Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 5.7.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome und die Eigenräume folgender Endomorphismen von ℝ^{2} bzw. ℝ^{3}:

(a) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix});

(b) (\begin{matrix}1 & c − 1 & 0 \\ 0 & 1 & c^{2} − 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) mit c ∈ ℚ;

(c) ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) mit a, b ∈ ℚ.

Aufgabe 2. Die Folge (f_{n})_{n} der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch f_{0} = 0,

f_{1} = 1 und f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n} für alle n ≥ 0. Für jedes n ≥ 0 sei v^{(n+1)} = (\begin{matrix}f_{n+1} \\ f_{n} \end{matrix}).

Bestimmen Sie

(a) eine Matrix A ∈ M(2, ℝ), die v^{(n+1)} = Av^{(n)} = A^{n}v^{(1)} für alle n ≥ 0 erfüllt;

(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;

(c) Zahlen λ_{1}, λ_{2}, c_{1}, c_{2} ∈ ℂ so, dass f_{n} = c_{1}λ_{1}^{n} + c_{2}λ_{2}^{n} für alle n ∈ ℕ gilt;

(d) den Grenzwert lim_{n→∞} \frac{f_{n+1}}{f_{n}}.

Aufgabe 3. Für jedes A ∈ M(n, ℂ) konvergieren die Potenzreihen

exp(A) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}A^{n},  sin(A) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)!}A^{2n+1}.

Seien a, b ∈ ℝ.

(a) Berechnen exp(A), sin(A), exp(B), sin(B) für A = (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}) und B = (\begin{matrix}0 & b \\ b & 0 \end{matrix}). (Hinweis: B besser nicht diagonalisieren. Denken Sie an cosh und sinh.)

(b) Berechnen Sie exp(C) für die Matrix C = A + B mit Hilfe einer Diagonalisierung.

(c) Vergleichen Sie exp(A), exp(B) und exp(C). Was fällt Ihnen auf? Aufgabe 4. Die Spur einer Matrix A ∈ M(n, ℂ) ist die Summe der Diagonaleinträge:

Spur(A) = ∑_{i=1}^{n} a_{ii}, wobei A = (a_{ij}).

Zeigen Sie:

(a) Spur(BC) = Spur(CB) für alle B ∈ M(n × m, ℂ) und C ∈ M(m × n, ℂ);

(b) es gibt keine Matrizen P, Q ∈ M(n, ℂ) mit P Q − QP = E_{n};

(c) ist A diagonalisierbar, so ist Spur(A) die Summe der Eigenwerte von A.