Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 7.6.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Es sei ( \begin{matrix}3 & −1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 \\ 3 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) die darstellende Matrix der linearen Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{4}

bzgl. der Basis (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) von ℝ^{3} und der Standardbasis von ℝ^{4}.

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F bzgl. der Standardbasis von ℝ^{3} und der

Basis (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) von ℝ^{4}.

Aufgabe 2. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse:

A = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 & 5 \\ −1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & t & 1 \\ 0 & 1 & t \\ t & 1 & 0 \end{matrix}) mit t ∈ ℝ.

Aufgabe 3. (a) Bezeichne E_{n} die n × n-Einheitsmatrix und sei A ∈ M(n × n, ℂ) nilpotent in dem Sinn, dass A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass dann die Matrix 1_{n} − A invertierbar ist. (Hinweis: Geometrische Reihe!)

(b) Sei a ∈ ℂ. Bestimmen Sie das Inverse der Matrix (\begin{matrix}1 & a & ⋯ & a^{n} \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & a \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix} ), (der

Eintrag an der Stelle (i, j) ist 0 im Fall i > j und a^{j−i} im Fall i ≤ j.)

Aufgabe 4. Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 4 & 3 \\ 2 & 8 & 7 \end{matrix})

ein r ∈ ℕ und quadratische Matrizen L, R, so daß

A = L (\begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) R^{−1}.