Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Topologische Grundlagen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 31.10.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

4. Aufgabe (5 Punkte) Beweisen Sie, daß der Einheitskreis S^{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} , x^{2} + y^{2} = 1} kompakt ist.

5. Aufgabe (5 Punkte) Auf dem topologischen Raum ℝ der reellen Zahlen wird durch x ∼ y ⇔ x−y ∈ ℤ (ganze Zahl) eine Äquivalenzrelation definiert. Identifizieren Sie den Raum ℝ/∼ , d.h. finden Sie einen (möglichst einfachen) Homöomorphismus f : ℝ/∼→ Y (Bijektivität und Stetigkeit sind zu diskutieren).

In Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Fall wird eine Äquivalenzrelation im ℝ^{n} definiert durch (x_{1}, x_{2}, … x_{n}) ∼ (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) ⇔ x_{i} − y_{i} ∈ ℤ für jede Komponente i. Identifizieren Sie den Raum ℝ^{n}/ ∼, wieder durch Angabe eines Homöomorphismus f : ℝ^{n}/∼→ Y (auf die Diskussion von Bijektivität und Stetigkeit kann verzichtet werden).

6. Aufgabe (5 Punkte) Auf dem topologischen Raum X = ℝ^{n+1}\{0} wird eine Äquivalenzrelation definiert durch (x_{1}, x_{2}, … x_{n+1}) ∼ (y_{1}, y_{2}, … y_{n+1}) ⇔ x_{i} = λy_{i} mit dem gleichen λ ∈ ℝ^{+} (positive reelle Zahl) für alle i. Identifizieren Sie den Raum X/∼ durch Angabe eines Homöomorphismus f : X → Y.

Was passiert, wenn λ ∈ ℝ \ {0} zugelassen wird (ohne weitere Diskussion)?