Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Lie-Gruppen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 14.11.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

11. Aufgabe (3 Punkte) Diskutieren Sie das Hyperboloid H_{(c)}^{n} = {(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} , x_{n+1}^{2} − ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = c} als Untermannigfaltigkeit. Welche Werte für c sind dabei erlaubt? Finden Sie möglichst einfache Karten für H^{n+} = {((x_{1}, …, x_{n}), x_{n+1}) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{+} , x_{n+1}^{2} − ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = 1} und skizzieren Sie H^{2+}.

12. Aufgabe (4 Punkte) Bestimmen Sie die Mannigfaltigkeit der Lie-Gruppe SL(2, ℝ) = {g ∈ M_{2}(ℝ) , det g = 1} und der Lie-Gruppe SO(2, ℝ) = {g ∈ M_{2}(ℝ) , g^{T} g = I_{2×2} , det g = 1}. Hinweis: Eine

sinnvolle Parametrisierung ist g = ( \begin{matrix}x + w & −y + z \\ y + z & x − w \end{matrix} ).

13. Aufgabe (5 Punkte) Bestimmen Sie die Mannigfaltigkeit der Lie-Gruppe SU(2) = {g ∈ M_{2}(ℂ) , g^{∗}g = I_{2×2} , det g = 1}.

14. Aufgabe (8 Punkte) Mit Hilfe der Pauli-Matrizen σ_{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), σ_{2} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ), σ_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) werde ein

Vektorraum-Isomorphismus σ : ℝ^{3} → {a ∈ M_{2}(ℂ) , a = a^{∗} , tr(a) = 0}, σ(x) = ∑_{i=1}^{3} σ_{i}x_{i} für x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), zwischen dem dreidimensionalen Euklidischen Raum und dem Raum der spurfreien selbstadjungierten komplexen 2 × 2-Matrizen definiert.

Zeigen Sie, daß u^{∗}σ(x)u ∈ σ(ℝ^{3}) für u ∈ SU(2). Bestimmen Sie die durch u^{∗}σ(x)u = σ(gx) definierte Transformationsmatrix g ∈ M_{3}(ℝ) sowie den Raum G aller dieser Matrizen.

Finden Sie den Kern der Abbildung SU(2) ∋ u ↦ g ∈ G, also jene Elemente u ∈ SU(2), die auf das gleiche g ∈ G abgebildet werden. Unter Verwendung von Aufgabe 13 ist G zu welcher Mannigfaltigkeit isomorph?