Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

12. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Zusammenhang im komplexen Hopf-Bündel, magnetische Monopole)

Abgabe der Lösung bis Montag, 23.1.2006, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

41. Aufgabe (5 Punkte) Betrachted werde das komplexe Hopf-Bündel aus Aufgabe 34. Für die Bündelmannigfaltigkeit S^{3} ⊂ ℂ^{2} realisiert durch p = {(a, b) ∈ ℂ^{2} , |a|^{2} + |b|^{2} = 1} werde die kanonische Zusammenhangsform durch ω_{(a,b)} = āda + b̄db definiert. Beweisen Sie, daß ω tatsächlich eine Zusammenhangsform ist und berechnen Sie die Krümmungsform Ω in p.

42. Aufgabe (8 Punkte) Die Umgebungen U_{N} und U_{S} des Südpols bzw. des Nordpols der S^{2} werden mittels Kugelkoordinaten auf Gebiete B_{S} = κ_{S}(U_{S}) = [0, 2π) × [0, π) ∋ (ϕ, θ) und B_{N} = κ_{N}(U_{N}) = [0, 2π) × (0, π] ∋ (ϕ, θ) abgebildet. Diese Kartenabbildungen sind gegeben durch

κ_{S}^{−1} : B_{S} ∋ (ϕ, θ) ↦ (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ∈ U_{S} ,
κ_{N}^{−1} : B_{N} ∋ (ϕ, θ) ↦ (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ∈ U_{N} .

Berechnen Sie die auf B_{S} und B_{N} zurückgezogenen lokalen Eichpotentiale (κ_{S}^{−1})^{∗}A_{S} und (κ_{N}^{−1})^{∗}A_{N} sowie die lokalen Feldstärken (κ_{S}^{−1})^{∗}F_{S} und (κ_{N}^{−1})^{∗}F_{N} für die in Aufgabe 34 bestimmte Trivialisierung

χ_{S} : π^{−1}(U_{S}) ∋ (a, b) ↦ ((āb + b̄a, iāb − ib̄a, 2āa − 1), \frac{a}{|a|}) ∈ U_{S} × U(1) ,
χ_{N} : π^{−1}(U_{N}) ∋ (a, b) ↦ ((āb + b̄a, iāb − ib̄a, 1 − 2b̄b), \frac{b}{|b|}) ∈ U_{N} × U(1) .

43. Aufgabe (2 Punkte) Sei F die lokale Feldstärke für einen Zusammenhang in einem Hauptfaserbündel über der Basismannigfaltigkeit M = ℝ × ℝ^{3} ∋ (t, x, y, z) mit Strukturgruppe G = U(1). Da die Lie-Algebra von U(1) mit iℝ identifiziert werden kann, schreiben wir F_{(t,x,y,z)} = iE_{(x,y,z)}(t) ∧ dt + iB_{(x,y,z)}(t), wobei E(t) eine 1-Form auf ℝ^{3} (“elektrisches Feld”) ist und B(t) eine 2-Form auf ℝ^{3} (“Magnetfeld”) ist. Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 33, daß dF = 0 den beiden Maxwellschen Gleichungen entspricht, in denen ρ und j⃗ nicht vorkommen.

44. Aufgabe (5 Punkte) Das Hopf-Bündel werde um zwei Dimensionen erweitert zur Bündelmannigfaltigkeit ℝ × S^{3} × ℝ^{+}. Dabei wird ℝ^{+} als Radius betrachtet in der Identifikation S^{3} × ℝ^{+} ≃ ℝ^{4}. Die Gruppe U(1) wirkt nur auf den S^{3}-Anteil und führt zur Basismannigfaltigkeit ℝ × S^{2} × ℝ^{+} ∋ (t, x, y, z). Dabei wird ℝ ∋ t mit der Zeitachse identifiziert und ℝ^{+} wieder mit dem Radius.

Zeigen Sie under Verwendung der Aufgaben 42 und 43, daß die lokale Feldstärke nur einen Magnetfeldanteil hat, d.h. F = iB. Zeigen Sie, daß dieses Magnetfeld durch einen magnetischen Monopol im Punkt (t, 0, 0, 0) hervorgerufen wird und berechnen Sie seine magnetische Ladung. Hinweis: Die magnetische Ladungsdichte eines magnetischen Monopols der magnetischen Ladung Q_{m} im Punkt (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ist (in Formen-Schreibweise)

ρ_{M}(x, y, z) = Q_{m}δ(x − x_{0})δ(y − y_{0})δ(z − z_{0})dx ∧ dy ∧ dz ,

wobei δ die Dirac-Distribution ist. Unter Berücksichtigung von magnetischen Monopolen schreibt sich die Maxwellsche Gleichung als dB = ρ_{M}.