Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 9.5.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie, daß für alle k, m ∈ ℕ^{×} und c ∈ ]0, 1[ gilt:

∫_{0}^{c} dx \frac{x^{k−1}}{1 − x^{m}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{c^{nm+k}}{nm + k} .

(b) Folgern Sie mit Aufgabe 4 von Blatt 3 die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

π = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{16^{n}} (\frac{4}{8n + 1} − \frac{2}{8n + 4} − \frac{1}{8n + 5} − \frac{1}{8n + 6}) .

Aufgabe 2. (a) Seien 0 ≤ k < 1 und x, c ∈ ℝ, |x| ≤ 1. Zeigen Sie, daß das Integral

v(x, k) := ∫_{0}^{x} dt \sqrt{\frac{1 − k^{2}t^{2}}{1 − t^{2}}}

auch für |x| = 1 existiert und für E(φ, k) := v(sin φ, k) mit φ ∈ [−π/2, π/2] gilt:

E(φ, k) = ∫_{0}^{φ} dψ \sqrt{1 − k^{2} sin^{2} ψ}.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe der binomischen Reihe für \sqrt{1 − y} mit y = k^{2} sin^{2} ϕ und gliedweiser Integration, daß für alle φ ∈ [−π/2, π/2] und alle k mit 0 ≤ k < 1 gilt:

E(φ, k) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{−1}{2n − 1}\binom{2n}{n} (\frac{k}{2})^{2n} A_{2n}(φ) mit A_{2n}(φ) = ∫_{0}^{φ} dx sin^{2n} x.

Aufgabe 3. Die Beta-Funktion B(a, b) ist für alle reellen Zahlen a, b > 0 definiert durch B(a, b) = ∫_{0}^{1} dx x^{a−1}(1 − x)^{b−1}. Zeigen Sie:

(a) Das obige Integral konvergiert auch im Fall 0 < a, b < 1.

(b) B(a, b) = \frac{b − 1}{a + b − 1}B(a, b − 1) im Fall b > 1.

(c) B(a, n) = \frac{1 · 2 · 3 ⋯ (n − 1)}{a(a + 1) ⋯ (a + n − 1)} im Fall b = n ∈ ℕ^{×}.

(d) ∫_{0}^{1} dx x^{p−1}(1 − x^{m})^{q−1} = \frac{1}{m}B (\frac{p}{m}, q) für alle p, q, m > 0.

Aufgabe 4. Sei b > 0 und sei γ(a) für a > 0 definiert durch

γ(a) = \frac{Γ(a + b)}{Γ(b)}B(a, b).

Zeigen Sie, daß die so definierte Funktion γ die Voraussetzungen des Satzes von Bohr-Mollerup erfüllt, und schlußfolgern Sie die Formel Γ(a)Γ(b) = Γ(a + b)B(a, b). (Hinweis: Benutzen Sie die Hölder-Ungleichung.)