Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 13.6.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{∂K_{2}(0)} \frac{w^{2}(w^{2} − 1)}{\sqrt{2} − w}dw ,  (b) ∫_{∂K_{3/2}(i)} \frac{1}{w^{2} + 1}dw
(c) ∫_{∂K_{3/2}(1)} \frac{1}{w^{2} + 1}dw ,  (d) ∫_{∂K_{3}(0)} \frac{cos(πw)}{w^{2} − 1}dw

Hinweis: Verwenden Sie bei (c) und (d) die Partialbruchzerlegung.

Aufgabe 2. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel

f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} \frac{f(w)}{(w − z)^{k+1}} dw , z ∈ K_{r}(a)

aus der Vorlesung folgende Integrale:

(a) ∫_{∂K_{1}(1)} (\frac{w}{w − 1})^{n}dw , wobei n ∈ ℕ,  (b) ∫_{∂K_{2}(0)} \frac{exp(2πiw)}{w^{3} − w^{2}}dz

(c) ∫_{∂K_{3/2}(1)} \frac{w^{7} + 1}{w^{2}(w^{4} + 1)}dw.

Hinweis: Verwenden Sie bei (c) die Zerlegung \frac{1}{w^{2}(w^{4}+1)} = \frac{A}{w^{2}} + \frac{Bw^{2}}{w^{2}−i} + \frac{Cw^{2}}{w^{2}+i}. Finden Sie A, B, C ∈ ℂ.

Aufgabe 3. (Schwarzsches Spiegelungsprinzip) Sei D ≠ ∅ ein zur reellen Achse symmetrisches Gebiet, d.h. z ∈ D ⇒ z̄ ∈ D. Weiter sei

D_{+} = {z ∈ D | Im(z) > 0}
D_{0} = {z ∈ D | Im(z) = 0}
D_{−} = {z ∈ D | Im(z) < 0}.

Zeigen Sie: Für eine stetige Funktion f : D_{+} ∪ D_{0} → ℂ, die auf D_{+} holomorph ist, und auf D_{0} reelle Werte annimt, ist die gespiegelte Funktion

f̃(z) = \{ \begin{matrix}f(z) für & z ∈ D_{+} ∪ D_{0} \\ \overline{f(\overline{z})} für & z ∈ D_{−} \end{matrix}

holomorph auf ganz D. Hinweis. Ein Satz aus §12 der Vorlesung führt zum Ziel.

Aufgabe 4. (Maximumsprinzip) Sei U ⊆ ℂ offen und f: U → ℂ holomorph.

(a) Verwenden Sie die Cauchysche Integralformel, um zu zeigen: Falls |f| in einem Punkt z ∈ U ein Maximum hat, dann muß f konstant sein. Bemerkung: In der Vorlesung wird ein anderer Beweis dieser Aussage gegeben.

(b) Sei U beschränkt und f stetig auf den Rand ∂U fortsetzbar. Begründen Sie, daß f auf \overline{U} = U ∪ ∂U ein Maximum hat. Schlußfolgern Sie, daß |f| sein Maximum auf dem Rand ∂U annimmt, also sup_{z∈\overline{U}} |f(z)| = sup_{z∈∂U} |f(z)|.

(c) Zeigen Sie: Ist f aus (b) in U eine nichtkonstante Funktion, aber auf dem Rand ∂U konstant, so hat f eine Nullstelle in U.