der großen und kleinen Halbachse a bzw. b an.

(b) Berechnen Sie η(t) aus γ(t) und zeigen Sie, daß es sich ebenfalls um eine Ellipse handelt, wobei nun einer der Brennpunkte im Ursprung liegt.

Bemerkung: Für den Abstand e zwischen Brennpunkt und Mittelpunkt der Ellipse gilt e^{2} = a^{2} − b^{2}. Aufgabe 2+3 beweisen das Newtonsche Gravitationsgesetz aus dem vorher bekannten Hookeschen Kraftgesetz und den Keplerschen Gesetzen.

Aufgabe 4. (a) Zeige Sie für a ∈ ℝ, |a| ≤ 1 das folgende Integral

∫_{0}^{∞} e^{−(1+ia)^{2}t^{2}}dt = \frac{1}{2} \frac{1 − ia}{1 + a^{2}} \sqrt{π}.

Konstruieren Sie dafür ein Dreieck in der komplexen Ebene und nehmen Sie den Limes lim_{R→∞}. Hinweis: Betrachten Sie die Funktion e^{−z^{2}}. Finden Sie Parametrisierungen für γ_{1}, γ_{2}, nutzen Sie γ_{3} : [0, R] → ℂ, t ↦ (1 + ia)t und die Lösung des Integrals ∫_{0}^{∞} e^{−t^{2}}dt = \frac{1}{2} \sqrt{π}.

[figure: Im(z); Re(z); R; aR; γ_{2}; γ_{1}; γ_{3}; 0]

(b) Folgern Sie ∫_{0}^{∞} cos(t^{2})dt = ∫_{0}^{∞} sin(t^{2})dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}}.