Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Vektorfelder, Lie-Algebren)

Abgabe der Lösung bis Montag, 28.11.2005, im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

19. Aufgabe (4 Punkte) Beweisen Sie folgende Aussage: Sei ϕ_{X} : D ⊂ M × ℝ → M die durch ein Vektorfeld X ∈ X (M) generierte einparametrige Gruppe von lokalen Diffeomorphismen und ϕ : M → M ein lokaler Diffeomorphismus von M. Dann ist die durch ϕ_{∗}X generierte einparametrige Gruppe von lokalen Diffeomorphismen ϕ_{ϕ_{∗}X} gegeben durch ϕ_{ϕ_{∗}X}(x, t) = ϕ∘ϕ_{X}(ϕ^{−1}(x), t).

20. Aufgabe (6 Punkte) Sei x ∈ M = ℝ. Bestimmen Sie für das durch (Xf)(x) = x^{2} \frac{∂f}{∂x} gegebene Vektorfeld die Integralkurve γ_{x_{0}}(t) durch x_{0} und das Intervall I ∋ t, auf dem die Kurve definiert ist.

Sei (x, y) ∈ M = ℝ^{2}. Bestimmen Sie für das durch (Xf)(x) = x^{2} \frac{∂f}{∂y} gegebene Vektorfeld die Integralkurve γ_{(x_{0},y_{0})}(t) durch (x_{0}, y_{0}) und das Intervall I ∋ t, auf dem die Kurve definiert ist.

21. Aufgabe (5 Punkte) Sei {b_{i}}_{i=1}^{n} eine Vektorraum-Basis der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe. Dann sind die Strukturkonstanten c_{jk}^{i} der Lie-Algebra bezüglich dieser Basis definiert durch [b_{j}, b_{k}] = ∑_{i=1}^{n} c_{jk}^{i}b_{i}. Schreiben Sie die Eigenschaften einer Lie-Algebra als Gleichungen für die Strukturkonstanten. Geben Sie unter Verwendung der früheren Aufgabe 16 eine Basis der Lie-Algebren der Lie-Gruppen O(3, ℝ) und SU(2) an und berechnen Sie die Strukturkonstanten.

22. Aufgabe (5 Punkte) Bestimmen Sie alle 1- und 2-dimensionalen Lie-Algebren (bis auf Isomorphie) und geben Sie zu jeder dieser Lie-Algebren 𝔤 eine Lie-Gruppe G an, deren Lie-Algebra 𝔤 ist.

Information: Wegen Teilnahme an einem Workshop in Marokko werden die Vorlesungen vom 28.11. und 29.11. auf einen späteren Termin verschoben.