Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 26.4.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Bestimmen Sie (durch zweifache partielle Integration) die Stammfunktionen zu:

(a) x^{2} sin x

(b) sin(ax)e^{bx} , a, b ∈ ℝ

Zeigen Sie mit zweifacher partieller Integration:

(c) ∫ dx sin(ln x) = \frac{1}{2}x(sin(ln x) − cos(ln x)) + C.

(Hinweis: Setzen Sie u(x) = x und achten Sie auf Vorzeichen.)

Aufgabe 2. Zeigen Sie mit partieller Integration:

(a) ∫_{0}^{b} dx x^{n}e^{x} = n!(−1)^{n+1} + ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{k!}b^{k}e^{b} für alle b > 0 und n ∈ ℕ.

(b) ∫_{1}^{e} dx ln^{n} x = n!(−1)^{n+1} + e ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{k!} für alle n ∈ ℕ.

(Hinweis: Setzen Sie u(x) = x.)

Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß für n ∈ ℕ und a ≠ 0 gilt:

∫ dx x^{n} cos(ax) = ∑_{k=0}^{n} k!\binom{n}{k}\frac{x^{n−k}}{a^{k+1}} sin (ax + \frac{kπ}{2} ) .

Aufgabe 4. (a) Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung den Mittelwertsatz der Differentialrechnung in der folgenden abgeschwächten Form: Ist eine Funktion f : [a, b] ⟶ ℝ, −∞ < a < b < ∞, stetig differenzierbar, so gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f(b) − f(a) = (b − a)f′(ξ).

(b) Zeigen Sie: Die Dirichlet-Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ↦ \begin{cases}0 & , falls x ∈ ℝ\ℚ \\ 1 & , falls x ∈ ℚ \end{cases}

ist auf keinem Intervall [a, b], −∞ < a < b < ∞ Riemann-integrierbar.