Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

13. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (kovariantes Differential, Yang-Mills-Gleichungen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 30.1.2006, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

45. Aufgabe (8 Punkte) Sei α eine horizontale k-Form auf P mit Werten in 𝔤 vom Typ Ad, d.h. α_{p}(Y_{1}, …, Y_{k}) = 0 falls ein Y_{i} ∈ T_{p}P vertikal ist und (ψ_{a}^{∗}α)_{p}(Y_{1}, …, Y_{k}) = Ad(a^{−1})(α_{p}(Y_{1}, …, Y_{k})). Beweisen Sie, daß unter diesen Voraussetzungen für das Zurückziehen der kovariante Ableitung Dα mittels eines Schnittes s : M → P die folgende Identität gilt:

(s^{∗}(Dα))_{x}(X_{1}, …, X_{k+1}) = (d(s^{∗}α))_{x}(X_{1}, …, X_{k+1})

+ ∑_{i=1}^{k+1}(−1)^{i+1}[(s^{∗}ω)_{x}(X_{i}), (s^{∗}α)_{x}(X_{1}, …,^{ ǐ}, …, X_{k+1})] ,

für X_{i} ∈ T_{x}M. Dabei ω die Zusammenhangsform zum Zusammenhang, der die kovariante

Ableitung definiert, und ^{ ǐ} bedeutet Weglassen des i-ten Arguments.

Hinweis: Der horizontale Teil hor(Y) eines Vektorfeldes Y auf P ist gegeben durch hor(Y) = Y − ver(Y) = Y − σ(ω(Y)). Außerdem wird σ_{p}(ω_{p}(Y))f = \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{exp(tω_{p}(Y))}p|_{t=0} für f ∈ C^{∞}(P) und [σ(ω(Y_{1})), Y_{2}] = L_{σ(ω(Y_{1}))}(Y_{2}) = \frac{d}{dt}(ψ_{exp(−t(ω(Y_{1})))})_{∗}(Y_{2}) für Y_{1}, Y_{2} ∈ X (P) verwendet.

46. Aufgabe (3 Punkte) Durch Zurückziehen der Bianchi-Identität DΩ = 0 auf die Basis-Mannigfaltigkeit entsteht die Identität s^{∗}(DΩ) = 0. Drücken Sie diese Identität durch die lokale Feldstärke und das lokale Eichpotential aus und schreiben Sie die Identität in lokalen Basen \{\frac{∂}{∂x^{μ}} \} des Tangentialraums.

47. Aufgabe (6 Punkte) Definieren wir für die Differentialform α mit den in Aufgabe 45 gegebenen Zusatzeigenschaften einen Operator D_{M} durch D_{M}(s^{∗}α) := s^{∗}(Dα), so entsteht mit α̃ = s^{∗}α und Wahl des kanonischen Schnittes s die Identität

(D_{M} α̃)_{x}(X_{1}, …, X_{k+1}) = (dα̃)_{x}(X_{1}, …, X_{k+1})

+ ∑_{i=1}^{k+1}(−1)^{i+1}[A_{x}(X_{i}), α̃_{x}(X_{1}, …,^{ ǐ}, …, X_{k+1})] .

Diese Gleichung sehen wir jetzt als Definition des kovarianten Differentials D_{M} von k-Formen α̃ auf M mit Werten in 𝔤 an, unabhängig davon, ob α̃ durch Zurückziehen einer horizontale k-Form α auf P erhalten wurde.

Zeigen Sie durch Rechnung in lokalen Basen, daß ∗(D_{M}(∗F)) = 0 die genau die Yang-Mills-Gleichungen sind, also die Euler-Lagrange-Gleichungen zum Yang-Mills-Wirkungsfunktional.

Bemerkung: Um Übereinstimmung mit den Gleichungen der Vorlesung zu erreichen, ist die Ad-Invarianz des Skalarprodukts zu verwenden. Sei C ∈ 𝔤 Tangentialvektor an die Kurve t ↦ a(t) ∈ G, dann ist ⟨Ad(a(t))A, Ad(a(t))B⟩_{𝔤} unabhängig von t, so daß die Ableitung nach t die Identität 0 = ⟨ad(C)A, B⟩_{𝔤} + ⟨A, ad(C)B⟩_{𝔤} = ⟨[C, A], B⟩_{𝔤} + ⟨A, [C, B]⟩_{𝔤} liefert. Die daraus folgende Beziehung für die Basen {b_{i}} liefert die Verbindung zur Vorlesung.

48. Aufgabe (3 Punkte) Sei F die lokale Feldstärke für einen Zusammenhang in einem Hauptfaserbündel über der Basismannigfaltigkeit M = ℝ×ℝ^{3} ∋ (t, x, y, z) mit Strukturgruppe G = U(1). Da die Lie-Algebra von U(1) mit iℝ identifiziert werden kann, schreiben wir F_{(t,x,y,z)} = iE_{(x,y,z)}(t) ∧ dt + iB_{(x,y,z)}(t), wobei E(t) eine 1-Form auf ℝ^{3} (“elektrisches Feld”) ist und B(t) eine 2-Form auf ℝ^{3} (“Magnetfeld”) ist. Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 33, daß die

Yang-Mills-Gleichungen für den metrischen Tensor g_{μν} = η_{μν} = \{ \begin{matrix}1 & für μ = ν = t \\ −1 & für μ = ν ≠ t \\ 0 & für μ ≠ ν \end{matrix}

den beiden Maxwellschen Gleichungen entsprechen, in denen ρ und j⃗ zunächst vorkommen, jedoch jeweils den Wert Null annehmen (Maxwellsche Gleichungen im Vakuum).