Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

3. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Differentiation, differenzierbare Mannigfaltigkeiten)

Abgabe der Lösung bis Montag, 7.11.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

7. Aufgabe (5 Punkte) Gegeben sei die Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ,

f(x_{1}, x_{2}) = \{ \begin{matrix}0 & für x_{1} = x_{2} = 0 \\ \frac{x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} & für (x_{1}, x_{2}) ≠ 0 \end{matrix}

Berechnen Sie die Richtungsableitungen in Richtung h = \binom{h_{1}}{h_{2}} im Punkt (0, 0) und im

Punkt (2, 1). Ist f in diesen Punkten differenzierbar?

8. Aufgabe (4 Punkte) Beweisen Sie, daß für differenzierbare Abbildungen g : U → V und f : V → W, mit offenen Teilmengen U ⊂ ℝ^{n}, V ⊂ ℝ^{m} und W ⊂ ℝ^{k}, das Differential der zusammengesetzten Abbildung durch

(f ∘ g)′(x) = f′(g(x)) ∘ g′(x)

gegeben ist. Wie sieht die Superposition in kanonischen Basen aus?

9. Aufgabe (7 Punkte) Sei S^{n} = {(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} , ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = 1} die n-dimensionale Sphäre mit Nordpol N = (0, …, 0, 1) und Südpol S = (0, …, 0, −1). Seien U_{N} = S^{n} \ {N} und U_{S} = S^{n} \ {S} Umgebungen des Süd- und Nordpols. Sei E = {(x_{1}, …, x_{n}, 0) ∈ ℝ^{n+1}} ≃ ℝ^{n} die ndimensionale Hyperfläche im ℝ^{n}.

Sei κ_{N} : U_{N} → ℝ^{n} die stereographishe Projektion vom Nordpol, die jedem x ∈ U_{N} den Schnittpunkt von E mit der durch N und x gehenden Geraden zuordnet. Sei κ_{S} : U_{S} → ℝ^{n} die stereographishe Projektion vom Südpol, die jedem x ∈ U_{S} den Schnittpunkt von E mit der durch S und x gehenden Geraden zuordnet.

[figure: N; S^{n}; S; x; κ_{N}(x); κ_{S}(x); 0; E]

Geben Sie die Funktionen κ_{N}, κ_{S} explizit an und beweisen Sie, daß κ_{S} ∘ κ_{N}^{−1} : ℝ^{n} → ℝ^{n} differenzierbar ist, so daß S^{n} eine Mannigfaltigkeit mit einem aus den Karten (U_{N}, κ_{N}) und (U_{S}, κ_{S}) bestehenden Atlas wird.

10. Aufgabe (4 Punkte) Diskutieren Sie den n-Torus T^{n} = \underbrace{S^{1} × ⋯ × S^{1}}_{n} als Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n+k}, d.h.

geben Sie für eine geeignete Kodimension k und eine geeignete offene Teilmenge U ⊂ ℝ^{n+k} eine Abbildung f : U → ℝ^{k} an, die T^{n} zu einer Untermannigfaltigkeit macht.