Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

8. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Adjungierte Darstellung, Differentialformen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 12.12.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

27. Aufgabe (8 Punkte) Sei 𝔤 die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe G. Beweisen Sie die Identität

Ad(exp(A))B = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(ad(A))^{k}B ≡ exp(ad(A))B

für B ∈ 𝔤 und A ∈ V ⊂ 𝔤, wobei V eine hinreichend kleine Umgebung von 0 ∈ 𝔤 ist. Hinweis: Eine Möglichkeit besteht darin, die linke Seite auf eine reell analytische Funktion f anzuwenden und f(g exp(A)) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(A^{k}f)(g) zu verwenden, mit g ∈ G.

28. Aufgabe (5 Punkte) Das innere Produkt zwischen einem Vektorfeld X ∈ X (M) und einer differentiellen k-Form α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M), k ≥ 1, ist eine differentielle (k − 1)-Form definiert durch

(i_{X}α)(Y_{1}, …, Y_{k−1}) := α(X, Y_{1}, …, Y_{k−1}) ,

für Y_{i} ∈ X (M). Sei L_{X} die Lie-Ableitung nach dem Vektorfeld X. Beweisen Sie, daß i_{[X,Y]}α = L_{X}(i_{Y} α) − i_{Y} (L_{X}α).

29. Aufgabe (7 Punkte) Seien Y ∈ X (N) ein Vektorfeld und α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}N) eine differentielle k-Form auf N und ϕ : M → N ein Diffeomorphismus zwischen Mannigfaltigkeiten. Beweisen Sie, daß für Lie-Ableitung und inneres Produkt gilt

ϕ^{∗}(L_{Y} α) = L_{ϕ_{∗}^{−1}Y} (ϕ^{∗}α) ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M) ,
ϕ^{∗}(i_{Y} α) = i_{ϕ_{∗}^{−1}Y} (ϕ^{∗}α) ∈ Γ^{∞}(Λ^{k−1}M) .