Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 27.6.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß die Funktion p(z) = z^{n} + a_{1}z^{n−1} + a_{2}z^{n−2} + ... + a_{n} mit |a_{k}| < \frac{R^{k}}{n} für R > 0 alle Nullstellen in K_{R}(0) hat. (Hinweis: Betrachten Sie die Funktionen f(z) = z^{n} und g(z) = a_{1}z^{n−1}+a_{2}z^{n−2}+...+a_{n}.)

Aufgabe 2. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}dx (b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + 1)^{n+1}} , n ∈ ℕ

(c) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})(x^{2} + b^{2})} , a, b > 0.

Aufgabe 3. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{(5 − 3 sin(t))^{2}} (b) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{1 − 2a cos(t) + a^{2}} , a ∈ K_{1}(0).

Aufgabe 4. Beweisen Sie die Formel

∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}}dt = \sqrt{π}

indem Sie die Funktion

f(z) = \frac{e^{−z^{2}}}{1 + e^{−2az}} mit a = \sqrt{π} e^{πi/4}

längs eines Parallelogramms mit den Ecken −R, R, R + a und −R + a integrieren und danach den Grenzübergang R → ∞ durchführen. Benutzen Sie dabei die Identität

f(z) − f(z + a) = e^{−z^{2}}.