Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 21.6.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Wir betrachten C([−π, π]) als unitären Vektorraum mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dx \overline{f(x)}g(x).

Seien f, e_{n} ∈ C([−π, π]) definiert durch f(x) = x und e_{n}(x) := e^{inx} für alle n ∈ ℤ, x ∈ [−π, π].

(a) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten f̂_{n} := ⟨e_{n}, f⟩ für alle n ∈ ℤ.

(b) Berechnen Sie ∥f∥^{2}. Welche Gleichung für π^{2} folgt aus der Gleichung ∥f∥^{2} = ∑_{n∈ℤ} |f̂_{n}|^{2}.

Aufgabe 2. Sei f: ℝ → ℂ eine 2π-periodische und stückweise stetige Funktion, θ ∈ ℝ und g: ℝ → ℂ definiert durch g(x) = f(x − θ) für alle x ∈ ℝ.

(a) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen f̂(k) und ĝ(k)?

(b) Folgern Sie: Ist θ ∈ ℝ \ (ℚπ) und f = g, so muß f konstant sein.

Aufgabe 3. Sei f: [−π, π] → ℝ eine stückweise stetige Funktion. Zeigen Sie:

(a) Die Fourier-Reihe von f hat dann die Gestalt

(Sf)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).

Wie berechnen sich die Koeffizienten a_{k}, b_{k} aus den Fourier-Koeffizienten von f? Wie direkt aus f durch Integration?

(b) Was läßt sich über die Koeffizienten a_{k} und b_{k} aussagen, wenn f gerade oder ungerade ist?

Aufgabe 4. (a) Berechnen Sie die Fourier-Entwicklung der Funktion f: [−π, π] → ℝ, x ↦ x^{4}.

(b) Begründen Sie, daß f(π) = (Sf)(π), und folgern Sie die Gleichung

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90}.