Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 3.5.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Bestimmen Sie:

(a) ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{sin x}{1 + cos x};

(b) ∫_{0}^{2} dx\frac{x}{\sqrt{1 + 4x}} (Substitution t = \sqrt{1 + 4x});

(c) ∫ \frac{dx}{x − \sqrt[4]{x}} (Substitution z = \sqrt[4]{x}).

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) ∫_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4 + x^{2}}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} − \frac{1}{\sqrt{3}}) (Substitution x = 2 tan ψ);

(b) ∫_{0}^{1} dx \sqrt{x(1 − x)} = \frac{π}{8} (Substitution x = sin^{2} φ);

(c) ∫_{0}^{1} dx \frac{ln(1 + x)}{1 + x^{2}} = \frac{π}{8} ln 2 (Substitution x = tan ϕ)

(Hinweis: Zeigen und verwenden sie bei (c) 1 + tan φ = \sqrt{2}\frac{sin(π/4+φ)}{cos φ}).

Aufgabe 3. Zeigen Sie:

(a) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{cosh x} = \frac{π}{2} (Substitution e^{x} = t);

(b) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1 − x)}} = π (Substitution x = sin^{2} φ);

(c) ∫_{0}^{1} dx(ln x)^{2} = 2 (partielle Integration).

Aufgabe 4. Zeigen Sie, daß gilt:

∫_{0}^{1/\sqrt{2}} dx \frac{4\sqrt{2} − 8x^{3} − 4\sqrt{2}x^{4} − 8x^{5}}{1 − x^{8}} = 16 ∫_{0}^{1} dy (\frac{y}{4(y^{2} − 2)} + \frac{2 − y}{4(y^{2} − 2y + 2)}) = π.

Hinweis: Es gilt x^{4} + a^{4} = (x^{4} + 2a^{2}x^{2} + a^{4}) − 2a^{2}x^{2} = (x^{2} + a^{2}) − (\sqrt{2}ax)^{2} = (x^{2} + \sqrt{2}ax + a^{2})(x^{2} − \sqrt{2}ax + a^{2}) oder verwenden Sie die 8. Einheitswurzel. (Das Resultat dieser Aufgabe wird auf Blatt 4 benötigt.)