Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

14. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Zusammenhang im quaternionischen Hopf-Bündel, Instantonen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 6.2.2006, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

49. Aufgabe (7 Punkte) Betrachtet werde das quaternionische Hopf-Bündel mit Strukturgruppe SU(2) aus Aufgabe 35. Für die Bündelmannigfaltigkeit S^{7} ⊂ ℍ^{2} realisiert durch p = {(q, r) ∈ ℍ^{2} , ∥q∥^{2}+∥r∥^{2} = 1} werde die kanonische Zusammenhangsform durch ω_{(q,r)} = q^{∗}dq+r^{∗}dr definiert. Diese symbolische Schreibweise ist folgendermaßen zu verstehen: Quaternionen q ∈ ℍ sind darstellbar durch q = q_{0}I + i ∑_{i=1}^{3} σ_{i}q_{i}, wobei σ_{i} die Pauli-Matrizen sind und I die 2 × 2-Einheitsmatrix ist. Die Identifikation von q ∈ ℍ mit q ∈ ℝ^{4} ist dann durch q = (q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}) gegeben. Das Produkt von q, r ∈ ℍ ist dann

qr = (q_{0}r_{0} − ∑_{i=1}^{3} q_{i}r_{i})I + i ∑_{i=1}^{3}(q_{0}r_{i} + q_{i}r_{0} − ∑_{j,k=1}^{3} ϵ_{ijk}q_{j}r_{k})σ_{i} ,

wobei ϵ_{ijk} antisymmetrisch unter Transposition zweier Indizes ist und ϵ_{123} = 1 gilt. Mit diesen Bezeichnungen folgt

ω_{(q,r)} = (q_{0}dq_{0} + ∑_{i=1}^{3} q_{i}dq_{i}) ⊗ I + ∑_{i=1}^{3} (q_{0}dq_{i} − q_{i}dq_{0} + ∑_{j,k=1}^{3} ϵ_{ijk}q_{j}dq_{k}) ⊗ iσ_{i}

+ (r_{0}dr_{0} + ∑_{i=1}^{3} r_{i}dr_{i}) ⊗ I + ∑_{i=1}^{3} (r_{0}dr_{i} − r_{i}dr_{0} + ∑_{j,k=1}^{3} ϵ_{ijk}r_{j}dr_{k}) ⊗ iσ_{i} .

Beweisen Sie, daß ω tatsächlich eine Zusammenhangsform ist. Stellen Sie dazu A ∈ 𝔤 = su(2) (Lie-Algebra von SU(2)) durch Pauli-Matrizen dar und bestimmen Sie das fundamentale Vektorfeld σ_{(q,r)}(A). Zeigen Sie dann ω_{(q,r)}(σ_{(q,r)}(A)) = A sowie (ψ_{g}^{∗}ω)_{(q,r)}(X) = Ad(g^{−1})(ω_{(q,r)}(X)) für g ∈ SU(2) und X ∈ T_{(q,r)}S^{7}.

50. Aufgabe (5 Punkte) Zeigen Sie, daß für das lokale Eichpotential A = s^{∗}ω gilt

A_{x} = \frac{1}{1 + ∥x∥^{2}} ∑_{i=1}^{3} (x_{0}dx_{i} − x_{i}dx_{0} + ∑_{j,k=1}^{3} ϵ_{ijk}x_{j}dx_{k}) ⊗ iσ_{i} , x ∈ ℍ ≃ ℝ^{4} .

Hinweis: Die Bündelmannigfaltigkeit S^{4} des Hopf-Bündels wurde über die Projektion π_{N}(q, r) = qr^{−1} ∈ ℍ ∪ ∞ erhalten, wobei ℍ ∪ ∞ über die stereographische Projektion mit S^{4} identifiziert wird. In einer lokalen Trivialisierung brauchen wir diese Identifikation nicht vorzunehmen, so daß wir x ∈ U = ℝ^{4} ≃ ℍ betrachten und den kanonischen Schnitt s : ℍ → S^{7} suchen. In Aufgabe 35 wurde gezeigt, daß für s(x) = (q, r) dann κ(s(x)) = \frac{r}{∥r∥} ist. Das liefert r = ∥r∥I = r_{0}I für den kanonischen Schnitt. Andererseits haben wir ∥x∥^{2} = ∥π(q, r)∥^{2} = ∥q∥^{2}/∥r∥^{2} = \frac{1}{∥r∥^{2}} − 1, also ∥r∥ = \frac{1}{\sqrt{1+∥x∥^{2}}} . Damit ist der kanonische

Schnitt durch

s(x) = (\frac{x}{\sqrt{1+∥x∥^{2}}} , \frac{1}{\sqrt{1+∥x∥^{2}}} ) x ∈ ℍ ,

gegeben. Es gilt x^{∗}x = ∥x∥^{2}I = ∑_{μ=0}^{3}(x_{μ})^{2}I.

51. Aufgabe (8 Punkte) Berechnen Sie die lokale Feldstärke F zum betrachteten Zusammenhang (Hinweis: Es gilt ∑_{n=1}^{3} ϵ_{nij}ϵ_{nkl} = δ_{ik}δ_{jl} − δ_{il}δ_{jk}) und untersuchen Sie F_{x} für x → ∞. Beweisen Sie, daß die Feldstärke selbstdual ist, d.h. F = ∗F für den Hodge-Operator, der durch die flache Metrik g_{μν} = δ_{μν} auf ℝ^{4} gegeben ist. Berechnen Sie das Integral ∫_{ℝ^{4}} F ˙∧F (welches auch die Yang-Mills-Wirkung ist). Das Skalarprodukt in der Lie-Algebra su(2) ist dabei durch die Spur des Produkts der Matrizen gegeben.