Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS 2005/06 Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wulkenhaar / Dipl.-Math. R. Schmidt

9. Übungsblatt zur Vorlesung “Geometrie von Eichtheorien” (Differentialformen)

Abgabe der Lösung bis Montag, 19.12.2005, vor Vorlesungsbeginn im Briefkasten 79 des Übungsleiters.

30. Aufgabe (5 Punkte) Beweisen Sie (in Anwendung auf Differentialformen α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M)) die Cartan-Formel

L_{X} = i_{X} ∘ d + d ∘ i_{X} ,

wobei d das äußere Differential ist, L_{X} die Lie-Ableitung nach dem Vektorfeld X ∈ X (M) ist und i_{X} das innere Produkt ist. Hinweis: Die Lie-Ableitung von Differentialformen ist ein Spezialfall von Aufgabe 25.

31. Aufgabe (5 Punkte) Sei α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}N) eine differentielle k-Form auf N und ϕ : M → N ein Diffeomorphismus zwischen Mannigfaltigkeiten. Seien d_{M} und d_{N} die äußeren Differentiale auf Γ^{∞}(Λ^{k}M) bzw. Γ^{∞}(Λ^{k}N) Beweisen Sie die Identität

ϕ^{∗}(d_{N}α) = d_{M}(ϕ^{∗}α)

32. Aufgabe (7 Punkte) Sei M = ℝ^{3} ∋ (x, y, z) und f ∈ C^{∞}(ℝ^{3}), α = α_{x}dx + α_{y}dy + α_{z}dz ∈ Γ^{∞}(Λ^{1}ℝ^{3}), β = β_{x}dy ∧ dz + β_{y}dz ∧ dx + β_{z}dx ∧ dy ∈ Γ^{∞}(Λ^{2}ℝ^{3}) sowie γ = γ^{∗}dx ∧ dy ∧ dz ∈ Γ^{∞}(Λ^{3}ℝ^{3}), mit α_{x}, α_{y}, α_{z}, β_{x}, β_{y}, β_{z}, γ^{∗} ∈ C^{∞}(ℝ^{3}). Dadurch werde die 1-Form α mit einem Vektor (α_{x}, α_{y}, α_{z}) ∈ (C^{∞}(ℝ^{3}))^{3} und die 2-Form β mit einem Vektor (β_{x}, β_{y}, β_{z}) ∈ (C^{∞}(ℝ^{3}))^{3} identifiziert sowie γ mit der Funktion γ^{∗}.

Bestimmen sie die Vektoren, die mit df ∈ Γ^{∞}(Λ^{1}ℝ^{3}) und dα ∈ Γ^{∞}(Λ^{2}ℝ^{3}) identifiziert werden sowie die Funktion, die mit dβ ∈ Γ^{∞}(Λ^{3}ℝ^{3}) identifiziert wird.

Bestimmen Sie die Funktion, die mit α ∧ β ∈ Γ^{∞}(Λ^{3}ℝ^{3}) identifiziert wird. Sei eine weitere 1-Form δ ∈ Γ^{∞}(Λ^{1}ℝ^{3}) mit dem Vektor (δ_{x}, δ_{y}, δ_{z}) identifiziert. Bestimmen Sie den Vektor, der mit der 2-Form α ∧ δ identifiziert wird.

b.w.

33. Aufgabe (3 Punkte) Die Maxwellschen Gleichungen lauten

divB⃗ = 0  divD⃗ = ρ
rotE⃗ + \frac{∂B⃗}{∂t} = 0  rotH⃗ − \frac{∂D⃗}{∂t} = j⃗

Dabei ist div(A_{x}, A_{y}, A_{z}) = \frac{∂A_{x}}{∂x} + \frac{∂A_{y}}{∂y} + \frac{∂A_{z}}{∂z} die Divergenz eines Vektorfeldes und rot(A_{x}, A_{y}, A_{z}) = (\frac{∂A_{z}}{∂y} − \frac{∂A_{y}}{∂z} , \frac{∂A_{x}}{∂z} − \frac{∂A_{z}}{∂x} , \frac{∂A_{y}}{∂x} − \frac{∂A_{x}}{∂y} ) die Rotation eines Vektorfeldes.

Schreiben Sie unter Verwendung von Aufgabe 32 das System der Maxwellschen Gleichungen in der Sprache der Differentialformen, d.h. finden Sie Differentialformen, die den Vektoren E⃗, B⃗, H⃗, D⃗, j⃗ ∈ (C^{∞}(ℝ^{3}))^{3} und der Funktion ρ ∈ C^{∞}(ℝ^{3}) entsprechen und drücken Sie die Operationen rot und div durch äußere Differentiale aus, so daß Gleichungen in Γ^{∞}(Λ^{k}ℝ^{3}) entstehen.