Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Topologische Grundlagen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 24.10.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

1. Aufgabe (5 Punkte) Eine Teilmenge O ⊂ X eines metrischen Raumes (X, d) heißt offen, falls für jedes x ∈ O eine ϵ-Umgebung U_{ϵ}(x) existiert, so daß U_{ϵ}(x) ⊂ O. Beweisen Sie, daß die so gewonnene Familie offener Teilmengen T , die leere Menge ∅ hinzugenommen, den metrischen Raum (X, d) zu einem topologischen Raum (X, T ) macht.

2. Aufgabe (5 Punkte) Für eine reelle Zahl p ≥ 1 ist durch

d_{p}(x, y) = (|x_{1} − y_{1}|^{p} + |x_{2} − y_{2}|^{p})^{\frac{1}{p}} , x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} , y = (y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}

eine Metrik d_{p} : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{+} definiert [folgt aus Minkowskischer Ungleichung].

Skizzieren Sie die offenen Kugeln

U_{ϵ,p}(x) = {y ∈ ℝ^{2} , d_{p}(x, y) < ϵ}

für p = 1 und p = 2. Wie würde diese Skizze für p > 2 aussehen? Finden Sie insbesondere den Grenzfall p → ∞ und geben Sie d_{∞}(x, y) explizit an.

3. Aufgabe (5 Punkte) Sei T_{p} die durch die Metrik d_{p} induzierte Topologie auf ℝ^{2}. Beweisen Sie, daß alle diese Topologien identisch sind.