Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 19.4.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Sei f: ℝ_{+}^{×} → ℝ definiert durch

f(x) = x^{2}e^{− \frac{x^{2}}{2}} .

Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extremstellen von f, deren Art (Maximum/Minimum) sowie alle Bereiche, in denen f konvex oder konkav ist.

Aufgabe 2. Seien n ∈ ℕ und die Funktionen f, g: ℝ → ℝ n-mal differenzierbar. Beweisen Sie die verallgemeinerte Leibniz-Regel für höhere Ableitungen

(fg)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n−k)}.

Aufgabe 3. Seien f, Φ: ℝ^{2} → ℝ definiert durch

f(x, y) = xyΦ(x, y) mit Φ(x, y) = \begin{cases}\frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} , & (x, y) ≠ 0, \\ 0, & (x, y) = 0. \end{cases}

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen

∂_{x}f(0, x), ∂_{y}f(y, 0), (∂_{x}∂_{y}f)(0, 0), (∂_{y}∂_{x}f)(0, 0).

Erhalten Sie einen Widerspruch zum Satz von Schwarz?

Aufgabe 4. (a) Bestimmen Sie das dritte Taylor-Polynom (T_{3}f)(x; 0) für die Funktion f: ℝ → ℝ, x ↦ e^{sin x}.

(b) Sei f(x) = e^{x} − \sqrt{1 + 2x} und g(x) = 1 − cos x für alle x > −1/2.

(i) Bestimmen Sie die Taylorpolynome (T_{2}f)(x; 0) und (T_{2}g)(x; 0).

(ii) Berechnen Sie lim_{x→0} f(x)/g(x).