Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 30.5.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie, daß die Vektoren b_{1} = (2, 3, −1), b_{2} = (−4, 5, 0) und b_{3} = (6, −2, 2) eine Basis des ℝ^{3} bilden.

(b) Durch F (b_{1}) = (1, 0), F (b_{2}) = (0, 1), F (b_{3}) = (1, −1) werde eine lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} definiert. Bestimmen Sie ker(F).

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der in 1b) definierten linearen Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basis (b_{1}, b_{2}, b_{3}) von ℝ^{3} und der Basis (e_{1}, e_{1} − e_{2}) von ℝ^{2}, wobei e_{1} = (1, 0) und e_{2} = (0, 1).

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der Abbildung F: ℂ^{3} → ℂ^{3}, x ↦ Ax, bezüglich der Basis B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}), wobei

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ −1 & 1 & −1 \end{matrix}) ,  b_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix}) ,  b_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) ,  b_{3} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) .

Aufgabe 3. Bezeichne V_{n} den komplexen Vektorraum aller Polynome a_{n}X^{n}+a_{n−1}X^{n−1}+ ⋯+a_{1}X +a_{0} vom Grad kleiner gleich n und Koeffizienten a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ. Wir definieren Abbildungen D, M: V_{n} → V_{n} durch

D(P) := P′ = \frac{∂}{∂X} P  und  (MP)(X) := X P (X).

Bestimmen Sie für diese Abbildungen jeweils (a) den Kern, (b) das Bild, (c) die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis X^{0}, …, X^{n}.

Aufgabe 4. Bezeichne V den Vektorraum aller komplexen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3. Zeigen Sie, dass dann die Polynome L_{0}, L_{1}, L_{2}, L_{3}, definiert durch

L_{n}(x) = e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n}e^{−x})

eine Basis B von V bilden, und berechnen Sie die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(D) der linearen Abbildung D: V → V, P ↦ P′ (vgl. Aufgabe 3) bezüglich dieser Basis.