Funktionentheorie

(Sommersemester 2017)

Raimar Wulkenhaar

In der Funktionentheorie geht es um die besonderen Eigenschaften von (in Umgebungen) komplex-differenzierbaren Funktionen. Die komplexe Differenzierbarkeit ist eine viel stärkere Eigenschaft als die reelle Differenzierbarkeit. Sie erlaubt es, die Funktion aus der Kenntnis von ganz wenigen Daten zu rekonstruieren. Daraus folgen überraschende Zusammenhänge zwischen lokalen und globalen Eigenschaften der Funktionen. Funktionentheorie spielt eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik, vor allem in Zahlentheorie, Funktionalanalysis und Topologie.

Inhalt

0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I Wiederholung: Komplexe Zahlen  4
1 Komplexe Zahlen als Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Folgen und Reihen in ℂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II Komplexe Differenzierbarkeit und holomorphe Funktionen  21
5 Reelle Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Einschub: Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III Der Cauchysche Integralsatz  30
9 Wiederholung: Integration im Reellen . . . . . . . . . . . . . . . 30
10 Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12 Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
13 Struktursätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

i

Preliminary version – 9. Oktober 2017

IV Der Residuensatz  53
14 Isolierte Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
15 Laurent-Reihen und Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
16 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
17 Berechnung reeller Integrale mittels Residuensatz . . . . . . . . 63
V Ausgewählte Anwendungen  69
18 Partialbruchzerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
19 Unendliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
20 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
21 Die zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22 Der Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Literatur W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, 1985. K. Jänich: Funktionentheorie. Springer, 1999. R. Remmert & G. Schumacher: Funktionentheorie 1. Springer, 2002. R. Busam & E. Freitag: Funktionentheorie 1. Springer, 2006.

ii

Preliminary version – 9. Oktober 2017

0 Einleitung

“Funktionentheorie” ist ein eher unglücklicher Name für “Analysis im Komplexen”. Das Gebiet wurde entscheidend durch die Mathematik in Münster geprägt (Heinrich Behnke, Professor 1927–1967; Karl Stein, apl-Professor 1948– 1955; Reinhold Remmert, Professor 1967–1995; Friedrich Hirzebruch, Habilitation 1954; Hans Grauert, Habilitation 1957; …).

Historisch traten Wurzeln aus negativen rationalen Zahlen als nützliches Hilfsmittel bei der Lösung kubischer Gleichungen auf (ab dem 16. Jahrhundert). Die noch heute übliche Bezeichnung i = \sqrt{−1} stammt von Leonard Euler (1777). Ihm verdanken wir die fundamentale Identität (1748)

e^{ix} = cos x + i sin x ,

welche die Geometrie der Ebene mit der Analysis verbindet. Die Kreiszahl π, definiert als die kleinste positive reelle Lösung der Euler-Identität e^{iπ} + 1 = 0, läßt sich nur über die komplexen Zahlen verstehen. Insbesondere werden sämtliche trigonometrische Beziehungen sowie Schwingungen und Wellen, und allgemein die Fourier-Transformation, letztlich auf Eigenschaften von Funktionen im Komplexen zurückgeführt.

Im Komplexen zeigt sich ein faszinierendes Zusammenspiel von Algebra und Analysis. Das wohl wichtigste Beispiel ist der

Theorem 0.1 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten zerfällt vollständig in Linearfaktoren.

Alle Beweise benutzen an irgendeiner Stelle Stetigkeitsargumente, und dann Eigenschaften stetiger Funktionen wie Zwischenwertsatz oder Extremwertsatz, d.h Konzepte der Analysis. Umgekehrt ist eines der Ziele der Vorlesung zu sehen, wie die Lösung analytischer Probleme (Berechnung gewisser Integrale) auf die Lösung algebraischer Gleichungen zurückgeführt wird.

Die entscheidenden Schritte, die wir erarbeiten werden, sollen hier kurz skizziert werden. Es geht um Integrale gutartiger Funktionen f : U → ℂ mit U ⊆ ℂ. Da ℂ nicht angeordnet ist, braucht das Integral weitere Daten, nämlich eine (zumindest stetige) Kurve, über die die Funktion integriert wird. Wir werden beweisen, daß ein solches Kurvenintegral unter gewissen Bedingungen nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängt, nicht aber vom genauen Verlauf der Kurve. Das bleibt im wesentlichen solange richtig, wie die Kurve keine Singularitäten der zu integrierenden Funktion trifft. Das kann man ausnutzen, um dem Integrationsweg einen Verlauf zu geben, der deutlich einfacher zu behandeln ist.

Nehmen wir f(z) = \frac{1}{1+z^{2}} . Wählen wir als Kurve die reelle Achse, so entsteht das Integral

I := ∫_{ℝ} \frac{dz}{1 + z^{2}} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2}} .

Nach Einführung endlicher Grenzen handelt es sich um eines der Grundintegrale mit Stammfunktion ∫ \frac{dx}{1+x^{2}} = arctan x + C, aus der man sofort ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1+x^{2}} = π gewinnt. Wir gehen jedoch anders vor, um auch wesentlich kompliziertere Integrale zu lösen. Der orientierte Integrationsweg ℝ wird in der komplexen Ebene nach oben deformiert, so weit wie möglich außerhalb eines Halbkreises mit Mittelpunkt 0 und Radius R → ∞. Das geht nur bedingt, da die Kurve nicht über die Singularität bei z_{0} = i, also die Lösung von z^{2} + 1 = 0 in der oberen Halbebene, hinwegkommt. Der Weg sieht dann ungefähr so aus:

[figure: ×; −R; R; 0; i]

Man kann sich überlegen:

• Für R → ∞ tragen die beiden großen Viertelkreise zum Integral nichts bei.

• Die Kurvenintegrale oberhalb i werden in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, so daß ihre Beiträge sich gegenseitig wegheben. Vergleiche ∫_{a}^{b} dx f(x) + ∫_{b}^{a} dx f(x) = 0.

Somit verbleibt nur das Kurvenintegral über den kleinen (etwas deformierten) Kreis γ_{ϵ}(i) mit Mittelpunkt i und Radius ϵ:

I = ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2}} = ∫_{γ_{ϵ}(i)} \frac{dz}{1 + z^{2}}

Nun gilt \frac{1}{1+z^{2}} = \frac{1}{z+i} · \frac{1}{z−i}. Auf γ_{ϵ}(i) ist z ≈ i, so daß wir den ersten Faktor (näherungsweise) ersetzen dürfen durch \frac{1}{z+i} ↦ \frac{1}{i+i} = \frac{1}{2i}, also eine Konstante, die sich vor das Integral zieht:

I = ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2}} = \frac{1}{2i} ∫_{γ_{ϵ}(i)} \frac{dz}{z − i} .

(Bemerkung: Die Gleichung gilt wirklich exakt!) Im verbleibenden Integral können wir natürlich nicht z = i setzen. Das Integral läßt sich aber direkt ausrechnen durch die Parametrisierung z = i + ϵe^{it}. Wenn t das Intervall [0, 2π] durchläuft, dürchläuft z den Kreis γ_{ϵ}(i). Deshalb gilt nach Substitutionsregel

∫_{γ_{ϵ}(i)} \frac{dz}{z − i} = ∫_{0}^{2π} \frac{d(ϵe^{it})}{ϵe^{it}} = ∫_{0}^{2π} i dt = 2πi .

Es folgt (das schon bekannte Ergebnis)

I = ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2}} = \frac{1}{2i} · 2πi = π .

Wichtig ist aber, daß das Verfahren identisch für alle anderen Funktionen f(z) = \frac{1}{z−i} · g(z) funktioniert, für die g(z) keine Singularitäten in der oberen Halbebene hat. In jedem solchen Fall zieht sich g(i) aus dem Intergral heraus. Eine wichtige Beispielklasse ist g(z) = \frac{e^{iaz}}{z+i} für a ≥ 0, was auf die sofort lösbaren Integrale

I = ∫_{ℝ} \frac{dz e^{iaz}}{1 + z^{2}} = 2πig(i) = 2πi · \frac{e^{ia·i}}{i + i} = πe^{−a}

führt. Nach Einschränkung auf den Realteil gewinnen wir ohne zusätzlichen Aufwand das Integral

I = ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx cos(ax)}{1 + x^{2}} = \frac{π}{e^{a}} .

Dieses Ergebnis kann nicht durch partielle Integration oder Substitution erhalten werden. Hier zeigt sich die Mächtigkeit der Lokalisierung komplexer Integrale an ihren Singularitäten (welche oft algebraisch bestimmbar sind).

Ersetzt man den Punkt i durch eine beliebige komplexe Zahl z (die belanglose Integrationsvariable heiße nun w) und wiederholt alle Schritte, so wird man auf die Cauchysche Integralformel geführt:

2πig(z) = ∫_{γ_{ϵ}(z)} \frac{dw g(w)}{w − z} .

Wieder ist Radius ϵ und sogar die Form der Kurve γ_{ϵ}(z) unerheblich, solange keine Singularitäten von g(w) getroffen werden und die einzige Singularität w = z von \frac{g(w)}{w−z} einmal umrundet wird. Aus einer solchen Darstellung der (gutartigen!) Funktion g werden wir unzählige Konsequenzen ziehen, von denen sich viele gravierend von vertrauten Eigenschaften reller Funktionen unterscheiden! Gelegentlich vererben sich diese Eigenschaften doch ins Reelle und erlauben so ein tieferes Verständnis mancher Merkwürdigkeiten. Letztlich sind es zwei Fakten, je einer aus Analysis und Algebra, auf denen alle Besonderheiten beruhen:

• Es handelt sich um höherdimensionale Analysis, wo Integrale über Kurven im ℝ^{n} erforderlich sind.

• Genau im ℝ^{2} kann man Vektoren (x, y) ∈ ℝ^{2} als Elemente eines Körpers ℂ auffassen, die eine Division durch Vektoren ≠ 0 erlaubt.

Teil I

Wiederholung: Komplexe Zahlen

1 Komplexe Zahlen als Körper

Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der die Gleichung z^{2} + 1 = 0 lösbar ist. Für den zu bestimmenden Erweiterungskörper ℂ der reellen Zahlen fordern wir:

i) z^{2} + 1 = 0 ist lösbar, und i bezeichne eine Lösung dieser Gleichung.

ii) Für jede reelle Zahl x ∈ ℝ gilt auch x ∈ ℂ.

Dann ist für x, y ∈ ℝ auch z := x + iy ∈ ℂ. Die Körperaxiome (insbesondere Kommutativität und Distributivität) sowie i^{2} = −1 liefern für x, y, u, v ∈ ℝ:

(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) ,
(x + iy) · (u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu) .  (*)

Damit ist die Menge der Elemente der Form x + iy abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Aus (x + iy) = (u + iv) folgt (x − u)^{2} = −(y − v)^{2}, also x = u und y = v. Die beiden reellen Zahlen x, y in z = x + iy sind durch z eindeutig definiert.

Satz 1.1 Die mit der Addition und Multiplikation aus (*) versehene Menge ℂ = {z = x + iy : x, y ∈ ℝ} bildet einen Körper, den Körper der komplexen Zahlen.

Beweis. Es sind die Körperaxiome zu überprüfen, nämlich:

i) (ℂ, +) ist kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 und zu a ∈ ℂ inversem Element −a.

ii) ℂ^{×} := ℂ\{0} ist kommutative Gruppe bezüglich der Multiplikation, mit neutralem Element 1 und zu a ∈ ℂ^{×} inversem Element a^{−1} = \frac{1}{a}.

iii) Es gelten alle Distributivgesetze.

Man findet:

• 0 = 0 + i0 ist das neutrale Element der Addition.

• 1 = 1 + i0 ist das neutrale Element der Multiplikation.

• −z = −x − iy ist bezüglich der Addition das zu z = x + iy inverse Element.

• Nicht so offensichtlich ist das zu z = x + iy ≠ 0 bezüglich der Multiplikation inverse Element: Dieses ist gegeben durch z^{−1} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} − i\frac{y}{x^{2}+y^{2}} . Entscheidend dabei ist x^{2} + y^{2} ≠ 0 für alle z = x + iy ≠ 0.

Durch Nachrechnen zeigt man die Distributivgesetze. □

Allerdings läßt sich in ℂ keine Anordung definieren, also eine ausgezeichnete Teilmenge ℂ_{+}^{×} positiver Elemente. Folglich sind je zwei komplexe Zahlen nicht vergleichbar! Gäbe es in ℂ eine Relation >, so wäre sowohl 1 = 1^{2} > 0 als auch −1 = i^{2} > 0, und dann 0 = 1 + (−1) > 0, Widerspruch. Es kann jedoch der Abstand komplexer Zahlen über den Betrag verglichen werden.

Definition 1.2 Für z = x + iy ∈ ℂ heißt

• Re(z) := x ∈ ℝ der Realteil von z,

• Im(z) := y ∈ ℝ der Imaginärteil von z

• z̄:= x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

• |z| := \sqrt{z · z̄} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} der Betrag von z.

Die Abbildung z ↦ z̄ heißt komplexe Konjugation.

Dabei ist mit \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∈ ℝ_{+} die eindeutig bestimmte nichtnegative Wurzel gemeint. Damit folgt für z ≠ 0 die Identität \frac{1}{z} = \frac{z̄}{z·z̄} = \frac{z̄}{|z|^{2}} . Weiter gilt

\overline{z + w} = z̄ + w̄ ,  \overline{z · w} = z̄ · w̄ ,
z + z̄ = 2Re(z) ,  z − z̄ = 2iIm(z) ,
¯z̄ = z ,  z ∈ ℝ ⇔ z = z̄ .

Beispiel 1.3 Es sei z = \frac{3+4i}{1−2i}, gesucht sind Re(z), Im(z) und |z|. Dazu schreiben wir:

z = \frac{3 + 4i}{1 − 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 − 2i)(1 + 2i)} = \frac{1}{5}((3 · 1 − 4 · 2) + i(3 · 2 + 4 · 1)) = −1 + 2i .

Somit Re(z) = −1, Im(z) = 2 und |z| = \sqrt{5}. ◁

Satz 1.4 Für beliebige z, w ∈ ℂ gilt

i) |z| > 0 ⇔ z ≠ 0,
ii) |z̄| = |z|,
iii) |Re(z)| ≤ |z| , |Im(z)| ≤ |z|,
iv) |z · w| = |z| · |w|,
v) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung).

Beweis. i),ii),iii) sind klar. Zu iv) betrachte |zw|^{2} = zw\overline{zw} = zz̄ww̄ = |z|^{2}|w|^{2}. Bleibt die Dreiecksungleichung:

|z + w|^{2} = (z + w)(z̄ + w̄) = |z|^{2} + zw̄ + z̄w + |w|^{2} = |z|^{2} + 2Re(zw̄) + |w|^{2}
≤^{iii)} |z|^{2} + 2|zw̄| + |w|^{2} = |z|^{2} + 2|z||w| + |w|^{2} = (|z| + |w|)^{2} .  □

Es ist nun sehr intuitiv, eine komplexe Zahl z = x + iy als Punkt (x, y) in einem kartesischen Koordinatensystem in der Ebene (Gaußsche Zahlenebene) darzustellen. Nach Pythagoras ist dann |z| gerade der Abstand dieses Punktes vom Ursprung 0 = (0, 0).

[figure: *; (x, y); y; x; ^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}; 0; α]

Ist z ≠ 0, dann ergeben sich Real- und Imaginärteil in Polarkoordinaten zu x = |z| cos α und y = |z| sin α, so daß wir folgende Darstellung einer komplexen Zahl erhalten:

z = |z|(cos α + i sin α) , 0 ≤ α < 2π .

Genau genommen ist diese Darstellung in der falschen Reihenfolge eingeführt: Als erstes wird die komplexe Exponentialfunktion eingeführt, dann muß man die Möglichkeit einer Umkehrfunktion (des Logarithmus) diskutieren, d.h. eine Darstellung z = e^{t+iα} = e^{t} · e^{iα}. Wegen der fehlenden Monotonie ist das aufwendiger als im Reellen, insbesondere ist der Winkel α nicht eindeutig. Nun definiert man Sinus und Cosinus über die Eulersche Formel und setzt r = e^{t}.

Die Addition (x, y)+(u, v) := (x+u, y+v) entspricht geometrisch der Addition von Vektoren:

[figure: Im; Re; z; wz; w; z+w; 0; 1]

Die Dreiecksungleichung |z + w| ≤ |z| + |w| entspricht der Tatsache, daß in einem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen größer ist als die Länge der verbleibenden Seite.

Die Multiplikation schreibt man am besten in Polarkoordinaten: Ist z = |z|(cos α + i sin α) und w = |w|(cos β + i sin β), dann ergibt sich

zw = |z||w|((cos α cos β − sin α sin β) + i(cos α sin β + sin α cos β))
= |z||w|( cos(α + β) + i sin(α + β)) ,

wobei im letzten Schritt die Additionstheoreme verwendet wurden. Wieder ist es eigentlich umgekehrt: Man beweist die Additionstheoreme über die Multiplikation im Komplexen! Damit ergibt sich in Polarkoordinaten das Produkt zw durch Multiplikation der Radien und Addition der Winkel von z und w. Alternativ kann man sich überlegen, daß für festes w ∈ ℂ die durch f : z ↦ zw definierte Abbildung f : ℂ → ℂ wegen |f(z_{1} −z_{2})| = |w| |z_{1} −z_{2}| eine Ähnlichkeitsabbildung ist: Alle Längen werden um |w| gestreckt/gestaucht, ansonsten bleiben die Winkel zwischen Vektoren erhalten. Da der Ursprung erhalten bleibt und 1 in w überführt wird, ist die Abbildung z ↦ wz für w = |w|(cos β + i sin β) zusammengesetzt aus einer Drehung von z um den Ursprung mit Drehwinkel β und einer anschließenden Skalierung um den Faktor |w|.

2 Folgen und Reihen in ℂ

Es sei

K_{ϵ}(a) := {z ∈ ℂ : |z − a| < ϵ}

die offene Kreisscheibe in ℂ mit Mittelpunkt a ∈ ℂ und Radius ϵ > 0. Ihr Abschluß, die abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt a und Radius ϵ wird mit \overline{K_{ϵ}(a)} := \{z ∈ ℂ : |z − a| ≤ ϵ\} bezeichnet (eine Bezeichnungskollision mit der komplexen Konjugation kommt eigentlich nicht vor).

Definition 2.1 i) Eine Teilmenge U ⊆ ℂ heißt Umgebung eines Punktes a ∈ ℂ, wenn es eine offene Kugel K_{ϵ}(a) ⊆ U gibt. Speziell heißt K_{ϵ}(a) die ϵ-Umgebung von a.

ii) Eine Teilmenge U ⊆ ℂ heißt offen, wenn jeder Punkt x ∈ U eine in U enthaltene ϵ-Umgebung besitzt, d.h. ∀x ∈ U ∃ϵ > 0 : K_{ϵ}(x) ⊆ U. Außerdem werden ℂ selbst und die leere Menge ∅ ⊆ ℂ als offen erklärt.

iii) Eine Teilmenge A ⊆ ℂ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ℂ \ A offen ist.

iv) Sei Y ⊆ ℂ eine Teilmenge. Ein Punkt z ∈ ℂ heißt Randpunkt von Y, wenn es in jeder Umgebung von z sowohl Punkte aus Y als auch aus ℂ \ Y gibt. Die Menge aller Randpunkte von Y heißt der Rand von Y und wird mit ∂Y bezeichnet.

Wir erinnern (hier ohne Beweis) an folgende Eigenschaften offener und abgeschlossener Teilmengen komplexer Zahlen:

Satz 2.2 In ℂ gilt:

i) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

ii) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

iii) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

iv) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

v) Hausdorffsches Trennungsaxiom: Zu je zwei Punkten w, z ∈ ℂ mit w ≠ z gibt es disjunkte offene Umgebungen U von w und V von z, d.h. U ∩V = ∅.

Definition 2.3 Eine Folge (z_{k})_{k∈ℕ} komplexer Zahlen heißt konvergent, wenn es ein a ∈ ℂ gibt mit folgenden äquivalenten Eigenschaften:

i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |z_{k} − a| < ϵ für alle k ≥ N.

ii) Zu jeder Umgebung U von a gibt es ein N ∈ ℕ mit z_{k} ∈ U für alle k ≥ N.

iii) Es gilt lim_{k→∞} |z_{k} − a| = 0.

Im Konvergenzfall heißt a ∈ ℂ der Grenzwert der Folge (z_{k})_{k∈ℕ}, und man schreibt lim_{k→∞} z_{k} = a.

In kurzen Beweisen zeigt man: Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig. Jede konvergente Folge ist beschränkt, d.h. es gibt ein M ≥ 0 mit |z_{k}| ≤ M für alle M.

Definition 2.4 Eine Folge (z_{k})_{k∈ℕ} komplexer Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so daß |z_{n} − z_{m}| < ϵ für alle m, n ≥ N.

Aus der Dreiecksungleichung |z_{n} − z_{m}| ≤ |z_{n} − a| + |z_{m} − a| folgt sofort, daß jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Es gilt jedoch auch die Umkehrung, zurückgeführt auf die Vollständigkeit der reellen Zahlen:

Satz 2.5 In den reellen Zahlen sind äquivalent:

i) Zu jeder Intervallschachtelung {[a_{k}, b_{k}]}_{k∈ℕ} mit [a_{k+1}, b_{k+1}] ⊆ [a_{k}, b_{k}] und |b_{k} − a_{k}| ⟶^{k→∞} 0 gibt es ein x ∈ ℝ mit x ∈ [a_{k}, b_{k}] für alle k.

ii) Jede beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum und ein Infimum in ℝ.

iii) Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine in ℝ konvergente Teilfolge (Bolzano-Weierstraß).

iv) Jede Cauchy-Folge in ℝ konvergiert.

v) Jede stetige Funktion f : [a, b] → ℝ mit f(a)f(b) < 0 hat in ]a, b[ eine Nullstelle (Zwischenwertsatz).

Folgerung 2.6 Die komplexen Zahlen sind vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge komplexer Zahlen konvergiert.

Beweis. Nach Satz 1.4.iii) ist die Folge der Realteile eine reelle Cauchy-Folge:

|Re(z_{n}) − Re(z_{m})| = |Re(z_{n} − z_{m})| ≤ |z_{n} − z_{m}| < ϵ,

d.h. es gibt ein x ∈ ℝ mit lim_{k→∞} Re(z_{k}) = x. Analog konvergiert die Folge der Imaginärteile, lim_{k→∞} Im(z_{k}) = y. Schließlich konvergiert z_{k} gegen x + iy, denn

|z_{k} − (x + iy)| = |Re(z_{k}) − x + i(Im(z_{k}) − y)| ≤ |Re(z_{k}) − x| + |Im(z_{k}) − y| ⟶^{k→∞} 0.

□

Satz 2.7 (Bolzano-Weierstraß) i) Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine in ℂ konvergente Teilfolge.

ii) Es sei A ⊆ ℂ. Jede beliebige Folge (z_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus A besitzt genau dann eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A, wenn A beschränkt und abgeschlossen ist.

Bewmerkungen zum Beweis. i) zeigt man mittels Zurückführung auf reelle (Teil-)Folgen. ii) verwendet zusätzlich eine nützliche Charakterisierung abgeschlossener Mengen: Eine Teilmenge A ⊆ ℂ ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede in ℂ konvergente Folge von Punkten z_{k} ∈ A gilt, daß der Grenzwert in A liegt. □

Wir erinnern an elementare Rechenregeln für konvergente Folgen:

Satz 2.8 Es seien (z_{n})_{n∈ℕ} und (w_{n})_{n∈ℕ} Folgen mit lim_{n→∞} z_{n} = z und lim_{n→∞} w_{n} = w. Dann gilt:

i) lim_{n→∞} |z_{n}| = |z| , lim_{n→∞} \overline{z_{n}} = z̄ , lim_{n→∞} Re(z_{n}) = Re(z) , lim_{n→∞} Im(z_{n}) = Im(z)

ii) lim_{n→∞}(z_{n} + w_{n}) = z + w

iii) lim_{n→∞}(z_{n} · w_{n}) = zw

iv) Ist w ≠ 0, dann gibt es ein N ∈ ℕ mit w_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N, und

lim_{n→∞} \frac{z_{n+N}}{w_{n+N}} = \frac{z}{w}

Für Nullfolgen gibt es mehrere Kriterien:

Satz 2.9 i) Für eine Folge (z_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen gebe es ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß für alle n ≥ N gilt z_{n} ≠ 0 und |\frac{z_{n+1}}{z_{n}} | ≤ q. Dann gilt lim_{n→∞} z_{n} = 0. Insbesondere ist lim_{n→∞} z^{n} = 0 für alle z ∈ K_{1}(0).

ii) lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{z^{n}} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| > 1 und alle k ∈ ℕ.

Beweis. i) klar.

ii) Betrachte n > 2k + 1 und |z| = 1 + x mit x > 0. Dann ergibt die Binomialentwicklung

(1 + x)^{n} > \binom{n}{k + 1}x^{k+1} = \frac{n(n − 1) ⋯ (n − k)}{(k + 1)!}x^{k+1} > n · (\frac{n}{2})^{k} \frac{x^{k+1}}{(k + 1)!} ,

also |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < \frac{2^{k}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{n}. Wähle N ∈ ℕ mit N > max (\frac{2^{k+1}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{ϵ} , 2k + 1), dann folgt |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < ϵ für alle n ≥ N. □

Definition 2.10 Eine Folge (z_{k})_{k∈ℕ} definiert eine Folge der Partialsummen (∑_{k=0}^{n} z_{k})_{n∈ℕ}, welche man Reihe nennt, mit ∑_{k=0}^{∞} z_{k} bezeichnet und wieder auf Konvergenz untersuchen kann. Im Konvergenzfall bezeichnet man den Grenzwert mit demselben Symbol, ∑_{k=0}^{∞} z_{k} = lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} z_{k}. Eine Reihe ∑_{k=0}^{∞} z_{k} heißt absolut konvergent, falls ∑_{k=0}^{∞} |z_{k}| konvergiert.

Beispiel 2.11 (Geometrische Reihe) Die Folge (z^{n})_{n∈ℕ} (hier mit Konvention z^{0} = 1) führt auf die Folge (∑_{k=0}^{n} z^{k})_{n∈ℕ} = (\frac{1−z^{n+1}}{1−z})_{n∈ℕ} der Partialsummen, welche genau für |z| < 1 (absolut) konvergiert mit Grenzwert ∑_{k=0}^{∞} z^{k} = \frac{1}{1−z}. ◁

Die folgenden Konvergenzkriterien sollten bekannt sein:

Satz 2.12 (Konvergenzkriterien) Eine Reihe ∑_{k=0}^{∞} z_{k} komplexer Zahlen konvergiert, falls eines der folgenden Kriterien erfüllt ist:

• (Cauchy-K., äquivalent zur Konvergenz) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit | ∑_{k=n}^{m} z_{k}| < ϵ für alle m ≥ n ≥ N.

• (Majoranten-K., absolute Konvergenz) Es gibt eine konvergente Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} mit |z_{k}| ≤ a_{k} für alle k ≥ p. Ferner gilt die Dreiecksungleichung | ∑_{k=p}^{∞} z_{k}| ≤ ∑_{k=p}^{∞} |z_{k}| ≤ ∑_{k=p}^{∞} a_{k}.

• (Quotienten-K., absolute Konvergenz) Es gibt ein p ∈ ℕ, so daß für alle n ≥ p gilt z_{n} ≠ 0 und |\frac{z_{n+1}}{z_{n}} | ≤ q für ein festes 0 < q < 1.

• (Wurzel-K., absolute Konvergenz) Es gibt ein p ∈ ℕ, so daß für alle n ≥ p gilt \sqrt[n]{|z_{n}|} ≤ q für ein festes 0 ≤ q < 1.

Die für uns wichtigste Beispielklasse sind die Potenzreihen:

Definition 2.13 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − w)^{n} zu fest gewählten w, a_{n} ∈ ℂ und variablem z ∈ ℂ heißt Potenzreihe.

Zur Konvergenzuntersuchung stehen obige Kriterien zur Verfügung, wobei die Konvergenz im allgemeinen von z abhängen wird, und zwar:

Satz/Definition 2.14 i) Konvergiert eine Potenzreihe P (z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − w)^{n} in einem Punkt z_{0} ∈ ℂ, dann konvergiert sie absolut in jedem Punkt der offenen Kreisscheibe K_{r}(w) mit r = |z_{0} − w|.

ii) Die somit existierende Zahl R(P)  :=  sup{r  ∈

ℝ : ∑_{n=0}^{∞} a_{n}r^{n} konvergiert} ∈ [0, ∞] heißt Konvergenzradius von P (z).

iii) Für den Konvergenzradius gilt die Formel von Cauchy-Hadamard R(P) = _{\frac{1}{lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|}}}.

Beweis. i) Die Folge (a_{n}(z_{0} − w)^{n})_{n∈ℕ} ist eine Nullfolge und deshalb beschränkt, |a_{n}(z_{0} −w)^{n}| ≤ M für alle n ∈ ℕ. Dann ist |a_{n}(z −w)^{n}| = q^{n}|a_{n}(z_{0} −w)^{n}| ≤ q^{n}M mit q := |\frac{z−w}{z_{0}−w}| = \frac{|z−w|}{r} < 1. Damit besitzt ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − w)^{n} die konvergente

Majorante ∑_{n=0}^{∞} q^{n}M und konvergiert in jedem z ∈ ℂ mit |z − w| < r absolut.

iii) Sei r := lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|}. Dach Definition von lim sup gibt es unendlich viele a_{n} mit \sqrt[n]{|a_{n}|} > r−ϵ, also unendlich viele a_{n} mit |a_{n}| > (r−ϵ)^{n}. Wählen wir z − w = \frac{1}{r−ϵ} > R(P), dann kann ∑_{n=0}^{∞} a_{n}|z − w|^{n} nicht konvergieren. Umgekehrt gibt es nur endlich viele a_{n} mit \sqrt[n]{|a_{n}|} > r + ϵ, also mit a_{n} > (r + ϵ)^{n}. Wählen wir z − w = \frac{1}{r+ϵ}, dann konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{n}|z − w|^{n} für jedes ϵ > 0. □

Beispiel 2.15 Wichtige Potenzreihen sind (α ∈ ℂ, s ∈ ℝ):

• Exponentialreihe exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} mit R(exp) = ∞ nach Quotientienkriterium.

• Binomialreihe B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} mit R(B_{α}) = 1 nach Quotientienkriterium. Dabei ist \binom{α}{n} = \frac{α(α−1)···(α−n+1)}{n!}.

• Polylogarithmus-Reihe Li_{s}(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{s}} mit R(Li_{s}) = 1 nach Wurzelkriterium. ◁

Ausblick 2.16 Wir werden uns die Exponentialreihe noch genauer ansehen und einige Identitäten erarbeiten wie exp(Li_{1}(z)) = \frac{1}{1−z} für z ∈ K_{1}(0); deshalb gilt Li_{1}(z) = −Log(1 − z), wobei Log der sogenannte Hauptzweig des komplexen Logarithmus ist. Damit lassen sich echt komplexe Potenzen erklären über z^{w} = exp(w Log(z)). Es wird sich dann B_{α}(z) = (1 + z)^{α} ergeben. ♢

Solche Identitäten beruhen oft auf den folgenden beiden Sätzen:

Satz 2.17 (Umordnungssatz) Jede Umordnung ∑_{n=0}^{∞} z_{σ(n)} einer absolut kon-

vergenten Reihe ∑_{n=0}^{∞} z_{n} konvergiert absolut und hat denselben Grenzwert. (Dabei

ist σ : ℕ → ℕ eine Bijektion.)

Satz 2.18 (Cauchy-Produkt) Konvergieren die Potenzreihen P (z) =

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − w)^{n} und Q(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z − w)^{n} im Punkt z ∈ ℂ absolut, so gilt

P (z) · Q(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k})(z − w)^{n} .

Für die Beweise sei auf Analysis I verwiesen.

Ausblick 2.19 Manchmal fallen (Potenz-)Reihen innerhalb des Konvergenzkreises mit schon anders bekannten Funktionen zusammen, wie z.B. ∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1−z}. Die Funktion auf der rechten Seite hat jedoch einen größeren Definitionsbereich ℂ \ {1}. Uns wird die Frage beschäftigen, ob es verschiedene Funktionen geben kann, die eine (z.B. in einer Kreisscheibe) gegebene Funktion fortsetzen, wobei der Übergang (genügend oft) differenzierbar sein möge. Wir werden sehen, daß es im Reellen selbst bei unendlich oft differenzierbaren Funktionen keinerlei Eindeutigkeit geben kann, während im Komplexen zwei nur einmal differenzierbare Fortsetzungen immer dieselben sind! ♢

Beispiel 2.20 Die durch die Reihe (aber keine Potenzreihe) ζ(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} definierte Funktion heißt Riemannsche Zeta-Funktion. Man überlegt sich, daß die Reihe für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 1 konvergiert. Man kann die Zeta-Funktion jedoch (eindeutig!) fortsetzen zu ζ : ℂ \ {1} → ℂ, d.h. die harmonische Reihe ist die einzige dieser Klasse, der man keinen Sinn geben kann. Dagegen findet man so überraschende Werte ζ(0) = −\frac{1}{2} und ζ(−1) = −\frac{1}{12} (wo die Reihe sinnlos ist). An allen negativen geraden ganzen Zahlen verschwindet ζ. Die berühmte Riemannsche Vermutung, deren Beweis mit 10^{6} $ belohnt wird, besagt, daß für sämtliche anderen Nullstellen z ∈ ℂ\{−2, −4, −6, … } mit ζ(z) = 0 gilt Re(z) = \frac{1}{2}. ◁

3 Stetigkeit

Sei abkürzend 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Eine Abbildung f : D → 𝕂, wobei der Definitionsbereich D eine beliebige Menge ist, heißt Funktion. Uns interessieren Definitionsbereiche D ⊆ 𝕂. Diese versehen wir mit der Teilraumtopologie, in der die offenen Teilmengen von D genau die Schnitte D ∩ U mit offenen Mengen U ⊆ 𝕂 sind. In diesem Sinn ist D = D∩𝕂 stets offen, auch wenn es als Teilmenge von 𝕂 das nicht sein muß! Entsprechend sind Umgebungen von Punkten aus D erklärt.

Definition 3.1 Eine Funktion f : D → 𝕂 mit D ⊆ ℝ oder D ⊆ ℂ heißt stetig im Punkt a ∈ D, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: i) Zu jeder Umgebung U ⊆ 𝕂 von f(a) gibt es eine Umgebung V ⊆ D von a

mit f(V) ⊆ U.

ii) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein δ > 0, so daß für alle z ∈ D mit |z − a| < δ gilt: |f(z) − f(a)| < ϵ.

iii) Für jede gegen a konvergente Folge (z_{n})_{n∈ℕ} von Punkten z_{n} ∈ D gilt: (f(z_{n}))_{n∈ℕ} konvergiert gegen f(a).

Die Funktion f : D → 𝕂 heißt stetig auf ganz D, wenn sie in jedem Punkt a ∈ D stetig ist. Das ist äquivalent zu:

iv) Das Urbild f^{−1}(U) jeder offenen Teilmenge U ⊆ 𝕂 ist offen in D.

v) Das Urbild f^{−1}(A) jeder abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ 𝕂 ist abgeschlossen in D.

Die Äquivalenzen sollen hier nur kurz skizziert werden.

i)⇒ii) Wähle U = K_{ϵ}(f(a)); es gibt K_{δ}(a) ⊆ V.

ii)⇒i) Betrachte K_{ϵ}(f(a)) ⊆ U und setze V = K_{δ}(a).

ii)⇒iii) Zu ϵ, damit δ, und wegen Konvergenz der Folge gibt es ein N ∈ ℕ mit |z_{n} − a| < δ für alle n ≥ N. Dann ist aber |f(z_{n}) − f(a)| < ϵ für alle n ≥ N.

iii)⇒ii) durch Widerspruch zur Unstetigkeit: Es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle δ > 0 gilt: Aus |z − a| < δ folgt |f(z) − f(a)| ≥ ϵ. Damit konstruiert man eine gegen a konvergente Folge, deren Funktionswerte nicht gegen f(a) konvergieren.

(globale Stetigkeit)⇒iv) Im Fall f^{−1}(U) = ∅ ist alles klar. Ansonsten nehme a ∈ V := f^{−1}(U) beliebig. Da f(a) ∈ U und U offen, insbesondere Umgebung von f(a) ist, gibt es K_{δ}(a) mit f(K_{δ}(a)) ⊆ U. Dann ist aber K_{δ}(a) ⊆ V, und V offen.

iv)⇒(globale Stetigkeit) In Umgebung U von f(a) wähle K_{ϵ}(f(a)) ⊆ U und setze V := f^{−1}(K_{ϵ}(f(a))). Wegen a ∈ V und V offen ist V Umgebung von a mit f(V) ⊆ U.

iv)⇔v) durch Komplementbildung.

Am einfachsten über das Folgenkriterium beweist man:

Satz 3.2 i) Summen, Produkte und Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig.

ii) Die Bildung des Inversen ℂ^{×} ∋ z ↦ \frac{1}{z} ∈ ℂ ist stetig.

Beispiel 3.3 Folgende Funktionen sind stetig:

• Komplexe Konjugation ¯ : ℂ → ℂ

• Betrag sowie Bildung von Real- und Imaginarteil | |, Re, Im : ℂ → ℝ

• Polynome ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k} • Das Inverse \frac{1}{f} einer stetigen nullstellenfreien Funktion f : ℂ → ℂ

• rationale Funktionen \frac{∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k}}{∑_{l=0}^{m} b_{l}z^{l}} außerhalb der Nullstellen des Nennerpolynoms

Satz 3.4 Jede Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − w)^{n} ist im Inneren ihres Konver-

genzkreises stetig.

Beweis. Es sei R(P) der Konvergenzradius von P (z) und |z_{0} − w| < r < R(P). Wegen der absoluten Konvergenz der Reihe gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit

∑_{n=N}^{∞} |a_{n}|r^{n} < \frac{ϵ}{3}. Da das Polynom ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}(z − w)^{n} stetig ist, gibt es ein δ > 0

mit | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}(z − w)^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}(z_{0} − w)^{n}| < \frac{ϵ}{3} für alle z ∈ ℂ mit |z − z_{0}| < δ.

Gegebenenfalls durch weitere Verkleinerung von δ erreichen wir δ < r − |z_{0} − w|. Dann ist |z − w| ≤ |z − z_{0}| + |z_{0} − w| < δ + |z_{0} − w| < r, so daß

|P (z) − P (z_{0})| ≤ | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}(z − w)^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}(z_{0} − w)^{n}|

+ ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}(z − w)^{n}| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}(z_{0} − w)^{n}| < ϵ .  □

Stetige Funktionen haben folgende wichtige Vererbungseigenschaften:

Satz 3.5 Stetige Funktionen bilden

i) kompakte Mengen in kompakte Mengen ab,

ii) zusammenhängende Mengen in zusammenhängende Mengen ab,

iii) wegzusammenhängende Mengen in wegzusammenhängende Mengen ab.

Wir erinnern an diese topologischen Strukturen:

Satz 3.6 Sei V ein endlich-dimensionaler reeller oder komplexer normierter Vektorraum, z.B. V = ℝ oder V = ℂ zusammen mit dem Betrag. Dann sind für eine Teilmenge A ⊆ V äquivalent:

i) A ist kompakt, d.h. zu \underline{jeder} Überdeckung ⋃_{i∈I} U_{i} ⊇ A durch offene Teilmengen U_{i} ⊆ V (mit I einer beliebigen Indexmenge) gibt es endlich viele Indizes i_{1}, …, i_{n} ∈ I mit A ⊆ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}.

ii) A ist folgenkompakt, d.h. \underline{jede} Folge von Punkten aus A besitzt eine in A konvergente Teilfolge.

iii) A ist beschränkt und abgeschlossen.

Beweisskizze. i)⇒ii) Gäbe es keine Häufungspunkte, so hat jeder Punkt x ∈ A eine Umgebung U_{x}, die nur endlich viele Punkte der Folge enthält. Aber A ⊆ ⋃_{x∈A} U_{x} läßt sich auf A ⊆ ⋃_{i=1}^{n} U_{x_{i}} reduzieren, so daß die Folge nur endlich viele Punkte enthielte, Widerspruch. Aus den \frac{1}{n+1}-Umgebungen eines somit existierenden Häufungspunkts wählt man die Teilfolge aus.

ii)⇒iii) klar.

iii)⇒i) Man zeigt zunächst, daß abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen selbst kompakt sind. Es genügt dann, die Kompaktheit abgeschlossener Rechtecke (allgemein: Quader) zu zeigen, was mittels Intervallschachtelungsprinzip gelingt. □

Beweis von Satz 3.5.i) Sei (U_{i})_{i∈ℕ} eine offene Überdeckung von f(A). Aus der Stetigkeit von f folgt, daß V_{i} := f^{−1}(U_{i}) offen ist. Dann ist A ⊆ ⋃_{i∈I} V_{i}, aber tatsächlich genügen endlich viele V_{i} zur Überdeckung: A ⊆ V_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ V_{i_{n}}, also f(A) ⊆ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}. □

Ausblick 3.7 Hier eine Warnung. Wir sehen, daß für stetige Funktionen f : ℂ → ℂ die Bilder beschränkter abgeschlossener Mengen wieder beschränkt und abgeschlossen sind. Ohne die Beschränktheit wäre die Aussage falsch. Die durch f(z) = \frac{z}{\sqrt{1+|z|^{2}}} definierte Funktion ist stetig auf ganz ℂ und bildet die abgeschlos-

sene Menge ℂ auf die offene Kreisscheibe K_{1}(0) ab.

Auch offene Mengen werden unter stetigen Funktionen nicht notwendig auf offene Mengen abgebildet. Ein Gegenbeispiel ist die konstante Funktion f(z) = 1, die eine beliebige Menge auf eine abgeschlossene Menge schickt. Wir werden später sehen, daß die konstanten Funktionen im wesentlichen die einzigen Gegenbeispiele in der Klasse der gutartigen komplexwertigen Funktionen sind. ♢

Der Begriff ‘zusammenhängend’ ist nicht sehr anschaulich. ‘Wegzusammenhängend’ ist einfacher zu verstehen (daraus folgt zusammenhängend). Für offene Mengen ist beides äquivalent. Ebenso für Teilmengen von ℝ: hier sind die (weg)zusamenhängenden Mengen genau die Intervalle.

Definition 3.8 Eine Teilmenge X eines metrischen Raumes heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten a, b ∈ X eine stetige Kurve c : [0, 1] → X gibt mit c(0) = a und c(1) = b.

Satz 3.5.iii) ist völlig klar, denn f ∘c : [0, 1] → f(X) ist ein stetiger Weg zwischen f(a) und f(b).

Definition 3.9 Eine Teilmenge X eines metrischen Raumes heißt nicht zusammenhängend, wenn es offene nichtleere Teilmengen U, V gibt mit U ∪ V = X und U ∩ V = ∅.

Beweis von Satz 3.5.ii) Wäre f(X) nicht zusammenhängend, so gäbe es disjunkte nichtleere offene Mengen U, V mit f(X) = U ∪ V. Wegen der Stetigkeit von f sind f^{−1}(U) und f^{−1}(V) offen, nichtleer und disjunkt, denn f(x) liegt entweder in U oder in V. Somit wäre X = f^{−1}(U) ∪ f^{−1}(V), Widerspruch. □

Für stetige Funktionen f : X → ℝ, wobei X (weg-)zusammenhängend ist, ergibt sich als Spezialfall der Zwischenwertsatz: Zu jedem a, b ∈ X und jedem γ ∈ [f(a), f(b)] oder γ ∈ [f(b), f(a)] gibt es ein c ∈ X mit f(c) = γ.

4 Die Exponentialfunktion

Satz 4.1 Die für alle z ∈ ℂ absolut konvergente Exponentialreihe exp(z) :=

∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} hat folgende Eigenschaften:

i) exp(w) · exp(z) = exp(w + z) für alle w, z ∈ ℂ . Insbesondere existiert (exp(z))^{−1} = exp(−z) für alle z ∈ ℂ.

ii) | exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!} für alle |z| < 1 + \frac{N}{2} .

Insbesondere gilt lim_{z→0} \frac{exp(z)−1}{z} = 1.

iii) exp(z) = lim_{n→∞}(1 + \frac{z}{n})^{n}, insbesondere die Eulersche Zahl e = exp(1).

Beweis. i) Cauchy-Produkt für Potenzreihe in t ∈ ℂ:

exp(wt) · exp(zt) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \frac{w^{n−k}}{(n − k)!} \frac{z^{k}}{k!} )t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}( ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}w^{n−k}z^{k})t^{n}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{(w + z)^{n}t^{n}}{n!} = exp((w + z)t) .

ii) Für |z| ≤ \frac{N+2}{2} gilt

| exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | = | ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{|z|^{n}}{n!}

= \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!}(1 + \frac{|z|}{N + 2} + \frac{|z|^{2}}{(N + 2)(N + 3)} + …)

≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{|z|}{N + 2})^{k} ≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} = \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!} .

Für N = 1 folgt |\frac{exp(z)−1−z}{z}| < |z| für alle 0 < |z| < \frac{3}{2} und damit der Grenzwert.

16 iii) Mit exp(z) = ( exp(\frac{z}{n}))^{n} folgt

Preliminary version – 9. Oktober 2017

| exp(z) − (1 + \frac{z}{n})^{n}| = |( exp(\frac{z}{n}))^{n} − (1 + \frac{z}{n})^{n}|

= |( exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})) ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{z}{n}))^{k}(1 + \frac{z}{n})^{n−k−1}|

≤ | exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} .

Offenbar gilt 1 + \frac{|z|}{n} ≤ exp(\frac{|z|}{n}) und deshalb

∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n} = n exp(|z|) .

Nach ii) gilt | exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ≤ 2\frac{|z|^{2}}{2n^{2}} für |\frac{z}{n}| < \frac{3}{2}, also n ≥ \frac{3}{2}|z| und damit insgesamt | exp(z)−(1+ \frac{z}{n})^{n}| ≤ \frac{|z|^{2}}{n^{2}} ·n exp(|z|). Für n → ∞ folgt die Behauptung.

□

Definition 4.2 Wichtige Linearkombinationen sind:

i) cosh z = \frac{1}{2}(exp(z) + exp(−z)) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{2n}}{(2n)!}

ii) sinh z = \frac{1}{2}(exp(z) − exp(−z)) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}
iii) cos z = \frac{1}{2}(exp(iz) + exp(−iz)) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!}
iv) sin z = \frac{1}{2i}(exp(iz) − exp(−iz)) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

Diese sind definiert für alle z ∈ ℂ, nicht nur für reelle Argumente. Es gelten

exp(±iz) = cos(z) ± i sin(z) ,  exp(±z) = cosh(z) ± sinh(z) ,
1 = cos^{2}(z) + sin^{2}(z) = cosh^{2}(z) − sinh^{2}(z) ,
cosh(w + z) = cosh(w) cosh(z) + sinh(w) sinh(z) ,
sinh(w + z) = sinh(w) cosh(z) + cosh(w) sinh(z) ,
cos(w + z) = cos(w) cos(z) − sin(w) sin(z) ,
sin(w + z) = sin(w) cos(z) + cos(w) sin(z) .

Außerhalb der Nullstellen der Zähler, welche wir gleich diskutieren, definiert man tan z = \frac{sin z}{cos z} , cot z = \frac{cos z}{sin z} , tanh z = \frac{sinh z}{cosh z} , coth z = \frac{cosh z}{sinh z} . Wir können nun die Kreiszahl π definieren:

17

Preliminary version – 9. Oktober 2017

Satz 4.3 Eingeschränkt auf reelle Zahlen hat der Cosinus im Intervall [0, 2] genau eine Nullstelle, die mit \frac{π}{2} bezeichnet wird. Es gilt cos \frac{π}{2} = 0 und sin \frac{π}{2} = 1, bzw. e^{\frac{iπ}{2}} = i und damit e^{iπ} = −1, e^{\frac{3iπ}{2}} = −i und e^{2πi} = 1.

Beweis. Wir zeigen, daß cos : [0, 2] → [−1, 1] streng monoton fallend ist mit cos 0 = 1 > 0 und cos 2 < 0. Der Zwischenwertsatz liefert dann die Existenz einer Nullstelle, aus der Monotonie folgt ihre Eindeutigkeit. Insbesondere is 0 < π < 4.

Für x > 0 sind die Reihen für cos(x) und sin(x) alternierend, und für x ∈ ]0, 2] bilden die Beträge der Summanden a_{k} in der Cosinusreihe bzw. der Sinusreihe eine streng monoton fallende Nullfolge ab k = 1 bzw. k = 0. Nach der Fehlerabschätzung im Leibniz-Kriterium für solche Reihen gilt damit für x ∈ ]0, 2]

1 − \frac{x^{2}}{2} < cos x < 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} , x − \frac{x^{3}}{6} < sin x < x ,

insbesondere ist cos 2 < −\frac{1}{3} und sin x > 0 für x ∈ ]0, 2]. Wegen cos(0) = 1 und Zwischenwertsatz (Potenzreihen sind stetig) hat cos eine Nullstelle in ]0, 2[. Diese ist eindeutig: Die Additionstheoreme liefern

cos x − cos y = cos(\frac{x+y}{2} + \frac{x−y}{2}) − cos(\frac{x+y}{2} − \frac{x−y}{2}) = −2 sin \frac{x−y}{2} sin \frac{x+y}{2} .

Für 0 ≤ y < x ≤ 2 ist die rechte Seite negativ, damit der Cosinus streng monoton fallend in [0, 2] und kann dort höchstens eine Nullstelle besitzen. □

Aus e^{i(x+ \frac{π}{2} )} = ie^{ix} folgt nach Zerlegung nach Real- und Imaginärteil

cos(x ± \frac{π}{2}) = ∓ sin x ,  sin(x ± \frac{π}{2}) = cos x

und dann nach wiederholter Anwendung Verschiebungen um beliebige Vielfache von \frac{π}{2}. Es folgt, daß der reelle Cosinus genau die Nullstellen x_{k} = \frac{(2k+1)π}{2} mit k ∈ ℤ hat, und der reelle Sinus genau die Nullstellen x_{k} = kπ mit k ∈ ℤ. Weiter gilt cos(x+2kπ) = cos x und sin(x+2kπ) = sin x für alle k ∈ ℤ, und 2π ist die kleinste Periode beider Funktionen.

Satz 4.4 e^{z} = 1  ⇔  z = 2iπk für k ∈ ℤ.

Beweis. (⇐) ist klar. Umgekehrt sei z = x + iy mit x, y ∈ ℝ, dann gilt 1 = |e^{z}| = e^{x}|e^{iy}| = e^{x}, also x = 0 und dann 1 = e^{iy} = cos y + i sin y. Folglich ist cos y = 1 und sin y = 0, der Sinus liefert zunächst y = kπ mit k ∈ ℤ, wegen cos(0 + π) = − cos(0) = −1 und der 2π-Periodizität sind aber nur y = 2πk Lösungen. □

Folglich besitzt jede komplexe Zahl z ≠ 0 eine Darstellung

z = r exp(iϕ) = exp(ln r + iϕ)

mit r ∈ ℝ_{+}^{×} und ϕ ∈ ℝ, wobei ϕ nur bis auf Addition eines Vielfachen von 2π bestimmt ist. Deshalb kann es im Komplexen keine (eindeutige) Umkehrfunktion der Exponentialfunktion geben. Man kann sich aber konsistent einschränken:

Satz 4.5 Es seien S := {z ∈ ℂ : −π < Im(z) < π} und Ŝ := {z ∈ ℂ : −π < Im(z) ≤ π} Streifen in der komplexen Ebene. Dann sind exp : S → ℂ_{−} und exp : Ŝ → ℂ^{×} bijektiv, wobei ℂ_{−} := ℂ \ ℝ_{−} die geschlitzte Ebene ist (mit ℝ_{−} := {x ∈ ℝ : x ≤ 0}). Die somit existierende Umkehrfunktion Log : ℂ_{−} → ℂ mit Bild S bzw. Log : ℂ^{×} → ℂ mit Bild Ŝ heißt Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Dieser ist stetig auf ℂ_{−}, aber nicht auf ℂ^{×}. Auf ℂ_{−} gilt Log(z) = ln(|z|)+i Arg(z) mit dem Argument Arg(x+iy) := sign(y) arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} und dem

reellen Logarithmus ln : ℝ_{+}^{×} → ℝ.

Beweis. Aus exp(z) = exp(w) folgt z − w ∈ 2πiℤ. Für z, w ∈ S oder z, w ∈ Ŝ ist aber Im(w − z) < 2π und dann z = w als einzige Lösung von exp(z) = exp(w) in S oder Ŝ. Also ist exp injektiv auf S und Ŝ. Surjektivität folgt aus der zuvor für z ≠ 0 gegebenen Darstellung z = exp(ln r + iϕ), wobei ln r + iϕ für −π < ϕ ≤ π bzw. −π < ϕ < π bzw. genau die Punkte in Ŝ bzw. S parametrisiert.

Die Unstetigkeit von Log auf ℂ^{×} ergibt sich z.B. daraus, daß das Bild der zusammenhängenden Menge K_{1}(−2) unter Log nicht zusammenhängend ist. Für z = x + iy ∈ ℂ_{−} sind z ↦ ln |z| (klar!) sowie Arg stetige Funktionen: Für z = x + iy ∈ ℂ_{−} gilt \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} ∈ ]−1, 1], und arccos : ]−1, 1] → [0, π[ ist stetig.

Zwar ist sign unstetig in 0, was aber nur für x > 0 und y → 0 zum Tragen kommt. Dann konvergiert aber \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} gegen +1 und arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} gegen 0, somit

auch sign(y) arccos(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} ) gegen 0. Damit ist Arg und schließlich Log(z) =

ln(|z|) + i Arg(z) stetig auf ℂ_{−}. □

Gegebenenfalls setzen wir Arg auf ℂ^{×} fort durch Arg(−x) := π für −x < 0. Diese Fortsetzung ist dann aber nicht stetig. Die bekannte Reihendarstellung des reellen Logarithmus verallgemeinert sich genau auf den Hauptzweig:

Log(1 + z) = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} \frac{z^{n}}{n} für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1 .

Wir holen den Beweis später nach, wenn Differenzierbarkeit bereitsteht.

Jeder andere Logarithmus ergibt sich aus dem Hauptzweig durch Verschiebung log_{(k)}(z) := Log(z)+2kπi, k ∈ ℤ, und für alle k gilt exp(log_{(k)}(z)) = z (mit z ∈ ℂ^{×} oder z ∈ ℂ_{−}). Diese Mehrdeutigkeit vererbt sich zur Mehrdeutigkeit komplexer Potenzen

(z^{w})_{(k)} := exp(w log_{(k)}(z)) = exp(w Log(z) + 2kπiw) = exp(w Log(z))e^{2kπiw} .

Wieder kann z ∈ ℂ^{×} gewählt werden; dann sind die komplexen Potenzen jedoch nicht stetig auf ℂ^{×}. Schränkt man auf z ∈ ℂ_{−} ein, so hat man Stetigkeit für jedes k. Bleibt man innerhalb eines Zweiges, so gilt im allgemeinen \underline{nicht} die Relation ((z_{1}·z_{2})^{w})_{(k)} = ((z_{1})^{w})_{(k)}((z_{2})^{w})_{(k)}! Die Möglichkeit des Wechsels in andere Zweige ist zu berücksichtigen.

Für w = \frac{p}{q} ∈ ℚ ist

\{e^{2kπiw} : k ∈ ℤ\} = \{e^{\frac{2kπi}{q}} : k ∈ \{0, 1, …, q − 1\}\}

eine endliche Menge. Es folgt:

Satz 4.6 Sei n ∈ ℕ^{×} und z ∈ ℂ. Dann gibt es genau n paarweise verschiedene komplexe Zahlen z_{0}, …, z_{n−1} mit z_{k}^{n} = z, nämlich z_{k} = \sqrt[n]{|z|}e^{i \frac{Arg(z)+2πk}{n}}. Insbesondere gibt es genau n verschiedene n-te Einheitswurzeln ζ_{k} = e^{\frac{2kπi}{n}} mit ζ_{k}^{n} = 1 für alle k ∈ {0, 1, …, n − 1}.

Die Möglichkeit, z_{k}^{n} = z stets zu lösen, erlaubt (zusammen mit der Stetigkeit von Polynomen) einen ersten Beweis des

Theorem 4.7 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. Es genügt, das Polynom f(z) = z^{n}+a_{n−1}z^{n−1}+… a_{1}z+a_{0} zu betrachten. i) Wir zeigen: |f| nimmt auf ℂ ein Minimum an. Für |z| ≥ 1 gilt:

f(z) = z^{n}(1 + r(z)) ,  r(z) := \frac{a_{n−1}}{z} + ⋯ + \frac{a_{0}}{z^{n}} ,
|r(z)| ≤ \frac{A}{|z|} mit A := |a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}| .

Wir erreichen |r(z)| ≤ \frac{1}{2} für |z| ≥ R := max(1, 2A) und dann |f(z)| ≥ \frac{|z|}{2} ≥ A für alle z ∈ ℂ mit |z| ≥ R. Auf der kompakten Kreisscheibe \overline{K_{0}(R)} um 0 mit Radius R nimmt die stetige Funktion |f(z)| ein Minimum an, wegen |P (0)| = |a_{0}| ≤ A ist dieses dann das Minimum in ganz ℂ.

ii) Wir zeigen: In jedem Punkt z ∈ \overline{K_{0}(R)} mit f(z) ≠ 0 hat |f(z)| kein Minimum. (Also wird das Minimum in einem Punkt z_{0} ∈ \overline{K_{0}(R)} angenommen mit |f(z_{0})| = 0.) Sei also f(z) ≠ 0. Wir betrachten das Polynom g(w) := \frac{f(w+z)}{f(z)} in w. Wegen w(0) = 1 gilt g(w) = 1 + b_{1}w^{1} + ⋯ + b_{n}w^{n}. Da f und somit g nicht konstant ist, verschwinden nicht alle b_{i}. Sei 1 ≤ k ≤ n der kleinste Index mit b_{k} ≠ 0. Durch Skalieren w ↦ βw mit einer in ℂ stets existierenden Wurzel β = (−\frac{1}{b_{k}})^{\frac{1}{k}} erreicht man g(βw) = 1−w^{k}+w^{k+1}h(w). Das so konstruierte Polynom h(w) ist auf \overline{K_{0}(R)} beschränkt, |h(w)| ≤ c mit c > 0. Somit gilt |w^{k+1}h(w)| < |w|^{k} für alle w ∈ ℂ mit 0 < |w| < min(1, \frac{1}{c}, R). Wählt man w_{0} ∈ ℝ mit 0 < w_{0} < min(1, \frac{1}{c}, R), so ergibt sich

|g(βw_{0})| ≤ 1 − w_{0}^{k} + |w_{0}^{k+1}h(w_{0})| < 1 ,

also |f(z + βw_{0})| < |f(z)|. □

Teil II

Komplexe Differenzierbarkeit und holomorphe Funktionen

5 Reelle Differenzierbarkeit

Definition 5.1 Sei I ⊆ ℝ ein Intervall. Eine Funktion f : I → ℂ heißt differenzierbar im Punkt x_{0} ∈ I, wenn es eine Zahl f′(x_{0}) ∈ ℂ (die Ableitung) gibt mit folgenden äquivalenten Eigenschaften:

i) f′(x_{0}) = lim_{{x→x_{0} \atop x≠x_{0}}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}, d.h. ϕ(x) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} & für x ≠ x_{0} \\ f′(x_{0}) & für x = x_{0} \end{matrix} ist

stetig in x_{0}.

ii) f(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) + r(x) mit lim_{x→x_{0}} \frac{r(x)}{x−x_{0}} = 0.

Die Funktion f heißt differenzierbar in I, wenn sie in jedem Punkt x_{0} ∈ I differenzierbar ist.

Die Äquivalenzen ergeben sich aus der Umstellung \frac{r(x)}{x−x_{0}} := \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − f′(x_{0}). Insbesondere ist jede in x_{0} differenzierbare Funktion dort auch stetig. In höherer Dimension (mit Ausnahme von ℝ^{2} = ℂ) kann nicht mehr durch x − x_{0} dividiert werden, so daß nur noch die lineare Approximierbarkeit ii) verbleibt:

Definition 5.2 Eine Abbildung f : U → ℝ^{m} mit U ⊆ ℝ^{n} offen heißt (total) differenzierbar in x_{0} ∈ U, falls es eine ℝ-lineare Abbildung (Df)(x_{0}) : ℝ^{n} → ℝ^{m} (das Differential von f) gibt mit

f(x) = f(x_{0}) + (Df)(x_{0}) ∘ (x − x_{0}) + r(x) und lim_{x→x_{0}} \frac{r(x)}{∥x − x_{0}∥} = 0 .

Daneben gibt es mit den partiellen Ableitungen und den Richtungsableitungen Versionen, in denen man sich auf Kurven in U einschränkt und dann die eindimensionale Ableitung betrachtet. Für f : U → ℝ gelten folgende Implikationen:

stetig partiell differenzierbar

⇓ differenzierbar ⇒ stetig

⇓ es existieren Richtungsableitungen in jede Richtung

⇓ partiell differenzierbar

aber im allgemeinen keine der Umkehrungen.

Ausblick 5.3 Ableitung f′ bzw. Differential Df bilden selbst wieder auf Teilmengen von U definierte Funktionen. Im allgemeinen müssen diese nicht einmal stetig sein: Die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x ≤ 0 \\ x^{2} sin \frac{1}{x} & für x > 0 \end{matrix}

ist überall differenzierbar mit Ableitung

f′(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x ≤ 0 \\ 2x sin \frac{1}{x} − cos \frac{1}{x} & für x > 0 \end{matrix}

die in 0 nicht stetig ist. Wir werden sehen, daß das bei komplexer Differenzierbarkeit in Umgebungen nicht passieren kann. ♢

Liegt mehrfache stetige Differenzierbarkeit vor, so vertauschen nach dem Satz von Schwarz die partiellen Ableitungen: ∂_{i}∂_{j}f = ∂_{j}∂_{i}f.

6 Einschub: Lineare Abbildungen

Das Differential war eine lineare Abbildung (Df)(x_{0}) : ℝ^{n} → ℝ^{m}. Sind allgemein endlich-dimensionale 𝕂-Vektorräume V, W gegeben mit Basen A = (v_{1}, …, v_{n}) von V und B = (w_{1}, …, w_{n}) von W, dann ordnet man einer linearen Abbildung F : V → W die darstellende Matrix

B[F]_{A} = (a_{ij}) ∈ M(m × n, 𝕂) , F (v_{j}) =: ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i}

zu. Die Definition sichert Kompatibilität zwischen Komposition linearer Abbildungen und Matrixmultiplikation, _{C}[G ∘ F]_{A} = _{C}[G]_{B} ·_{B}[F]_{A}.

Beispiel 6.1 Die darstellende Matrix des Differentials (Df)(x_{0}) einer Abbildung f = (f_{1}, …, f_{m})^{t} : U → ℝ^{m} mit U ⊆ ℝ^{n} bezüglich der kanonischen Basen in ℝ^{n} und ℝ^{m} ist durch die partiellen Ableitungen gegeben (der Punkt x_{0} werde zur besseren Übersicht weggelassen):

[(Df)] = (∂_{j}f_{i})_{ij} = ( \begin{matrix}∂_{1}f_{1} & ∂_{2}f_{1} & … & ∂_{n}f_{1} \\ ∂_{1}f_{2} & ∂_{2}f_{2} & … & ∂_{n}f_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ ∂_{1}f_{m} & ∂_{2}f_{m} & … & ∂_{n}f_{m} \end{matrix} ) .

Diese Matrix nennt man auch die Jacobi-Matrix. ◁

Beispiel 6.2 Wir betrachten ℂ als reellen Vektorraum mit Basis (1, i). Eine ℝlineare Abbildung T : ℂ → ℂ hat dann bezüglich dieser Basis eine darstellende Matrix

[T] = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , T (1) = a + ic , T (i) = b + id .

Somit gilt mit z = x + iy

T (z) = x(a + ic) + y(b + id) = \frac{z + z̄}{2}(a + ic) + \frac{z − z̄}{2i}(b + id) = λz + μz̄

mit λ = \frac{1}{2}(a + d + i(c − b)) und μ = \frac{1}{2}(a − d + i(c + b)).

Ist nun T : ℂ → ℂ sogar eine ℂ-lineare Abblidung, so ist sie erst recht ℝ-linear, und die darstellende Matrix als ℝ-lineare Abbildung hat eine spezielle Form: Denn sei T (1) = a + ic, dann ist T (i) bereits vorgegeben durch T (i) = iT (1) = −c + ia,

also [T] = ( \begin{matrix}a & −c \\ c & a \end{matrix} ). In der obigen Darstellung bedeutet das λ = a + ic = T (1)

und μ = 0, d.h. T (z) = λz. Die einzigen ℂ-linearen Abbildungen von ℂ nach ℂ sind also die Skalierungen z ↦ λz. ◁

7 Komplexe Differenzierbarkeit

Die komplexe Ableitung einer Funktion f : U → ℂ mit U ⊆ ℂ kann, da ℂ ein Körper ist, identisch wie die reelle Ableitung definiert werden. Faßt man sie als reelles Differential von f : U → ℝ^{2} mit U ⊆ ℝ^{2} auf, dann ist dieses sogar ℂ-linear und hat deshalb eine sehr spezielle Form. Genauer gilt:

Definition 7.1 Sei U ⊆ ℂ ≡ ℝ^{2} offen. Eine Funktion f : U → ℂ ≡ ℝ^{2} heißt im Punkt z_{0} ∈ U komplex differenzierbar, wenn eine (und dann jede) der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:

i) Der Grenzwert f′(z_{0}) := lim_{{z→z_{0} \atop z≠z_{0}}} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} existiert, d.h. die Funktion

ϕ(z) = \{ \begin{matrix}\frac{f(z)−f(z_{0})}{z−z_{0}} & für z ≠ z_{0} \\ f′(z_{0}) & für z = z_{0} \end{matrix} ist stetig in z_{0}.

ii) f : U → ℝ^{2} ist in z_{0} = (x_{0}, y_{0}) ∈ U reell differenzierbar, und das Differential (Df)(x_{0}, y_{0}) ist ℂ-linear.

iii) f : U → ℝ^{2} ist in z_{0} = (x_{0}, y_{0}) ∈ U ⊆ ℝ^{2} reell differenzierbar, und die partiell differenzierbaren Funktionen u := Re(f) und v := Im(f) erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

∂_{x}u = ∂_{y}v , ∂_{y}u = −∂_{x}v .

Beweis der Äquivalenzen. i)⇒ii) Definiere r : U → ℂ durch

f(z) = f(z_{0}) + f′(z_{0}) · (z − z_{0}) + r(z)

und eine ℝ-lineare Abbildung (Df)(z_{0}) durch (Df)(z_{0}) ∘ ζ := f′(z_{0}) · ζ. Nach Definition des Grenzwertes ist lim_{z→z_{0}} \frac{r(z)}{z−z_{0}} = 0, somit auch lim_{z→z_{0}} \frac{r(z)}{|z−z_{0}|}. Damit ist f in z_{0} reell differenzierbar, aber das Differential (Df)(z_{0}) ist sogar ℂ-linear.

ii)⇒i) Es gilt f(z) = f(z_{0}) + Df(z_{0}) · (z − z_{0}) + r(z) mit lim_{z→z_{0}} \frac{r(z)}{|z−z_{0}|} und einer sogar ℂ-linearen Abbildung (Df)(z_{0}). Dann gilt aber Df(z_{0}) ∘ (z − z_{0}) = (z − z_{0}) · Df(z_{0}) ∘ 1. Setzt man f′(z_{0}) := Df(z_{0}) ∘ 1, so folgt der in i) geforderte Grenzwert.

ii)⇔iii) Das Differential (Df)(z_{0}) hat nach Beispiel 6.1 bezüglich der reellen Basis (1, i) die Jacobi-Matrix

Df(z_{0}) = ( \begin{matrix}∂_{x}u & ∂_{y}u \\ ∂_{x}v & ∂_{y}v \end{matrix} ) .

Nach Beispiel 6.2 definiert diese Matrix genau dann eine ℂ-lineare Abbildung, wenn die Diagonalelemente identisch sind und die Summe der beiden anderen Matrixelemente identisch Null ist. □

Beispiel 7.2 i) f(z) = z^{n} ist in jedem Punkt z_{0} ∈ ℂ komplex differenzierbar mit f′(z_{0}) = nz_{0}^{n−1}. Denn \frac{z^{n}−z_{0}^{n}}{z−z_{0}} = ∑_{k=0}^{n−1} z^{k}z_{0}^{n−k−1}, so daß im Limes z → z_{0} sich n Summanden z_{0}^{n−1} ergeben.

ii) exp ist in jedem Punkt z_{0} ∈ ℂ komplex differenzierbar mit exp′(z_{0}) = exp(z_{0}). Denn \frac{exp(z)−exp(z_{0})}{z−z_{0}} = exp(z_{0})\frac{exp(z−z_{0})−1}{z−z_{0}}, und nach Satz 4.1.ii) gilt lim_{z−z_{0}→0} = \frac{exp(z−z_{0})−1}{z−z_{0}} = 1. ◁

Wie im Reellen beweist man Linearität, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel:

Satz 7.3 Die Funktionen f, g : U → ℂ mit U ⊆ ℂ offen seien in x_{0} ∈ U komplex differenzierbar. Dann sind auch f + g, f · g und für g(z_{0}) ≠ 0 auch \frac{f}{g} komplex differenzierbar in z_{0}, und es gilt

(f + g)′(z_{0}) = f′(z_{0}) + g′(z_{0})
(f · g)′(z_{0}) = f′(z_{0})g(z_{0}) + f(z_{0})g′(z_{0})  (Produktregel bzw. Leibniz-Regel)
(\frac{f}{g})′(z_{0}) = \frac{f′(z_{0})g(z_{0}) − f(z_{0})g′(z_{0})}{(g(z_{0}))^{2}}  (Quotientenregel)

Beispiel 7.4 i) Polynome f(z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k} sind komplex differenzierbar in

jedem Punkt z_{0} ∈ ℂ, und es gilt f′(z_{0}) = ∑_{k=1}^{n} ka_{k}z_{0}^{k−1}.

ii) Rationale Funktionen f(z) = \frac{∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k}}{∑_{l=0}^{m} b_{l}z^{l}} sind komplex differenzierbar außerhalb der Nullstellen des Nennerpolynoms, und es gilt f′(z_{0}) = \frac{∑_{k=0}^{n} ∑_{l=0}^{m}(k−l)a_{k}b_{l}z_{0}^{k+l−1}}{( ∑_{l=0}^{m} b_{l}z_{0}^{l})^{2}} . Insbesondere gilt für die in der Partialbruchzerle-

gung entstehenden elementaren Funktionen g(z) = \frac{1}{(z−a)^{k}}, daß g′(z_{0}) = \frac{−k}{(z_{0}−a)^{k+1}} . iii) cos, sin, cosh und sinh sind als Linearkombinationen von Exponentialfunktionen komplex differenzierbar in jedem Punkt z_{0} ∈ ℂ, und es gilt

cos′(z_{0}) = − sin(z_{0}) ,  sin′(z_{0}) = cos(z_{0}) ,
cosh′(z_{0}) = sinh(z_{0}) ,  sinh′(z_{0}) = cosh(z_{0}) .

iv) tan, cot, tanh, coth sind als Quotienten komplex differenzierbarer Funktionen komplex differenzierbar außerhalb der Nullstellen der Nenner, und es gilt

tan′(z_{0}) = \frac{sin′(z_{0}) cos(z_{0}) − sin(z_{0}) cos′(z_{0})}{cos^{2}(z_{0})} = \frac{1}{cos^{2}(z_{0})} ,
cot′(z_{0}) = \frac{cos′(z_{0}) sin(z_{0}) − cos(z_{0}) sin′(z_{0})}{sin^{2}(z_{0})} = −\frac{1}{sin^{2}(z_{0})}
tanh′(z_{0}) = \frac{sinh′(z_{0}) cosh(z_{0}) − sinh(z_{0}) cosh′(z_{0})}{cos^{2}(z_{0})} = \frac{1}{cosh^{2}(z_{0})} ,
coth′(z_{0}) = \frac{cosh′(z_{0}) sinh(z_{0}) − cosh(z_{0}) sinh′(z_{0})}{sinh^{2}(z_{0})} = −\frac{1}{sinh^{2}(z_{0})} ◁

Satz 7.5 (Kettenregel) Die Funktion f : U → V ⊆ ℂ sei komplex differenzierbar in z_{0} ∈ U, und die Funktion g : V → ℂ sei komplex differenzierbar in f(z_{0}) ∈ V. Dann ist auch die zusammengesetzte Funktion g ∘ f : U → ℂ komplex differenzierbar in z_{0}, und es gilt (g ∘ f)′(z_{0}) = g′(f(z_{0})) · f′(z_{0}).

Beispiel 7.6 Wir werden später beweisen, daß der Hauptzweig Log : ℂ_{−} → S ⊆ ℂ des komplexen Logarithmus komplex differenzierbar in jedem Punkt z_{0} ∈ ℂ_{−} ist. Setzt man das voraus, so läßt sich die Ableitung leicht berechnen, indem man beide Seiten der Identität z = exp(Log(z)) differenziert: 1 = exp′(Log(z_{0})) · Log′(z_{0}) = z_{0}Log′(z_{0}). Somit gilt Log′(z_{0}) = \frac{1}{z_{0}} und dann auch log′_{(k)}(z_{0}) = \frac{1}{z_{0}} für jeden anderen Zweig. ◁

Anderen Beispielen sieht man die komplexe Differenzierbarkeit nicht so leicht an. Hier helfen oft die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen weiter.

Beispiel 7.7 Sei f(z) = |z|^{2} = zz̄ oder u(x, y) = x^{2} + y^{2} und v(x, y) = 0. Dann ist f reell differenzierbar mit ∂_{x}u = 2x und ∂_{y}u = 2y, aber ∂_{x}v = ∂_{y}v = 0. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten genau in x = y = 0, d.h. f ist nur in 0 differenzierbar mit f′(0) = 0. ◁

Beispiel 7.8 Sei f(z) = |z| oder u(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} und v(x, y) = 0. Sei zunächst x^{2} + y^{2} ≠ 0. Wegen ∂_{x}u = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} und ∂_{y}u = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , aber ∂_{x}v =

∂_{y}v = 0 kann f höchstens in z = 0 komplex differenzierbar sein. Dort ist aber \frac{f(z)−f(0)}{z−0} = \frac{|z|}{z}. Der Grenzwert lim_{z→0} \frac{|z|}{z} existiert nicht, was man am einfachsten durch Wahl der gegen 0 konvergenten Folgen z_{n} = \frac{1}{n+1}e^{iϕ} sieht, für die \frac{|z_{n}|}{z_{n}} gegen verschiedene e^{iϕ} konvergiert. Somit ist die auf ganz ℂ stetige Funktion |z| nirgends komplex differenzierbar! ◁

Ist f : U → ℂ ≡ ℝ^{2} nur reell differenzierbar, also mit allgemeiner Jacobi-

Matrix Df(z_{0}) = ( \begin{matrix}∂_{x}u & ∂_{y}u \\ ∂_{x}v & ∂_{y}v \end{matrix} ), so gilt nach Beispiel (6.2)

Df(z_{0}) ∘ (z − z_{0}) = \frac{1}{2}(∂_{x}u + ∂_{y}v + i(∂_{x}v − ∂_{y}u))(z_{0}) · (z − z_{0})

+ \frac{1}{2}(∂_{x}u − ∂_{y}v + i(∂_{x}v + ∂_{y}u))(z_{0}) · \overline{(z − z_{0})} .

Nach Zusammenfassung zu f = u + iv ist gezeigt:

Satz 7.9 i) Das Differential einer reell-differenzierbaren Funktion f : U → ℂ ≡ ℝ^{2} erfüllt

Df(z_{0}) ∘ (z − z_{0}) = \frac{∂f}{∂z} (z_{0}) · (z − z_{0}) + \frac{∂f}{∂z̄}(z_{0}) · \overline{(z − z_{0})}

mit den beiden Wirtinger-Ableitungen

\frac{∂f}{∂z} := \frac{1}{2}(∂_{x}f − i∂_{y}f) , \frac{∂f}{∂z̄} := \frac{1}{2}(∂_{x}f + i∂_{y}f) .

ii) Eine Funktion f : U → ℂ ist genau dann in z_{0} ∈ U komplex differenzierbar, wenn sie in z_{0} reell differenzierbar ist und dort die Wirtinger-Ableitung nach z̄ verschwindet, \frac{∂f}{∂z̄}(z_{0}) = 0. In diesem Fall gilt f′(z_{0}) = \frac{∂f}{∂z} (z_{0}).

Beim Rechnen im Wirtinger-Kalkül betrachtet man z, z̄ als formal unabhängige Variablen. Im Beispiel 7.7 mit f(z) = zz̄ ergibt sich \frac{∂f}{∂z̄} = z und damit komplexe Differenzierbarkeit genau in z = 0.

8 Holomorphe Funktionen

Definition 8.1 Sei U ⊆ ℂ offen. Eine Funktion f : U → ℂ heißt holomorph im Punkt z_{0} ∈ U, falls f in einer Umgebung (d.h. in jedem Punkt der Umgebung) von z_{0} komplex differenzierbar ist. Wir nennen f holomorph auf U, wenn f in jedem Punkt von U komplex differenzierbar (bzw. holomorph) ist.

Ausblick 8.2 Hier wird nicht gefordert, daß die komplexe Ableitung f′(z) stetig ist. Es wird sich nämlich zeigen, daß Stetigkeit automatisch ist; mehr noch, holomorphe Funktionen sind beliebig oft komplex (und reell) differenzierbar. ♢

Für eine auf U holomorphe Funktion gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in jedem Punkt von U.

Beispiel 8.3 Wir suchen Punkte z ∈ ℂ, in denen f(z) = |z|^{4}−2|z|^{2} = z^{2}z̄^{2}−2zz̄ holomorph ist. Die Wirtinger-Ableitung ergibt (formal und tatsächlich) \frac{∂f}{∂z̄} = 2z^{2}z̄ − 2z = 2z(|z|^{2} − 1). Damit ist f komplex differenzierbar in z = 0 und auf dem Einheitskreis |z| = 1, aber in keiner Umgebung, deshalb nirgends holomorph.

◁

Weiter ergibt sich aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, daß eine holomorphe Funktion, bis auf Addition einer Konstanten, bereits durch ihren Realteil allein charakterisiert ist, oder durch ihren Imaginärteil allein. Man benötigt dazu folgenden:

Satz 8.4 Sei U ⊆ ℂ offen und zusammenhängend und f : U → ℂ holomorph mit f′(z) = 0 für alle z ∈ ℂ. Dann ist f konstant.

Der analoge reelle Satz sollte bekannt sein; er ergibt sich aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Der Satz gilt auch im Komplexen, erfordert zum Beweis aber Kurvenintegrale, die erst später eingeführt werden. Setzen wir ihn an dieser Stelle voraus, so ergibt sich sofort:

Satz 8.5 Sei U ⊆ ℂ ≡ ℝ^{2} offen und zusammenhängend und u : U → ℝ reell differenzierbar. Dann gibt es, bis auf Addition einer Konstanten, höchstens eine reell differenzierbare Funktion v : U → ℝ, so daß u + iv holomorph auf U ist.

Beweis. Angenommen, u + iv_{1} und u + iv_{2} sind holomorph auf U, und damit auch 0 + i(v_{1} − v_{2}). Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen liefern 0 = ∂_{y}(v_{1} − v_{2}) und 0 = ∂_{x}(v_{1} − v_{2}) mit einziger Lösung v_{1} − v_{2} konstant. □

Beispiel 8.6 Sei u(x, y) = x^{2} + 2xy − y^{2}, dann folgt

∂_{x}u = 2x + 2y = ∂_{y}v , ∂_{y}v = 2x − 2y = −∂_{x}v .

Wir können die erste Gleichung formal nach y integrieren zu v = 2xy + y^{2} + g(x) für eine beliebige Funktion g(x). Analog integriert sich die zweite Gleichung zu v = 2xy − x^{2} + h(y) für eine beliebige Funktion h(y). Beide Gleichungen sind kompatibel für g(x) = −x^{2} + c und h(y) = y^{2} + c für eine Konstante c. Es folgt

u + iv = x^{2} + 2xy − y^{2} + i(2xy − x^{2} + y^{2} + c) = (1 − i)(x + iy)^{2} + ic
= (1 − i)z^{2} + ic .  ◁

Nicht jede reell-differenzierbare Funktion kann Realteil einer holomorphen Funktion sein. Wichtige Bedingungen (f muß notwendig harmonisch sein) werden in den Übungen diskutiert.

Wir kommen nun zur wichtigsten Quelle für holomorphe Funktionen:

Satz 8.7 Jede Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − w)^{n} ist im Inneren ihres Konvergenzkreises holomorph. Für die Ableitung gilt f′(z) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}(z − w)^{n−1}, mit gleichem Konvergenzradius wie f.

Beweis. Wegen lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1 haben beide Reihen f(z) und f′(z) den Konvergenzradius R := _{\frac{1}{lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|}}} = _{\frac{1}{lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{n|a_{n}|}}}. Zu |z_{0} − w| < r < R und

ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit ∑_{n=N+1}^{∞} n|a_{n}|r^{n−1} < \frac{ϵ}{3}. Dann gilt für alle |z − w| < r

|\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} − ∑_{n=1}^{∞} na_{n}(z − w)^{n−1}|

= | ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(\frac{(z − w)^{n} − (z_{0} − w)^{n}}{z − z_{0}} − n(z − w)^{n−1})|

= | ∑_{n=1}^{∞} a_{n}( ∑_{k=0}^{n−1}(z − w)^{k}(z_{0} − w)^{n−1−k} − n(z − w)^{n−1})|

≤ | ∑_{n=1}^{N} a_{n}( ∑_{k=0}^{n−1}(z − w)^{k}(z_{0} − w)^{n−1−k} − n(z − w)^{n−1})| + ∑_{n=N+1}^{∞} |a_{n}|2nr^{n−1} .

Wegen der Differenzierbarkeit des Polynoms ∑_{n=0}^{N} a_{n}(z − w)^{n} gibt es ein δ > 0, das wir kleiner r − |z_{0} − w| wählen können, so daß für alle |z − z_{0}| < δ gilt: | ∑_{n=1}^{N} a_{n}(\frac{(z−w)^{n}−(z_{0}−w)^{n}}{z−z_{0}} − n(z − w)^{n−1})| < \frac{ϵ}{3}. □

Ausblick 8.8 Wir werden später als eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie beweisen, daß auch die Umkehrung des letzten Satzes richtig ist: Jede in z holomorphe Funktion läßt sich in einer Umgebung von z als Potenzreihe darstellen. ♢

Wir können nun den Beweis der Reihendarstellung von Log nachholen.

Satz 8.9 Für alle |z| < 1 gilt Log(1 + z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n}.

Beweis. Sei L(z) die fragliche Reihe. Dann gilt

L′(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} nz^{n−1} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}z^{n} = \frac{1}{1 + z} .

Eine weitere auf K_{1}(0) komplex differenzierbare Funktion mit derselben Ableitung ist nach Beispiel 7.6 der (verschobene) komplexe Logarithmus log_{(k)}(1 + z) (wobei die komplexe Differenzierbarkeit noch zu zeigen ist). Nach Satz 8.5 unterscheiden sich log_{(k)}(1 + z) und L(z) nur durch eine Konstante; wegen L(1) = 0 ∈ ]−π, π[ führt diese Konstante genau auf den Hauptzweig. □

Satz 8.10 (Binomialreihe) Für alle α ∈ ℂ und z ∈ ℂ mit |z| < 1 gilt B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} = exp(α Log(1 + z)). Insbesondere gilt B_{α}(z)B_{β}(z) = B_{α+β}(z).

Beweis. Die Ableitung der Binomialreihe ist

B′_{α}(z) = ∑_{n=1}^{∞} \binom{α}{n}nz^{n−1} = α ∑_{n=1}^{∞} \binom{α − 1}{n − 1}z^{n−1} = αB_{α−1}(z) .

Die Binomialkoeffizienten erfüllen

\binom{α}{n} + \binom{α}{n + 1} = \binom{α + 1}{n + 1} für alle α ∈ ℂ , n ∈ ℕ .

Für α ∈ ℕ mit α ≥ n ist das die definierende Relation des Pascalschen Dreiecks, die per Induktion gezeigt wird. Andererseits stellt diese Gleichung eine Identität zwischen Polynomen (n+1)-ten Grades in α ∈ ℂ dar, die an mehr als n + 1 Punkten identisch erfüllt ist. Nach dem Identitätssatz für Polynome gilt sie dann für alle α. Es folgt

B_{α}(z) = 1 + ∑_{n=1}^{∞} \binom{α − 1}{n − 1}z^{n} + ∑_{n=1}^{∞} \binom{α − 1}{n}z^{n}

= z ∑_{n=1}^{∞} \binom{α − 1}{n − 1}z^{n−1} + ∑_{n=0}^{∞} \binom{α − 1}{n}z^{n} = (1 + z)B_{α−1}(z)

und dann

B′_{α}(z) = \frac{α}{1 + z} B_{α}(z) .

Betrachte die Funktion f(z) = B_{α}(z) exp(−α Log(1 + z)). Produkt- und Kettenregel führen auf f′(z) = 0, also f(z) = f(0) = 1 und somit B_{α}(z) = exp(α Log(1 + z)). □

Teil III

Der Cauchysche Integralsatz

9 Wiederholung: Integration im Reellen

Die Integration im Komplexen wird mittels Kurven auf die bekannte Riemann-Integration von komplexwertigen Funktionen auf [α, β] zurückgeführt. Wir können uns darauf beschränken, nur (stückweise) stetige Funktionen zu integrieren, was die allgemeinen Definitionen und Sätze stark vereinfacht:

Satz/Definition 9.1 Sei f : [α, β] → ℂ stetig. Dann gibt es genau eine komplexe Zahl I(f) mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein δ > 0, so daß für eine beliebige Unterteilung α = t_{0} < t_{1} ⋯ < t_{n} = β von [α, β] mit |t_{k+1} − t_{k}| < δ und beliebige Wahl von Stützstellen τ_{k} ∈ [t_{k}, t_{k+1}] gilt

|I(f) − ∑_{k=0}^{n−1} f(τ_{k})(t_{k+1} − t_{k})| < ϵ .

Diese Zahl I(f) heißt das Riemann-Integral von f und wird mit ∫_{α}^{β} dt f(t) := I(f) bezeichnet.

Satz 9.2 Das Riemann-Integral ist i) linear, d.h. ∫_{α}^{β} dt (c_{1}f_{1} + c_{2}f_{2})(t) = c_{1} ∫_{α}^{β} dt f_{1}(t) + c_{2} ∫_{α}^{β} dt f_{2}(t),

ii) monoton, d.h. ∫_{α}^{β} dt f(t) ≤ ∫_{α}^{β} dt g(t) falls f(t) ≤ g(t) für alle t ∈ [α, β]

iii) und erfüllt die Dreiecksungleichung | ∫_{α}^{β} dt f(t)| ≤ ∫_{α}^{β} dt |f(t)|.

Die Berechnung von Integralen geschieht meist über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ausgangspunkt ist:

Satz 9.3 Sei J ⊆ ℝ ein Intervall, f : J → ℂ stetig und α ∈ J. Für t ∈ J werde durch F (t) := ∫_{α}^{t} ds f(s) eine Funktion F : J → ℂ definiert. Dann gilt: F : J → ℂ ist stetig differenzierbar mit F′(t) = f(t).

Eine Funktion F mit F′(t) = f(t) heißt Stammfunktion von f. Die Menge aller Stammfunktionen zu f : J → ℂ heißt das unbestimmte Integral zu f, geschrieben ∫ dt f(s). Zwei Stammfunktionen auf J unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Satz 9.4 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Es sei F : J → ℂ eine beliebige Stammfunktion zu einer stetigen Funktion f : J → ℂ. Dann gilt für beliebige α, β ∈ J

∫_{α}^{β} dt f(t) = F (β) − F (α) =: F (t)|_{α}^{β} .

Aus den bekannten Ableitungen elementarer Funktionen ergeben sich Formeln für Standardintegrale. Zwei wichtige Rechenmethoden gewinnt man durch die Umkehrung der Produkt- und Kettenregeln für die Ableitung.

Satz 9.5 (partielle Integration) Es seien u, v : J → ℂ Stammfunktionen zu stetigen Funktionen f = v′ : J → ℂ und g = u′ : J → ℂ. Dann ist auch uv eine Stammfunktion, und es gilt

∫ dt (uv′)(t) = (uv)(t) − ∫ dt (u′v)(t) ,
∫_{α}^{β} dt (uv′)(t) = (uv)(β) − (uv)(α) − ∫_{α}^{β} dt (u′v)(t) .

Satz 9.6 (Substitutionsregel) Sei f : J → ℂ stetig, F : J → ℂ eine Stammfunktion zu f und s : [α, β] → J eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion. Dann ist F ∘s : [α, β] → ℂ eine Stammfunktion zu (f∘s)·s′ : [α, β] → ℂ, und es gilt

∫_{α}^{β} dt f(s(t)) · s′(t) = ∫_{s(α)}^{s(β)} ds f(s) .

10 Komplexe Kurvenintegrale

Definition 10.1 Sei U ⊆ ℂ offen. Unter einer (stetigen, differenzierbaren) Kurve in U versteht man eine (stetige, differenzierbare) Abbildung γ : [α, β] → U. Die Menge sp(γ) := {γ(t) : t ∈ [α, β]} ⊆ U heißt Spur der Kurve γ, und Γ(γ) := {(t, γ(t)) ∈ [α, β] × U : t ∈ [α, β]} heißt Graph von γ.

Die Kurve heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn γ stetig ist und es eine Unterteilung α = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = β gibt, so daß γ auf jedem Teilintervall [t_{i}, t_{i+1}] stetig differenzierbar ist.

Für eine stückweise stetig differenzierbare Kurve heißt γ′(t) ∈ ℂ der Tangentialvektor von γ im Punkt γ(t). Dabei ist die Ableitung innerhalb der Intervalle [t_{i−1}, t_{i}] bzw. [t_{i}, t_{i+1}] zu bilden, so daß γ′(t_{i}) verschiedene Werte auf [t_{i−1}, t_{i}] und [t_{i}, t_{i+1}] annehmen darf.

Beispiel 10.2 i) [0, 1] ∋ t ↦ γ(t) = a + t(b − a) ∈ ℂ hat als Spur die Gerade (Strecke) zwischen a, b ∈ ℂ. Hier ist γ′(t) = b − a.

ii) [0, 2π] ∈ t ↦ γ(t) = a + re^{it} hat als Spur die Kreisline mit Mittelpunkt a ∈ ℂ und Radius r. Hier ist γ′(t) = ire^{it} = −r sin t + ir cos t. Der Tangentialvektor zeigt in Richtung der Tangente an den Kreis in positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn). ◁ Definition 10.3 Sei f : U → ℂ stetig und γ : [α, β] → U stückweise stetig differenzierbar. Dann ist das Kurvenintegral von f längs γ erklärt als

∫_{γ} dz f(z) := ∫_{α}^{β} dt f(γ(t))γ′(t) ≡ ∑_{i=0}^{m−1} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} dt f(γ(t))γ′(t) .

Das folgende Beispiel ist von fundamentaler Bedeutung für die gesamte Funktionentheorie:

Beispiel 10.4 Sei f(z) = \frac{1}{z} definiert auf U := ℂ^{×} und γ : [0, 2π] → U gegeben durch γ(t) = re^{it} für ein r > 0. Dann ist γ′(t) = ire^{it} = iγ(t) und folglich

∫_{γ} \frac{dz}{z} = ∫_{γ} dz f(z) := ∫_{0}^{2π} dt f(γ(t))γ′(t) = ∫_{0}^{2π} dt \frac{iγ(t)}{γ(t)} = 2πi .  ◁

Alle reellen Integrale können als komplexe Kurvenintegrale über die Kurve γ(t) = t aufgefaßt werden:

Beispiel 10.5 Für γ(t) = t und f(z) = f(x + iy) stetig fällt das Kurvenintegral ∫_{γ} dz f(z) := ∫_{α}^{β} dt f(t) zusammen mit dem reellen Integral. ◁

Die komplexen Kurvenintegrale sind allein eine Eigenschaft der Spur der Kurve (sowie ihrer Orientierung) und unabhängig von der konkreten Parametrisierung:

Satz 10.6 Sei γ : [α, β] → U ⊆ ℂ stückweise stetig differenzierbar und ϕ : [σ, τ] → [α, β] ein Diffeomorphismus, d.h. eine stetig differenzierbare Funktion mit ϕ′(s) ≠ 0 für alle s ∈ [σ, τ]. Dann gilt für das Kurvenintegral einer beliebigen stetigen Funktion f über die Kurve γ̃ := γ ∘ ϕ : [σ, τ] → U

∫γ̃ dz f(z) = sign(ϕ′) ∫_{γ} dz f(z) .

Beweis. Mit Kettenregel und Substitutionsregel folgt

∫γ̃ dz f(z) := ∫_{σ}^{τ} ds f(γ(ϕ(s)))(γ ∘ ϕ)′(s)
= ∫_{σ}^{τ} ds f(γ(ϕ(s)))γ′(ϕ(s))ϕ′(s)
= ∫_{ϕ(σ)}^{ϕ(τ)} dt f(γ(t))γ′(t) .

Dabei sind die Integrale jeweils in die Teilintervalle mit Grenzen {ϕ^{−1}(t_{i})} aufzuspalten. Ist ϕ′(s) > 0, d.h. ϕ′ streng monoton wachsend, dann ist ϕ(σ) = α und ϕ(τ) = β, und die Behauptung folgt direkt. Im umgekehrrten Fall ϕ′(s) < 0, d.h. ϕ′ streng monoton fallend, ist ϕ(σ) = β und ϕ(τ) = α. Die dann notwendige Umkehrung der Integrationsgrenzen von ∫_{β}^{α} zu ∫_{α}^{β} liefert ein Vorzeichen, das allgemein durch sign(ϕ′) erfaßt wird. □

Beispiel 10.7 Ein Spezialfall ist die umgekehrt orientierte Kurve mittels ϕ : [α, β] → [α, β], ϕ(s) = α + β − s. Für den in negative Richtung durchlaufenen Kreis ist dann [0, 2π] ↦ γ̃(t) = e^{−it} mit ∫γ̃ \frac{dz}{z} = −2πi. ◁

Definition 10.8 Die Bogenlänge L(γ) einer stückweise stetig differenzierbaren Kurve γ : [α, β] → U ⊆ ℂ ist gegeben durch

L(γ) := ∫_{α}^{β} dt |γ′(t)| ≡ ∑_{i=0}^{m−1} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} dt |γ′(t)| .

Völlig anlog zum vorigen Satz zeigt man, daß die Bogenlänge invariant unter Reparametrisierung und (wegen des Betrags) invariant unter Orientierungsumkehr ist.

Satz 10.9 (Standardabschätzung) Es gilt

| ∫_{γ} dz f(z)| ≤ L(γ) sup_{z∈sp(γ)} |f(z)| = L(γ) sup_{t∈[α,β]} |f(γ(t))| .

Beweis. Folgt direkt aus der Dreiecksungleichung für Integrale sowie |f(γ(t))γ′(t)| ≤ |γ′(t)| sup_{t∈[α,β]} |f(γ(t))|. □

Wie im Reellen definiert man:

Definition 10.10 Sei U ⊆ ℂ offen und f : U → ℂ stetig. Eine komplexdifferenzierbare (somit holomorphe) Funktion F : U → ℂ heißt Stammfunktion zu f, falls F′(z) = f(z) für alle z ∈ U.

Im gravierenden Unterschied zum Reellen hat jedoch nicht jede stetige Funktion f eine Stammfunktion! Nur falls es eine Stammfunktion gibt, übertragen sich die Eigenschaften.

Satz 10.11 Sei U ⊆ ℂ offen und γ : [α, β] → U eine stückweise stetig differenzierbare Kurve. Eine stetige Funktion f : U → ℂ besitze eine Stammfunktion F. Dann gilt

∫_{γ} dz f(z) = F (γ(β)) − F (γ(α)) .

Insgesondere gilt ∫_{γ} dz f(z) = 0 für jede geschlossene Kurve γ mit γ(β) = γ(α).

Beweis. Nach Definition der Stammfunktion und Kettenregel gilt

∫_{γ} dz f(z) = ∫_{α}^{β} dt F′(γ(t))γ′(t) = ∫_{α}^{β} dt (F ∘ γ)′(t) = (F ∘ γ)(β) − (F ∘ γ)(α) .

Hier ist F′ die komplexe Ableitung und γ′ sowie (F ∘ γ)′ die reelle. Der letzte Schritt ist der reelle Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. □

Beispiel 10.12 Betrachte die stetige Funktion f(z) = \frac{1}{z} auf der offenen Teilmenge U = ℂ^{×}. Nach Beispiel 10.4 verschwindet nicht das Kurvenintegral über die geschlossene Kurve [0, 2π] ∋ t ↦ re^{it}. Damit kann die stetige (sogar holomorphe) Funktion \frac{1}{z} keine Stammfunktion auf ℂ^{×} haben!

Den Grund sieht man wie folgt ein: Ein Kandidat für die Stammfunktion wäre der komplexe Logarithmus Log(z) wegen Log′(z) = \frac{1}{z}. Jedoch ist dieser auf der negativen reellen Achse nicht stetig und dann auch nicht komplex differenzierbar. Die Kreislinie trifft aber den Punkt −r, so daß die Voraussetzungen von Satz 10.11 nicht erfüllt sind. ◁

Definition 10.13 Eine offene und zusammenhängende Teilmenge G ⊆ ℂ heißt Gebiet.

Folgerung 10.14 Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet.

i) Eine holomorphe Funktion F : G → ℂ mit F′(z) = 0 für alle z ∈ G ist konstant.

ii) Falls existent, unterscheiden sich zwei Stammfunktionen zu einer stetigen Funktion f : G → ℂ nur um eine Konstante.

Beweis. i) Je zwei Punkte in G können durch eine Kurve γ verbunden werden, längs der das Integral ∫_{γ} dz F′(z) verschwindet. ii) folgt aus i). □

Nach Satz 10.11 können stetige Funktionen mit Stammfunktionen auf Gebieten wegunabhängig integriert werden. Auch die Umkehrung ist richtig, und das verschafft uns die Möglichkeit, eine Stammfunktion wie im Reellen zu gewinnen:

Satz 10.15 Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ stetig. Dann sind äquivalent:

i) f besitzt eine holomorphe Stammfunktion F : G → ℂ mit F′(z) = f(z) für alle z ∈ G.

ii) f kann in G wegunabhängig integriert werden, d.h. für zwei beliebige stückweise stetig differenzierbare Kurven γ_{k} : [α_{k}, β_{k}] → G, k = 1, 2, mit γ_{k}(α_{k}) = a und γ_{k}(β_{k}) = b gilt ∫_{γ_{1}} dz f(z) = ∫_{γ_{2}} dz f(z).

iii) ∫_{γ} dz f(z) = 0 für jede geschlossene stückweise stetig differenzierbare Kurve in G.

Eine Stammfunktion ist dann gegeben durch F (z) = ∫_{a}^{z} dw f(w), womit das Kurvenintegral über eine beliebige Kurve γ : [α, β] → G zwischen dem beliebigen, aber festen Startpunkt γ(α) = a und γ(β) = z bezeichnet wird.

Beweis. i)⇒ii) und i)⇒iii) ergeben sich sofort aus Satz 10.11. ii)⇔iii) folgt nach Aufspalten der geschlossenen Kurve an einem Zwischenpunkt und Orientierungsumkehr einer der Teilkurven.

ii)⇒i) Wegen der Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals ist F (z) = ∫_{a}^{z} dw f(w) für jedes z ∈ G eindeutig definiert. Zu z_{0} ∈ G gibt es eine offene Kugel K_{r}(z_{0}) ⊆ G. Sei z ∈ K_{r}(z_{0}) beliebig, ferner γ_{z} bzw. γ_{z_{0}} eine beliebige Kurve von a nach z bzw. von a nach z_{0}. Sei [0, 1] ∋ t ↦ γ_{0}(t) := z_{0}+(z−z_{0})t ∈ K_{r}(z_{0}) die Gerade von z_{0} nach z. Zusammengesetzt mit dem Weg von a nach z_{0} ergbibt sich ein weiterer Weg von a nach z. Die Wegunabhängigkeit des Integrals führt auf

∫_{γ_{z_{0}}} dw f(w) + ∫_{γ_{0}} dw f(w) = ∫_{γ_{z}} dw f(w) bzw.
F (z_{0}) + ∫_{0}^{1} dt f(z_{0} + (z − z_{0})t)(z − z_{0}) = F (z) .

Es folgt

|\frac{F (z) − F (z_{0})}{z − z_{0}} − f(z_{0})| = | ∫_{0}^{1} dt (f(z_{0} + (z − z_{0})t) − f(z_{0}))|

≤ sup_{t∈[0,1]} |f(z_{0} + (z − z_{0})t) − f(z_{0})| .

Wegen der Stetigkeit von f ist lim_{z→z_{0}} |f(z_{0} + (z − z_{0})t) − f(z_{0})| = 0 für alle t ∈ [0, 1], d.h. F′(z_{0}) = f(z_{0}). □

11 Der Cauchysche Integralsatz

Wir untersuchen in mehreren Teilschritten, ob wir ∫_{γ} dz f(z) = 0 haben für eine stetige Funktion f : G → ℂ und einen geschlossenen Integrationsweg γ. Im ersten Schritt ist der Integrationsweg der Rand eines Dreiecks, und die Funktion f wird sogar holomorph gewählt.

Satz 11.1 (Lemma von Goursat) Es sei U ⊆ ℂ offen, f : U → ℂ holomorph und Δ ein offenes Dreieck mit Δ̄ = Δ ∪ ∂Δ ⊆ U. (Sind a, b, c ∈ U die Eckpunkte von Δ, dann ist ∂Δ = a⃗b ∪ b⃗c ∪ c⃗a mit positivem Umlaufsinn, d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn.) Dann gilt

∫_{∂Δ} dz f(z) = 0 .

Beweis. Durch Verbinden der Seitenmittelpunkte entstehen aus Δ vier kongruente Dreiecke Δ_{a}, Δ_{b}, Δ_{c}, Δ_{m}.

[figure: ⟲; ⟲; ⟲; ⟲; Δ_{a}; Δ_{b}; Δ_{m}; Δ_{c}; a; b; c]

35 Werden diese Dreiecke positiv umlaufen, dann gilt

Preliminary version – 9. Oktober 2017

∫_{∂Δ} dz f(z) = ∫_{∂Δ_{a}} dz f(z) + ∫_{∂Δ_{b}} dz f(z) + ∫_{∂Δ_{c}} dz f(z) + ∫_{∂Δ_{m}} dz f(z) ,

da in der Summe die Kanten von ∂Δ_{m} zweimal in entgegengesetzte Richtung durchlaufen werden. Ist Δ_{1} jenes Teildreieck, für das das Kurvenintegral den betragsmäßig größten Wert hat, dann gilt

| ∫_{∂Δ} dz f(z)| ≤ 4| ∫_{∂Δ_{1}} dz f(z)| .

Das Dreieck Δ_{1} werde erneut in 4 Teildreiecke zerlegt, Δ_{2} sei jenes mit betragsmäßig größtem Kurvenintegral. Durch Wiederholung des Verfahrens entsteht eine Folge Δ = Δ_{0} ⊃ Δ_{1} ⊃ ⋯ ⊃ Δ_{n} von Dreiecken mit

| ∫_{∂Δ} dz f(z)| ≤ 4^{n}| ∫_{∂Δ_{n}} dz f(z)| .

Wegen der Vollständigkeit von ℂ gibt es ein z_{0} ∈ Δ_{n} für alle n. Nach Voraussetzung ist f in z_{0} komplex differenzierbar, d.h. es gibt eine Funktion r : U → ℂ mit

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0}) + (z − z_{0})r(z) mit lim_{z→z_{0}} r(z) = 0 .

Das Polynom f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0}) hat die Stammfunktion (z − z_{0})f(z_{0}) + \frac{1}{2}(z − z_{0})^{2}f′(z_{0}), ist also wegunabhängig integrierbar mit

∫_{∂Δ_{n}} dz (f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0})) = 0 .

Es sei L := L(Δ) der Umfang von Δ. Dann ist L(Δ_{n}) = 2^{−n}L. Wegen z_{0} ∈ Δ_{n} ist |z − z_{0}| ≤ 2^{−n}L für alle z ∈ ∂Δ_{n}. Somit gilt nach Standardabschätzung

| ∫_{∂Δ_{n}} dz f(z)| = | ∫_{∂Δ_{n}} dz (z − z_{0})r(z)|

≤ 2^{−n}L · sup_{z∈∂Δ_{n}} |z − z_{0}||r(z)| ≤ 4^{−n}L^{2} sup_{z∈\overline{Δ_{n}}} |r(z)| .

Es folgt

| ∫_{∂Δ} dz f(z)| ≤ L^{2} sup_{z∈\overline{Δ_{n}}} |r(z)| .

Für n → ∞ geht z → z_{0} und damit lim_{n→∞} sup_{z∈\overline{Δ_{n}}} |r(z)| = 0. Das ist die Behauptung. □

Bemerkung 11.2 Wir hatten in Beispielen gesehen, daß Holomorphie eine sehr viel stärkere Forderung als Stetigkeit ist. Das Lemma von Goursat läßt sich minimal abschwächen. Man benötigt nur f : U → ℂ stetig auf ganz U und holomorph mit Ausnahme endlich vieler Punkte z_{1}, …, z_{N}. Angenommen, z_{0} im Beweis fällt mit einem dieser Punkte zusammen. Dann enthält jedes der Dreiecke Δ_{n} ∋ z_{0} jedoch einen Punkt z_{0}^{∗}, in dem f holomorph ist, und der Beweis mit z_{0}^{∗} verläuft identisch.

Jedoch ist das nur eine scheinbare Abschwächung der Voraussetzungen. Später werden wir zeigen, daß f holomorph in jeden Stetigkeitspunkt z_{1}, …, z_{N} fortgesetzt werden kann.

Bemerkung 11.3 Die Forderung nach Holomorphie (bis auf endlich viele Punkte) gegenüber Stetigkeit sieht harmlos aus, ist aber ganz entscheidend. Betrachten wir die überall stetige, aber nirgends holomorphe Funktion f(z) = |z|^{2} und das Dreieck mit den Eckpunkten 0, 1, i. Die Kurvenstücke (jeweils über [0, 1]) sind γ_{1}(t) = t, γ_{2}(t) = (1 − t) + it, γ_{3}(t) = (1 − t)i. Dann gilt

∫_{∂Δ} dz |z|^{2} = ∫_{0}^{1} dt t^{2} + ∫_{0}^{1} dt ((1 − t)^{2} + t^{2})(i − 1) + ∫_{0}^{1} dt (1 − t)^{2}(−i)

= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}(i − 1) + \frac{1}{3}(−i) = \frac{1}{3}(i − 1) ≠ 0 .

Wir können die Aussagen relativ schnell auf sogenannte Sterngebiete verallgemeinern:

Definition 11.4 Ein Gebiet G ⊆ ℂ heißt Sterngebiet, wenn es ein a ∈ G (das Zentrum) derart gibt, daß mit jedem z ∈ G auch die Verbindungsstrecke [0, 1] ∋ t ↦ γ_{z}(t) := a + (z − a)t vollständig in G liegt.

Satz 11.5 Sei G ein Sterngebiet mit Zentrum a. Für eine stetige Funktion f : G → ℂ sind äquivalent:

i) f besitzt eine holomorphe Stammfunktion F : G → ℂ mit F′(z) = f(z) für alle z ∈ G.

ii) Für jedes Dreieck Δ ⊆ G mit einem Eckpunkt im Zentrum a gilt ∫_{∂Δ} dz f(z) = 0.

Beweis. i)⇒ii) ist Satz 10.15.

ii)⇒i) Definiere F (z) := ∫_{γ_{z}} dw f(w). Dann zeigt eine identische Rechnung wie im Beweis von Satz 10.15, daß F′(z) = f(z). □

In Kombination mit dem Lemma von Goursat folgt:

Folgerung 11.6 (Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete) Sei G ⊆ ℂ ein Sterngebiet und f : G → ℂ holomorph (eventuell bis auf endlich viele Punkte, in denen jedoch stetig). Dann besitzt f auf G eine Stammfunktion, und ∫_{γ} dz f(z) = 0 für jede geschlossene Kurve γ in G. □

Das ist noch nicht die allgemeinste Form, erlaubt jedoch schon viele Beispiele. Zunächst:

Beispiel 11.7 Die geschlitzte Ebene ℂ_{−} = ℂ \ ℝ_{−} ist ein Sterngebiet, in dem jeder Punkt a ∈ ℝ_{+}^{×} als Zentrum gewählt werden kann. ◁

Beispiel 11.8 (Hauptzweig des komplexen Logarithmus) Die Funktion f(z) = \frac{1}{z} ist wegen f′(z) = −\frac{1}{z^{2}} holomorph auf ℂ_{−} und hat deshalb eine Stammfunktion, z.B.

L(z) = ∫_{1}^{z} \frac{dw}{w} := ∫_{γ} \frac{dw}{w} (γ ist beliebige Kurve zwischen 1 und z in ℂ_{−})

Dann ist L(z) holomorph auf ℂ_{−} mit L′(z) = \frac{1}{z} und L(1) = 0.

Betrachte auf ℂ_{−} die holomorphe Funktion f(z) = z exp(−L(z)). Es folgt f′(z) = 0, und da ℂ_{−} ein Gebiet ist, f(z) = f(1) = 1. Somit gilt z = exp(L(z)), d.h. L(z) ist ein komplexer Logarithmus. Wegen L(1) = 0 ∈ S handelt es sich um den Hauptzweig L(z) = Log(z), dessen Holomorphie somit bewiesen ist.

Der Wert Log(z) bestimmt sich durch das Kurvenintegral von \frac{1}{z} längs einer beliebigen Kurve von 1 nach z. Ist z = re^{±iφ} mit 0 ≤ φ < π, so wählen wir die Zusammensetzung

γ = γ_{1} ∪ γ_{2} , γ_{1}(t) = t : [1, r] → ℂ , γ_{2}(t) = re^{±it} : [0, φ] → ℂ

mit γ′_{1}(t) = 1 und γ′_{2}(t) = ±ire^{±it}:

Log(z) = ∫_{1}^{r} dt\frac{1}{t} · 1 + ∫_{0}^{φ} dt\frac{1}{re^{±iφ}} · (±ire^{it}) = ln r ± iϕ ,

in Übereinstimmung mit der elementaren Rechnung. ◁

Der Cauchysche Integralsatz in allgemeinster Form besagt, daß Integrale holomorpher Funktionen über zueinander homotope Kurven identisch sind.

Definition 11.9 Es sei U ⊆ ℂ offen.

i) Zwei stückweise stetig differenzierbare Kurven γ_{0}, γ_{1} : [α, β] → U mit γ_{0}(α) = γ_{1}(α) = a und γ_{0}(β) = γ_{1}(β) = b heißen homotop in U, wenn sie in U stetig ineinander deformiert werden können, d.h. wenn es eine stetige Abbildung H : [α, β] × [0, 1] ↦ H(t, s) ∈ U gibt mit

• H(t, 0) = γ_{0}(t) und H(t, 1) = γ_{1}(t) für alle t ∈ [α, β]

• H(α, s) = a und H(β, s) = b für alle s ∈ [0, 1] ii) Eine geschlossene stückweise stetig differenzierbare Kurve γ : [α, β] → U mit γ(α) = γ(β) = a heißt kontrahierbar in U (oder nullhomotop), wenn sie homotop zum Punkt γ_{0}(t) = a für alle t ∈ [α, β] ist.

iii) U heißt einfach zusammenhängend, wenn U zusammenhängend ist und jede geschlossene Kurve in U kontrahierbar ist.

Ausblick 11.10 Es ist oft nicht leicht, eine Homotopie konkret hinzuschreiben. Vielmehr entwickelt man eine gewisse Erfahrung und entscheidet durch ‘Hinsehen’. Die einfachste Idee wäre H(t, s) = γ_{1}(t) + (1 − s)(γ_{0}(t) − γ_{1}(t)), was zumindest für U = ℂ immer funktioniert. Ist U = ℂ^{×}, so geht es darum, wie oft sich die Kurve um z = 0 ‘herumwindet’. Wir werden das noch genauer diskutieren. Zwei Kreislinien in ℂ^{×} sind homotop, entweder wenn beide z = 0 im Inneren haben oder beide z = 0 nicht im Inneren haben. Im ersten Fall kann man als Homotopielinien die Strahlen mit Mittelpunkt 0 nehmen. Im zweiten Fall muß man die Homotopiekurven um 0 herumführen, was explizit aufzuschreiben schwierig werden kann. Daß γ_{0} = ∂K_{1}(0) und γ_{1} = ∂K_{1}(2) nicht homotop in ℂ^{×} sind, ist anschaulich klar, denn γ_{0} müßte an einer Stelle zerrissen werden, um über z = 0 hinwegzukommen. Dieses Zerreißen ist nicht stetig. Aber konkret zu beweisen, daß man keine Homotopie finden kann, wäre schwierig. Hier würde man umgekehrt vorgehen und die Kurvenintegrale für f(z) = \frac{1}{z} berechnen. Wir wissen bereits ∫_{γ_{0}} \frac{dz}{z} = 2πi (Beispiel 10.4) und ∫_{γ_{1}} \frac{dz}{z} = 0, da wir γ_{1} auf ℂ_{−} beschränken können. Nach dem allgemeinen Cauchyschen Integralsatz können γ_{0}, γ_{1} dann nicht homotop sein. ♢

Der Beweis der Homotopieinvarianz der Kurvenintegrale ist anspruchsvoll. Es wird entscheidend genutzt, daß H([α, β]×[0, 1]) ⊆ U kompakt ist. Wir benötigen im Beweis zwei weitere Eigenschaften kompakter Mengen (die allgemein in metrischen Räumen gelten):

Lemma 11.11 Sei A ⊆ ℂ kompakt und {U_{i}} eine beliebige Überdeckung von A durch offene Mengen. Dann gibt es ein λ > 0 (eine Lebesgue-Zahl der Überdeckung) derart, daß \underline{jede} Teilmenge B ⊆ A mit Durchmesser diam(B) := sup_{z_{1},z_{2}∈B}(|z_{1} − z_{2}|) ≤ λ vollständig in einem U_{i} enthalten ist.

Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an. Dann gibt es zu jedem n ∈ ℕ eine abgeschlossene Kreisscheibe \overline{K_{\frac{1}{1+n}} (z_{n})} ⊆ A, die nicht vollständig in einem U_{i} liegt. Wegen der Kompaktheit von A hat die Folge (z_{n})_{n∈ℕ} der Mittelpunkte eine gegen z ∈ A konvergente Teilfolge (z_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Dieses z liegt in einem U_{j}, und wegen der Offenheit von U_{j} gibt es ein ϵ > 0 mit K_{ϵ}(z) ⊆ U_{j}. Wähle ein N > \frac{1}{ϵ}. Dann gibt es ein K ∈ ℕ, so daß für alle k ≥ K gilt |z − z_{n_{k}}| < ϵ − \frac{1}{N}. Wähle ein n_{k} ≥ N. Dann gilt für jeden Punkt w ∈ \overline{K_{\frac{1}{1+n_{k}}} (z_{n_{k}})}:

|w − z| ≤ |w − z_{n_{k}}| + |z_{n_{k}} − z| ≤ \frac{1}{n_{k} + 1} + ϵ − \frac{1}{N} ≤ \frac{1}{N + 1} + ϵ − \frac{1}{N} < ϵ .

Somit gilt \overline{K_{\frac{1}{1+n}} (z_{n})} ⊆ K_{ϵ}(z) ⊆ U_{j}, Widerspruch. Da jede Teilmenge mit Durch-

messer ≤ d in einer abgeschlossenen Kreisscheibe \overline{K_{d}(z)} liegt, ist das Lemma bewiesen. □

Lemma 11.12 Jede stetige Funktionen f auf einer kompakten Menge A ⊆ ℂ ist gleichmäßig stetig, d.h. zu jedem ϵ > 0 gibt es ein universelles δ > 0, so daß für alle z_{1}, z_{2} ∈ A mit |z_{1} − z_{2}| < δ gilt: |f(z_{1}) − f(z_{2})| < ϵ.

Beweis. Sei ϵ > 0 global vorgegeben. Wegen der Stetigkeit von f gibt es zu jedem Punkt w ∈ A ein δ(w) > 0, so daß |f(z) − f(w)| < \frac{ϵ}{2} für alle z ∈ K_{2δ(w)}(w). Wegen Kompaktheit kann die Überdeckung ⋃_{w∈A} K_{δ(w)}(w) (halbe Radien!) auf eine endliche A ⊆ K_{δ(w_{1})}(w_{1}) ∪ ⋯ ∪ K_{δ(w_{k})}(w_{k}) reduziert werden. Setze δ := min(δ(w_{1}), …, δ(w_{k})).

Seien nun zwei Punkte z_{1}, z_{2} ∈ A mit |z_{1} − z_{2}| < δ gegeben. Der Punkt z_{1} liege in der j-ten Umgebung, z_{1} ∈ K_{δ(w_{j})}(w_{j}). Dann ist |z_{1} − w_{j}| < δ(w_{j}) und |z_{2} −w_{j}| ≤ |z_{2} −z_{1}|+|z_{1} −w_{j}| < δ +δ(w_{j}) < 2δ(w_{j}). Aus der Stetigkeit im Punkt w_{j} folgt:

|f(z_{1}) − f(z_{2})| ≤ |f(z_{1}) − f(w_{j})| + |f(w_{j}) − f(z_{2})| < ϵ

für alle z_{1}, z_{2} ∈ A mit |z_{1} − z_{2}| < δ. □

Satz 11.13 (Cauchyscher Integralsatz in allgemeinster Form) Sei U ⊆ ℂ offen und f : U → ℂ holomorph (eventuell bis auf endlich viele Punkte, in denen jedoch stetig). Dann gilt:

i) Sind γ_{0}, γ_{1} : [α, β] → U homotope stückweise stetig differenzierbare Kurven mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt, dann gilt

∫_{γ_{0}} dz f(z) = ∫_{γ_{1}} dz f(z) .

ii) Für jede in U kontrahierbare stückweise stetig differenzierbare geschlos-

sene Kurve γ : [α, β] → U gilt ∫_{γ} dz f(z) = 0.

iii) Ist U einfach zusammenhängend und γ : [α, β] → U eine beliebige stückweise stetig differenzierbare Kurve von γ(α) = z_{0} nach γ(β) = z, dann ist das Integral

F (z) := ∫_{z_{0}}^{z} dw f(w) = ∫_{γ} dw f(w)

unabhängig von γ und eine holomorphe Stammfunktion zu f, d.h. es gilt F′(z) = f(z).

Beweis. Durch Einschränkung auf die Zusammenhangskomponente, in denen die Kurven verlaufen, können wir annehmen, daß U ein Gebiet ist. Dann folgt aus Satz 10.15, daß alle drei Aussagen äquivalent sind. Damit ist nur i) zu zeigen.

Sei H : [α, β] × [0, 1] eine Homotopie zwischen γ_{0}, γ_{1}. Wähle eine beliebige, aber feste, Überdeckung {U_{i}} der kompakten Menge H([α, β] × [0, 1]) ⊆ U durch offene Kreisscheiben U_{i} ⊆ U, und sei λ die Lebesgue-Zahl dieser Überdeckung. Nach Lemma 11.12 (und Äquivalenz von Normen) gibt es ein ϵ > 0, so daß für alle t, t′ ∈ [α, β] und s, s′ ∈ [0, 1] mit |t − t′| < ϵ und |s − s′| < ϵ folgt: |H(t, s) − H(t′, s′)| < λ. Wähle ein N ∈ ℕ mit N ≥ \frac{1}{ϵ} und betrachte die stetigen Kurven γ_{\frac{k}{N}} (t) := H(t, \frac{k}{N}) mit k = 0, 1, …, N, wobei γ_{0}, γ_{1} sogar stückweise stetig differenzierbar sind. Wähle dann eine Unterteilung α = t_{0} < ⋯ < t_{n} = β mit |t_{j+1}−t_{j}| < ϵ, wobei die Sprungstellen von γ′_{0}(t), γ′_{1}(t) in dieser Menge {t_{j}} liegen. Seien nun

B_{kj} := \begin{cases}γ_{0}([t_{j}, t_{j+1}]) ∪ \{γ_{\frac{1}{N}} (t_{j+1}), γ_{\frac{1}{N}} (t_{j})\} & für k = 0 \\ \{γ_{\frac{k}{N}} (t_{j}), γ_{\frac{k}{N}} (t_{j+1}), γ_{\frac{k+1}{N}} (t_{j+1}), γ_{\frac{k+1}{N}} (t_{j})\} & für 1 ≤ k ≤ N−2 \\ \{γ_{\frac{N−1}{N}} (t_{j}), γ_{\frac{N−1}{N}} (t_{j+1})\} ∪ γ_{1}([t_{j}, t_{j+1}]) & für k = N−1. \end{cases}

je vier Punkte im Fall 1 ≤ k ≤ N − 2 und Teilstücke der Spur von γ_{0}, γ_{1} mit zwei weiteren Punkten für k = 0, N − 1. Nach Konstruktion gilt diam(B_{kj}) < λ, so daß es nach Lemma 11.11 eine offene Kreisscheibe U_{i_{kj}} der Überdeckung gibt mit B_{kj} ⊆ U_{i_{kj}}. Wegen der Konvexität von U_{i_{kj}} liegt mit je zwei Punkten auch ihre Verbindungsstrecke in U_{i_{kj}}. Sei deshalb für 1 ≤ k ≤ N − 2

∂B_{kj} = \overrightarrow{γ_{\frac{k}{N}} (t_{j})γ_{\frac{k}{N}} (t_{j+1})} ∪ \overrightarrow{γ_{\frac{k}{N}} (t_{j+1})γ_{\frac{k+1}{N}} (t_{j+1})} ∪ \overrightarrow{γ_{\frac{k+1}{N}} (t_{j+1})γ_{\frac{k+1}{N}} (t_{j})} ∪ \overrightarrow{γ_{\frac{k+1}{N}} (t_{j})γ_{\frac{k}{N}} (t_{j})}

die geschlossene Kurve gebildet aus den gerichteten Kanten der Vierecke B_{kj}. Für k = 0 und k = N − 1 ersetzen wir die Kanten durch die entsprechenden Abschnitte der Kurven γ_{0}, γ_{1}.

Nach Konstruktion ist ∂B_{kj} eine geschlossene Kurve im Sterngebiet U_{i_{kj}}, auf dem f holomorph ist. Nach Folgerung 11.6 haben wir ∫_{∂B_{kj}} dz f(z) = 0 für alle 0 ≤ k ≤ N − 1 und 0 ≤ j ≤ n − 1 und deshalb in der Summe

0 = ∑_{k=0}^{N−1} ∑_{j=0}^{n−1} ∫_{∂B_{kj}} dz f(z) = ∫_{γ_{0}} dz f(z) − ∫_{γ_{1}} dz f(z) ,

da alle inneren Kanten doppelt, aber in umgekehrter Richtung durchlaufen werden, während sich die äußeren Kanten zusammenfügen zu γ_{0} und zur negativ orientierten Kurve −γ_{1}. □

Der Cauchysche Integralsatz ist zusammen mit Beispiel 10.4 die Grundlage der gesamten Funktionentheorie. Seine Konsequenzen sind grundlegend verschieden zur reellen Dfferentialrechnung. Außerdem erlaubt er bereits die Berechnung komplizierterer reeller Integrale durch Schließen des Integrationswegs im Komplexen.

Beispiel 11.14 In den Übungen wird das Kurvenintegral der auf ganz ℂ holomorphen Funktion f(z) = e^{−z^{2}} über ein Dreieck mit Eckpunkten 0, R, R(1 + ia) berechnet und so auf die Fresnelschen Formeln ∫_{0}^{∞} cos(t^{2})dt = ∫_{0}^{∞} sin(t^{2})dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}} geschlossen. Diese Rechnung kann ein wenig verallgemeinert werden auf f(z) = z^{2s−1}e^{−z^{2}} mit 0 < s < 1. Da die komplexen Potenzen in z = 0 nicht erklärt sind, muß man die Ecke bei 0 durch einen Kreisbogen ersetzen:

[figure: 0; γ_{0}; γ_{1}; ϵ; γ_{2}; γ_{3}; R; R + iaR]

Im Limes ϵ → 0 und R → ∞ erhält man durch die gleiche Rechnung wie in den Übungen für 0 < s < 1

∫_{0}^{∞}dt t^{2s−1} cos(t^{2}) = \frac{1}{2}Γ(s) cos \frac{πs}{2} ,  ∫_{0}^{∞}dt t^{2s−1} sin(t^{2}) = \frac{1}{2}Γ(s) sin \frac{πs}{2} ,
∫_{0}^{∞}dx x^{s−1} cos x = Γ(s) cos \frac{πs}{2} ,  ∫_{0}^{∞}dx x^{s−1} sin x = Γ(s) sin \frac{πs}{2} .

Dabei ist Γ(z) die auf ℂ \ {0, −1, −2, … } definierte Gamma-Funktion, die uns noch beschäftigen wird. Für Re(s) > 0 hat die Gamma-Funktion eine Darstellung als uneigentliches Riemann-Integral, Γ(s) = ∫_{0}^{∞} dt t^{s−1}e^{−t}. Im Sinus-Integral existiert der Limes s → 0 mit ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} = \frac{π}{2}. ◁

12 Die Cauchysche Integralformel

Satz 12.1 (Cauchysche Integralformel) Es sei f holomorph in einer offenen Teilmenge U ⊆ ℂ, welche die abgeschlossene Kreisscheibe \overline{K_{r}(a)} mit Mittelpunkt a ∈ U und Radius r enthält. Der (orientierte) Umfang ∂K_{r}(a) der Kreisscheibe ist die Kurve γ_{r}(t) = a + re^{it} mit t ∈ [0, 2π]. Dann gilt für jeden Punkt z ∈ K_{r}(a) im Inneren des Kreises

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ_{r}} dw \frac{f(w)}{w − z} .

Beweis. Zu z ∈ K_{r}(a) gibt es ein ϵ > 0, so daß die abgeschlossene Kreisscheibe \overline{K_{ϵ}(z)} um z mit Radius ϵ im Inneren von K_{r}(a) liegt. Sei γ_{ϵ}(t) = z + ϵe^{it} mit t ∈ [0, 2π] der Umfang. Der entstehende (asymmetrische) Kreisring KR_{r,ϵ} := \overline{K_{r}(a)} \ K_{ϵ}(z) werde aufgeschnitten entlang einer beliebigen (stückweise differenzierbaren) Kurve σ ∈ KR_{r,ϵ}.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ×; ×; a; z; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; σ; γ_{r}; γ_{ϵ}]

Dann ist \frac{f(w)}{w−z} bezüglich w holomorph in einer Umgebung von KR_{r,ϵ}, andererseits ist die Kurve σ ∪ γ_{ϵ} ∪ (−σ) homotop zu γ_{r}. Da sich die Kurvenintegrale über σ und (−σ) wegheben, gilt nach Cauchyschem Integralsatz 11.13

∫_{γ_{r}} dw \frac{f(w)}{w − z} = ∫_{γ_{ϵ}} dw \frac{f(w)}{w − z} = ∫_{γ_{ϵ}} dw \frac{f(w) − f(z)}{w − z} + f(z) ∫_{γ_{ϵ}} dw \frac{1}{w − z} .

Die linke Seite ist unabhängig von ϵ, also können wir den Limes ϵ → 0 betrachten. Da f in einer Umgebung von z komplex differenzierbar ist, ist \frac{f(w)−f(z)}{w−z} auf \overline{K_{ϵ}(z)} beschränkt. Da der Umfang L(γ_{ϵ}) mit ϵ gegen 0 geht, ist lim_{ϵ→0} ∫_{γ_{ϵ}} dw \frac{f(w)−f(z)}{w−z} = 0. Die Cauchysche Integralformel folgt nun aus dem zentralen Beispiel 10.4 unter Berücksichtigung der Verschiebung γ_{ϵ}(t) − z = ϵe^{it}, die auf ∫_{γ_{ϵ}} dw \frac{1}{w−z} = 2πi führt. □

Man sieht im Beweis sofort, daß wir die Kreisline γ_{r} durch eine beliebige andere zu γ_{r} homotope Kurve ersetzen dürfen. Diese Verallgemeinerung nehmen wir erst im Residuensatz vor. Über die Cauchyche Integralformel lassen sich bereits einfache Kurvenintegrale berechnen.

Beispiel 12.2 Sei γ_{r}(t) = re^{it}, t ∈ [0, 2π] und r ∈ {1, 3}. Dann gilt nach Partialbruchzerlegung

∫_{γ_{r}} dw \frac{exp(w)}{w^{2} + 2w} = ∫_{γ_{r}} dw \frac{exp(w)}{w(w + 2)} = ∫_{γ_{r}} dw \frac{exp(w)}{2w} − ∫_{γ_{r}} dw \frac{exp(w)}{2(w + 2)} .

Für r = 3 liegen z = 0 und z = −2 im Inneren des Kreises K_{3}(0), so daß wir ∫_{γ_{3}} dw \frac{exp(w)}{w^{2}+2w} = 2πi(\frac{exp(0)}{2} − \frac{exp(−2)}{2}) = iπ(1 − e^{−2}) erhalten. Für r = 1 ist \frac{exp(w)}{2(w+2)} holomorph in einer Umgebung von \overline{K_{1}(0)}, so daß das Teilintegral nach

Cauchyschem Integralsatz verschwindet. Es verbleibt ∫_{γ_{1}} dw \frac{exp(w)}{w^{2}+2w} = πi. ◁

Der Mittelpunkt des Integrationskreises muß nicht mit der Nullstelle des Zählers zusammenfallen. Sind beide gleich, so ergibt sich

Folgerung 12.3 (Mittelwertsatz) Unter den gleichen Voraussetzungen wie in der Cauchyschen Integralformel gilt f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} dt f(z + r e^{it}).

Beweis. Setze a = z und beachte γ′_{r}(t) = ir e^{it} = i(γ_{r}(t) − z). □

Entscheidend für die gesamte Funktionentheorie ist die Tatsache, daß man den Wert f(z) durch ein Kurvenintegral berechnen kann, wobei die Kurve außerhalb von problematischen Punkten der Funktion gewählt werden kann. Außerdem geht der Punkt z im Kurvenintegral gar nicht in die Funktion f ein, sondern tritt nur im Faktor \frac{1}{w−z} auf. Dadurch lassen sich bemerkenswerte Aussagen gewinnen.

Satz 12.4 (Potenzreihenentwicklung) Eine holomorphe Funktion f auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℂ kann in jeder offenen Kreisscheibe K_{ρ}(a) ⊆ U in eine Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} entwickelt werden. Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der Abstand des Mittelpunktes a zum Rand von U. Die Entwicklungskoeffizienten sind gegeben durch die Integrale

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dw \frac{f(w)}{(w − a)^{n+1}}

für einen beliebigen Radius 0 < r < ρ. Ist |f(w)| ≤ M für alle w ∈ ∂K_{r}(a), dann können die Koeffizienten abgeschätzt werden durch |a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}}.

Beweis. Für z ∈ K_{r}(a) mit r < ρ und w ∈ ∂K_{r}(a) gibt es eine reelle Zahl 0 < q < 1, so daß |\frac{z−a}{w−a}| ≤ 1 − q. Dann gilt

\frac{f(w)}{w − z} = \frac{f(w)}{w − a} · \frac{1}{1 − \frac{z−a}{w−a}} = \frac{f(w)}{w − a} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{z − a}{w − a})^{n} ,

wobei die Reihe, die durch ∑_{n=0}^{∞}(1 − q)^{n} = \frac{1}{q} majorisiert wird, gleichmäßig konvergent ist. Damit vertauschen Summe und Integral, und es gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dw \frac{f(w)}{w − z} = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dw \frac{f(w)}{(w − a)^{n+1}} )(z − a)^{n} .

Die Abschätzung ergibt sich aus |\frac{f(w)}{(w−a)^{n+1}} | ≤ \frac{M}{r^{n+1}} für alle w ∈ ∂K_{r}(a) und der Länge 2πr des Randes. □

Als wichtige Konsequenz ergibt sich:

Folgerung 12.5 Jede holomorphe Funktion f : U → ℂ ist beliebig oft komplex differenzierbar (Satz von Goursat), alle Ableitungen f^{(k)} sind holomorph und gegeben durch

f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dw \frac{f(w)}{(w − z)^{k+1}} ,  z ∈ K_{r}(a) .  □

Diese Aussage ist grundlegend verschieden von der reellen Differentialrechnung: Für eine reell differenzierbare Funktion muß die Ableitung nicht einmal stetig sein (z.B. f(x) = x^{2} sin \frac{1}{x}). Selbst wenn eine Funktion beliebig oft reell differenzierbar ist, muß sie nicht in eine Potenzreihe entwickelbar sein (z.B. f(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} in x = 0).

Umgekehrt gelesen können wir nun (eventuell nach Partialbruchzerlegung) auch Funktionen mit mehrfachen Nullstellen im Nenner integrieren:

Beispiel 12.6 Mit f(z) = sin(z) gilt

∫_{∂K_{1}(1)} dw \frac{sin(w)}{(w − 1)^{2}} = \frac{2πi}{1!}f′(1) = 2πi cos(1) .  ◁

Der folgende Satz ist eine Art Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes:

Satz 12.7 (Morera) Sei U ⊆ ℂ offen und f : U → ℂ (nur!) stetig. Für jedes Dreieck Δ mit Δ̄ ⊆ U gelte ∫_{∂Δ} dz f(z) = 0. Dann ist f sogar holomorph auf U.

Beweis. Nach gleicher Überlegung wie zuvor (z.B. Satz 10.15) konstruiert man in einer offenen Kugel K_{ϵ}(z_{0}) mittels F (z) = ∫_{z_{0}}^{z} dw f(w) (das Wegintegral in F (z) verläuft entlang der Strecke von z_{0} nach z) eine holomorphe Stammfunktion F : U → ℂ mit F′(z) = f(z). Nach Folgerung 12.5 existiert dann aber f′(z) = F′′(z). ◁

Insbesondere ist eine stetige und bis auf endlich viele Punkte holomorphe Funktion f : U → ℂ nach Lemma von Goursat und Satz von Morera sogar auf ganz U holomorph.

Satz 12.8 Ist f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} eine in K_{R}(z_{0}) konvergente Potenzreihe, dann kann f um jeden Punkt w ∈ K_{R}(z_{0}) in eine Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z− w)^{n} entwickelt werden. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist mindestens R −

|w − z_{0}|, und es gilt b_{n} = ∑_{k=n}^{∞} \binom{k}{n}a_{k}(w − z_{0})^{k−n}.

Beweis. f ist holomorph in w ∈ K_{R}(z_{0}) und deshalb in eine Potenzreihe entwickelbar. Der Konvergenzradius folgt aus Satz 12.4, sowie

b_{n} = \frac{1}{n!}f^{(n)}(w) = \frac{1}{n!} ∑_{k=n}^{∞} a_{k}k(k − 1) ⋯ (k − n + 1)(w − z_{0})^{k−n} .  □

Oft ist der Konvergenzradius der umentwickelten Reihe größer als R−|w −z_{0}|, so daß die umentwicklete Reihe die Funktion f über K_{R}(z_{0}) hinaus fortsetzt. Man spricht dann von einer analytischen Fortsetzung von f.

Beispiel 12.9 Es sei f(z) = ∑_{k=0}^{∞} z^{k} mit Konvergenzradius R = 1. Wir entwickeln f um w = −\frac{1}{2}. Innerhalb des Konvergenzkreises ist

f(z) = \frac{1}{1 − z} = \frac{1}{\frac{3}{2} − (z + \frac{1}{2})} = \frac{2}{3} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{2}{3}(z + \frac{1}{2}))^{n} .

Die Reihe konvergiert für |z + \frac{1}{2}| < \frac{3}{2} und wird damit auf einen größeren Kreis analytisch fortgesetzt. ◁

Eine komplexe Funktion f, die überall auf ℂ definiert und holomorph ist, heißt ganze Funktion. Nach Satz 12.4 gibt es für eine ganze Funktion f die Darstellung f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit Konvergenzradius ∞.

Satz 12.10 (Liouville) Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.

Beweis. Ist |f| ≤ M auf ℂ, dann erfüllen die Entwicklungskoeffizienten nach Satz 12.4 die Abschätzung |a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}} für beliebiges r > 0. Also ist a_{n} = 0 für alle n ≥ 1 und f(z) = a_{0}. □

Der Satz von Liouville hat kein Analogon in der reellen Differentialrechnung. Z.B. ist f(x) = sin x beliebig oft differenzierbar auf ℝ, beschränkt, und nichtkonstant.

Satz 12.11 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ eine Nullstelle.

Beweis. Angenommen, das Polynom P habe keine Nullstelle, dann ist \frac{1}{P} holomorph auf ganz ℂ. Außerdem ist \frac{1}{P (z)} → 0 für |z| → ∞, d.h. \frac{1}{P (z)} ist beschränkt. Nach dem Satz von Liouville ist \frac{1}{P} dann konstant, also wäre auch P konstant. Widerspruch. □

Nach Abdividieren der Nullstellen läßt sich somit jedes komplexe Polynom P (z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k} vom Grad n, normiert auf a_{n} = 1, faktorisieren in P (z) = ∏_{i=1}^{n}(z−b_{i}).

Der Satz von Liouville hat folgende Verallgemeinerung:

Satz 12.12 Für eine ganze Funktion f : ℂ → ℂ gelte |f(z)| ≤ a|z|^{d} + b für ein d ∈ ℕ und Konstanten a, b > 0. Dann ist f ein Polynom vom Grad ≤ d.

Beweis. Es gilt f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit Konvergenz für alle z ∈ ℂ. Für alle w ∈ K_{r}(0), mit r > 0 beliebig, gilt die Abschätzung |f(w)| ≤ ar^{d} + b und dann nach Satz 12.4 |a_{n}| ≤ ar^{d−n} + br^{−d}. Somit a_{n} = 0 für alle n > d. □

13 Struktursätze

13.1 Nullstellen

Definition 13.1 Sei f : U → ℂ holomorph. Ein Punkt z_{0} ∈ U heißt k-fache Nullstelle von f, falls 0 = f(z_{0}) = f′(z_{0}) = ⋯ = f^{(k−1)}(z_{0}) und f^{(k)}(z_{0}) ≠ 0.

Nach dem Satz über implizite Funktionen (im Reellen) ist die holomorphe Funktion f in einer Umgebung einer einfachen Nullstelle z_{0} (allgemeiner: jedes z_{0} mit f′(z_{0}) ≠ 0) diffeomorph. Das bleibt auch im Komplexen richtig: f : U → ℂ ist in z_{0} lokal biholomorph, d.h. es gibt eine offene Umgebung U_{0} ⊆ U von z_{0}, so daß f : U_{0} → V_{0} := f(U_{0}) bijektiv (und holomorph) ist mit holomorpher Umkehrfunktion. Deren Ableitung ist, wie üblich, (f^{−1})′(f(z)) = \frac{1}{f′(z)}.

Liegt in z_{0} eine mehrfache (k > 1) Nullstelle vor, so kann f in z_{0} nicht bijektiv sein. Genauer liegt (wie schon bei den Einheitswurzeln) eine k-fache Mehrdeutigkeit vor. Zunächst konstruiert man eine Wurzel:

Satz 13.2 Sei f : U → ℂ holomorph mit k > 1-facher Nullstelle z_{0} ∈ U. Dann gibt es eine auf einer Umgebung U_{0} ⊆ U von z_{0} biholomorphe Funktion h mit einfacher Nullstelle in z_{0} und f(z) = (h(z))^{k} für alle z ∈ U_{0}.

Beweis. f läßt sich in einer Umgebung von z_{0} in eine Potenzreihe enwickeln, die erst in k-ter Potenz beginnt:

f(z) = ∑_{n=k}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} = (z − z_{0})^{k}g(z) mit g(z_{0}) ≠ 0 .

Gegebenenfalls nach Verkleinerung der Umgebung gilt (wegen Stetigkeit) g(z) ≠ 0 für alle z ∈ U_{0}. Nach einer Übungsaufgabe (Blatt 6, Aufgabe 1b) gibt es eine holomorphe Funktion H : U_{0} → ℂ mit H^{k} = g und H(z) ≠ 0. Setze h(z) = (z − z_{0})H(z). □

Offenbar gibt es neben h(z) = h_{0}(z) genau die weiteren Lösungen h_{l}(z) = h(z)e^{\frac{2πli}{k}} mit l = 1, 2, …, k −1 von (h_{l}(z))^{k} = f(z). Zunächst könnte l von Punkt zu Punkt variieren; für eine holomorphe (insbesondere stetige) Lösung h_{l}(z) muß l aber konstant auf jeder Zusammenhangskomponente sein.

Satz 13.3 Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, f : G → ℂ holomorph mit k ≥ 1-facher Nullstelle z_{0} ∈ G. Dann gibt es zu jedem genügend kleinen ϵ > 0 eine Umgebung U_{ϵ} von z_{0}, die durch f auf K_{ϵ}(0) abgebildet wird, wobei jedes w ∈ K_{ϵ}(0) \ {0} genau k-fach und 0 genau einmal (nämlich in z_{0}) angenommen wird.

Beweis. Nach Satz 13.2 gibt es in einer Umgebung von z_{0} eine Darstellung f(z) = (h(z))^{k} (trivialerweise für k = 1) mit h holomorph und mit einfacher Nullstelle z_{0}. Somit ist h lokal biholomorph, d.h. es gibt offene Umgebungen U_{0} von z_{0} und V_{0} von 0 = h(z_{0}), so daß die eingeschränkte Abbildung h : U_{0} → V_{0} bijektiv und holomorph ist mit h^{−1} : V_{0} → U_{0} holomorph. Für ein genügend kleines ϵ > 0 ist K \sqrt[k]{ϵ}(0) ⊆ V_{0}. Das Urbild U_{ϵ} := h^{−1}(K \sqrt[k]{ϵ}(0) hat die gewünschten Eigenschaften: h(U_{ϵ}) = K \sqrt[k]{ϵ}(0), somit f(U_{ϵ}) = (h(K \sqrt[k]{ϵ}(0)))^{k} = K_{ϵ}(0). Wir betrachten die Kreissektoren W_{l} := \{w ∈ K \sqrt[k]{ϵ}(0) \ \{0\} : \frac{2πl}{k} ≤ arg(w) < \frac{2π(l+1)}{k}\} mit l ∈ {0, 1, …, k − 1}. Dann ist h^{−1} bijektiv auf jedem W_{l}, aber jedes W_{l} wird unter w_{l} ↦ w_{l}^{k} auf ganz K_{ϵ}(0) \ {0} abgebildet. Somit hat f(z) = w für w ∈ K_{ϵ}(0) \ {0} genau k Urbilder in U_{ϵ}. Wegen h(z_{0}) = 0 und h bijektiv ist z_{0} die einzige Lösung von h(z) = 0, und dann von h(z)^{n} = 0 auf U_{ϵ}. □

13.2 Identitätssatz und Gebietstreue

Holomorphe Funktionen erfüllen folgenden Satz 13.4 (Identitätssatz) Es sei G ⊆ ℂ ein Gebiet. Dann sind für zwei holomorphe Funktionen f, g : G → ℂ äquivalent:

i) f = g

ii) Die Identitätsmenge {w ∈ G : f(w) = g(w)} hat einen Häufungspunkt in G.

iii) Es gibt ein z_{0} ∈ G, so daß f^{(k)}(z_{0}) = g^{(k)}(z_{0}) für alle k ∈ ℕ.

Beweis. i)⇒ii) ist klar.

ii)⇒iii) Für h = f − g hat die Nullstellenmenge von h einen Häufungspunkt z_{0} ∈ G. Angenommen, es gäbe ein k ∈ ℕ mit h^{(k)}(z_{0}) ≠ 0, und sei n das Minimum dieser k. Wegen Potenzreihenentwicklung ist h(z) = (z − z_{0})^{n}h_{n}(z) mit h_{n}(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} und h_{n}(z_{0}) ≠ 0. Wegen der Stetigkeit von h_{n} gilt dann auch h_{n}(z) ≠ 0 für alle z aus einer ϵ-Umgebung von z_{0}, im Widerspruch zur Voraussetzung, daß z_{0} Häufungspunkt der Nullstellenmenge ist.

iii)⇒i) Es sei h = f −g und S_{k} := {w ∈ G : h^{(k)}(w) = 0}. Als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist S_{k} abgeschlossen in G. Da der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen wieder abgeschlossen ist, ist S := ⋂_{k=0}^{∞} S_{k} abgeschlossen in G. Andererseits ist S auch offen in G, denn für z_{1} ∈ S ist die Potenzreihenentwicklung von h in einer beliebigen offenen Kreisscheibe K_{ϵ}(z_{1}) ⊆ G die Nullreihe. Damit verschwinden sämtliche Ableitungen h^{(k)}(z) für alle z ∈ K_{ϵ}(z_{1}), also ist K_{ϵ}(z_{1}) ⊆ S. Da G zusammenhängend ist, folgt S = G. □

Bemerkenswert ist, daß f = g in ganz G aus zwei entgegengesetzten Bedingungen folgt: Aus der Gleichheit aller Ableitungen an nur einem Punkt sowie aus der Gleichheit an genügend vielen Punkten in G. Das ist grundlegend verschieden vom reellen Fall. Für die Funktionen f(x) = 0 und g(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} sind in x = 0 alle Ableitungen gleich, aber offenbar ist f ≠ g. Als wichtige Konsequenz ergibt sich, daß holomorphe Funktionen f, g auf einem Gebiet G, die auf I ⊆ ℝ (also als reelle Funktionen) übereinstimmen, bereits auf ganz G identisch sind.

Beispiel 13.5 Für den komplexen Logarithmus gilt L(1 + z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k+1} z^{k+1} für alle z ∈ K_{1}(0), denn 1 + z ∈ ℂ_{−}, und die Gleichheit gilt auf dem reellen Intervall ]−1, 1[. ◁

Beispiel 13.6 Man bestimme alle in einem Gebiet G ∋ \frac{1}{2} definierten Funktionen f : G → ℂ mit f(\frac{n+1}{2n+1}) = \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ^{×}. Setze z_{n} = \frac{n+1}{2n+1}, dann ist (2n+1)z_{n} = n + 1, also z_{n} − 1 = n(1 − 2z_{n}) und schließlich \frac{1}{n} = \frac{1−2z_{n}}{z_{n}−1} . Somit stimmt f(z) mit \frac{1−2z}{z−1} überein auf einer Teilmenge mit Häufungspunkt. Nach Identitätssatz ist f(z) = \frac{1−2z}{z−1} die einzige Lösung. ◁ Satz 13.7 (von der Gebietstreue) Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet (offen, nichtleer, zusammenhängend) und f : G → ℂ holomorph und nicht konstant. Dann ist auch f(G) ⊆ ℂ ein Gebiet.

Beweis. Da f stetig ist, ist mit G auch f(G) zusammenhängend (und wie G nicht leer). Verbleibt zu zeigen, daß f(G) offen ist. Sei w_{0} = f(z_{0}) ∈ f(G) beliebig. Da f nicht konstant ist, hat F (z) := f(z)−w_{0} in z_{0} eine Nullstelle endlicher Ordnung (sonst wäre F = 0 nach Identitätssatz und damit f konstant). Sei also z_{0} eine kfache Nullstelle, dann gibt es nach Satz 13.3 ein ϵ > 0 und eine Umgebung U_{ϵ}(z_{0}) derart, daß F (U_{ϵ}(z_{0})) = K_{ϵ}(0) ist. Nach Verschiebung folgt f(U_{ϵ}(z_{0})) = K_{ϵ}(w_{0}), und f(G) ist offen. □

Eine vergleichbare Aussage im Reellen wäre falsch. Beispielsweise ist sin(]0, 2π[) = [−1, 1] kein Gebiet.

Folgerung 13.8 Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, f : G → ℂ holomorph mit i) Re f oder ii) Im f oder iii) |f| konstant. Dann ist f selbst konstant.

Beweis. In allen Fällen ist f(G) kein Gebiet. □

Die Aussage ließe sich auch über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen beweisen.

Folgerung 13.9 Sei f : G → ℂ holomorph und g holomorph in einer Umgebung von f(G). Ist g ∘ f konstant auf G, so ist schon f oder g konstant.

Beweis. Ist f nicht konstant, dann ist f(G) ein Gebiet. Also muß g konstant sein. □

Wegen Gebietstreue liegt Biholomorphie allein unter Annahme der Injektivität vor:

Satz 13.10 Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph und injektiv. Dann gilt f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ G, d.h. f : G ↦ f(G) ist biholomorph.

Beweis. Die holomorphe Funktion f′ kann nicht identisch Null sein, da sonst f konstant und nicht injektiv. Also (Identitätssatz) liegen alle Nullstellen von f′ diskret (ohne Häufungspunkt). Die Abbildung f : G → f(G) ist stetig, bijektiv mit stetiger Umkehrfunktion f^{−1} = g. Denn ist U ⊆ G offen, dann ist nach Gebietstreue f(U) = g^{−1}(U) ⊆ f(G) offen, und g = f^{−1} ist stetig.

Sei A = {z ∈ G : f′(z) = 0} die Nullstellenmenge von f′. Dann ist f : G \ A ↦ f(G) \ f(A) biholomorph, d.h. f^{−1} : f(G) → G ist stetig und außerhalb f(A) holomorph. Wegen Stetigkeit kann auch f(A) keine Häufungspunkte haben. Damit gibt es in jedem abgeschlossenen Dreieck Δ̄ ⊆ f(G) nur endlich viele Punkte, in denen f^{−1} stetig, aber nicht holomorph ist. Nach dem Lemma von Goursat gilt dennoch ∫_{∂Δ} dz f^{−1}(z) = 0, so daß nach Satz von Morera f^{−1} sogar global holomorph ist auf ganz f(G), mit (f^{−1})′(f(z)) = \frac{1}{f′(z)} für alle z ∈ G. Somit ist A = ∅. □

Im Reellen reicht Bijektivität nicht, wie das Beispiel der differenzierbaren und injektiven Funktion f(x) = x^{3} zeigt: Hier ist f′(0) = 0, und die Umkehrfunktion ist in 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

Bilder einfach zusammenhängender Mengen (jede geschlossene Kurve ist kontrahierbar) unter holomorphen Abbildungen müssen nicht wieder einfach zusammenhängend sein, wie das Beispiel exp : ℂ → ℂ^{×} zeigt. Man braucht (und es genügt) Injektivität sowie folgende topologische Beobachtung:

Lemma 13.11 Ein Gebiet G ⊆ ℂ ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn ∫_{γ} dz f(z) = 0 für jede holomorphe Funktion f : G → ℂ und jede geschlossene Kurve γ : [α, β] → G.

Beweisskizze. Zu zeigen bleibt: Aus ‘nicht einfach zusammenhängend’ folgt: Es gibt f, γ mit nichtverschwindendem Kurvenintegral. Jede geschlossenen Kurve γ : [α, β] → G ist in ℂ kontrahierbar, aber eine entsprechende Homotopie führt notwendig über einen Punkt z_{0} ∈ ℂ \ G. Dann ist γ auch in ℂ \ {z_{0}} nicht kontrahierbar, läßt sich aber deformieren in einen Kreis mit Mittelpunkt z_{0}, der (n ≥ 1)-mal um z_{0} herumläuft. Man rechnet nach (wird später präzisiert): ∫_{γ} \frac{dz}{z−z_{0}} = ±2πin. Die linke Seite kann wahlweise in G oder ℂ \ \{z_{0}\} betrachtet werden. □

Satz 13.12 Ein Gebiet G ⊆ ℂ sei einfach zusammenhängend. Ist F : G → F (G) ⊆ ℂ holomorph und bijektiv, dann ist das Gebiet F (G) ebenfalls einfach zusammenhängend.

Beweis. Sei f : F (G) → ℂ holomorph, dann ist (f ∘ F)F′ holomorph auf G, so daß nach Cauchyschem Integralsatz jedes Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve γ : [α, β] → G mit γ(α) = γ(β) verschwindet. Nach Definition des Kurvenintegrals und Kettenregel gilt

0 = ∫_{γ} dz (f ∘ F (z))F′(z) = ∫_{α}^{β} dt f(F (γ(t)))F′(γ(t))γ′(t) = ∫_{F (γ)} dw f(w) .

Wegen Bijektivität kann für F (γ) jede geschlossene Kurve in f(G) gewählt werden, und f(G) ist einfach zusammenhängend. □

13.3 Maximumprinzip

Satz 13.13 Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet. Eine holomorphe Funktion nehme auf G ein (globales oder lokales) betragsmäßiges Maximum an, d.h. es gibt ein z_{0} ∈ G mit |f(z_{0})| ≥ |f(z)| für alle z ∈ G bzw. alle z einer Umgebung von z_{0}. Dann ist f konstant.

Beweis. Wäre f nicht konstant, dann enthält f(G) wegen Gebietstreue eine offene Kugel K_{ϵ}(f(z_{0})), in der es |f(z)| > |f(z_{0})| gibt, Widerspruch.

Jedes lokale Maximum ist globales Maximum in einer genügend kleinen Kugel K_{ϵ}(z_{0}), in der f dann konstant ist. Nach Identitätssatz ist f dann auf ganz G konstant. □

In den Übungen soll ein direkter Beweis des Maximumprinzips geführt werden. Außerdem werden Maxima auf dem Rand diskutiert, falls sich f stetig auf Ḡ fortsetzen läßt.

Eine vergleichbare Aussage im Reellen wäre falsch. Beispielsweise hat e^{−x^{2}} in jedem offenen Intervall ]−R, R[ ein betragsmäßiges Maximum.

Satz 13.14 (Minimumprinzip) Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet. Eine holomorphe und nichtkonstante Funktion nehme in a ∈ G ein (globales oder lokales) betragsmäßiges Minimum an. Dann ist f(a) = 0.

Beweis. Wäre f(a) ≠ 0, dann ist \frac{1}{f} holomorph auf G und nimmt in a ein betragsmäßiges Maximum an. Widerspruch zu f nichtkonstant. □

Hieraus ergibt sich ein weiterer kurzer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Ein Polynom muß nach Extremwertsatz in jeder abgeschlossenen Kreisscheibe \overline{K_{R}(0)} ein betragsmäßiges Minimum haben. Ist der Grad des Polynoms ≥ 1 und R genügend groß, so kann dieses Minimum nicht auf dem Rand liegen; nach Minimumprinzip ist es gleich 0.

Eine vergleichbare Aussage im Reellen wäre falsch. Beispielsweise hat 1 + x^{2} in jedem offenen Intervall ]−R, R[ ein betragsmäßiges Minimum ≠ 0.

Eine weitere Anwendung betrifft Abbildungen von K_{1}(0) in sich selbst:

Satz 13.15 Sei f : K_{1}(0) → K_{1}(0) holomorph mit f(0) = 0. Dann gilt: i) |f(z)| ≤ |z| für alle z ∈ K_{1}(0) (Schwarzsches Lemma).

ii) f′(0) ≤ 1.

iii) Gilt Gleichheit, d.h. |f(a)| = |a| für ein a ∈ K_{1}(0), dann ist f eine Drehung: f(z) = ζz für ein ζ ∈ ℂ mit |ζ| = 1.

Beweis. i)+ii) f läßt sich um 0 in eine Potenzreihe entwickeln mit Konvergenzradius ≥ 1. Der Koeffizient a_{0} verschwindet, so daß g(z) := \frac{f(z)}{z} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n+1}z^{n}. Sei 0 < r < 1. Wegen |f(z)| < 1 gilt |g(z)| < \frac{1}{r} zunächst für alle z ∈ ℂ mit |z| = r, nach Maximumprinzip auch für alle z ∈ ℂ mit |z| ≤ r. Im Limes r → 1 entsteht |g(z)| ≤ 1 und dann |f(z)| ≤ |z| und g(0) = f′(0) ≤ 1.

Ist |f(a)| = |a|, dann nimmt |g(a)| = 1 das Maximum an. Somit ist g konstant und f(z) = gz. □

Wir können nun die biholomorphen (f bijektiv und f, f^{−1} holomorph) Selbstabbildungen des Einheitskreises vollständig beschreiben:

Satz 13.16 Sei f : K_{1}(0) → K_{1}(0) biholomorph. Dann gilt f(z) = ζ \frac{z−a}{āz−1} für ein a ∈ K_{1}(0) und ein ζ ∈ ℂ mit |ζ| = 1.

Beweis. Die Abbildung f_{a}(z) := \frac{z−a}{āz−1} ist wegen |āz| < 1 holomorph auf K_{1}(0). Wegen

|āz − 1|^{2} = 1 − āz − z̄a + |a|^{2}|z|^{2} = \underbrace{(1 − |a|)^{2}(1 − |z|)^{2}}_{>0} +|z − a|^{2}  (*)

gilt |z−a| < |āz−1|, d.h. f_{a} : K_{1}(0) → K_{1}(0) ist eine holomorphe Selbstabbildung des Einheitskreises. Sie erfüllt

f_{a}(f_{a}(z)) = \frac{f_{a}(z) − a}{āf_{a}(z) − 1} = \frac{\frac{z−a}{āz−1} − a}{ā\frac{z−a}{āz−1} − 1} = \frac{z − |a|^{2}z}{−|a|^{2} + 1} = z .

Somit ist f_{a} bijektiv mit f_{a}^{−1} = f_{a} und dann auch biholomorph.

Setze für die gegebene biholomorphe Abbildung a := f^{−1}(0) und betrachte g := f ∘ f_{a}. Dann ist auch g : K_{1}(0) → K_{1}(0) biholomorph mit g(0) = f(a) = 0. Wegen |g(z)| ≤ |z| = |g^{−1}(g(z)| ≤ |g(z)| ist |g(z)| = |z| und dann g(z) = ζz, also f(z) = f ∘ f_{a}(f_{a}(z)) = g(f_{a}(z)) = ζf_{a}(z). □

Bemerkung 13.17 Ein wichtiges Theorem der Topologie ist der Browersche Fixpunktsatz, nach dem jede stetige Abbildung f : \overline{K_{1}(0)} → \overline{K_{1}(0)} (nicht notwendig bijektiv!) einen Fixpunkt hat, f(z_{0}) = z_{0} für ein z_{0} ∈ \overline{K_{1}(0)}. Das Theorem verallgemeinert sich auf stetige Abbildungen f : K → K für eine konvexe (homöomorph zu \overline{K_{1}(0)} genügt) kompakte Teilmenge K ⊆ ℝ^{n}.

Wir fragen nach Fixpunkten z_{0} = ζ \frac{z_{0}−a}{āz_{0}−1} ∈ K_{1}(0), also āz_{0}^{2}−(1+ζ)z_{0}+ζa = 0. Sei zunächst a = 0. Für ζ = −1 ist f die Identität f(z) = z, und jeder Punkt ist Fixpunkt. Für ζ ≠ −1 ist der Mittelpunkt z_{0} = 0 die einzige Lösung. Ist a ≠ 0, dann gibt es zwei Lösungskandidaten z_{1}, z_{2} mit z_{1}z_{2} = \frac{ζa}{|a|} (vom Betrag 1). Somit folgt: Entweder gibt es genau einen Fixpunkt z_{0} ∈ K_{1}(0), oder beide Kandidaten z_{1}, z_{2} liegen auf dem Rand des Einheitskreises. Im letzten Fall hat f : K_{1}(0) → K_{1}(0) gar keinen Fixpunkt. Hier kann man a ∈ K_{1}(0) und z_{1} ∈ ℂ mit |z_{1}| = 1 beliebig vorgeben: Nach (*) im Beweis von Satz 13.16 liegt ζ := z_{1} \frac{āz_{1}−1}{z_{1}−a} auf dem Rand des Einheitskreises, und es ergibt sich z_{2} = \frac{a}{|a|} \frac{āz_{1}−1}{z_{1}−a}.

Teil IV

Der Residuensatz

Der Residuensatz stellt eine umfassende und für viele praktisch auftretende Rechnungen entscheidende Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel dar. Wir können beliebige geschlossene Wegintegrale über Funktionen ausführen, die holomorph bis auf isolierte Singularitäten sind.

14 Isolierte Singularitäten

Definition 14.1 Sei U ⊆ ℂ offen, a ∈ U und f : U \ {a} → ℂ holomorph. Dann heißt a eine isolierte Singularität von f.

In manchen Fällen handelt es sich nicht wirklich um eine Singularität:

Satz 14.2 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Es sei f eine auf U \ {a} holomorphe Funktion, und es existiere eine Umgebung V ⊆ U von a ∈ U, so daß f auf V \ {a} beschränkt ist. Dann gibt es eine Fortsetzung f̃ von f, die holomorph auf ganz U ist.

Beweis. Wir definieren eine Funktion g : U → ℂ durch

g(z) := \{ \begin{matrix}(z − a)^{2}f(z) für & z ≠ a \\ 0 für & z = a \end{matrix}

Wegen der Beschränktheit von f auf V \ {a} ist g holomorph auf V \ {a} und dann auf U \ \{a\}, und es gilt g′(a) = lim_{z→a} \frac{g(z)−g(a)}{z−a} = 0. Damit besitzt g die Potenzreihenentwicklung g(z) = ∑_{n=2}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, und die Fortsetzung von f kann definiert werden als f̃(z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n+2}(z − a)^{n}. □

Definition 14.3 Eine isolierte Singularität a ∈ U von f : U → ℂ heißt

i) hebbar, falls f holomorph in den Punkt a fortgesetzt werden kann;

ii) Pol, falls keine holomorphe Fortsetzung in a existiert, aber ein k ∈ ℕ^{×} derart, daß (z−a)^{k}f holomorph in den Punkt a fortgesetzt werden kann; die kleinste derartige Zahl k heißt die Ordnung des Pols;

iii) wesentliche Singularität, wenn sie weder hebbar noch Pol ist.

Die Funktion f : U → ℂ heißt meromorph, wenn sie bis auf Pole in U holomorph ist (wesentliche Singularitäten werden ausgeschlossen).

Der Punkt a ist genau dann ein k-facher Pol von f, wenn es in U eine Darstellung f(z) = \frac{g(z)}{(z−a)^{k}} gibt, wobei g holomorph in U ist (insbesondere auch in a) und g(a) ≠ 0 gilt. Wesentliche Singularitäten existieren:

Beispiel 14.4 exp(\frac{1}{z}) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{−n}}{n!} hat in a = 0 eine wesentliche Singularität: Für jedes k ∈ ℕ bleibt z^{k} exp(\frac{1}{z}) unbeschränkt in einer Umgebung von 0. ◁

Jede rationale Funktion ist meromorph: Mehr noch: die rationalen Funktionen sind genau die auf der sogenannten Kompaktifizierung ℂ̄ = ℂ ∪ {∞} meromorphen Funktionen.

Satz 14.5 Die Menge M(U) der meromorphen Funktionen auf U ⊆ ℂ bildet einen Körper, in dem die Nullfunktion 0(z) = 0 für alle z ∈ U das neutrale Element der Addition ist und die konstante Funktion 1(z) = 1 für alle z ∈ U das neutrale Element der Multiplikation.

Beweis. Seien f_{1}, f_{2} : U → ℂ meromorph. In der Nähe von a haben beide eine Darstellung f_{1}(z) = (z − a)^{k_{1}}g_{1}(z) und f_{2}(z) = (z − a)^{k_{2}}g_{2}(z) mit k_{i} ∈ ℤ und g_{i}(z) ≠ 0 in einer Umgebung von a. Dabei liegt für k_{i} > 0 eine k_{i}-fache Nullstelle vor; und dieses k_{i} ist nach Identitätssatz endlich für alle f_{i} ≠ 0. Dann sind Summen (klar) und Produkte meromorph, nämlich (f_{1}f_{2})(z) = (z − a)^{k_{1}+k_{2}}g_{1}(z)g_{2}(z) in einer Umgebung von a. Weiter sind alle meromorphen Funktionen f_{1} ≠ 0 invertierbar, lokal mit (\frac{1}{f_{1}} )(z) = (z − a)^{−k_{1}} \frac{1}{g_{1}(z)}. Die weiteren Kompatibilitäten rechnet man leicht nach. □

Satz 14.6 Sei a ∈ U isolierte Singularität von f : U → ℂ. Die Funktion f hat genau dann einen Pol in a, wenn lim_{z→a} |f(z)| = +∞.

Beweis. (⇒) folgt aus f(z) = \frac{g(z)}{(z−a)^{k}} mit g(z) ≠ 0 und g beschränkt in einer Umgebung von a.

(⇐) hier läßt sich \frac{1}{f} holomorph in eine Umgebung von a fortsetzen mit \frac{1}{f}(a) = 0. Somit hat \frac{1}{f}(a) eine Darstellung \frac{1}{f}(z) = (z − a)^{k}g(z) mit k ≥ 0 endlich und g(z) ≠ 0 in einer Umgebung von a. Dann folgt f(z) = (z − a)^{−k} \frac{1}{g(z)}. □

Folglich muß eine Funktion in der Nähe einer wesentlichen Singularität wild oszillieren:

Satz 14.7 (Casorati-Weierstraß) Ein Punkt a ∈ U ist genau dann wesentliche Singularität von f : U → ℂ, wenn es zu \underline{jedem} w ∈ ℂ eine Folge (z_{n})_{n∈ℕ} gibt mit lim_{n→∞} z_{n} = a und lim_{n→∞} f(z_{n}) = w. Mit anderen Worten: f(z) kommt in jeder Umgebung von a jedem vorgegebenem Funktionswert beliebig nahe.

Beweis. (⇐) Dann hat |f(z)| keinen Grenzwert für z → a, kann also weder Pol noch hebbar sein.

(⇒) Wir nehmen das Gegenteil an, d.h. es gibt ein w ∈ ℂ, eine Umgebung V von a und ein ϵ > 0, so daß |f(z) − w| > ϵ für alle z ∈ V \ {a}. Dann ist g(z) := \frac{1}{f(z)−w} holomorph auf V \ \{a\} und in der Nähe von a durch \frac{1}{ϵ} beschränkt. Somit wäre g holomorph nach a fortsetzbar, und f(z) = w + \frac{1}{g(z)} hätte in a einen Pol oder eine hebbare Singularität. Widerspruch. □

Mit für diese Vorlesung zu großem Aufwand läßt sich weit mehr beweisen:

Satz 14.8 (Picard) Mit höchstens einer Ausnahme nimmt f in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl unendlich oft an.

Für e^{\frac{1}{z}} wird w = 0 nicht angenommen.

15 Laurent-Reihen und Residuum

Ist f holomorph in U \ {a} und liegt in a ein Pol der Ordnung k vor, dann war f(z) = \frac{g(z)}{(z−a)^{k}} mit g holomorph in einer Umgebung von a. Da g eine Potenzreihenentwicklung g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z − a)^{n} hat, folgt f(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z − a)^{n−k} = ∑_{n=−k}^{∞} b_{n+k}(z − a)^{n} =: ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}.

Definition 15.1 Eine Reihe f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z−a)^{n} mit a, a_{n} ∈ ℂ heißt Laurent-Reihe. Dabei heißt f^{−}(z) := ∑_{n=−∞}^{−1} a_{n}(z − a)^{n} = ∑_{n=1}^{∞} a_{−n}(\frac{1}{(z−a)})^{n} Hauptteil der Laurent-Reihe, und f^{+}(z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z−a)^{n} heißt Nebenteil der Laurent-Reihe. Die Laurent-Reihe heißt konvergent, wenn Haupt- und Nebenteil für sich konvergieren.

Der Hauptteil habe den Konvergenzradius r^{∗}, d.h. er konvergiert für alle z ∈ ℂ mit \frac{1}{|z−a|} < r^{∗} bzw. |z − a| > r := \frac{1}{r^{∗}}. Für die Laurent-Reihe einer Polstelle bricht der Hauptteil der Laurent-Reihe ab, d.h. der Konvergenzradius ist r^{∗} = ∞. Der Nebenteil habe den Konvergenzradius R, d.h. er konvergiert für alle z ∈ ℂ mit |z − a| < R. Somit gilt:

Satz 15.2 Sei f(z) eine Laurent-Reihe mit Konvergenzradien r^{∗} bzw. R von Haupt- bzw. Nebenteil. Dann konvergiert die Laurent-Reihe

i) absolut in einem Kreisring K_{r,R}(a) := {z ∈ ℂ : r < |z − a| < R} mit r = \frac{1}{r^{∗}} gegen eine in K_{r,R}(a) holomorphe Funktion, falls r^{∗}R > 1,

ii) in keiner offenen Teilmenge von ℂ, falls r^{∗}R ≤ 1.

Für die Laurent-Reihe einer Polstelle kann r beliebig gewählt werden innerhalb 0 < r < R.

Satz 15.3 Jede auf einem Kreisring K_{r,R}(a) holomorphe Funktion f läßt sich eindeutig zerlegen in f(z) = f^{+}(z) + f^{−}(z), wobei f^{+} : K_{R}(a) → ℂ und f^{−} : ℂ \ \overline{K_{r}(a)} → ℂ holomorph sind mit f^{−}(z) → 0 für |z| → ∞.

Beweis. Zunächst zur Eindeutigkeit. Angenommen, es gäbe zwei Darstellungen f(z) = f_{1}^{+}(z) + f_{1}^{−}(z) = f_{2}^{+}(z) + f_{2}^{−}(z), dann gilt f_{1}^{+}(z) − f_{2}^{+}(z) = f_{1}^{−}(z) − f_{1}^{−}(z) auf K_{r,R}(a). Dabei ist f_{1}^{+}(z) − f_{2}^{+}(z) definiert für |z − a| < R und f_{2}^{−}(z) − f_{1}^{−}(z) für |z − a| > r. Da beide Darstellungen auf einer Teilmenge mit Häufungspunkt übereinstimmen, handelt es sich um Einschränkungen derselben auf ganz ℂ holomorphen Funktion g, die wegen f_{2}^{−}(z) − f_{1}^{−}(z) → 0 für |z| → ∞ beschränkt ist. Nach dem Satz von Liouville ist g konstant, die Bedingung bei |z| → ∞ erzwingt g = 0.

Wir zeigen, daß die in K_{r,R}(a) holomorphe Funktion folgende Darstellung hat:

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ_{2}}(a)} dw \frac{f(w)}{w − z} − \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ_{1}}(a)} dw \frac{f(w)}{w − z}  (*)

für beliebige ρ_{1}, ρ_{2} mit r < ρ_{1} < |z − a| < ρ_{2} < R. Dazu schneiden wir den Kreisring \overline{K_{ρ_{1},ρ_{2}}(a)} auf entlang eines Schnittes σ, der z nicht trifft. Betrachte die geschlossene Kurve γ = ∂K_{ρ_{2}}(a) ∪ σ ∪ (−∂K_{ρ_{1}}(a)) ∪ (−σ) in K_{r,R}(a). Unter Beachtung der Orientierungsumkehr der Abschnitte −σ und −∂K_{ρ_{1}}(a) läßt sich die rechte Seite von (*) schreiben als (∗) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} dw \frac{f(w)}{w−z}. Aber γ ist im Holomorphiegebiet K_{r,R}(a) \ \{z\} von w ↦ \frac{f(w)}{w−z} homotop zur Kreiskurve ∂K_{ϵ}(z). Somit folgt (∗) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ϵ}(z)} dw \frac{f(w)}{w−z} = f(z) nach Cauchyscher Integralformel.

Wir setzen

f^{+}(z) := \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ_{2}}(a)} dw \frac{f(w)}{w − z} ,  f^{−}(z) := −\frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ_{1}}(a)} dw \frac{f(w)}{w − z} . (**)

Beide Funktionen sind in allen Punkten z holomorph, die nicht auf der Integrationskurve ∂K_{ρ_{i}}(a) liegen, insbesondere (nach geeigneter Wahl der ρ_{i}) in jedem z ∈ K_{R}(a) für f^{+} und in jedem z ∈ ℂ \ \overline{K_{r}(a)} für f^{−}. Aber nur im Kreisring r < |z − a| < R stimmt f^{+} + f^{−} mit f überein! Schließlich gilt f^{−}(z) → 0 für |z| → ∞, da f(w) und Umfang beschränkt sind, während \frac{1}{w−z} → 0 für |z| → ∞.

□

Folgerung 15.4 Jede auf einem Kreisring K_{r,R}(a) holomorphe Funktion f läßt sich eindeutig in eine in jedem z ∈ K_{r,R}(a) alsolut konvergente Laurent-Reihe f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} entwickeln, mit

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ}(a)} dw \frac{f(w)}{(w − a)^{n+1}}

für einen beliebiges r < ρ < R. Ist |f(w)| ≤ M für alle w ∈ ∂K_{ρ}(a), so folgt |a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}} für alle n ∈ ℤ.

Beweis. Die Darstellung f^{+}(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z−a)^{n} mit der angegebenen Formel für a_{n≥0} zeigt man wie in der Potenzreihenentwicklung (Satz 12.4) der Cauchyschen Integralformel. Dabei steht in den Integralen zunächst ρ_{2} und nicht ρ; wegen der Homotopieinvarianz der Integrale für a_{n} kann (nach der Aufspaltung in f^{±}!) aber eine beliebige Kreiskurve innerhalb K_{r,R}(a) gewählt werden. Für f^{−} beachte man |w − a| < |z − a| für alle w ∈ ∂K_{ρ_{1}}(a), somit

\frac{1}{w − z} = \frac{1}{(w − a) − (z − a)} = −\frac{1}{(z − a)(1 − \frac{(w−a)}{(z−a)})} = − ∑_{k=0}^{∞} \frac{(w − a)^{k}}{(z − a)^{k+1}} .

Nach Umbenennung k + 1 = −n bzw. n + 1 = −k, mit n = −1, −2, …, entsteht f_{−}(z) = ∑_{n=−∞}^{−1} (\frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ_{2}}(a)} dw \frac{f(w)}{(w−a)^{n+1}} )(z − a)^{n}. Wegen Homotopieinvarianz kann ρ_{2} durch ρ ersetzt werden.

Die Abschätzung der a_{n} ist klar. □

Beispiel 15.5 Gesucht ist die Laurent-Entwicklung von f(z) = \frac{1}{z} in K_{1,∞}(1). Wir vermeiden die Berechnung der Integrale und entwickeln die geometrische Reihe um, wobei |z − 1| > 1, also \frac{1}{|z−1|} < 1, zu beachten ist:

f(z) = \frac{1}{z − 1 + 1} = \frac{1}{(z − 1)} \frac{1}{(1 + \frac{1}{z−1})} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(z − 1)^{n+1}} = ∑_{n=−∞}^{−1}(−1)^{n+1}(z − 1)^{n} .

Wir sehen, daß eine in z = a holomorphe Funktion durchaus eine Laurent-Reihe mit Nebenteil haben kann, der nicht einmal abbrechenden muß! ◁

Im folgenden Beispiel brauchen wir das Cauchy-Produkt einer geometrischen Reihe und der Exponentialreihe:

Beispiel 15.6 Die Funktion f(z) = \frac{exp(z)}{z(z−i)} kann um jeden Kreisring in eine Laurent-Reihe entwickelt werden, der {0, i} nicht enthält. Wir diskutieren nur drei der vielen möglichen Fälle (direkt durch Umentwicklung der Potenzreihen, nicht durch Berechnung der Integrale):

i) [in K_{0,1}(0)] Wegen \frac{1}{(z−i)} = \frac{i}{1+zi} = ∑_{k=0}^{∞} z^{k}i(−i)^{k} und Cauchy-Produkt

von Reihen gilt f(z) = \frac{i}{z} + ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n+1} \frac{i(−i)^{n+1−k}}{k!} )z^{n}. ii) [in K_{0,1}(i)] Wegen \frac{1}{z} = \frac{1}{(z−i)+i} = \frac{−i}{1−i(z−i)} = ∑_{k=0}^{∞}(z − i)^{k}(−i)i^{k} und exp(z) = e^{i} exp(z−i) sowie sowie Cauchy-Produkt von Reihen gilt f(z) = \frac{−ie^{i}}{z−i} + ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n+1} \frac{(−ie^{i})i^{n+1−k}}{k!} )(z − i)^{n}.

iii) [in K_{\sqrt{2},∞}(1)] Nach Partialbruchzerlegung ist f(z) = ie(\frac{exp(z−1)}{z} − \frac{exp(z−1)}{z−i}). Wir entwickeln \frac{1}{z} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(z−1)^{k+1}} und \frac{1}{z−i} = \frac{1}{1−i+(z−1)} =

\frac{1}{(z−1)} _{\frac{1}{1+ \frac{(1−i)}{(z−1)}}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(i−1)^{k}}{(z−1)^{k+1}} . Das Cauchy-Produkt bricht nun nicht ab:

f(z) = ie ∑_{m=0}^{∞} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{(−1)^{k}}{m!} (z − 1)^{m−k−1} − \frac{(i − 1)^{k}}{m!} (z − 1)^{m−k−1})

= ∑_{n=−∞}^{∞} ( ∑_{k=max(0,−n−1)}^{∞} \frac{ie((−1)^{k} − (i − 1)^{k})}{(n + k + 1)!})(z − 1)^{n} .  ◁

57 Die Beispiele zeigen, daß in der folgenden Klassifizierung es ganz entscheidend ist, daß Laurent-Entwicklung in einem Kreisring K_{0,ϵ}(a) (innerer Radius beliebig klein!) betrachtet wird. Ansonsten ist der Beweis klar:

Preliminary version – 9. Oktober 2017

Satz 15.7 Sei U ⊆ ℂ offen und a ∈ U isolierte Singularität einer holomorphen Funktion f : U \ {a} → ℂ. Auf einem Kreisring K_{0,ϵ}(a) besitze f die Laurent-Entwicklung f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}. Dann gilt:

i) a ist genau dann hebbare Singularität, wenn a_{n} = 0 für alle n < 0.

ii) a_{n} ist Polstelle, wenn es ein n < 0 gibt mit a_{n} ≠ 0 und a_{k} = 0 für alle k < n.

iii) a ist wesentliche Singularität, wenn a_{n} ≠ 0 für unendlich viele n < 0.

Definition 15.8 Es sei f eine auf U \ {a} holomorphe Funktion mit Laurent-Reihenentwicklung f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}. Dann heißt der Koeffizient a_{−1} = res_{a}f das Residuum von f in a.

Offenbar ist res_{a}f = 0, wenn f in a holomorph ist oder (wegen der Eindeutigkeit der Laurent-Reihe) in a eine hebbare Singularität besitzt. Nach Folgerung 15.4 gilt:

Satz 15.9 Es sei f eine auf U \ {a} holomorphe Funktion. Dann gilt

res_{a}f = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{ρ}(a)} f(z)dz

für einen beliebigen Kreis K_{ρ}(a) um a mit Radius ρ > 0, so daß \overline{K_{ρ}(a)} ⊆ U. □

Wir geben Berechnungsvorschriften für das Residuum in einigen wichtigen Spezialfällen an:

• Ist f(z) = \frac{g(z)}{z−a}, und ist g holomorph in einer Umgebung von a, so folgt aus der Cauchyschen Integralformel res_{a}f = g(a).

• Ist allgemeiner f = \frac{g}{h} Quotient von in a holomorphen Funktionen g, h mit h(a) = 0 und h′(a) ≠ 0, dann ist wegen der stetigen Differenzierbarkeit h(z) = (z − a)(h′(a) + ϕ(z)) mit lim_{z→a} ϕ(z) = 0. Es gibt also ein r > 0, so daß |ϕ(z)| < h′(a), so daß \frac{1}{h′(a)+ϕ(z)} holomorph auf K_{r}(a) ist. Damit gilt

res_{a} \frac{g}{h} = \frac{g(a)}{h′(a) + ϕ(a)} = \frac{g(a)}{h′(a)} .

• Hat f in a einen k-fachen Pol, d.h. die Laurent-Reihe ist f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, dann folgt

res_{a}f = a_{−1} = \frac{1}{(k − 1)!} \frac{d^{(k−1)}}{dz^{k−1}} ((z − a)^{k}f(z))|_{z=a} .

Beispiel 15.10 Die Funktion f(z) = \frac{1}{sin(πz)} hat einfache Pole in jedem k ∈ ℤ mit

res_{k} \frac{1}{sin(πz)} = \frac{1}{sin′(πk)} = \frac{1}{π cos(πk)} = \frac{(−1)^{k}}{π} .

Die Funktion f(z) = \frac{1}{(z^{2}+1)^{3}} hat Pole dritter Ordnung bei z = ±i, so daß

res_{±i} \frac{1}{(z^{2} + 1)^{3}} = \frac{1}{2!}(\frac{(z − (±i))^{3}}{(z^{2} + 1)^{3}} )′′|_{z=±i} = \frac{1}{2!}(\frac{1}{z ± i))^{3}} )′′|_{z=±i}

= \frac{(−3)(−4)}{2} \frac{1}{(z ± i)^{5}} |_{z=±i} = \frac{6}{(±2i)^{5}} = ∓\frac{3i}{32} .

Die Funktion \frac{1−cos z}{z^{2}} läßt sich holomorph in die einzig mögliche Singularität z = 0 fortsetzen, d.h. res_{0} \frac{1−cos z}{z^{2}} = 0. ◁

16 Residuensatz

Sei γ : [α, β] → ℂ eine geschlossene Kurve und a ∈ ℂ ein Punkt, der nicht auf der Spur von γ liegt. Dann läßt sich eine Umlaufzahl (oder Windungszahl) n(γ, a) ∈ ℤ bestimmen, die anschaulich beschreibt, wie oft sich die Kurve γ um a herumwindet. Wegen Stetigkeit gibt es eine Unterteilung α = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = β derart, daß der Spurabschnitt γ([t_{k}, t_{k+1}]) vollständig auf der selben Seite einer Geraden durch a liegt. Dann läßt sich in jedem Teilabschnitt der Drehwinkel ∡(γ(t_{k}), 0, γ(t_{k+1})) =: θ_{k} entweder mit 0 ≤ θ_{k} < π oder −π < θ_{k} ≤ 0 ermitteln durch e^{iθ_{k}} \frac{γ(t_{k})−a}{|γ(t_{k})−a|} = \frac{γ(t_{k+1})−a}{|γ(t_{k+1})−a|}. Es folgt

e^{i(θ_{0}+···+θ_{m−1})} \frac{γ(t_{0}) − a}{|γ(t_{0}) − a|} = \frac{γ(t_{m}) − a}{|γ(t_{m}) − a|} .

Nach Konstruktion ist der Gesamtdrehwinkel ∑_{k=0}^{m−1} θ_{k} unabhängig von der Wahl {t_{k}} der Unterteilung. Da die Kurve geschlossen ist, γ(t_{0}) = γ(t_{m}), folgt

n(γ, a) := \frac{1}{2π} (θ_{0} + ⋯ + θ_{m−1}) ∈ ℤ .

Alternativ gilt:

Satz 16.1 Die Umlaufzahl n(γ, a) ∈ ℤ einer geschlossen Kurve γ um einen nicht auf der Spur liegenden Punkt a berechnet sich zu

n(γ, a) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{dz}{z − a} .

Beweis. Die Kurve wird in die m Teilabschnitte zerlegt, die jeweils in einem Sterngebiet (Halbebene) verlaufen. Dann hat \frac{1}{z−a} die Stammfunktion Log(z − a) + C_{k}, wobei C_{k} so gewählt werden kann, daß e^{C_{k}}(γ(t) − a) ∉ ℝ_{−} für alle t ∈ [t_{k}, t_{k+1}]. Es folgt

n(γ, a) = \frac{1}{2πi} ∑_{k=0}^{m−1} (Log(e^{C_{k}}γ(t_{k+1})) − Log(e^{C_{k}}γ(t_{k})))

= \frac{1}{2π} ∑_{k=0}^{m−1} (Arg(e^{C_{k}}γ(t_{k+1})) − Arg(e^{C_{k}}γ(t_{k}))) = \frac{1}{2π} ∑_{k=0}^{m−1} θ_{k} .  □

Nach Satz 11.13 haben zueinander homotope Wege γ_{1}, γ_{2} in ℂ\{a} dieselbe Umlaufzahl, n(γ_{1}, a) = n(γ_{2}, a). Die Umlaufzahl ändert das Vorzeichen bei Umkehrung der Orientierung der Kurve und verhält sich additiv bei Zusammensetzung von zwei Kurven. Weiter folgt aus Satz 16.1, daß a ↦ n(γ, a) stetig in a ist, und dann als ℤ-wertige Funktion konstant, solange a die Kurve nicht überquert. Somit zerlegt eine geschlossene Kurve γ die komplexe Ebene in wegzusammenhängende Teilgebiete gemeinsamer Umlaufzahl. Für Punkte a mit |a| → ∞ liegt die gesamte Kurve γ in einer Halbebene bezüglich a, so daß n(γ, a) = 0 für a → ∞. Man kann sich dann die Umlaufzahlen der Teilgebiete schrittweise erarbeiten durch folgende Vorfahrtsregel: Hat beim Überqueren der Punkt a Vorfahrt vor der Kurve (rechts vor links), so wächst die Umlaufzahl um 1, umgekehrt (Kurve hat Vorfahrt) fällt sie um 1.

Wir können nun den für Anwendungen wichtigsten Satz der Funktionentheorie beweisen:

Theorem 16.2 (Residuensatz) Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, S ⊆ G eine Teilmenge ohne Häufungspunkt und f : G \ S → ℂ holomorph. Dann gilt für jede stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve γ : [α, β] → G, die in G kontrahierbar ist (automatisch falls G einfach zusammenhängend) und deren Spur S nicht trifft,

∫_{γ} dz f(z) = 2πi ∑_{a∈S} n(γ, a) res_{a}f .

Die Summe besteht nur aus endlich vielen Summanden.

Bemerkung: Wegen res_{z}f = 0 für alle z ∈ G \ S kann man äquivalent

∫_{γ} dz f(z) = 2πi ∑_{z∈G} n(γ, z)res_{z}f

schreiben, wobei ignoriert werden kann, daß n(γ, z) für z ∈ sp(γ) nicht definiert ist.

Beweis. Für a ∉ G ist \frac{1}{z−a} auf G holomorph, so daß wegen Kontrahierbarkeit der Kurve, Cauchyschem Integralsatz und Satz 16.1 die Umlaufzahl von γ um jeden Punkt außerhalb G verschwindet. Da die Spur von γ kompakt ist, gibt es sogar eine kompakte Menge K ⊆ G, außerhalb der die Umlaufzahl von γ verschwindet. Da S in K keinen Häufungpunkt haben kann, besteht S ∩ K aus nur endlich vielen Punkten, und die Summe hat nur endlich viele Summanden.

Für jedes a_{k} ∈ S ∩ K sei h_{k}(z) = ∑_{n=−∞}^{−1} a_{k,n}(z − a_{k})^{n} der Hauptteil der Laurent-Entwicklung von f in a_{k}. Nach Konstruktion ist h_{k} holomorph auf ℂ \ {a_{k}}, und f − h_{k} läßt sich holomorph auf eine Umgebung von K \ {S \ {a_{k}}} in G fortsetzen. Damit folgt schrittweise, daß f − ∑_{k=1}^{N} h_{k} holomorph auf einer Umgebung von K in G ist. Da γ in G kontrahierbar ist, gilt nach Cauchyschem Integralsatz

∫_{γ} dz f(z) = ∑_{k=1}^{N} ∫_{γ} dz h_{k}(z) .

Beide Seiten sind Kurvenintegrale von auf G \ S holomorphen Funktionen. Für n ≠ −1 hat jeder Summand a_{k,n}(z − a_{k})^{n} die auf dem Gebiet G \ S holomorphe Stammfunktion \frac{a_{k,n}}{n+1}(z −a_{k})^{n+1}. Nach Satz 10.15 gilt deshalb ∫_{γ} dz a_{k,n}(z −a_{k})^{n} = 0 für n ≠ −1. Es verbleibt

∫_{γ} dz f(z) = ∑_{k=1}^{N} a_{k,−1} ∫_{γ} \frac{dz}{z − a_{k}} = 2πi ∑_{k=1}^{N} a_{k,−1}n(γ, a_{k}) = 2πi ∑_{k=1}^{N} n(γ, a_{k}) res_{a_{k}}f . □

Ein oft auftretender Spezalfall ist:

Satz 16.3 Es sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, S ⊆ G eine Teilmenge ohne Häufungspunkt in G und f holomorph auf G \ S. Sei A ⊆ G eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:

i) A ist einfach zusammenhängend in G,

ii) der Rand γ := ∂A liegt in G und ist stückweise stetig differenzierbar,

iii) S ∩ γ = ∅, d.h. der Rand ∂G trifft keinen Punkt aus S.

Dann gilt

∫_{γ} dz f(z) = 2πi ∑_{a∈S∩A} res_{a}f .

Beweis. Der Rand ∂A kann sich nicht überschneiden, so daß im Inneren von A die Umlaufzahl konstant 1 ist. □

Der Residuensatz ist ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Integralen. Dieser Technik ist der nächste Abschnitt gewidmet. Hier geben wir eine andere Anwendung: die Lokalisierung von Nullstellen und Polstellen:

Satz 16.4 (Nullstellen und Polstellen zählendes Integral) Es sei f eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf U ⊆ ℂ, ferner S ⊆ U die Menge der Nullstellen und Polstellen von f und A ⊆ U eine Teilmenge, deren Rand ∂A die Voraussetzungen des Residuensatzes erfüllt. Dann gilt für die Anzahl der Nullstellen N_{A} von f in A und die Anzahl der Polstellen P_{A} von f in A, jeweils mit Vielfachhheit gezählt, die Formel

N_{A} − P_{A} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂A} dz \frac{f′(z)}{f(z)} .

Beweis. Ist f meromorph, so ist \frac{f′}{f} holomorph außerhalb der Null- und Polstellen von f. In der Umgebung V einer Null- oder Polstelle a gilt f(z) = (z −a)^{k}g(z) für ein k ∈ ℤ und eine auf V holomorphe nullstellenfreie Funktion g. Dabei ist k > 0 für eine k-fache Nullstelle und k < 0 für einen Pol der Ordnung |k|. Somit ist \frac{f′}{f} (z) = \frac{k}{z−a} + \frac{g′(z)}{g(z)} und dann res_{a} \frac{f′}{f} = k. Der Residuensatz liefert die Behauptung.

□

Die wichtigste Anwendung dieses Satzes ist:

Satz 16.5 (Rouché) Es seien f, g holomorphe Funktionen auf U ⊆ ℂ und A ⊆ U eine Teilmenge mit stückweise stetig differenzierbarem Rand ∂A ⊆ U. Es gelte |g(z)| < |f(z)| für alle z ∈ ∂A. Dann haben f und f + g die gleiche Anzahl von Nullstellen in A.

Beweis. Es gibt eine Umgebung V ⊆ U von ∂A mit |\frac{g}{f} | < 1. Dann ist h := 1 + \frac{g}{f} auf V holomorph mit Bild h(V) ⊆ K_{1}(1). Der komplexe Logarithmus Log ist holomorph auf K_{1}(1), so daß nach Kettenregel gilt (Log ∘ h)′(z) = \frac{h′(z)}{h(z)}. Somit

verschwindet das Kurvenintegral ∫_{γ} dz \frac{h′(z)}{h(z)} = 0 für jede geschlossene Kurve γ mit

h ∘ γ ∈ K_{1}(1), insbesondere für das Bild von ∂A unter ∂A ∋ z ↦ h(z) = 1 + \frac{g(z)}{f(z)}.

Es gilt \frac{h′}{h} = \frac{(f+g)′(z)}{(f+g)(z)} − \frac{f′(z)}{f(z)}, so daß nach Satz 16.4 die holomorphen Funktionen f und f + g die gleiche Zahl von Nullstellen in A haben. □

Beispiel 16.6 Wieviele Nullstellen von h(z) = z^{8} − 5z^{3} + z − 2 liegen in K_{1}(0)? Setze f(z) = −5z^{3} und g(z) = z^{8} − z − 2. Dann gilt für z ∈ ∂K_{1}(0), d.h. |z| = 1 nach Dreiecksungleichung |g(z)| ≤ 4 < |f(z)| = 5. Die Gleichung f(z) = −5z^{3} = 0 hat eine dreifache Nullstelle in 0 ∈ K_{1}(0). Somit hat nach dem Satz von Rouché die Funktion h ebenfalls 3 Nullstellen in K_{1}(0). Die weiteren 5 Nullstellen von h können wir eingrenzen durch Wahl f(z) = z^{8} und g(z) = −5z^{3} + z − 2. Nehmen wir A = K_{\frac{3}{2}} (0), dann ist |f(z)| = \frac{3^{8}}{2^{8}} = \frac{1}{4}(\frac{81}{8})^{2} > 25 und |g(z)| ≤ \frac{5·27}{8} + \frac{3}{2} + 2 < \frac{5·28}{8} + \frac{3}{2} + 2 = 21. Somit liegen die weiteren 5 Nullstellen von h im Kreisring K_{1, \frac{3}{2}} (0). ◁ Beispiel 16.7 Die Lambertsche W -Funktion ist definiert als eine Lösung W (z) der Gleichung W (z) exp(W (z)) = z. Sie hat, wie der Logarithmus, unendlich viele Zweige, d.h. es gibt zu z ∈ ℂ^{×} unendlich viele w ∈ ℂ mit w exp(w) = z. Wir schreiben die Gleichung als \frac{w}{z} − exp(−w) = 0. Sei 0 < |z| < \frac{1}{e}, f(w) = \frac{w}{z} und g(w) = − exp(−w). Dann ist |f(w)| > e und |g(w)| < exp(1) = e, so daß nach Rouché die Gleichung w exp(w) = z in K_{1}(0) genau eine Lösung hat. ◁

17 Berechnung reeller Integrale mittels Residuensatz

Der Residuensatz ist ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung reeller Integrale. Wir behandeln drei einfache Standardklassen und drei Klassen von Integralen, denen man die Methode nicht so leicht ansieht.

Satz 17.1 Es sei R(x, y) eine rationale Funktion in zwei Variablen und R(cos t, sin t) sei für alle t ∈ [0, 2π] erklärt. Dann gilt

∫_{0}^{2π} dt R(cos t, sin t) = 2π ∑_{a∈K_{1}(0)}res_{a}R̃ ,  R̃(z) := \frac{1}{z}R(\frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}), \frac{1}{2i}(z − \frac{1}{z})) .

Beweis. Wir fassen das Integral als komplexes Kurvenintegral über die geschlossene Kurve γ(t) = e^{it} mit t ∈ [0, 2π] auf. Dann gilt cos t = \frac{1}{2}(γ(t) + \frac{1}{γ(t)}) und sin t = \frac{1}{2i}(γ(t) − \frac{1}{γ(t)}) sowie γ′(t) = iγ(t). Damit ergibt sich

∫_{γ} dz \frac{1}{iz} R(\frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}), \frac{1}{2i}(z − \frac{1}{z})) = ∫_{0}^{2π} dt R(cos t, sin t) .

Der Residuensatz liefert die Behauptung. □

Beispiel 17.2 Gesucht ist I(p) := ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{p + cos t} für p > 1. Wir erhalten

I(p) = 2π ∑_{a∈K_{1}(0)} res_{a}(\frac{1}{z} \frac{1}{(p + \frac{1}{2}(z(t) + \frac{1}{z(t)}))}) = 4π ∑_{a∈K_{1}(0)} res_{a}(\frac{1}{z^{2} + 2pz + 1}) .

Nur die einfache Polstelle bei a ≡ z = −p + \sqrt{p^{2} − 1} liegt im Inneren des Einheitskreises, und wir erhalten

I(p) = \frac{4π}{(z^{2} + 2pz + 1)′} |_{z=−p+\sqrt{p^{2}−1}} = \frac{2π}{\sqrt{p^{2} − 1}} .  ◁

Eine andere wichtige Klasse von reellen Integralen, die mit dem Residuensatz berechnet werden können, ist die folgende:

Satz 17.3 Es sei R eine rationale Funktion (einer Variablen), die auf der reellen Achse keinen Pol habe und in ∞ eine mindestens zweifache Nullstelle (wenn R(x) = \frac{P (x)}{Q(x)} mit Polynomen P, Q, dann ist deg(Q)−deg(P) ≥ 2). In diesem Fall gilt

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) = 2πi ∑_{a∈ℍ} res_{a}R ,

wobei ℍ = {z ∈ ℂ : Im(z) > 0} die obere Halbebene ist.

Beweis. Das uneigentliche reelle Integral wird als komplexes Kurvenintegral über die Kurve γ_{1}(t) = t mit t ∈ [−r, r] aufgefaßt. Wir schließen sie mittels γ_{2}(t) = re^{it} mit t ∈ [0, π]. Für r → ∞ trägt γ_{2} nach Standardabschätzung nicht bei, und wir erhalten

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) = lim_{r→∞} ∫_{γ_{1}∪γ_{2}} dz R(z)

Für genügend großes r liegt genau jeder Pol von R in ℍ im Inneren des Halbkreises, und der Residuensatz liefert die Behauptung. □

Beispiel 17.4 Gesucht ist I_{n} := ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2n}} mit n ∈ ℕ^{×}. Aufgefaßt als kom-

plexe Funktion sind die (einfachen) Pole z^{2n} = −1 der oberen Halbebene bei a_{k} = e^{\frac{iπ(2k+1)}{2n}}, k = 0, 1, …, n − 1. Also gilt mit res_{a}(\frac{1}{h}) = \frac{1}{h′(a)}

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2n}} = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{2πi}{2ne^{\frac{iπ(2k+1)(2n−1)}{2n}}} = −\frac{πi}{n}e^{\frac{iπ}{2n}} ∑_{k=0}^{n−1} e^{\frac{iπk}{n}} = \frac{π}{in}e^{\frac{iπ}{2n}} \frac{1 − e^{\frac{iπn}{n}}}{1 − e^{\frac{iπ}{n}}} = \frac{\frac{π}{n}}{sin \frac{π}{2n}} .◁

Integrale der Form I = ∫_{0}^{∞} dx R(x), falls R(x) = R(−x) eine gerade Funktion ist, werden über I = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{∞} dx R(x) ausgerechnet.

Satz 17.5 Es sei R eine rationale Funktion ohne Pol auf der reellen Achse und mit mindestens einfacher Nullstelle in ∞. Dann ist für jedes α > 0 das folgende Integral existent und durch den Residuensatz berechenbar zu (ℍ war die obere Halbebene)

∫_{−∞}^{∞} dx R(x)e^{iαx} = 2πi ∑_{a∈ℍ} res_{a}(R(z)e^{iαz}) .

Beweis. Das zugehörige bestimmte Integral über γ_{0}(t) = t mit t ∈ [−r, r] wird durch ein Quadrat in der oberen Halbebene geschlossen. Die zusätzlichen Kurvenstücke sind γ_{1}(t) = r + it mit t ∈ [0, r], γ_{2}(t) = −t + ir mit t ∈ [−r, r] und γ_{3}(t) = −r + i(r − t) mit t ∈ [0, r]. Der Residuensatz liefert

2πi ∑_{a∈ℍ} res_{a}(R(z)e^{iαz})

= ∫_{−r}^{r} dt R(t)e^{iαt} + i ∫_{0}^{r} dt R(r+it)e^{iα(r+it)}

− ∫_{−r}^{r} dt R(−t+ir)e^{iα(−t+ir)} − i ∫_{0}^{r} dt R(−r+i(r − t))e^{iα(−r+i(r−t))} .

Da R eine mindestens einfache Nullstelle in ∞ hat, gilt |R(z)| ≤ \frac{M}{1+|z|} für |z| groß genug und damit

| ∫_{0}^{r} dt R(r+it)e^{iα(±r+it)}| ≤ \frac{M}{1 + r} ∫_{0}^{r} dt e^{−αt} ≤ \frac{M}{α(1 + r)} ,
| ∫_{−r}^{r} dt R(−t+ir)e^{iα(−t+ir)}| ≤ \frac{M}{1 + r}e^{−αr} · 2r ,
| ∫_{0}^{r} dt R(−r+i(r − t))e^{iα(−r+i(r−t))}| ≤ \frac{M}{1 + r} ∫_{0}^{r} dt e^{−α(r−t)} ≤ \frac{M}{α(1 + r)} .

Folglich verschwinden die Integrale über γ_{1}, γ_{2}, γ_{3} im Limes r → ∞. Die Existenz des Limes r → ∞ für das reelle Integral über γ_{0} ergibt sich nach partieller Integration und Verwendung von |R′(x)| ≤ \frac{M}{(1+|x|)^{2}} . □

Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil können die reellen Integrale

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) cos(αx) = Re(2πi ∑_{a∈ℍ} res_{a}(R(z)e^{iαz})) ,

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) sin(αx) = Im(2πi ∑_{a∈ℍ} res_{a}(R(z)e^{iαz}))

berechnet werden (R als reelles Polynom vorausgesetzt). In Integralen ∫_{−∞}^{∞} dx R(x)e^{−iαx} mit α > 0 betrachte man zunächst das komplex-konjugiuerte Integral.

Beispiel 17.6 Gesucht ist ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin x}{1 + x^{2}} = Im( ∫_{−∞}^{∞} \frac{xe^{ix}}{1 + x^{2}} ). Die Voraussetzun-

gen von Satz 17.5 sind erfüllt, es gibt einen Pol bei x = i in der oberen Halbebene, so daß gilt

∫_{−∞}^{∞} \frac{xe^{ix}}{1 + x^{2}} = 2πi res_{i}(\frac{ze^{iz}}{(z + i)(z − i)}) = 2πi\frac{ie^{i·i}}{2i} = \frac{πi}{e} .

Somit gilt ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin x}{1 + x^{2}} = \frac{π}{e}. ◁

Diese Methode kann zunächst nicht auf reelle Integrale der Form ∫_{0}^{∞} dx R(x) angewandt werden, wenn R(x) ≠ R(−x) ist. Die rationale Funktion R soll keinen Pol auf der positiven reellen Achse haben, während Pole im Negativen zugelassen sind. Weiter muß R eine mindestens zweifache Nullstelle in ∞ haben. Hier bedarf es eines Tricks: Man betrachtet R(z)Log(e^{−iπ}z). Diese Funktion ist meromorph auf der im Positiven geschlitzten Ebene ℂ_{+} := ℂ \ ℝ_{+}. Deren Punkte haben eine Darstellung z = |z|e^{iϕ} mit 0 < ϕ < 2π. Der Integrationsweg wird für ϵ > 0 (aber klein) und 0 < ρ < r zusammengesetzt aus:

• γ_{1}(t) = t e^{iϵ} , t ∈ [ρ, r],

• γ_{2}(t) = r e^{it} , t ∈ [ϵ, 2π − ϵ],
• γ_{3}(t) = (r + ρ − t) e^{i(2π−ϵ)} , t ∈ [ρ, r],
• γ_{4}(t) = ρ e^{i(2π−t)} , t ∈ [ϵ, 2π − ϵ].

Hier darf e^{i2π} noch nicht zu 1 vereinfacht werden, damit im komplexen Logarithmus die richtige Argumentfunktion entsteht. Nach Substitution t ↦ (r + ρ − t) in γ_{3} und jetzt möglicher Reduktion e^{i2π} = 1 entsteht:

∫_{γ_{1}} dz R(z)Log(e^{−iπ}z) = e^{iϵ} ∫_{ρ}^{r} dt R(t e^{iϵ})(ln t + i(ϵ − π))
∫_{γ_{2}} dz R(z)Log(e^{−iπ}z) = ir ∫_{ϵ}^{2π−ϵ} dt e^{it}R(r e^{it})(ln r + i(t − π))
∫_{γ_{3}} dz R(z)Log(e^{−iπ}z) = −e^{−iϵ} ∫_{ρ}^{r} dt R(t e^{−iϵ})(ln t + i(π − ϵ))
∫_{γ_{4}} dz R(z)Log(e^{−iπ}z) = −iρ ∫_{ϵ}^{2π−ϵ} dt e^{−it}R(ρ e^{−it})(ln ρ + i(π − t)) .

Für r → ∞ geht r ln r |R(r)| → 0, da R eine mindestens zweifache Nullstelle in ∞ hat. Analog ist ρ(ln ρ + C)|R(ρ)| → 0 für ρ → 0. Schließlich heben sich in γ_{1} ∪ γ_{3} für ϵ → 0 die Beiträge mit ln t gegeneinander weg, während sich die Beiträge mit −iπ verdoppeln. Insgesamt ist bewiesen:

Satz 17.7 Es sei R eine rationale Funktion ohne Pol auf ℝ_{+} und mit mindestens zweifacher Nullstelle in ∞. Dann gilt

∫_{0}^{∞} dx R(x) = − ∑_{a∈ℂ_{+}} res_{a}(R(z) Log(e^{−iπ}z)) .

Beispiel 17.8 Sei I := ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1+x^{3}} . Es liegen Pole an den ungeraden 6. Einheitswurzeln ζ = e^{i \frac{π}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, ζ^{3} = −1 und ζ^{5} = e^{i \frac{5π}{3}} = \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2} vor. Mit e^{−iπ} = ζ^{−3} gilt

I = −(\frac{Log(ζ^{−2})}{3ζ^{2}} + \frac{Log(ζ^{0})}{3ζ^{6}} + \frac{Log(ζ^{2})}{3ζ^{10}}) = −\frac{1}{3}( − \frac{i2π}{3} ζ^{4} + 0 + \frac{i2π}{3} ζ^{2}) = \frac{2\sqrt{3}π}{9} .

Analog findet man

∫_{0}^{∞} \frac{x dx}{1 + x^{3}} = −(\frac{ζLog(ζ^{−2})}{3ζ^{2}} + \frac{ζ^{3}Log(ζ^{0})}{3ζ^{5}} + \frac{ζ^{5}Log(ζ^{2})}{3ζ^{10}})
= −\frac{1}{3}( − \frac{i2π}{3} ζ^{5} + 0 + \frac{i2π}{3} ζ) = \frac{2\sqrt{3}π}{9} .  ◁

Mit gleichem Integrationsweg berechnet man:

Satz 17.9 Es sei R eine rationale Funktion ohne Pol auf ℝ_{+}^{×}, höchstens einfachen Pol in 0 und mit mindestens zweifacher Nullstelle in ∞. Dann gilt für 0 < α < 1

∫_{0}^{∞} dx x^{α}R(x) = −\frac{π}{sin(πα)} ∑_{a∈ℂ_{+}} res_{a}(R(z) exp(α Log(e^{−iπ}z))) .

Beweis. Wieder tragen γ_{2}, γ_{4} zum Wegintegral nichts bei wegen r·r^{α} ln r |R(r)| → 0 für t → ∞ und ρ · ρ^{α} ln ρ |R(ρ)| → 0 für ρ → 0, selbst im Fall R(ρ) ∼ \frac{C}{ρ}. Die Logarithmen sind exp(αLog(e^{−iπ}z)) = exp(α(ln t − iπ) auf γ_{1} und exp(αLog(e^{−iπ}z)) = exp(α(ln t+iπ) auf γ_{3}, mit exp(α(ln t−iπ)−exp(α(ln t+iπ) = −2t^{α}i sin(πα). Einsetzen in den Residuensatz liefert die Behauptung. □

Beispiel 17.10 Es sei I = ∫_{0}^{∞} \frac{x^{\frac{1}{3}} dx}{x^{2}+16}. Es gibt Pole bei Vierfachen ungeraden 4. Einheitswurzeln, also 4e^{\frac{iπ}{2}} = 4i und 4e^{\frac{3iπ}{2}} = −4i. Somit folgt

∫_{0}^{∞} \frac{x^{\frac{1}{3}} dx}{x^{2} + 16} = −\frac{π}{sin \frac{π}{3}} (\frac{exp(\frac{1}{3}Log(4e^{− \frac{iπ}{2}} ))}{2 · (4i)} + \frac{exp(\frac{1}{3}Log(4e^{\frac{iπ}{2}} ))}{2 · (−4i)})
= −\frac{π\sqrt[3]{4}}{4\sqrt{3}i}(e^{− \frac{iπ}{6}} − e^{\frac{iπ}{6}} ) = \frac{π}{2 · \sqrt[3]{2} · \sqrt{3}} .  ◁

Als letzte Klasse von Integralen betrachten wir:

Satz 17.11 Es sei R eine rationale Funktion ohne Pol auf ℝ_{+} und mit mindestens zweifacher Nullstelle in ∞. Dann gilt

∫_{0}^{∞} dx R(x) ln x = −\frac{1}{2} ∑_{a∈ℂ_{+}} res_{a}(R(z) (Log(e^{−iπ}z))^{2}) .

Beweis. Wir verwenden die Integrationswege γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4} wie zuvor. Dabei tragen γ_{2} für r → ∞ und γ_{4} für ρ → 0 nichts bei. Die Logarithmen sind (Log(e^{−iπ}z))^{2} = (ln t−iπ)^{2} auf γ_{1} und (αLog(e^{−iπ}z))^{2} = (ln t+iπ)^{2} auf γ_{3}. In der Differenz überlebt −4πi ln t, was eingesetzt in den Residuensatz die Behauptung ergibt. □

Rekursiv lassen sich mit dieser Methode auch Integrale der Form ∫_{0}^{∞} dx R(x)(ln x)^{k} berechnen.

Beispiel 17.12 Es sei I = ∫_{0}^{∞} \frac{ln x dx}{x^{2}+16}. In offensichtlicher Abwandung des letzten Beispiels ergibt sich

∫_{0}^{∞} \frac{ln x dx}{x^{2} + 16} = −\frac{1}{2}(\frac{(Log(4e^{− \frac{iπ}{2}} ))^{2}}{2 · (4i)} + \frac{(Log(4e^{\frac{iπ}{2}} ))^{2}}{2 · (−4)i)} )
= −\frac{1}{16i}((ln 4 − \frac{iπ}{2})^{2} − (ln 4 + \frac{iπ}{2})^{2}) = \frac{π ln 2}{4} .  ◁

Teil V

Ausgewählte Anwendungen

Zunächst einige Vorbemerkungen. Wir werden im folgenden auf unendliche Reihen und Produkte holomorpher Funktionen stoßen, von denen wir wünschen, daß sie wieder holomorphe Funktionen definieren. Das erfordert ein Vertauschen von Grenzprozessen. Auch hier ist die Situation sehr viel günstiger als im Reellen. Da die Ableitung über ein Integral definierbar ist, und das Riemann-Integral mit gleichmäßiger Konvergenz vertauscht, gilt:

Satz 17.13 Es sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge holomorpher Funktionen f_{n} : G → ℂ, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f : G → ℂ konvergiert, d.h. zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß |f_{n}(z) − f(z)| < ϵ für alle z ∈ G und alle n ≥ N. Dann ist f holomorph, und die Folge (f′_{n}) der Ableitungen konvergiert gleichmäßig gegen f′.

Tatsächlich genügt lokal gleichmäßige Konvergenz, d.h. es gibt zu jedem z ∈ G eine Umgebung, in der (f_{n}) gleichmäßig gegen f konvergiert (entprechend konvergiert f′_{n} nur lokal gleichmäßig gegen f′). Schon der obige Satz ist grundlegend falsch in Reellen, selbst bei nur einmaliger Differenzierbarkeit: Nach dem Satz von Weierstraß gibt es zu jeder (nur!) stetigen Funktion f : [a, b] → ℝ eine Folge von Polynomen, die gleichmäßig gegen f konvergiert.

Für die meisten Anwendungen ist der folgende Konvergenzbegriff der sinnvollste:

Definition 17.14 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} f_{n} holomorpher Funktionen f_{n} : G → ℂ heißt normal konvergent, falls es zu jedem z ∈ G eine Umgebung U_{z} ⊆ G gibt, so daß ∑_{n=0}^{∞}(sup_{w∈U_{z}} |f(w)|) konvergiert.

Jede Potenzreihe ist normal konvergent im Inneren ihres Konvergenzkreises. Die Unterscheidung wird notwendig bei Funktionen wie ζ(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}}, die keine Potenzreihen sind.

Der folgende Satz, den wir nicht beweisen, sichert die gewünschten Eigenschaften:

Satz 17.15 Sei ∑_{n=0}^{∞} f_{n} eine gegen F : G → ℂ normal konvergente Reihe holomorpher Funktionen f_{n} : G → ℂ. Dann gilt:

i) Die Reihe konvergiert absolut und lokal gleichmäßg. Sie kann beliebig umgeordnet werden.

ii) Die Reihe F ist holomorph, und die Reihe der Ableitungen ∑_{n=0}^{∞} f′_{n} konvergiert normal gegen F′.

18 Partialbruchzerlegungen

Exemplarisch beweisen wir:

Satz 18.1 Für alle z ∈ ℂ \ ℤ gilt

π cot(πz) = \frac{1}{z} + ∑_{k∈ℤ\\{0\}} (\frac{1}{z − k} + \frac{1}{k}) = \frac{1}{z} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{2z}{z^{2} − k^{2}} .

In dieser Darstellung konvergieren alle Reihen absolut (sogar normal) auf ℂ \ ℤ.

Beweis. Für festes z ∈ ℂ\ℤ betrachten wir die bezüglich w meromorphe Funktion f(w) = \frac{πz cos(πw)}{w(w−z) sin(πw)}. Sie hat einfache Pole bei w = z mit Residuum res_{z}f =

π cot(πz) sowie bei w = k ∈ ℤ \ \{0\} mit Residuum res_{k}f = \frac{πz cos(πw)}{w(w−z) sin′(πw)} |_{w=k} = \frac{z}{k(k−z)}. In 0 liegt ein Pol 2. Ordnung vor. Reihenentwicklung zeigt für w → 0

f(w) = \frac{πz(1 − \frac{1}{2}π^{2}w^{2} + O(w^{4}))}{w(−z)(1 − \frac{w}{z})(πw + O(w^{3})} = −\frac{(1 − \frac{1}{2}π^{2}w^{2})(1 + \frac{w}{z}) + O(w^{2})}{w^{2}}

und deshalb res_{0}f = −\frac{1}{z}.

Für N ∈ ℕ sei A_{N} ⊆ ℂ das Quadrat mit Mittelpunkt 0 und Kantenlänge (2N + 1). Für N > |z| liegen genau die isolieren Singularitäten bei z, −N, −N + 1, …, −1, 0, 1, …, N im Inneren von A_{N}. Somit gilt nach Residuensatz

\frac{1}{2πi} ∫_{∂A_{N}} dw f(w) = π cot(πz) − \frac{1}{z} + ∑_{k=1}^{N} \frac{z}{k(k − z)} + ∑_{k=−N}^{−1} \frac{z}{k(k − z)} .

Wir zeigen, daß für N → ∞ das Kurvenintegral auf der linken Seite verschwindet. Einfache Umstellung liefert dann die Partialbruchzerlegung für π cot(πz). Wegen |\frac{1}{w(w−z)}| ≤ \frac{1}{N(N−|z|)} für |w| > N > |z| und der Länge 4(2N +1) des Randes genügt es zu zeigen, daß cot(πw) auf ∂A_{N} beschränkt ist. Auf den horizontalen Wegen t ± \frac{2N+1}{2}i (Orientierung ignoriert) gilt

| cot(π(t ± \frac{2N+1}{2})i)| = | ± i\frac{e^{2π(±it− \frac{2N+1}{2} )} + 1}{e^{2π(±it− \frac{2N+1}{2} )} − 1}| ≤ \frac{1 + e^{−(2N+1)π}}{1 − e^{−(2N+1)π}} ⟶^{N→∞} 1 .

Auf den vertikalen Wegen it ± \frac{2N+1}{2} gilt

| cot(π(it ± \frac{2N+1}{2}))| = |i\frac{e^{2π(−t± \frac{2N+1}{2} i)} + 1}{e^{2π(−t± \frac{2N+1}{2} i)} − 1}| = \frac{|1 − e^{−2πt}|}{e^{−2πt} + 1} ≤ 1 .

Insgesamt ist cot(πw) auf ∂A_{N} beschränkt und die Partialbruchzerlegung bewiesen. □

Der Satz ist ist Spezialfall eines tiefen Theorems von Mittag-Leffler über meromorphe Funktionen mit vorgegebenen Polstellen (das wir nicht beweisen):

Satz 18.2 (Mittag-Leffler) Sei S ⊆ ℂ eine Menge ohne Häufungspunkt in ℂ. Zu jedem s ∈ S sei eine ganze Funktion h_{s} : ℂ → ℂ vorgegeben mit h_{s}(0) = 0. Dann existiert eine (nur bis auf Addition von ganzen Funktionen eindeutige) holomorphe Funktion f : (ℂ \ S) → ℂ derart, daß zu jedem s ∈ S die Funktion f(z) − h_{s}(\frac{1}{z−s}) holomorph nach s fortsetzbar ist.

Bemerkungen. Ist S = {s_{1}, …, s_{N}} eine endliche Menge, so ist eine Lösung des Problems einfach f(z) = ∑_{k=1}^{N} h_{s_{k}}(\frac{1}{z−s_{k}}). Ist S unendlich, so wird man normale Konvergenz der Reihe fordern, was aber nicht automatisch ist. Die Idee besteht darin, in einem möglichen Punkt 0 ∈ S alles so zu lassen, in 0 ≠ s ∈ S aber ein Taylorpolynom geeigneter Ordnung abzuziehen, also ∑_{0≠s∈S} (h_{s}(\frac{1}{z−s}) − h_{s}(− ∑_{j_{s}=0}^{n_{s}} \frac{z^{js}}{s^{js+1}} )) zu betrachten. Genau das passiert in der Partialbruchentwicklung von π cot(πz), wo wir nicht einfach ∑_{0≠k∈ℤ} \frac{1}{z−k} nehmen können (weil divergent), sondern ∑_{0≠k∈ℤ} (\frac{1}{z−k} − (−\frac{1}{k})) (d.h. n_{s} = 0 für alle s).

Durch Verschiebung um \frac{π}{2}, Differenzieren sowie Ausnutzen von Identitäten wie \frac{1}{sin(πz)} = cot \frac{πz}{2} − cot(πz) gewinnt man weitere Partialbruchzerlegungen:

\frac{π}{sin(πz)} = \frac{1}{z} + ∑_{k∈ℤ\\{0\}} (\frac{(−1)^{k}}{z − k} + \frac{(−1)^{k}}{k} ) = \frac{1}{z} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}2z}{z^{2} − k^{2}} ,

\frac{π^{2}}{sin^{2}(πz)} = ∑_{k∈ℤ} \frac{1}{(z − k)^{2}} = \frac{1}{z^{2}} + 2 ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{2} + k^{2}}{(z^{2} − k^{2})^{2}} ,

π tan(πz) = − ∑_{k∈ℤ} (\frac{1}{z − k + \frac{1}{2}} + \frac{1}{k − \frac{1}{2}} ) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{8z}{(2k + 1)^{2} − 4z^{2}} ,

\frac{π^{2}}{cos^{2}(πz)} = ∑_{k∈ℤ} \frac{1}{(z − k + \frac{1}{2})^{2}} ,

\frac{π}{cos(πz)} = π + ∑_{k∈ℤ}^{∞} (\frac{(−1)^{k}}{z + \frac{2k+1}{2}} − \frac{(−1)^{k}}{\frac{2k+1}{2}} ) = π + ∑_{k=0}^{∞} \frac{4z^{2}(−1)^{k}}{(2k + 1)((\frac{2k+1}{2})^{2} − z^{2})} .

Für z = \frac{1}{2} in den ersten beiden Identitäten, z = \frac{1}{4} in der dritten Identität und z = 1 in der letzten Identität folgen die Reihendarstellungen

\frac{π}{4} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)} ,  \frac{π^{2}}{8} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(2k + 1)^{2}} ,

\frac{π}{8} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(4k + 1)(4k + 3)} ,  −\frac{π}{8} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k − 1)(2k + 1)(2k + 3)} .

Die erste Gleichung, die nur nach Leibniz-Kriterium (nicht absolut) konvergiert, wird für die absolut konvergente Reihendarstellung für \frac{π}{cos(πz)} benötigt. Weitere Identitäten entstehen nach Substitution z ↦ iz, wie z.B. aus den Zerlegungen von tanh und coth (jeweils für a > 0)

∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(2k + 1)^{2} + a^{2}} = \frac{π}{4a} · \frac{e^{πa} − 1}{e^{πa} + 1} ,  ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2} + a^{2}} = \frac{π}{2a} · \frac{e^{2πa} + 1}{e^{2πa} − 1} − \frac{1}{2a^{2}} .

Die Partialbruchzerlegungen gelten für alle z ∈ ℂ \ S. In der Nähe eines Punktes s ∈ S kann man sie mit Potenzreihenentwicklungen vergleichen. Von besonderem Interesse ist hier die Funktion f(z) = \frac{z}{exp(z)−1}, die wir in einer Umgebung von 0 betrachten. Die betragsmäßig kleinste Polstelle ist z = 2πi, so daß f(z) in K_{2π}(0) in eine Potenzreihe entwickelbar ist,

\frac{z}{exp(z) − 1} =: ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n}z^{n}}{n!} , B_{0} = 1, B_{1} = −\frac{1}{2}, B_{2} = \frac{1}{6}, B_{3} = 0, B_{4} = −\frac{1}{30}, ….

Die Entwicklungskoeffizienten B_{n} heißen Bernoulli-Zahlen. Sie spielen eine wichtige Rolle in Zahlentheorie und Kombinatorik. Es gilt

\frac{z}{exp(z) − 1} + \frac{z}{2} = \frac{z}{2}(\frac{exp(z) + 1)}{exp(z) − 1}) = \frac{z}{2} coth \frac{z}{2} .

Da die rechte Seite eine gerade Funktion ist, verschwinden bis auf B_{1} = −\frac{1}{2} sämtliche ungeraden Bernoulli-Zahlen. Nach Substitution z ↦ 2πiz und n ↦ \frac{n}{2} erhalten wir eine Reihendarstellung

πz cot(πz) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}B_{2n}(2π)^{2n}}{(2n)!} z^{2n} .

Mittels tan z = cot z − 2 cot(2z) beweist man daraus die Tangens-Reihe

tan z = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}4^{n}(4^{n} − 1)B_{2n}}{(2n)!} z^{2n−1} (mit Konvergenzradius \frac{π}{2} ).

Andererseits ergibt Reihenentwicklung der Partialbruchzerlegung in z = 0

πz cot(πz) = 1 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{2z^{2}}{z^{2} − k^{2}} = 1 − 2 ∑_{k=1}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} (\frac{z^{2}}{k^{2}} )^{n} = 1 − 2 ∑_{n=1}^{∞} ( ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2n}} )z^{2n} .

Hierbei konnten wegen der absoluten Konvergenz der Doppelreihe die Reihenfolge der Summationen getauscht werden. Koeffizientenvergleich liefert:

Satz 18.3 (Euler) Für n ∈ ℕ, n ≥ 1 gilt

ζ(2n) := ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2n}} = (−1)^{n−1} \frac{(2π)^{2n}}{2(2n)!} B_{2n} .

Die ersten Werte sind ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} , ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{4}} = \frac{π^{4}}{90} und ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{6}} = \frac{π^{6}}{945}.

Einige Folgerungen und Bemerkungen:

• ζ(2n) ist ein rationales Vielfaches von π^{2n}, also immer irrational.

• Die B_{2n} haben alternierende Vorzeichen (−1)^{n−1}.

• In Gegensatz zur Erwartung aus den niedrigsten B_{2n} werden die Bernoulli-Zahlen betragsmäßig sehr groß, nämlich |B_{2n}| ∝ \frac{2(2n)!}{(2π)^{2n}} für n → ∞. Daraus folgt auch der Konvergenzradius der Tangens-Reihe.

• Über die ungeraden ζ(2n + 1) mit n = 1, 2, … weiß man erst seit kurzem etwas: ζ(3) ist irrational [Apéry, 1979], es gibt unendlich viele irrationale ζ(2n + 1) [Rivoal, 2000], und zumindest eine der Zahlen ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ist irrational [Zudilin, 2001].

19 Unendliche Produkte

Wir möchten einem Produkt ∏_{n=1}^{∞}(1+f_{n}(z)) einen Sinn geben. Konvergenz kann nur erwartet werden für f_{n}(z) → 0. Wir fordern, daß es in einer Umgebung U_{z} von z ein uniformes N ∈ ℕ gibt mit sup_{w∈U_{z}} |f_{n}(w)| < 1 für alle n ≥ N und alle z ∈ U_{z}. Dann ist folgende Definition sinnvoll auf U_{z}:

∏_{n=1}^{∞}(1 + f_{n}(z)) := ( ∏_{n=1}^{N}(1 + f_{n}(z))) exp ( ∑_{n=N+1}^{∞} Log(1 + f_{n}(z))) .

Wir nennen das unendliche Produkt normal (bzw. absolut) konvergent, falls die Reihe unter der Exponentialfunktion normal (bzw. absolut) konvergiert. Ein einfaches Kriterium ist:

Lemma 19.1 Das unendliche Produkt ∏_{n=1}^{∞}(1 + f_{n}(z)) konvergiert genau dann normal, wenn die Reihe ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(z) normal konvergiert.

Beweis. Die Funktion |\frac{log(1+w)}{w}| ist stetig auf \overline{K_{r}(0)} für jedes 0 < r < 1 und nimmt deshalb Maximum und Minimum an, d.h. es gibt c_{1}, c_{2} > 0 mit c_{1}|w| ≤ | log(1 + w)| ≤ c_{2}|w| für alle |w| ≤ r. Deshalb konvergiert ∑_{n=N+1}^{∞} Log(1 + f_{n}(z)) genau dann normal, wenn ∑_{n=N+1}^{∞} sup_{w∈U_{z}} |f_{n}(w)| konvergiert. □

Aus Satz 17.15 folgt:

Satz 19.2 Die Grenzfunktion F (z) = ∏_{n=1}^{∞}(1+f_{n}(z)) eines normal konvergentes unendliches Produkts holomorpher Funktionen f_{n} : G → ℂ ist wieder holomorph, und außerhalb der Nullstellen von (1 + f_{n}) gilt

\frac{F′(z)}{F (z)} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{f′_{n}(z)}{1 + f_{n}(z)} .

Offenbar ist ∏_{n=1}^{∞}(1+f_{n}(z)) = 0 in einem z ∈ G genau dann, wenn 1+f_{n}(z) = 0 für ein n ∈ ℕ. Deshalb treten unendliche Produkte in folgender Problemstellung auf:

19.3 Nullstellenverteilung. Gegeben eine Menge S ⊆ ℂ ohne Häufungspunkt und zu jedem s ∈ S natürliche Zahlen ν_{s} ≥ 1. Gibt es eine ganze Funktion f : ℂ → ℂ, die genau in den Punkten s ∈ S Nullstellen der Vielfachheit ν_{s} hat?

Ist S = {s_{1}, …, s_{N}} eine endliche Menge, eventuell mit s_{0} = 0, sonst s_{>0} ≠ 0, so ist eine Lösung offenbar das Polynom f(z) = z^{ν_{0}} ∏_{k=1}^{N}(1 − \frac{z}{s_{k}})^{ν_{k}}. Für unendliche Mengen S ist zunächst unklar, ob man normale Konvegenz des unendlichen Produkts erreichen kann. Daß das möglich ist, ist Gegenstand eines tiefen Theorems von Weierstraß:

Satz 19.4 (Weierstraß) Das Problem der Nullstellenverteilung ist lösbar in ℂ, und zwar mit dem Ansatz

f(z) = z^{ν_{0}} ∏_{0≠s∈S} ((1 − \frac{z}{s}) exp (\frac{z}{s} + \frac{1}{2}(\frac{z}{s})^{2} + ⋯ + \frac{1}{k_{s}} (\frac{z}{s})^{k_{s}}))^{ν_{s}}

für geeignete k_{s} ∈ ℕ.

Eine solche Lösung kann nur eindeutig sein bis auf Multiplikation mit einer ganzen Funktion g ohne Nullstellen. Nach einer Übungsaufgabe (Blatt6, Aufgabe 1) läßt sich eine solche Funktion immer schreiben als g(z) = exp(h(z)) für eine ganze Funktion h.

Beispiel 19.5 Gesucht sei eine ganze Funktion, die Nullstellen genau in allen Punkten aus ℤ hat. Eine Lösung nach Weierstraß ist

f(z) = z( ∏_{k=1}^{∞}(1 − \frac{z}{k})e^{\frac{z}{k}} )( ∏_{k=1}^{∞}(1 + \frac{z}{k})e^{− \frac{z}{k}} ) .

Wegen (1 − \frac{z}{k})e^{\frac{z}{k}} = 1 − ∑_{n=2}^{∞} \frac{n−1}{n!}(\frac{z}{k})^{n} und ∑_{n=3}^{∞} \frac{n−1}{n!} = \frac{1}{2} (Teleskopsumme!)

gilt |1 − (1 − \frac{z}{k})e^{\frac{z}{k}} | ≤ \frac{3|z|^{2}}{2k^{2}} für alle k > |z|. Damit ist das obige unendliche Produkt normal konvergent. Durch Zusammenfassen von k und (−k) entsteht das bereits normal konvergente Produkt f(z) = z ∏_{k=1}^{∞}(1 − \frac{z^{2}}{k^{2}} ). Eine weitere ganze Funktion mit denselben einfachen Nullstellen ist g(z) = sin(πz), so daß \frac{f}{g} eine noch unbekannte ganze Funktion ohne Nullstellen ist. Um sie zu finden, betrachten wir \frac{g′(z)}{g(z)} = π cot(πz) und \frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{1}{z} − ∑_{k=1}^{∞} \frac{2z}{k^{2}−z^{2}} . Nach Vergleich mit

der Partialbruchzerlegung des Cotangens sehen wir \frac{g′(z)}{g(z)} = \frac{f′(z)}{f(z)} für z ∈ ℂ \ ℤ. Daraus folgt (\frac{f}{g})′(z) = 0 und dann \frac{f}{g} konstant auf ℂ \ ℤ. Da \frac{f}{g} sogar ganz ist, ist \frac{f}{g} sogar konstant auf ganz ℂ. Wegen lim_{z→0} \frac{f(z)}{z} = 1 und lim_{z→0} \frac{g(z)}{z} = π ist diese Konstante gleich π. Es folgt das Sinusprodukt

sin(πz) = πz ∏_{k=1}^{∞} (1 − \frac{z^{2}}{k^{2}} ) .

Analog durch Vergleich von \frac{g′(z)}{g(z)} = −π tan(πz) mit der Partialbruchzerlegung des Tangens folgt das Cosinusprodukt

cos(πz) = ∏_{k=0}^{∞} (1 − \frac{4z^{2}}{(2k + 1)^{2}} ) .

Die relative Konstante ergibt sich aus dem Wert bei z = 0. Nach Substitution z ↦ iz folgen

sinh(πz) = πz ∏_{k=1}^{∞} (1 + \frac{z^{2}}{k^{2}} ) ,  cosh(πz) = ∏_{k=0}^{∞} (1 + \frac{4z^{2}}{(2k + 1)^{2}} ) .  ◁

Für z = \frac{1}{2} wird das Sinusprodukt zum Wallisschen Produkt

\frac{π}{2} = ∏_{k=1}^{∞} \frac{4k^{2}}{4k^{2} − 1} = lim_{n→∞}(2n + 1) ∏_{k=1}^{n} \frac{(2k)^{2}}{(2k + 1)^{2}} .

Aus lim_{z→1} \frac{sin(πz)}{1−z} = π folgt

∏_{k=2}^{∞} (1 − \frac{1}{k^{2}} ) = \frac{1}{2} .

20 Die Gamma-Funktion

Die Gamma-Funktion Γ(z) hat viele Darstellungen. Man startet mit einer und beweist mittels Identitätssätzen die anderen. Wir entscheiden uns für das Gamma-Integral als Ausgangspunkt, dessen Holomorphiebeweis wir aber nur skizzieren.

Satz 20.1 Das folgende uneigentliche Riemann-Integral konvergiert für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 0:

Γ(z) := ∫_{0}^{∞} dt t^{z−1}e^{−t} .

Die so definierte Funktion Γ ist holomorph auf der rechten Halbebene mit

Γ^{(k)}(z) = ∫_{0}^{∞} dt t^{z−1}(ln t)^{k} e^{−t} .

Weiter ist Γ(z) auf dem Streifen 1 ≤ Re(z) ≤ 2 beschränkt und erfüllt

Γ(1) = 1 ,  Γ(z + 1) = zΓ(z)  für alle Re(z) > 0 .

Beweis. Sei z = x+iy mit x > 0 und y ∈ ℝ. Wegen |t^{z−1}| = |e^{(x−1) ln t+iy ln t}| = t^{x−1} genügt es, die Konvergenz der Majorante ∫_{0}^{∞} dt t^{x−1}e^{−t} für x > 0 zu untersuchen. Man teilt das Integral in 1, wobei die Konvergenz von ∫_{1}^{R} dt t^{x−1}e^{−t} bei R → ∞ wegen der Majorante t^{x−1}e^{−t} ≤ Ce^{− \frac{t}{2}} unkritisch ist. Im unteren Intervall gilt | ∫_{ϵ}^{1} dt t^{x−1}e^{−t}| ≤ ∫_{ϵ}^{1} dt t^{x−1} = \frac{t^{x}}{x} |_{ϵ}^{1} ≤ \frac{1}{x}. Somit konvergiert das Gamma-Integral für alle Re(z) > 0.

Den Beweis der Holomorphie skizzieren wir nur. Zum einen betrachtet man die Folge Γ_{n}(z) := ∫ n_{\frac{1}{n}} dt t^{z−1}e^{−t}, n ≥ 1, die lokal gleichmäßig gegen Γ(z) konvergiert. Nach Satz 17.15 (auch nicht bewiesen) genügt es dann, daß Γ_{n}(z) holomorph ist. Hier zeigt man reelle Differenzierbarkeit und Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Beides ergibt sich aus der Konvergenz der Integrale ∫_{0}^{∞} dt t^{z−1}(ln t)^{k} e^{−t} (beachte \frac{dt^{z}}{dz} = \frac{de^{z ln t}}{dz} = t^{z} ln t) sowie Vertauschungssätzen der Integration im Mehrdimensionalen, vor allem dem Satz von Lebesgue. Wir möchten das nicht im Detail diskutieren.

Für 1 ≤ Re(z) ≤ 2 ist |t^{z−1}| ≤ 1 für 0 ≤ t ≤ 1 und |t^{z−1}| ≤ t für t ≥ 1. Mit ∫_{0}^{1} dt e^{−t} = 1 − \frac{1}{e} und ∫_{1}^{∞} dt te^{−t} = \frac{2}{e} folgt |Γ(z)| ≤ 1 + \frac{1}{e} für alle 1 ≤ Re(z) ≤ 2.

Schließlich ist Γ(1) = ∫_{0}^{∞} dt e^{−t} = 1, und die Rekursionsformel folgt nach partieller Integration:

∫_{ϵ}^{R} dt t^{z}e^{−t} = − ∫_{ϵ}^{R} dt t^{z}(e^{−t})′ = −t^{z}e^{−t}|_{ϵ}^{R} + z ∫_{ϵ}^{R} dt t^{z−1}e^{−t} .

Die Behauptung folgt aus lim_{ϵ→0} ϵ^{z}e^{−ϵ} = 0 für Re(z) > 0 und lim_{R→∞} R^{z}e^{−r} = 0. □

Aus Γ(1) = 1 und Rekursion folgt Γ(n) = (n − 1)! für alle n ∈ ℕ^{×}. Indem wir die Rekursionsgleichung Γ(z + 1) = zΓ(z) als für Re(z) ≤ 0 (bis auf diskrete Ausnahmen) gültig erklären, können wir mittels

Γ(z) = \frac{Γ(z + k)}{z(z + 1) ⋯ (z + k − 1)} , k ∈ ℕ ,

die Gamma-Funktion definieren auch in {z ∈ ℂ : Re(z) ≤ 0, −z ∉ ℕ}. Denn sei Re(z) ≤ 0, aber −z ∉ ℕ, dann finden wir ein k > −Re(z) derart, daß Γ(z) durch obige Gleichung definiert ist. Aus der in der rechten Halbebene gültigen Rekursionsgleichung folgt, daß die Definition unabhängig von −Re(z) < k ∈ ℕ ist. Auf diese Weise wird eine auf ℂ \ (−ℕ) meromorphe Funktion Γ(z) erklärt, mit einfachen Polen in (−ℕ) und Residuen (setze oben k ↦ n + 1)

res_{−n}Γ(z) = lim_{z→−n}(z − (−n))\frac{Γ(z + n + 1)}{z(z + 1) ⋯ (z + n − 1)(z + n)} = \frac{(−1)^{n}}{n!} .

Unser Ziel sind weitere Charakterisierungen der Gamma-Funktion, die wir als solche aus einem einfachen Kriterium erkennen:

Satz 20.2 (Wieland) Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, das den Streifen V := {z ∈ ℂ : 1 ≤ Re(z) < 2} enthält. Eine holomorphe Funktion f : G → ℂ sei auf V beschränkt und erfülle f(z + 1) = zf(z) für alle Paare z, z + 1 ∈ G. Dann gilt f(z) = f(1)Γ(z) für alle z ∈ G.

Beweis. Mittels Rekursionsformel setzt man f meromorph fort auf ℂ \ (−ℕ), mit einfachen Polen in (−ℕ) und Residuen res_{−n}f(z) = \frac{f(1)(−1)^{n}}{n!} . Somit ist g(z) := f(z) − f(1)Γ(z) eine ganze Funktion und als solche auf dem kompakten Rechteck R := {z ∈ ℂ : 0 ≤ Re(z) ≤ 1 , −1 ≤ Im(z) ≤ 1} beschränkt.

Aus der Rekursionsformel g(z) = \frac{g(z+1)}{z} und der Beschränktheit von g im Punkt z + 1 ∈ V folgt dann, daß g auf den Streifen V_{±} := {z ∈ ℂ : 0 ≤ Re(z) < 1 , 1 < ±Im(z)} oberhalb und unterhalb R beschränkt ist. Weiter ist g beschränkt auf der gesamten zu V gehörenden Geraden Re(z) = 1. Insgesamt ist gezeigt: Die ganzen Funktionen g und dann h, definiert durch h(z) = g(z)g(1−z) sind auf {z ∈ ℂ : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} beschränkt.

Die Funktion h ist bis auf Vorzeichen periodisch wegen

h(z + 1) = g(z + 1)g(1 − (z + 1)) = zg(z)g(−z) = −g(z)g(1 − z) = −h(z)

und dann h(z + k) = (−1)^{k}h(z) für alle k ∈ ℤ. Damit ist h auf ganz ℂ beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant gleich h(1) = g(1)g(0) = 0 (denn g(1) = 0 und g(0) beschränkt). Nach Identitätssatz ist dann eine der Funktionen g(z) oder g(1 − z), und dann beide, identisch Null auf ganz ℂ (nicht beide Funktionen g(z), g(1−z) können in einer beliebigen offenen Teilmenge von ℂ nur endlich viele Nullstellen haben). □

Wir konstruieren eine weitere Funktion mit diesen Eigenschaften, ausgehend von der Tatsache, daß \frac{1}{Γ(z)} einfache Nullstellen genau in (−ℕ) hat. Nach dem Weierstraßschen Produktsatz ist

f(z) = z ∏_{k=1}^{∞} ((1 + \frac{z}{k} )e^{− \frac{z}{k}} )

eine ganze Funktion mit denselben Nullstellen. Diese muß nichts mit \frac{1}{Γ} zu tun haben, denn Γ(z) könnte Nullstellen, und dann \frac{1}{Γ(z)} Polstellen haben. Wie schon im Sinusprodukt bemerkt, konvergiert das unendliche Produkt normal, und es gilt f(z) = lim_{n→∞} f_{n}(z) mit

f_{n}(z) = z ∏_{k=1}^{n} ((1 + \frac{z}{k} )e^{− \frac{z}{k}} ) = \frac{z(z + 1) ⋯ (z + n)}{n!} exp ( − z ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) .

Für z = 1 sind alle Faktoren reell und positiv, also kann der Logarithmus genommen werden: ln(f_{n}(1)) = ln(n + 1) − ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}. Wegen der normalen Konvergenz der Reihe [und lim_{n→∞}(ln(n + 1) − ln(n)) = 0] existiert der Grenzwert

γ := lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n} − ln n) = 0.5772 …,

die Euler-Mascheroni-Konstante (von der man nicht einmal weiß, ob sie irrational ist). Nun sind die folgenden Eigenschaften schon gezeigt oder offensichtlich:

Satz 20.3 Seien

G(z) := ze^{γz} ∏_{k=1}^{∞} ((1 + \frac{z}{k} )e^{− \frac{z}{k}} ) , G_{n}(z) := \frac{z(z + 1) ⋯ (z + n)}{n^{z} n!} .

Dann gilt:

i) Die Funktionen G, G_{n} sind ganz, und G_{n}(z) konvergiert normal gegen G(z) für alle z ∈ ℂ.

ii) G(1) = 1 und G_{n}(1) = 1 + \frac{1}{n}.

iii) \frac{z+n+1}{n}G_{n}(z) = zG_{n}(z + 1) und somit G(z) = zG(z + 1). □

Nun der entscheidende Satz:

Satz 20.4 Für alle z ∈ ℂ \ (−ℕ) gilt

Γ(z) = \frac{1}{G(z)} = \frac{e^{−γz}}{z} ∏_{k=1}^{∞} (\frac{e^{\frac{z}{k}}}{1 + \frac{z}{k}} ) = lim_{n→∞} \frac{n^{z} n!}{z(z + 1) ⋯ (z + n)} .

Insbesondere hat Γ keine Nullstellen. Es gilt die Ergänzungsformel Γ(z)Γ(1−z) = \frac{π}{sin(πz)}.

Beweis. Die Funktion \frac{1}{G(z)} erfüllt die Rekursionsformel und die Normierung der Gamma-Funktion. Nach dem Satz von Wieland ist nur noch die Beschränktheit auf 1 ≤ Re(z) < 2 zu zeigen. Sei z = x + iy mit x > 0, dann ist |n^{z}| = n^{x} und |z + k| ≥ x + k, also |\frac{n^{z} n!}{z(z+1)···(z+n)} | ≤ \frac{n^{x} n!}{x(x+1)···(x+n)} = \frac{1}{G_{n}(x)} und deshalb |\frac{1}{G(z)}| ≤ \frac{1}{G(Re(z))} für alle Re(z) > 0. Nun hat G(x) als Produkt positiver Funktionen keine Nullstelle auf ℝ_{+}. Die somit auf ℝ_{+} stetige Funktion \frac{1}{G(x)} ist nach Extremwertsatz auf [1, 2] beschränkt. Zusammengefaßt ist \frac{1}{G(z)} auf dem Streifen V beschränkt, und deshalb Γ(z) = \frac{1}{G(z)} nach Wieland.

Der Vergleich mit dem Sinusprodukt zeigt \frac{G(z)G(−z)}{(−z)} = \frac{sin(πz)}{π}. Die Behauptung

folgt dann aus \frac{G(−z)}{(−z)} = G(1 − z). □

Folgerung 20.5 i) Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π} und Γ(n+ \frac{1}{2}) = \sqrt{π} ∏_{k=1}^{n}(k− \frac{1}{2}) = \frac{(2n)!}{4^{n}n!} \sqrt{π}.

ii) ∫_{0}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{π} und ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \sqrt{π}.

Beweis. i) folgt aus Ergänzungsformel und Rekursionsformel. ii) Substitution x = \sqrt{t}, mit dx = \frac{1}{2}t^{− \frac{1}{2}} dt auf ℝ_{+} führt auf ∫_{0}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} dt t^{\frac{1}{2} −1}e^{−t} = \frac{1}{2}Γ(\frac{1}{2}). □

Satz 20.6 (Legendresche Verdopplungsformel) Für alle z ∈ ℂ \ \{0, −\frac{1}{2}, −1, −\frac{3}{2}, −2, … \} gilt Γ(2z) = \frac{4^{z}}{2\sqrt{π}}Γ(z)Γ(z + \frac{1}{2}).

Beweis. Wir zeigen, daß f(z) = 2^{z}Γ(\frac{z}{2})Γ(\frac{z+1}{2}) die Voraussetzungen des Satzes von Wieland erfüllt. Nach Rekursionsformel ist Γ(z) auch für \frac{1}{2} ≤ Re(z) < \frac{3}{2} beschränkt, und dann ist f auf V beschränkt. Holomorphie ist klar, und f(z+1) = 2·2^{z}Γ(\frac{z+1}{2})Γ(\frac{z}{2} +1) = zf(z). Mit f(1) = 2Γ(\frac{1}{2})Γ(1) = 2\sqrt{π} folgt die Behauptung.

□

Mit derselben Technik zeigt man die Gaußsche Multiplikationsformel

Γ(nz) = (2π)^{\frac{1−n}{2}} n^{nz− \frac{1}{2}} ∏_{k=0}^{n−1} Γ(z + \frac{k}{n}) .

Schließlich erwähnen wir ohne Beweis:

Satz 20.7 (Stirlingsche Formel) Für z ∈ ℂ_{−} gilt

Γ(z) = \sqrt{2π}z^{z− \frac{1}{2}} e^{−z} exp(μ(z))
mit μ(z) := ∑_{n=0}^{∞} ((z + n + \frac{1}{2})Log(1 + \frac{1}{z + n}) − 1) .

Dabei gilt |μ(z)| ≤ \frac{1}{8|z| sin^{2} \frac{δ}{2}} für alle z ∈ W_{δ} := \{w = |w|e^{iϕ} : −π+δ ≤ ϕ ≤ π−δ\}.

Für z = n + 1 läßt sich daraus die klassische Stirlingsche Formel n! = (\frac{n}{e})^{n}\sqrt{2πn} exp(\frac{μ_{n}}{12n}) gewinnen mit 0 < μ_{n} < 1.

Wir führen weitere Funktionen ein, die eng mit der Gamma-Funktion verwandt sind:

Satz/Definition 20.8 Als Eulersche Beta-Funktion wird das Integral

B(z, w) = ∫_{0}^{1} dt t^{z−1}(1 − t)^{w−1}

bezeichnet. Es konvergiert absolut für alle z, w ∈ ℂ mit Re(z), Re(w) > 0 gegen eine in beiden Variablen gemeinsam stetige und in jeder Variablen getrennt holomorphe Funktion. Es gilt

B(w, z) = B(z, w) , B(1, w) = \frac{1}{w} , B(1 + z, w) = \frac{z}{z + w}B(z, w)

und deshalb B(z, w) = \frac{Γ(z)Γ(w)}{Γ(z+w)}.

Beweis. Konvergenz und Holomorphie wird völlig analog zur Gamma-Funktion bewiesen. Symmetrie folgt durch Substitution t ↦ 1 − t, der Wert B(z, 1) = ∫_{0}^{1} dt t^{z−1} = \frac{1}{z}t^{z}|_{0}^{1} = \frac{1}{z} aus direkter Rechnung. Weiter folgt

0 = ∫_{0}^{1} dt (t^{z}(1 − t)^{w})′ = zB(z, w + 1) − wB(z + 1, w) ,
B(z, w) = ∫_{0}^{1} dt (1 − t + t)t^{z−1}(1 − t)^{w−1} = B(z + 1, w) + B(z, w + 1)

und aus beiden Identitäten zB(z, w) = (z + w)B(z + 1, w).

Sei nun f(z) := \frac{B(z,w)Γ(z+w)}{Γ(w)} für festes w. Das Beta-Integral ist beschränkt auf dem Streifen 1 ≤ Re(z) < 2, somit ist auch f auf dem Streifen beschränkt. Es gilt f(1) = \frac{B(1,w)Γ(1+w)}{Γ(w)} = 1 und die Funktionalgleichung f(z + 1) =

\frac{\frac{z}{w+z} B(z,w)Γ(z+1+w)}{Γ(w)} = zf(z). Nach dem Satz von Wieland ist f(z) = Γ(z). □

Einige wichtige reelle Integrale führen nach geeigneten Substitutionen auf das Beta-Integral.

Eine weitere wichtige Funktion ist die auf ℂ \ (−ℕ) holomorphe Funktion ψ(z) := \frac{Γ′(z)}{Γ(z)}. Aus der Produktformel von Γ und Produktregel bzw. aus der Ergänzungsformel gewinnen wir die Partialbruchzerlegungen

ψ(z) = −γ − \frac{1}{z} − ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{z + k} − \frac{1}{k}) , ψ(1 − z) − ψ(z) = π cot(πz) .

Es folgt ψ(1) = −γ sowie

ψ(z) − ψ(w) = ∑_{k=0}^{∞} (\frac{1}{w + k} − \frac{1}{z + k} ) , ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(a + k)(b + k)} = \frac{ψ(b) − ψ(a)}{b − a} .

Erneutes Differenzieren von ψ(z) führt auf

ψ′(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(z + k)^{2}} , ψ^{(n)}(z) = (−1)^{n−1}n! ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(z + k)^{n+1}} , n ≥ 1

und insbesondere ζ(n) := ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{n}} = \frac{(−1)^{n}}{(n−1)!}ψ^{(n−1)}(1) und die Reihenentwicklung ψ(1 + z) = −γ + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1}ζ(k + 1)z^{k}. Aus der reellen Integraldarstellung der Ableitung der Gamma-Funktion gewinnt man so Integrale wie z.B.

∫_{0}^{∞} dx e^{−x} ln x = Γ′(1) = ψ(1) = −γ ,
∫_{0}^{∞} dx e^{−x}(ln x)^{2} = Γ′′(1) = ψ′(1) + (ψ(1))^{2} = γ^{2} + \frac{π^{2}}{6} .

Für x > 0 gilt ψ(x) = (ln(Γ))′(x) und somit (ln(Γ))′′(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(x+k)^{2}} > 0. Damit ist die reelle Γ-Funktion logarithmisch konvex. Diese Eigenschaft ist wichtig in einem rein reellen Eindeutigkeitssatz (den wir nicht beweisen):

Satz 20.9 (Bohr-Mollerup) Eine Funktion f : ℝ_{+}^{×} → ℝ_{+}^{×} erfülle f(x + 1) = xf(x) und sei logarithmisch konvex. Dann ist f(x) = f(1)Γ(x).

21 Die zeta-Funktion

Die zeta-Funktion, zunächst definiert durch ζ(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} für Re(z) > 1, spielt eine überragende Rolle in verschiedensten Bereichen der Mathematik. Das berühmteste ungelöste Problem der Mathematik, die Riemannsche Vermutung, betrifft eine Eigenschaft von ζ(z). In diesem Abschnitt geht es um die Funktionentheorie der zeta-Funktion. Die Verbindung zur Zahlentheorie wird im nächsten Abschnitt hergestellt.

Satz 21.1 ζ(z) ist holomorph im Halbraum {z ∈ ℂ : Re(z) > 1}.

Beweis. Jeder Summand \frac{1}{n^{z}} ist holomorph, damit auch jede Partialsumme ∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{z}}. Wegen |n^{z}| = n^{Re(z)} und der aus der Analysis bekannten Tatsache, daß ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} für s > 1 absolut konvergiert, konvergiert (∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{z}})_{N∈ℕ} normal gegen ζ(z) falls Re(z) > 1. Nach Satz 17.15 ist ζ(z) holomorph in diesem Halbraum.

□

Unser Ziel ist die Fortsetzung von ζ zu einer meromorphen Funktion auf ℂ. Der erste Schritt ist:

Satz 21.2 ζ hat eine meromorphe Fortsetzung auf den Halbraum {z ∈ ℂ : Re(z) > 0} mit einzigem (einfachen) Pol bei z = 1 und Residuum res_{1}ζ(z) = 1.

Beweis. Zu zeigen ist, daß sich ζ(z) − \frac{1}{z−1} holomorph zu Re(z) > 0 fortsetzt. Zunächst gilt für Re(z) > 1

ζ(z) − \frac{1}{z − 1} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} − ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{z}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} − ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1} \frac{dx}{x^{z}}

= ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1} dx (\frac{1}{n^{z}} − \frac{1}{x^{z}} ) .

Die rechte Seite konvergiert nun absolut für Re(z) > 0 (so daß wir ζ(z) durch Umstellung dieser Formel als Integral definieren können). Jeder Summand hat für Re(z) > 0 die Abschätzung

| ∫_{n}^{n+1} dx (\frac{1}{n^{z}} − \frac{1}{x^{z}} )| = | ∫_{n}^{n+1} dx ∫_{n}^{x} du \frac{z}{u^{z+1}} | ≤ ∫_{n}^{n+1} dx ∫_{n}^{x} du \frac{|z|}{u^{Re(z)+1}}

≤ max_{n≤u≤x≤n+1} \frac{|z|}{u^{Re(z)+1}} = \frac{|z|}{n^{Re(z)+1}} .

Die verbleibende Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{|z|}{n^{Re(z)+1}} konvergiert (absolut) für alle Re(z) > 0. □

Die weitere Fortsetzung auf ganz ℂ geschieht mit einer Funktionalgleichung. Ihre Herleitung beruht auf einer Verbindung zur Gamma-Funktion sowie Techniken über Fourier-Integrale:

Satz 21.3 Für alle 1 ≠ z ∈ ℂ mit Re(z) > 0 gilt

\frac{Γ(\frac{z}{2})ζ(z)}{π^{\frac{z}{2}}} = −\frac{1}{z(1 − z)} + ∫_{1}^{∞} \frac{dt}{t} (t^{\frac{z}{2}} + t^{\frac{1−z}{2}} )ω(t) , ω(t) := ∑_{n=1}^{∞} e^{−πn^{2}t} .

Beweis und Diskussion der Konvergenz des Integrals verschieben wir hinter die folgende Beobachtung: Da die rechte Seite invariant unter z ↦ 1 − z ist, gilt zunächst für 0 < Re(z) < 1, dann nach Identitätssatz allgemeiner:

Folgerung 21.4 Für alle z ∈ ℂ \ {0, 1} gilt

\frac{Γ(\frac{z}{2})ζ(z)}{π^{\frac{z}{2}}} = \frac{Γ(\frac{1−z}{2})ζ(1 − z)}{π^{\frac{1−z}{2}}}

und damit die Funktionalgleichung der zeta-Funktion

ζ(z) = 2^{z}π^{z−1}Γ(1 − z) sin \frac{πz}{2} ζ(1 − z) .

Beweis von Folgerung 21.4. Die erste Gleichung als Folgerung aus (21.3) ist bereits diskutiert. Umstellen der Gleichung führt mit Ergänzungsformel (Satz 20.4) und Verdopplungsformel (Satz 20.6) für die Gamma-Funktion auf

ζ(z) = π^{z− \frac{1}{2}} \frac{Γ(\frac{1−z}{2})ζ(1 − z)}{Γ(\frac{z}{2})} · \frac{Γ(1 − \frac{z}{2})}{Γ(1 − \frac{z}{2})}
= π^{z− \frac{3}{2}} sin \frac{πz}{2}Γ(\frac{1−z}{2})Γ(\frac{1−z}{2} + \frac{1}{2})ζ(1 − z) = 2^{z}π^{z−1}Γ(1 − z) sin \frac{πz}{2} ζ(1 − z) .□

Aus der Funktionalgleichung folgt:

Satz 21.5 i) ζ(−2n) = 0 für alle n ∈ ℕ^{×},

ii) ζ(0) = −\frac{1}{2},

iii) ζ(1 − 2n) = −\frac{1}{2n}B_{2n} für alle n ∈ ℕ^{×}.

Zusammenfassend ist ζ(1 − n) = −(−1)^{n} \frac{B_{n}}{n} für alle n ∈ ℕ^{×}. Dabei waren die B_{n} die Bernoulli-Zahlen.

Beweis von Satz 21.5. i) folgt aus sin(nπ) = 0.

ii) Für z = 0 kompensieren sich die Nullstelle des Sinus mit dem Pol der

zeta-Funktion: lim_{z→0} sin \frac{πz}{2}ζ(1 − z) = lim_{z→1} sin \frac{π(1−z)}{2}ζ(z) = lim_{z→1} \frac{sin \frac{π(1−z)}{2}}{(z−1)} · (z − 1)ζ(z) = −\frac{π}{2}. Somit ζ(0) = −\frac{1}{2}.

iii) Die Funktionalgleichung und Satz 18.3 liefert für n ∈ ℕ^{×}

ζ(1 − 2n) = 2^{1−2n}π^{−2n}Γ(2n) sin(\frac{π}{2} − nπ)ζ(2n) = −\frac{1}{2n}B_{2n} .  □

Man findet gelegentlich ζ(−1) dargestellt in der so natürlich sinnlosen Formel “1 + 2 + 3 + … ” = ζ(−1) = −\frac{1}{12}.

Beweis von Satz 21.3. Zunächst zur Konvergenz des Integrals über ω (sogar für beliebige z ∈ ℂ). Mit der üblichen Abschätzung |t^{z}| ≤ t^{Re(z)} genügt es, z = s ∈ ℝ zu betrachten. Für festes s ∈ ℝ gibt es ein C_{s} > 0, so daß \frac{1}{t}(t^{\frac{s}{2}} + t^{\frac{1−s}{2}} ) ≤ C_{s}e^{\frac{π^{2}t}{2}} für alle t ≥ 1. Die dann relevante Reihe ∑_{n=1}^{∞} e^{−π(n^{2}− \frac{1}{2} )t} konvergiert gleichmäßig in t ≥ 1, so daß Integral und Reihe tauschen:

| ∫_{1}^{∞} \frac{dt}{t} (t^{\frac{z}{2}} + t^{\frac{1−z}{2}} )ω(t)| ≤ C_{s} ∑_{n=1}^{∞} ∫_{1}^{∞} dt e^{−π(n^{2}− \frac{1}{2} )t} = C_{s} ∑_{n=1}^{∞} \frac{e^{−π(n^{2}− \frac{1}{2} )}}{π(n^{2} − \frac{1}{2})} < ∞ .

Sei nun Re(z) > 0. In der Integraldarstellung für Γ(\frac{z}{2}) substituieren wir t ↦ πn^{2}t mit n ∈ ℕ^{×}:

\frac{π^{− \frac{z}{2}}}{n^{z}} Γ(\frac{z}{2}) = ∫_{0}^{∞} dt t^{\frac{z}{2} −1}e^{−πn^{2}t} ⇒ π^{− \frac{z}{2}} Γ(\frac{z}{2})ζ(z) = ∫_{0}^{∞} dt t^{\frac{z}{2} −1}ω(t)

(nach Summe über n). Das Integral wird bei t = 1 geteilt und des untere Intervall mittels t ↦ \frac{1}{t} auf das obere abgebildet:

π^{− \frac{z}{2}} Γ(\frac{z}{2})ζ(z) = ∫_{1}^{∞} dt (t^{\frac{z}{2} −1}ω(t) + \frac{1}{t^{2}} t^{− \frac{z}{2} +1}ω(\frac{1}{t})) .

Wir beweisen anschließend:

Lemma 21.6 ω(\frac{1}{t}) = −\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{t} + \sqrt{t}ω(t).

Mit diesem Lemma folgt

π^{− \frac{z}{2}} Γ(\frac{z}{2})ζ(z) = ∫_{1}^{∞} dt (t^{\frac{z}{2} −1} + t^{\frac{1−z}{2} −1})ω(t) + ∫_{1}^{∞} dt t^{− \frac{z}{2} −1}( − \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{t}) .

Das zweite Integral ergibt −\frac{1}{z} + \frac{1}{z−1} = −\frac{1}{z(1−z)}. □

Der verbleibende Beweis von Lemma 21.6 ist eine Anwendung der mächtigen Poissonschen Summenformel für die Fourier-Transformation.

Satz 21.7 (Poissonsche Summenformel) Sei f : ℝ → ℝ zweimal stetig differenzierbar mit genügend schnellem Abfall im Unendlichen, sup_{t∈ℝ}((1+t^{2})(|f(t)|+ |f′′(t)|)) < ∞. Dann hat f eine kontinuierliche Fouriertransformation

f̂(k) := ∫_{∞}^{∞} dx f(x) e^{−2πikx} , k ∈ ℝ ,

und diese erfüllt

∑_{k∈ℤ} f̂(k) = ∑_{n∈ℤ} f(n) .

Beweis von Satz 21.7. Unter den Voraussetzungen wird durch g(x) := ∑_{n=−∞}^{∞} f(x+n) eine stetig differenzierbare Funktion erklärt. Diese ist periodisch, g(x) = g(x+1) und hat deshalb auf [0, 1] eine Darstellung als gegen g gleichmäßig konvergente Fourier-Reihe

g(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} e^{2πikx} .

Die Fourier-Koeffizienten bestimmen sich aus der Umkehrformel

c_{k} = ∫_{0}^{1} dx g(x) e^{−2πikx} = ∫_{0}^{1} dx ∑_{n=−∞}^{∞} f(x + n) e^{−2πik(x+n)} .

Die Regularität von f sichert gleichmäßige Konvergenz der Reihe auf ℝ, so daß Integral und Reihe tauschen:

c_{k} = ∑_{n=−∞}^{∞} ∫_{0}^{1} dx f(x + n) e^{−2πik(x+n)} = ∑_{n=−∞}^{∞} ∫_{n}^{n+1} dx f(x) e^{−2πikx}

= ∫_{−∞}^{∞} dx f(x) e^{−2πikx} = f̂(k) .

Zusammengefaßt gilt g(x) = ∑_{n=−∞}^{∞} f(x + n) = ∑_{k=−∞}^{∞} f̂(k) e^{2πikx}. Für x = 0 folgt die Behauptung. □

Beweis von Lemma 21.6. Sei t > 1. Die Funktion f(x) = e^{−πx^{2}t} erfüllt die Voraussetzungen der Poissonschen Summenformel. Ihre kontinuierliche Fourier-Transformation ist

f̂(k) = ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−πx^{2}t−2πikx} = e^{−π \frac{k^{2}}{t}} ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−πt(x+ \frac{ik}{t})^{2}} .

Das Integral kann aufgefaßt werden als Limes eines komplexes Kurvenintegrals ∫_{γ} dz e^{−πtz^{2}} über die Kurve γ(x) = x + \frac{ik}{t}, x ∈ [−R, R]. Es wird an den Rändern x = ±R vertikal zur reellen Achse geführt, wobei die vertikalen Kurven für R → ∞ nicht beitragen. Wegen Holomorphie von e^{−πtz^{2}} kann der Integrationsweg deformiert werden in die Kurve γ(x) = x, so daß nach Substitution x ↦ \frac{x}{\sqrt{πt}} entsteht

∫_{−∞}^{∞} dx e^{−πt(x+ \frac{ik}{t})^{2}} = ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−πtx^{2}} = \frac{1}{\sqrt{πt}} ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}} .

Somit gilt nach Poissonscher Summenformel

∑_{n=−∞}^{∞} e^{−πn^{2}t} = \frac{1}{\sqrt{t}} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{− \frac{πk^{2}}{t}} ⇒ 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} e^{−πn^{2}t} = \frac{1}{\sqrt{t}}(1 + 2 ∑_{k=1}^{∞} e^{− \frac{πk^{2}}{t}} ) ,

also 1 + 2ω(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}(1 + 2ω(\frac{1}{t})). Damit ist Lemma 21.6 bewiesen, und insgesamt auch Satz 21.3 und die Funktionalgleichung in Folgerung 21.4. □

Wir sehen im nächsten Abschnitt, daß ζ(z) sehr eng mit den Primzahlen zusammenhängt. Aus diesem Zusammenhang ergab sich historisch die Aussicht, mit Hilfe der zeta-Funktion eine empirisch gefundene Aussage über die Verteilung der Primzahlen zu beweisen. Bernhard Riemann konnte 1859 zeigen, daß eine sehr präzise Aussage zu erhalten wäre, wenn man annimmt, daß abgesehen von den offensichtlichen Nullstellen ζ(−2n) = 0 für alle weiteren Nullstellen ζ(z) = 0 gilt: Re(z) = \frac{1}{2}. Diese Aussage ist Inhalt der Riemannschen Vermutung, des berühmtesten ungelösten Problems der Mathematik. Die Riemannsche Vermutung ist (als Teil des 8. Problems) enthalten auf der Liste von 23 Problemen der Mathematik, die David Hilbert auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress 1900 als die wichtigsten formuliert hat. Eine vergleichbare Liste von Millennium-Problemen wurde für das Jahr 2000 vom Clay-Institut formuliert. Hier ist die Riemannsche Vermutung das 4. von 7 Problemen. Die Lösung (aber nicht die Angabe eines Gegenbeispiels) wird mit 10^{6} $ belohnt.

Aus der Verbindung zu Primzahlen (nächster Abschnitt) folgt, daß ζ(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 1. Hadamard und de la Vallée-Poussin konnten 1896 unabhängig voneinander beweisen, daß ζ(1 + it) ≠ 0 für alle t ∈ ℝ^{×}. Aus der Funktionalgleichung folgt dann ζ(it) ≠ 0 für alle t ∈ ℝ. Das genügte bereits, eine schon wichtige Vermutung über die Verteilung der Primzahlen zu beweisen, den Primzahlsatz. Wir gehen im nächsten Abschnitt darauf ein. Zusammenfassend weiß man, daß alle nichttrivalen (z ≠ −2n) Nullstellen der zeta-Funktion im Streifen 0 < Re(z) < 1 liegen.

Aus ζ(z̄) = \overline{ζ(z)} und Funktionalgleichung folgt: Ist ζ(x + iy) = 0 für 0 < x < 1, dann auch ζ(x − iy) = 0, ζ(1 − x − iy) = 0 und ζ(1 − x + iy) = 0. Somit treten die Nullstellen auf der kritischen Geraden Re(z) = \frac{1}{2} doppelt und ansonsten vierfach auf. Man weiß, daß es auf Re(z) = \frac{1}{2} unendlich viele Nullstellen gibt (Hardy & Littlewood 1924). Man hat numerisch mindestens 10^{13} Nullstellen bestimmt, alle diese liegen auf der kritischen Geraden, und alle sind einfach.

22 Der Primzahlsatz

Die zeta-Funktion hat eine tiefe Verbindung zu Primzahlen:

Satz 22.1 (Euler) Für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 1 gilt

ζ(z) = ∏_{p} \frac{1}{1 − p^{−z}} ≡ ∏_{n=1}^{∞} \frac{1}{1 − p_{n}^{−z}} ,

wobei (p_{n}) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … } die Folge der Primzahlen ist. Insbesondere hat die zeta-Funktion keine Nullstelle im Halbraum Re(z) > 1.

Beweis. Wegen |\frac{1}{p^{z}} | < 1 konvergieren die geometrischen Reihen in dem folgenden Produkt:

∏_{k=1}^{N} \frac{1}{1 − p_{k}^{−z}} = ∏_{k=1}^{N} ( ∑_{j_{k}=0}^{∞} p_{k}^{−zj_{k}}) = ∑_{j_{1},j_{2},...,j_{N} =0}^{∞} \frac{1}{(p_{1}^{j_{1}}p_{2}^{j_{2}} ⋯ p_{N}^{j_{N}})^{z}} .

Nun hat jede natürliche Zahl n > 0 eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren n = p_{1}^{j_{1}}p_{2}^{j_{2}}p_{3}^{j_{3}} ⋯, und umgekehrt definiert jede ℕ-wertige Folge (j_{1}, j_{2}, j_{3}, …) genau eine natürliche Zahl (p_{1}^{j_{1}}p_{2}^{j_{2}}p_{3}^{j_{3}} …). Sei P (N) die Teilmenge jener natürlichen Zahlen, die sich als p_{1}^{j_{1}}p_{2}^{j_{2}} ⋯ p_{N}^{j_{N}} darstellen lassen mit j_{k} ≥ 0. Hier besteht P (1) aus 1 und allen geraden Zahlen, P (2) aus 1 und allen durch 2, 3, 6 teilbaren Zahlen, usw. Wegen der absoluten Konvergenz von ζ(z) für Re(z) > 1 kann die zeta-Reihe umgeordnet werden in die Folge der Partialsummen

ζ(z) = lim_{N→∞} ∑_{n∈P (N)} \frac{1}{n^{z}} = lim_{N→∞} ∑_{j_{1},j_{2},...,j_{N} =0}^{∞} \frac{1}{(p_{1}^{j_{1}}p_{2}^{j_{2}} ⋯ p_{N}^{j_{N}})^{z}} = ∏_{k=1}^{∞} \frac{1}{1 − p_{k}^{−z}} .

Die Umordnung ändert nichts an Grenzwert sowie absoluter und normaler Konvergenz der Reihen. □

Implizit wurde im Beweis verwendet, daß es unendlich viele Primzahlen gibt (sonst wäre beispielsweise ζ(2) rational). Mehr noch, die Primzahlen bleiben häufig:

Satz 22.2 Sei (p_{n}) = {2, 3, 5, 7, 11, … } die Folge der Primzahlen. Zwar gilt p_{n}− 1 ≥ n für alle n ∈ ℕ^{×}, aber es gibt kein ϵ > 0 und C > 0 derart, daß p_{n} ≥ 1 + Cn^{1+ϵ} für alle n ∈ ℕ.

Beweis. ζ(z) hat einen einen Pol bei z = 1, so daß ∏_{n=1}^{∞} _{\frac{1}{1− \frac{1}{pn}}} divergiert. Wegen

der gleichartigen Konvergenz von unendlichen Summen und Produkten (Lemma 19.1) muß deshalb auch die Reihe ∑_{n=1}^{∞} (_{\frac{1}{1− \frac{1}{pn}}} − 1) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{p_{n}−1} divergieren.

Wäre p_{n} ≥ 1 + Cn^{1+ϵ}, dann ist \frac{1}{p_{n}−1} ≤ \frac{1}{Cn^{1+ϵ}}, aber ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{Cn^{1+ϵ}} konvergiert. □

Ein denkbares Wachstumsverhalten, das ζ(1) noch divergieren läßt, wäre p_{n} ∼ n(α + β ln n). Zweckmäßigerweise geht man zur Umkehrfunktion über, p_{π(n)} = n:

Definition 22.3 π(x) := {Zahl der Primzahlen ≤ x} .

Wir suchen das asymptotische Verhalten der Primzahlverteilung π(n) für große n, wobei

Definition 22.4 Zwei (nicht notwendig konvergente) Folgen (a_{n}) und (b_{n}) heißen asymptotisch gleich, geschrieben a_{n} ∼ b_{n}, wenn lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 1.

Wir können nun formulieren (für x ≥ 2):

Theorem 22.5 (Primzahlsatz) π(x) ∼ \frac{x}{ln x}

Dieses Verhalten wurde bereits 1797 von Legendre durch Betrachtung von Primzahltafeln vermutet und später von Gauß durch Bestimmung aller Primzahlen < 3 000 000 weiter untermauert. Das Theorem wurde 1896 von Hadamard und de la Vallée-Poussin unabhängig voneinander bewiesen. Manche Schritte konnten später vereinfacht werden. Wir geben im folgenden wesentliche Teile dieses Beweises (nach Newman^{1} und Zagier^{2}).

Die logarithmische Ableitung \frac{ζ′(z)}{ζ(z)} der zeta-Funktion ist holomorph außerhalb der Polstelle z = 1 und außerhalb sämtlicher Nullstellen von ζ. Es gilt:

Satz 22.6 Für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 1 gilt

−\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{Λ_{n}}{n^{z}} , Λ_{n} := \{ \begin{matrix}ln p & falls n = p^{k} , p Primzahl , k ∈ ℕ^{×} \\ 0 & sonst \end{matrix}

Die Folge (Λ_{n}) = {0, ln 2, ln 3, ln 2, ln 5, 0, ln 7, ln 2, ln 3, 0 … } heißt von-Mangoldt-Folge.

Beweis. Mit der allgemeinen Beziehung für die logarithmische Ableitung unendlicher Produkte gilt

\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(\frac{1}{1−_{\frac{1}{p^{z}_{k}}}} )′}{\frac{1}{1−_{\frac{1}{p^{z}_{k}}}}} = − ∑_{k=1}^{∞} \frac{(1 − e^{−z ln p_{k}})′}{1 − \frac{1}{p_{k}^{z}}} = − ∑_{k=1}^{∞} \frac{ln p_{k} p_{k}^{−z}}{1 − p_{k}^{−z}}

= − ∑_{k=1}^{∞} ∑_{j_{k}=1}^{∞} ln p_{k} (p_{k}^{−z})^{j_{k}} = − ∑_{k=1}^{∞} ∑_{j_{k}=1}^{∞} \frac{ln p_{k}}{(p_{k}^{j_{k}})^{z}} .

Die p_{k}^{j_{k}} erreichen genau die (positiven) Potenzen sämtlicher Primzahlen. Wegen der absoluten Konvergenz für Re(z) > 1 kann die Doppelreihe umgeordnet werden

87 in eine Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, wobei a_{n} nur ungleich Null ist für n = p^{j_{k}} eine positive Potenz einer Primzahl p, und dort den Wert a_{n} = \frac{ln p}{n^{z}} annimmt. Damit entsteht die Darstellung über die von-Mangoldt-Folge. □

1D. J. Newman, “Simple analytic proof of the prime number theorem,” Amer. Math.

Monthly 87 (1980) 693-–696.

2D. Zagier, “Newman’s short proof of the prime number theorem,” Amer. Math.

Monthly 104 (1997) 705–708.

Preliminary version – 9. Oktober 2017

Allgemein heißen Reihen ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n^{z}} Dirichlet-Reihen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der analystischen Zahlentheorie.

Im nächsten Schritt gehen wir über zu den beiden auf ℝ_{+} definierten Tschebyscheff-Funktionen

ψ(x) := ∑_{n≤x} Λ_{n} , ϑ(x) := ∑_{p≤x} ln p .

Die Summe in ϑ läuft über die Primzahlen ≤ x. Beide Tchebyscheff-Funktionen sind monoton wachsende Treppenfunktionen und als solche integrierbar. Der Primzahlsatz ist äquivalent zu ϑ(x) ∼ x:

Satz 22.7 Aus ϑ(x) ∼ x folgt π(x) ∼ \frac{x}{ln x}.

Beweis. Im folgenden sei x > e. Nach Voraussetzung ist ∑_{p≤x} ln p = x(1 + r(x)) mit lim_{x→∞} r(x) = 0. Abschätzen durch den größten Summanden und die Anzahl ergibt die triviale Ungleichung ∑_{p≤x} ln p ≤ ln x ∑_{p≤x} 1 = π(x) ln x, also π(x) ≥ \frac{x}{ln x}(1 + r(x)).

Sei 0 < q < 1. Dann ist ∑_{p≤x} ln p ≥ ∑_{x^{q}<p≤x} ln p, und Abschätzen durch den kleinsten Summanden liefert ∑_{p≤x} ln p ≥ ln(x^{q}) ∑_{x^{q}<p≤x} 1 = q ln x(π(x)−π(x^{q})). Nun ist π(x^{q}) ≤ x^{q}, und deshalb gilt die leichter handhabbare Abschätzung ∑_{p≤x} ln p ≥ q ln x(π(x) − x^{q}), aus der wir durch Umstellen gewinnen:

π(x) ≤ \frac{1}{q} \frac{x}{ln x}(1 + r(x)) + x^{q} .

Wir können q < 1 so wählen, daß beide Terme vergleichbare Größe haben, z.B. q = 1 − \frac{1}{\sqrt{ln x}} für x > e:

π(x) ≤ \frac{x}{ln x}(1 + R(x)) , R(x) = −1 + \frac{1 + r(x)}{1 − \frac{1}{\sqrt{ln x}}} + \frac{ln x}{e^{\sqrt{ln x}}} .

Offenbar gilt lim_{x→∞} R(x) = 0. □

Folglich möchte man ϑ(x) ∼ x zeigen. Dazu erarbeiten wir uns eine Integraldarstellung, für deren Konvergenz benötigt wird:

Lemma 22.8 Es gibt C_{1}, C_{2} > 0 mit ϑ(x) ≤ C_{1}x + C_{2}.

Beweis. Für n ∈ ℕ^{×} gilt

2^{2n} = (1 + 1)^{2n} = ∑_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} ≥ \binom{2n}{n} = \frac{(n + 1)(n + 2) ⋯ (2n)}{1 · 2 ⋯ n} .

88 Da \binom{2n}{n} eine ganze Zahl ist, kürzen sich alle Faktoren im Nenner gegen Teile des Zählers, nicht jedoch gegen die Primzahlen in [n + 1, 2n] des Zählers. Es folgt 2^{2n} ≥ ∏_{n<p≤2n} p = exp(∑_{n<p≤2n} ln p) = e^{ϑ(2n)−ϑ(n)} und damit ϑ(2n) − ϑ(n) ≤ 2n ln 2.

Preliminary version – 9. Oktober 2017

Wir möchten daraus ϑ(x) − ϑ(\frac{x}{2}) ≤ C_{0}x schließen für alle x ≥ 2. Sei n := [\frac{x}{2}] der ganze Teil. Dann ist 0 ≤ x − 2n < 2. Da zwischen x ≥ 2 und 2n höchstens eine Primzahl liegt, und diese ≤ x ist, folgt aus der Definition von ϑ

ϑ(x) − ϑ(\frac{x}{2}) = ϑ(x) − ϑ(2n) − (ϑ(\frac{x}{2}) − ϑ(n)) + ϑ(2n) − ϑ(n)
≤ ln x + 2n ln 2 ≤ x( ln 2 + \frac{ln x}{x}) ≤ x( ln 2 + \frac{1}{e}) .

Sei nun \frac{x}{2^{N}} ≥ 2, aber \frac{x}{2^{N+1}} < 2, dann folgt

ϑ(x) = ( ∑_{n=0}^{N−1} ϑ(\frac{x}{2^{n}}) − ϑ(\frac{x}{2^{n+1}} )) + ϑ(\frac{x}{2^{N}}) ≤ (x( ln 2 + \frac{1}{e}) ∑_{n=0}^{N−1} \frac{1}{2^{n}} ) + ϑ(4)
≤ 2( ln 2 + \frac{1}{e})x + ln(6) .  □

Damit gewinnen wir folgende Integraldarstellung:

Satz 22.9 Für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 1 gilt

Φ(z) := ∑_{p} \frac{ln p}{p^{z}} = z ∫_{1}^{∞} dx \frac{ϑ(x)}{x^{z+1}} .

Beweis. Sei (p_{n}) die Folge der Primmzahlen. Das Integral wird auf [1, p_{N}] beschränkt und an den Primzahlen p_{n} aufgespalten. Die Treppenfunktion ϑ(x) ist auf [p_{n}, p_{n+1}] konstant gleich ∑_{k=1}^{n} ln p_{k} und auf [0, 1] identisch 0:

z ∫_{1}^{P_{N}} dx \frac{ϑ(x)}{x^{z+1}} = z ∑_{n=1}^{N−1} ∫_{p_{n}}^{p_{n+1}} \frac{dx}{x^{z+1}} · ∑_{k=1}^{n} ln p_{k} = ∑_{n=1}^{N−1} (\frac{1}{p_{n}^{z}} − \frac{1}{p_{n+1}^{z}} ) · ∑_{k=1}^{n} ln p_{k}

= ∑_{n=1}^{N−1} (\frac{∑_{k=1}^{n} ln p_{k}}{p_{n}^{z}} − \frac{∑_{k=1}^{n+1} ln p_{k}}{p_{n+1}^{z}} + \frac{ln p_{n+1}}{p_{n+1}^{z}} )

= \frac{∑_{k=1}^{1} ln p_{k}}{p_{1}^{z}} − \frac{∑_{k=1}^{N} ln p_{k}}{p_{N}^{z}} + ∑_{n=1}^{N−1} \frac{ln p_{n+1}}{p_{n+1}^{z}}

(Teleskopsumme). Nun ist ∑_{k=1}^{N} ln p_{k} = ϑ(p_{N} + ϵ) ≤ C_{1}p_{N} + C_{2} nach vorigem Lemma, so daß lim_{N→∞} \frac{∑_{k=1}^{N} ln p_{k}}{p_{N}^{z}} = 0 für Re(z) > 1. Damit folgt

lim_{N→∞} z ∫_{1}^{P_{N}} dx \frac{ϑ(x)}{x^{z+1}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln p_{n}}{p_{n}^{z}}, äquivalent zur Behauptung. □

Die Summe Φ(z) = ∑_{p} \frac{ln p}{p^{z}} tritt nahezu in der Rechnung für −\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} auf:

−\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} = ∑_{p} \frac{ln p p^{−z}}{1 − p^{−z}} = ∑_{p} \frac{ln p}{p^{z} − 1} = ∑_{p} \frac{ln p}{p^{z}} + ∑_{p} \frac{ln p}{p^{z}(p^{z} − 1)} .

Die letzte Reihe ∑_{p} \frac{ln p}{p^{z}(p^{z}−1)} ist holomorph für Re(z) > \frac{1}{2}, so daß sich Φ(z) meromorph fortsetzt auf Re(z) > \frac{1}{2} mit einfachen Polen in z = 1 (dem Pol von ζ) sowie sämtlichen Nullstellen von ζ. Wegen −(\frac{1}{z−1})′/\frac{1}{z−1} = \frac{1}{z−1} hat Φ(z)− \frac{1}{z−1} eine holomorphe Fortsetzung nach z = 1.

Als nächstes schließen wir Nullstellen von ζ auf der Geraden Re(z) = 1 aus.

Satz 22.10 Für alle x > 1 und y ∈ ℝ gilt

|(ζ(x))^{3}(ζ(x + iy))^{4}ζ(x + 2iy)| = exp ( ∑_{p} ∑_{n=1}^{∞} \frac{2(1 + cos(ny ln p))^{2}}{np^{nx}} ) > 1 .

Insbesondere folgt ζ(1 + iy) ≠ 0 für alle y ∈ ℝ.

Wir beginnen mit der Folgerung. Da ζ(x) für x ↘ 1 divergiert, genügt die Betrachtung von y ≠ 0. Angenommen, ζ(1 + iy) = 0 für ein y ∈ ℝ^{×}. Handelt es sich um eine (ν ≥ 1)-fache Nullstelle, dann ist ζ(x + iy) = (x − 1)^{ν}f(x, y) für eine in einer Umgebung von (1, y) stetige und nullstellenfreie Funktion f. Dann ist (ζ(x))^{3}(ζ(x + iy))^{4}ζ(x + 2iy) = (x − 1)^{4ν−3}g(x, y) für eine in einer Umgebung von (1, y) stetige Funktion g. Das bedeutet lim_{x↘1}((ζ(x))^{3}(ζ(x + iy))^{4}ζ(x + 2iy)) = 0, im Widerspruch zu der noch zu zeigenden Formel.

Sei z = x+iy. Dann ist Re(1− \frac{1}{p^{z}}) = 1− \frac{1}{p^{x}} cos(y ln p) > \frac{1}{2} und damit \frac{1}{(1− \frac{1}{p^{z}})} ∈

ℂ_{−}. Deshalb darf von der Produktformel für die zeta-Funktion, Re(z) > 1, der Logarithmus genommen werden:

Log(ζ(z)) = − ∑_{p} Log(1 − \frac{1}{p^{z}} ) = ∑_{p} ∑_{n=1}^{∞} \frac{p^{−nz}}{n} = ∑_{p} ∑_{n=1}^{∞} \frac{e^{−iny ln p}}{np^{nx}}

(wegen |\frac{1}{p^{z}} | < 1 kann der Logarithmus in eine Reihe entwickelt werden). Es folgt

|ζ(x + iy)| = exp(Re(Log(ζ(x + iy)))) = exp ( ∑_{p} ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(ny ln p)}{np^{nx}}) .

Die Behauptung folgt nun mit 2(1 + cos(ny ln p))^{2} = 3 + 4 cos(ny ln p) + (2 cos^{2}(ny ln p) − 1) = 3 + 4 cos(ny ln p) + cos(2ny ln p). □

Folgerung 22.11 Φ(z) − \frac{1}{z−1} ist holomorph in einer Umgebung von Re(z) ≥ 1.

□

Mit Satz 22.9 können wir für Re(z) > 1 schreiben:

Φ(z) − \frac{1}{z − 1} = Φ(z) − \frac{z}{z − 1} + 1 = 1 + z ∫_{1}^{∞} dx (\frac{ϑ(x)}{x^{z+1}} − \frac{1}{x^{z}} ) .

Die linke Seite hat eine holomorphe Fortsetzung nach z = 1. Der verbleibende (funktionentheoretische) Beweis besteht darin zu zeigen, daß dann auch das Integral ∫_{1}^{∞} dx \frac{ϑ(x)−x}{x^{2}} auf der rechten Seite konvergieren muß.

Zweckmäßigerweise verschieben wir z ↦ z +1 und interpretieren das Problem als Fortsetzung einer Laplace-Transformation auf Re(z) ≥ 0.

Theorem 22.12 Eine Funktion f : ℝ_{+} → ℝ_{+} sei beschränkt und über jedes abgeschlossene Intervall [0, T] integrierbar. Ihre für Re(z) > 0 erklärte Laplace-Transformation

(Lf)(z) := ∫_{0}^{∞} dt e^{−zt}f(t) , Re(z) > 0 ,

habe eine holomorphe Fortsetzung g(z) bis auf Re(z) ≥ 0. Dann existiert das uneigentliche Integral ∫_{0}^{∞} dt f(t) = lim_{T →∞} ∫_{0}^{T} dt f(t), und dieses stimmt mit g(0) überein.

Beweis. Wegen |f(t)| ≤ M hat die Laplace-Transformierte (Lf)(z) die konvergente Majorante M ∫_{0}^{∞} dt |e^{−zt}| = \frac{M}{Re(z)}. Die allgemeinen Vertauschungssätze sichern, daß (Lf)(z) auf Re(z) > 0 holomorph ist. Der Grenzwert z → 0 ist für das Integral nicht ohne weiteres möglich! Es ist sorgfältig zu unterscheiden zwischen Re(z) > 0, wo (Lf)(z) mit g(z) übereinstimmt, und der Geraden z = iy, wo g(iy) erklärt ist, nicht aber (Lf)(iy).

Sei T > 0. Die Funktion g_{T} (z) = ∫_{0}^{T} dt e^{−zt}f(t) ist holomorph auf ganz ℂ, da f(t) und alle Produkte mit stetigen Funktionen über [0, T] integrierbar sind. Die holomorphe Fortsetzung von g in jeden Punkt z = iy bedeutet: Zu jedem y ∈ ℝ gibt es ein ϵ_{y} > 0, so daß g in K_{ϵ_{y}}(iy) holomorph ist.

Sei R > 0 fest gewählt. Dann ist ⋃_{y∈[−R,R]} K_{ϵ_{y}}(iy) eine Überdeckung des kompakten vertikalen Intervalls [−iR, iR], die auf eine endliche Überdeckung U_{R} := ⋃_{k=1}^{N} K_{ϵ_{y_{k}}} (iy_{k}) mit y_{1}, …, y_{N} ∈ [−R, R] reduziert werden kann. Dann gibt es ein von R abhängiges δ > 0 derart, daß auch das verschobene Intervall {−δ + iy : y ∈ [−R, R]} vollständig im Holomorphiegebiet U_{R} liegt (betrachte für je zwei sich schneidende Kugeln K_{ϵ_{y_{k}}} (iy_{k}) und K_{ϵ_{y_{l}}}(iy_{l}) den Abstand δ_{kl} > 0 der Schnittpunkte von \overline{K_{ϵ_{y_{k}}} (iy_{k})} und \overline{K_{ϵ_{y_{l}}}(iy_{l})} zur imaginären Achse und wähle δ kleiner als das Minimum aller δ_{kl} > 0).

Sei A_{R} := {z ∈ ℂ : |z| ≤ R , Re(z) ≥ −δ} und γ := ∂A_{R}, versehen mit positiver Orientierung. Nach Konstruktion liegt A_{R} (einschließlich Rand) im Inneren des Holomorphiegebiets U_{R} ∪ {z ∈ ℂ : Re(z) > 0} von g (und g_{T}).

Somit gilt nach Residuensatz:

g(0) − g_{T} (0) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂A_{R}} dz (g(z) − g_{T} (z))e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} ) .

Unser Ziel ist zu zeigen, daß das Kurvenintegral betragsmäßig beliebig klein wird. Sei γ_{+} = \{Re^{iϕ} : −\frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}\} der in der rechten Halbebene liegende Teil des Randes von A_{R}. Hier stimmt g mit Lf überein, so daß für |z| = R, Re(z) > 0 folgt:

|g(z) − g_{T} (z)| = | ∫_{T}^{∞} dt e^{−tz}f(t)| ≤ M ∫_{T}^{∞} dt e^{−t Re(z)} = M \frac{e^{−T Re(z)}}{Re(z)} .

Andererseits ist mit \frac{1}{z} = \frac{z̄}{R^{2}}

|e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} )| = e^{T Re(z)} \frac{2Re(z)}{R^{2}}

und insgesamt |(g(z) − g_{T} (z))e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} )| ≤ \frac{2M}{R^{2}} . Damit ergibt sich für das uneigentliche Integral über γ_{+} nach Standardabschätzung

|\frac{1}{2πi} ∫_{γ_{+}} dz (g(z) − g_{T} (z))e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} )| ≤ \frac{M}{R} .

Das Integral über den Teil γ_{−} := γ \ γ_{+} in der linken (abgeschlossenen) Halbebene schätzen wir getrennt für g und g_{T} ab. Da g_{T} (z) eine ganze Funktion ist, können wir γ_{−} deformieren in den abgeschlossenen Halbkreis \{z = Re^{i( \frac{π}{2} +ϕ)} : 0 ≤ ϕ ≤ π} in der linken Halbebene. In dieser Parametrisierung ist Re(z) = −R sin ϕ, und wir erhalten

|\frac{1}{2πi} ∫_{γ_{−}} dz g_{T} (z)e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} )| ≤ \frac{RM}{2π} ∫_{0}^{π} dϕ ∫_{0}^{T} dt e^{(T −t)R(− sin ϕ)} \frac{2 sin ϕ}{R}

= \frac{M}{πR} ∫_{0}^{π} dϕ ∫_{0}^{T} dt (e^{(T −t)R(− sin ϕ)})′

= \frac{M}{πR} ∫_{0}^{π} dϕ(1 − e^{−T sin ϕ)}) ≤ \frac{M}{R} .

Im Integral von g über γ_{−} gehen wir anders vor. Da g in einer Umgebung von γ_{−} holomorph, also stetig ist, gilt sup_{z∈γ_{−}} |g(z)| ≤ C_{R} unabhängig von T. Für den kurzen oberen Kreisbogen γ_{∡} = \{z = Re^{i( \frac{π}{2} +ϕ)} : 0 ≤ ϕ ≤ arcsin \frac{δ}{R}\} schätzen sich die verbleibenden Terme ab zu

|\frac{1}{2πi} ∫_{γ_{∡}} dz g(z)e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} )| ≤ \frac{C_{R}}{2π} ∫_{0}^{arcsin \frac{δ}{R}} dϕ Re^{−T R sin ϕ} \frac{2 sin ϕ}{R}

≤ \frac{C_{R}}{π} ∫_{0}^{arcsin \frac{δ}{R}} dϕ cos ϕ e^{−T R sin ϕ}

= \frac{C_{R}}{T Rπ} (1 − e^{−T δ}) ≤ \frac{C_{R}}{T Rπ} .

Dabei wurde ausgenutzt, daß sin ϕ < cos ϕ für δ < \frac{R}{\sqrt{2}}, was wir annehmen können.

Der untere Kreisbogen mit Winkel π − arcsin \frac{δ}{R} ≤ ϕ ≤ π liefert wegen der Symmetrie des Problems denselben Beitrag. Verbleibt die vertikale Kurve γ_{δ} = \{z = −δ +iδ cot ϕ : arcsin \frac{δ}{R} ≤ ϕ ≤ π −arcsin \frac{δ}{R}\}, deren Kurvenintegral folgende Abschätzung hat:

|\frac{1}{2πi} ∫_{γ_{δ}} dz g(z)e^{T z}(\frac{1}{z} + \frac{z}{R^{2}} )|

≤ \frac{C_{R}δ}{2π} ∫_{arcsin \frac{δ}{R}}^{π−arcsin \frac{δ}{R}} \frac{dϕ}{sin^{2} ϕ} e^{−T δ}(\frac{sin ϕ}{δ} + \frac{δ}{R^{2} sin ϕ})

= \frac{C_{R}}{2π} e^{−T δ}( ln tan \frac{ϕ}{2} + \frac{δ^{2}}{2R^{2}} ( − \frac{cos ϕ}{sin^{2} ϕ} + ln tan \frac{ϕ}{2}))|_{arcsin \frac{δ}{R}}^{π−arcsin \frac{δ}{R}}

= \frac{C_{R}}{2π} e^{−T δ}(\sqrt{1 − \frac{δ^{2}}{R^{2}}} − (2 + \frac{δ^{2}}{R^{2}} ) ln \frac{δ}{R + \sqrt{R^{2} − δ^{2}}} )

≤ \frac{C_{R}}{2π} (1 + (2 + \frac{δ^{2}}{R^{2}} ) ln \frac{2R}{δ})e^{−T δ} .

Hier haben wir separat |\frac{1}{z}| = \frac{1}{δ\sqrt{1+cot^{2} ϕ}} und |\frac{z}{R^{2}} | = ^{\frac{δ\sqrt{1+cot^{2} ϕ}}{R^{2}}} genommen und

Stammfunktionen ∫ \frac{dπ}{sin ϕ} und ∫ \frac{dπ}{sin^{3} ϕ} eingesetzt.

Insgesamt ist gezeigt:

|g(0) − ∫_{0}^{T} dt f(t)| ≤ \frac{2M}{R} + \frac{2C_{R}}{T Rπ} + \frac{C_{R}}{2π} (1 + \frac{5}{2} ln \frac{2R}{δ})e^{−T δ} .

Die linke Seite hat wegen der Beschränktheit durch die rechte Seite einen limes superior (Konvergenz kann noch nicht garantiert werden); dieser ist für Funktionen F : ℝ → ℝ erklärt durch lim sup_{x→∞} F (x) := inf_{a∈ℝ}(sup_{x>a} F (x)). Analog ist lim inf_{x→∞} F (x) := sup_{a∈ℝ}(inf_{x>a} F (x)). Beide sind genau dann gleich, wenn lim_{x→∞} F (x) existiert. Mit diesen Eigenschaften ist gezeigt:

lim sup_{T →∞} |g(0) − ∫_{0}^{T} dt f(t)| ≤ \frac{2M}{R} .

Da R beliebig gewählt werden kann, folgt lim sup_{T →∞} |g(0) − ∫_{0}^{T} dt f(t)| = 0 = lim inf_{T →∞} |g(0) − ∫_{0}^{T} dt f(t)|, d.h. lim_{T →∞} ∫_{0}^{T} dt f(t) = g(0). □

Wir wählen jetzt f(t) = e^{−t}(ϑ(e^{t})−e^{t})). Die Laplace-Transformierte ist (nach Substitution x = e^{t})

(Lf)(z) = ∫_{0}^{∞} dt e^{−(1+z)t}(ϑ(e^{t}) − e^{t})) = ∫_{1}^{∞} dx x^{−(2+z)}(ϑ(x) − x)

= \frac{Φ(z + 1) − \frac{1}{z} − 1}{z + 1}

93 für Re(z) > 0. Wir hatten bewiesen (Folgerung 22.11), daß die rechte Seite eine holomorphe Fortsetzung nach Re(z) ≥ 0 hat (nach Verschiebung z ↦ z + 1). In Verbindung mit Theorem 22.12 folgt:

Preliminary version – 9. Oktober 2017

Folgerung 22.13 ∫_{1}^{∞} dx \frac{ϑ(x)−x}{x^{2}} konvergiert. Das ist nur möglich für ϑ(x) ∼ x, was mit Satz 22.7 den Primzahlsatz endgültig beweist.

Beweis. Die Konvergenz des Integrals ist mit Theorem 22.12 gezeigt. Sei ϑ(x) = x(1 + r(x)), wobei r(x) nach Lemma 22.8 beschränkt ist. Somit existieren δ_{+} = lim sup_{x→∞} r(x) und δ_{−} = lim inf_{x→∞} r(x). Sollte r(x) nicht gegen 0 konvergieren, so ist zumindest eine der Zahlen δ_{±} von 0 verschieden. Sei δ_{+} > 0 und ϵ = \frac{1}{2}δ_{+}. Dann gibt es beliebig große x mit ϑ(x) ≥ (1 + ϵ)x. Da ϑ monoton wächst, gilt folgende Abschätzung:

∫_{x}^{(1+ϵ)x} dt \frac{ϑ(t) − t}{t^{2}} ≤ ∫_{x}^{(1+ϵ)x} dt \frac{(1 + ϵ)x − t}{t^{2}} ≤ ∫_{1}^{(1+ϵ)} dτ \frac{(1 + ϵ) − τ}{τ^{2}}
= (1 + ϵ)(1 − \frac{1}{1+ϵ}) − ln(1 + ϵ) = ϵ − ln(1 + ϵ) > 0 .

Somit hat ∫_{1}^{R} dx \frac{ϑ(x)−x}{x^{2}}, wenn R wächst, immer wieder Abschnitte, in denen das Integral um ϵ − ln(1 + ϵ) > 0 wächst, so daß es nicht konvergieren kann, Widerspruch.

Der Beweis für δ_{−} < 0 und beliebig großen x mit ϑ(x) ≤ (1 − ϵ)x, mit ϵ = −\frac{1}{2}δ_{−}, ist analog. Man zeigt ∫_{(1−ϵ)x}^{x} dt\frac{ϑ(t)−t}{t^{2}} < 0 für unendlich viele x. □

Der Primzahlsatz π(x) ∼ \frac{x}{ln x} ist nun bewiesen. Der Nachteil dieses (anspruchsvollen, aber im Vergleich zu anderen noch elementaren) Beweises ist, daß wir keinerlei Fehlerabschätzung bekommen. Das erfordert weit größeren Aufwand. Ein Zugang soll kurz skizziert werden. In völliger Analogie zu Satz 22.9 ergibt sich:

Satz 22.14 Für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 1 gilt

−\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} ≡ ∑_{n} \frac{Λ_{n}}{n^{z}} = z ∫_{1}^{∞} dx \frac{ψ(x)}{x^{z+1}} .

Das Integral kann äquivalent auch auf ∫_{0}^{∞} ausgedehnt werden. Es ist dann eine sogenannte Mellin-Transformation, ∫_{0}^{∞} dx x^{−z−1}ψ(x) =: (Mψ)(−z). Für die Mellin-Transformation gibt es (unter Beschränktheits-Annahmen) eine Umkehrformel, die einen gemittelten Wert von ψ zurückliefert:

\frac{1}{2}(ψ(x + ϵ) + ψ(x − ϵ)) = \frac{1}{2πi} ∫_{s−i∞}^{s+i∞} dz ( − \frac{ζ′(z)}{zζ(z)})x^{z} .

Dabei ist s > 1 beliebig. Man kann nun den Integrationsweg durch einen großen Halbkreis links der Geraden Re(z) = s schließen und dann durch den Residuensatz ausdrücken. Die Pole sind bei z = 0, z = 1, sowie sämtlichen Nullstellen von ζ:

\frac{1}{2}(ψ(x + ϵ) + ψ(x − ϵ)) = x − ∑_{ζ(z_{0})=0} \frac{x^{z_{0}}}{z_{0}} − ln(2π) .

Dabei ist \frac{ζ′(0)}{ζ(0)} = ln(2π), und x = \frac{x^{1}}{1} entsteht aus dem Pol von ζ(z) bei z = 1. Die Summe läuft über alle Nullstellen der zeta-Funktion. Die trivialen Nullstellen tragen mit ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{−2n}}{−2n} = \frac{1}{2} ln(1 − \frac{1}{x^{2}} ) bei. Die Summe über die nichttrivialen Nullstellen konvergiert aber nicht absolut, und die große Schwierigkeit besteht darin, diese Summe zu kontrollieren.

Unter Annahme der Riemannschen Vermutung kann man beweisen: | ∑_{ζ(z_{0})=0,Re(z_{0})= \frac{1}{2}} \frac{x^{z_{0}}}{z_{0}} | ≤ K\sqrt{x}(ln x)^{2}. Mit größerem Aufwand kann man π(x) durch ψ(x) ausdrücken, und so findet man (bei Annahme der Riemannschen Vermutung) die Abschätzung

|π(x) − li(x)| < \frac{1}{8π} \sqrt{x} ln x für alle x ≥ 2657 .

Dabei ist li(x) = ∫_{2}^{x} \frac{dt}{ln t} + li(2) mit li(2) = lim_{ϵ→0} ( ∫_{0}^{1−ϵ} \frac{dt}{ln t} + ∫_{1+ϵ}^{2} \frac{dt}{ln t}) = 1, 045163 … der Integrallogarithmus. Er verhält sich asymptotisch wie ∼ \frac{x}{ln x}. Für den Bereich, in dem π(x) vollständig bekannt ist, gilt immer li(n) > π(n), n ∈ ℕ^{×}. Man weiß aber, daß li(n) − π(n) unendlich oft das Vorzeichen wechselt. Der erste Wechsel ließ sich eingrenzen auf 10^{19} < n < 1.4 · 10^{319}.