Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Lie-Ableitung)

Abgabe der Lösung bis Montag, 5.12.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

23. Aufgabe (5 Punkte) Seien t_{p}^{q} ∈ Γ^{∞}(T_{p}^{q}(M)) und t_{r}^{s} ∈ Γ^{∞}(T_{r}^{s}(M)) Tensorfelder und x ∈ M. Dann ist punktweise ein assoziatives Produkt (t_{p}^{q} ⊗ t_{r}^{s})_{x} = (t_{p}^{q})_{x} ⊗ (t_{r}^{s})_{x} erklärt (Tensorprodukt). Beweisen Sie, daß für die Lie-Ableitung nach einem Vektorfeld X ∈ X (M) gilt

L_{X}(t_{p}^{q} ⊗ t_{r}^{s}) = (L_{X}t_{p}^{q}) ⊗ t_{r}^{s} + t_{p}^{q} ⊗ (L_{X}t_{r}^{s}) .

24. Aufgabe (6 Punkte) Beweisen Sie, daß für ein Kovektorfeld (= differentielle 1-Form) α ∈ Γ^{∞}(T^{∗}M) = Λ^{1}M und Vektorfelder X, Y ∈ Γ^{∞}(T M) = X (M) gilt

(L_{X}α)(Y) = X(α(Y)) − α(L_{X}Y) .

25. Aufgabe (5 Punkte) Beweisen Sie, daß für Kovektorfelder α_{i} ∈ Γ^{∞}(T^{∗}M) = Λ^{1}M und Vektorfelder X, Y_{j} ∈ Γ^{∞}(T M) = X (M) sowie ein Tensorfeld t_{p}^{q} ∈ Γ^{∞}(T_{p}^{q}(M)) gilt

(L_{X}t_{p}^{q})(α_{1}, …, α_{p}, Y_{1}, …, Y_{q}) = X(t_{p}^{q}(α_{1}, …, α_{p}, Y_{1}, …, Y_{q}))
− t_{p}^{q}(L_{X}α_{1}, α_{2}, …, α_{p}, Y_{1}, …, Y_{q})
− t_{p}^{q}(α_{1}, L_{X}α_{2}, …, α_{p}, Y_{1}, …, Y_{q})
− ⋯ − t_{p}^{q}(α_{1}, α_{2}, …, α_{p}, Y_{1}, …, L_{X}Y_{q}) .

26. Aufgabe (4 Punkte) Beweisen Sie die Operatoridentität L_{X} ∘ L_{Y} − L_{Y} ∘ L_{X} = L_{[X,Y]} in Anwendung auf Funktionen, Vektorfelder sowie beliebige Tensorfelder.