Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

10. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Hauptfaserbündel)

Abgabe der Lösung bis Montag, 9.1.2006, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

34. Aufgabe (8 Punkte) Komplexes Hopf-Bündel. Die Bündelmannigfaltigkeit ist die S^{3} ⊂ ℂ^{2}, realisiert durch p = {(a, b) ∈ ℂ^{2} , |a|^{2} + |b|^{2} = 1}. Es werde eine Wirkung der Gruppe U(1) ∋ e^{iα}, α ∈ ℝ, auf S^{3} definiert durch ψ_{e^{iα}}(a, b) = (ae^{iα}, be^{iα}).

Zeigen Sie, daß die Gruppenwirkung frei ist und daß der Quotientenraum S^{3}/U(1) isomorph zur Sphäre S^{2} ist. Geben Sie einen möglichst einfachen Diffeomorphismus ϕ : S^{3}/U(1) → S^{2} explizit an. Hinweis: Stereographische Projektion.

Sei {U_{N}, U_{S}} die Überdeckung der S^{2} durch zwei Karten U_{N} = S^{2}\{N} und U_{S} = S^{2}\{S}, wobei N = (0, 0, 1) ∈ ℝ^{3} der Nordpol und S = (0, 0, −1) ∈ ℝ^{3} der Südpol ist. Geben Sie eine Trivialisierung χ_{N} : π^{−1}(U_{N}) → U_{N} × U(1) und χ_{S} : π^{−1}(U_{S}) → U_{S} × U(1) an und bestimmen Sie den zugehörigen Kozyklus ρ_{SN} ∈ U(1).

35. Aufgabe (8 Punkte) Quaternionisches Hopf-Bündel. Die Bündelmannigfaltigkeit ist die S^{7} ⊂ ℍ^{2}, realisiert durch p = {(q_{1}, q_{2}) ∈ ℍ^{2} , ∥q_{1}∥^{2} + ∥q∥^{2} = 1}. Dabei ist ℍ die Algebra der Quaternionen,

die als 2 × 2-Matrizen der Form q = ( \begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix} ) mit a, b ∈ ℂ aufgefaßt werden können.

In dieser Darstellung ist ∥q∥ = \sqrt{|a|^{2} + |b|^{2}} durch die Determinante gegeben, und damit ist jedes q ≠ 0 invertierbar. Die Quaternionen mit det q = 1 bilden eine Gruppe, die nach Aufgabe 13 als SU(2) = {q ∈ ℍ, ∥q∥ = 1} identifiziert wird. Die adjungierte Matrix

liefert das adjungierte Quaternion q^{∗} = ( \begin{matrix}ā & b̄ \\ −b & a \end{matrix} ). Damit gilt q^{∗}q = qq^{∗} = ∥q∥^{2}I_{2×2}.

Diese Strukturen erlauben die Definition einer Wirkung der Gruppe u ∈ SU(2) ⊂ ℍ auf S^{7} durch ψ_{u}(q_{1}, q_{2}) = (q_{1}u, q_{2}u).

Zeigen Sie, daß die Gruppenwirkung frei ist und daß der Quotientenraum S^{7}/SU(2) isomorph zur Sphäre S^{4} ist. Geben Sie einen möglichst einfachen Diffeomorphismus ϕ : S^{7}/SU(2) → S^{4} explizit an.

Sei {U_{N}, U_{S}} die Überdeckung der S^{4} durch zwei Karten U_{N} = S^{4}\{N} und U_{S} = S^{4}\{S}, wobei N = (0, 0, 0, 0, 1) ∈ ℝ^{5} der Nordpol und S = (0, 0, 0, 0, −1) ∈ ℝ^{5} der Südpol ist. Geben Sie eine Trivialisierung χ_{N} : π^{−1}(U_{N}) → U_{N} ×U(1) und χ_{S} : π^{−1}(U_{S}) → U_{S} ×U(1) an und bestimmen Sie den zugehörigen Kozyklus ρ_{SN} ∈ SU(2).

36. Aufgabe (4 Punkte) Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V_{k}(ℝ^{n}) ist die Menge aller k-Tupel von orthonormalen Vektoren im ℝ^{n}, d.h. V_{k}(ℝ^{n}) = {(v_{1}, …, v_{k}) , v_{k} ∈ ℝ^{n} , ⟨v_{i}, v_{j}⟩_{ℝ^{n}} = δ_{ij}}. Die Grassmann-Mannigfaltigkeit G_{k}(ℝ^{n}) ist die Menge der k-dimensionalen Unterräume des ℝ^{n}. Sei π : V_{k}(ℝ^{n}) → G_{k}(ℝ^{n}) die Abbildung, die jedem k-Tupel von orthonormalen Vektoren den dadurch aufgespannten Unterraum zuordnet. Beweisen Sie, daß V_{k}(ℝ^{n}) ein Hauptfaserbündel über G_{k}(ℝ^{n}) mit Strukturgruppe O(k, ℝ) wird.

(Es genügt, die Trivialisierung π^{−1}(U) ≃ U × O(k, ℝ) für eine Umgebung U ⊂ G_{k}(ℝ^{n}) zu beschreiben. Das Auffinden einer Überdeckung von G_{k}(ℝ^{n}) mit zugehörigen Kozyklen ist nicht erforderlich.)