Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 17.5.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie: B(a, a) = \frac{1}{2^{2a−1}} B (\frac{1}{2}, a) für a > 0.

(Hinweis: Substitution x = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{z}).)

(b) Zeigen Sie mit (a) und Satz 36.4 den Legendreschen Verdoppelungssatz

Γ(a)Γ (a + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2a−1}} Γ(2a) für alle a ∈ ℝ_{+}.

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a)  ∫_{0}^{1} dx \frac{x^{p−1}}{\sqrt{1 − x^{n}}} = \frac{\sqrt{π}Γ (\frac{p}{n})}{nΓ (\frac{p}{n} + \frac{1}{2})} für alle p, n ∈ ℕ,
(b) ∫0^{\frac{π}{2}} dx (sin x)^{a−1}(cos x)^{b−1} = \frac{Γ(\frac{a}{2})Γ(\frac{b}{2})}{2Γ(\frac{a+b}{2})} für alle a, b > 0.

(Hinweis: Finden Sie durch geeignete Substitution oder Rückwärtsrechnen die versteckte Beta-Funktion.)

Aufgabe 3. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} und einer Potenzreihen-

Entwicklung des Integranden das Integral ∫_{0}^{1} dx \frac{ln(1 + x)}{x}.

(Hinweis: Die Potenzreihe des Integranden konvergiert nur auf [0, 1[. Betrachten Sie deswegen zunächst das Integral über ein Intervall [a, b] mit 0 < a < b < 1.)

Aufgabe 4. Bestimmen Sie, welche der folgenden Abbildungen linear ist:

(a) F: C([0, 1]) → ℂ, f ↦ ∫_{0}^{1} dx f(x)x^{2}, wobei C([0, 1]) als Vektorraum bezüglich der punktweise definierten Skalarmultiplikation und Addition aufgefaßt wird;

(b) G: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ (x + y)^{2} − (x − y)^{2};

(c) H: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ 2x + 3y − 1;

(d) K: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ |x − y| + |x + y|.