Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

5. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Tangentialraum, Tangentialbündel)

Abgabe der Lösung bis Montag, 21.11.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

15. Aufgabe (3 Punkte) Sei M = f^{−1}(0) eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n+k} und x ∈ M. Zeigen Sie, daß f′(x)v_{x} = 0 gilt für jeden Tangentialvektor v_{x} ∈ T_{x}M.

16. Aufgabe (4 Punkte) Bestimmen Sie die Tangentialräume T_{e}H im Einselement e = I_{n×n} der Lie-Untergruppen H ∈ {SL(n, ℝ), SL(n, ℂ), O(n, ℝ), U(n), SU(n)}.

17. Aufgabe (7 Punkte) Sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Das Exponential einer n × n-Matrix X ∈ M_{n}(𝕂) ist gegeben

durch e^{X} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{X^{k}}{k!} mit X^{0} = I_{n×n}. Beweisen Sie zunächst die folgenden Eigenschaften

für X, Y ∈ M_{n}(𝕂):

1. Falls XY = Y X, dann ist e^{X+Y} = e^{X}e^{Y}
2. exp((t + s)X) = exp(tX) exp(sX) für t, s ∈ ℝ
3. (e^{X})^{−1} = e^{−X}
4. Falls Y invertierbar, dann ist e^{Y^{−1}XY} = Y^{−1}e^{X}Y
5. e^{(X^{T})} = (e^{X})^{T} (transponierte Matrix)
6. e^{(X^{∗})} = (e^{X})^{∗} (hermitesch konjugierte Matrix für 𝕂 = ℂ)
7. det(e^{X}) = e^{tr(X)} (dabei ist det die Determinante und tr die Spur)

Hinweis zu 7: Für jede Matrix X ∈ M_{n}(ℝ) oder X ∈ M_{n}(ℂ) existiert eine invertierbare Matrix Y ∈ M_{n}(ℂ), so daß Y^{−1}XY ∈ M_{n}(ℂ) eine obere (komplexe) Dreiecksmatrix ist, d.h. alle Matrixelemente unterhalb der Diagonale sind Null.

Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 16, daß für die Lie-Untergruppen H ∈ {SL(n, ℝ), SL(n, ℝ), O(n, ℝ), U(n), SU(n)} und v_{e} ∈ T_{e}H sowie t ∈ ℝ gilt e^{tv_{e}} ∈ H.

b.w.

18. Aufgabe (6 Punkte) Das Möbius-Band ist der Raum E = R/ ∼, wobei R das offene Rechteck R = (−π, 2π) × (−1, 1) ⊂ ℝ^{2} ist und R ∋ (x_{1}, y_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2}) ∈ R falls {x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}} oder {|x_{1} −x_{2}| = 2π, y_{1} = −y_{2}}. Zeigen Sie, daß das Möbiusband E ein Vektorbündel mit Basismannigfaltigkeit S^{1} und typischer Faser ℝ^{1} ist. Geben Sie dazu die kanonische Projektion π : E → S^{1} und für eine Überdeckung der S^{1} durch zwei Karten U_{1}, U_{2} eine Trivialisierung χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → U_{i} × ℝ^{1} an und überprüfen Sie die Bündeleigenschaften (die Vektorraum-Struktur der Fasern ist nicht sehr natürlich). Bestimmen Sie für t ∈ U_{1} ∩ U_{2} die Abbildung g_{21}(t) = χ_{2}|_{π^{−1}(t)}(χ_{1}|_{π^{−1}(t)})^{−1} : ℝ → ℝ.