1 Einführung

1.1 Fundamentale Wechselwirkungen der Physik

Gegenwärtiger Stand der Experimente: Es gibt vier fundamentale Wechselwirkungen (elektromagnetische, schwache, starke, gravitative)

– quantenphysikalische Beschreibung

– klassische Feldtheorie: → ist Geometrie!

1.1.1 Gravitation

Gravitationsfeld = metrischer Tensor einer (pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeit:

• infinitesimaler Abstand ds^{2} = ∑_{μ,ν=0}^{3} g_{μν}dx^{μ}dx^{ν} (Pythagoras in beliebigen Koordinaten)

• daraus Kurvenlänge, Abstand als Länge der kürzesten Kurve (Geodäte)

• kürzeste Kurve soll auch “geradeste” Kurve sein: definiert Paralleltransport

• g_{μν} bestimmt aus Einsteinschen Feldgleichungen zu gegebener Materieverteilung

• für “schwache” Felder: g_{μν} = ( \begin{matrix}1 − \frac{2GM}{rc^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Sonne: \frac{2GM}{rc^{2}} ≈ 4 · 10^{−6}

1.1.2 Elektrodynamik

Maxwellsche Gleichungen:

• 4 “Vektoren” im ℝ^{3}: E⃗(r⃗, t), B⃗(r⃗, t), H⃗(r⃗, t), D⃗(r⃗, t)

• Quellen: Ladungsdichte ρ(r⃗, t), Stromdichte j⃗(r⃗, t)

• 8 gekoppelte lineare partielle Differentialgleichungen, 6 Materialgleichungen

divB⃗ = 0  divD⃗ = ρ  D⃗ = ϵE⃗
rotE⃗ + \frac{∂B⃗}{∂t} = 0  rotH⃗ − \frac{∂D⃗}{∂t} = j⃗  H⃗ = \frac{1}{μ}B⃗

Dieses System ist unter geeigneten Randbedingungen zu lösen Vereinfachung in Spezieller Relativitätstheorie (Raum + Zeit → vierdimen-

sionale Raum-Zeit, x^{μ} = (t, r⃗)):

E⃗ und B⃗ werden zu Feldstärketensor mit Komponenten F_{μν} zusammengefaßt, ρ und j⃗ zum Viererstrom mit Komponenten j_{μ}, mit μ, ν = 0, 1, 2, 3 • Maxwellsche Gleichungen:

\frac{∂F_{μν}}{∂x^{ρ}} + \frac{∂F_{νρ}}{∂x^{μ}} + \frac{∂F_{ρμ}}{∂x^{ν}} = 0 ,  ∑_{μ,ρ=0}^{3} g^{μρ} \frac{∂F_{μν}}{∂x^{ρ}} = j_{ν}

erste Gleichung identisch erfüllt durch F_{μν} = \frac{∂A_{ν}}{∂x^{μ}} − \frac{∂A_{μ}}{∂x^{ν}}, wobei A_{μ} das Eichpotential ist

mathematische Beschreibung: E⃗, B⃗ sind keine Vektoren, F_{μν} sind nicht Komponenten eines Tensors! Es sind geometrische Objekte, um die es in der Vorlesung gehen wird

1.1.3 Differentialgeometrische Beschreibung

A_{μ} sind Komponenten einer Zusammenhangsform in einem U(1)- Hauptfaserbündel P F_{μν} sind Komponenten der Krümmungsform des Zusammenhangs

[figure: •; G – Lie-Gruppe; M – Mannigfaltigkeit; P ≈ M × G; (lokal); F -Faser; π(F) – Fußpunkt; vertikaler Vektor; horizontaler; Vektor]

• vertikaler Vektor ist natürlich gegeben als Tangentialvektor an Faser

• Horizontalität ist geometrische Zusatzstruktur, ein sogenannter Zusammenhang, dieser wird durch die Zusammenhangsform (mit Komponenten A_{μ}) definiert

• Horizontale Wege definieren Paralleltransport. Krümmung der Horizontalität entspricht Kräften, die wir als Elektromagnetismus wahrnehmen

1.1.4 Verallgemeinerung

auf nichtabelsche Symmetriegruppen (“Yang-Mills-Theorie”)

• Aus phänomenologischer Sicht: G = SU(3) × SU(2) ×  U(1) ↓  ↓  ↓ stark  schwach  Hyperladung

• nichtabelsche Anteile (d.h. SU(2), SU(3)) in der Natur nicht direkt (als klassische Feldtheorie) beobachtbar (kurze Reichweite)

• Erklärung:

1. Massenterm für SU(2)-Eichfelder über Higgs-Mechanismus (läßt sich geometrisch verstehen, siehe Vorlesung, aber besser in nichtkommutativer Geometrie)

2. Confinement für SU(3)-Eichfelder (bisher nicht verstanden! → 10^{6} $) In der Natur werden nur solche Modelle beobachtet, die eine einfache geome-

trische Bedeutung haben.

1.2 Inhalt der Vorlesung

• Topologische Räume, topologische Mannigfaltigkeit, Differenzierbarkeit, differenzierbare Mannigfaltigkeit (gutartige Räume)

• Tangentialraum, Vektorfelder, Tensoren, Differentialformen (Differentialund Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten)

• Lie-Gruppen, Lie-Algebren (Symmetrien)

• Hauptfaserbündel, Zusammenhang, Krümmung, assoziierte Vektorbündel, kovariante Ableitung

• Physikalische Modelle: Yang-Mills-Theorie, Materiefelder, Higgs-Mechanismus

• Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Gravitationstheorie

• Spin-Struktur, Dirac-Operatoren, Standardmodell

1.3 Literatur

• Nakahara: “Geometry, Topology and Physics”

• Marathe, Martucci: “The Mathematical Foundations of Gauge Theories”

• Choquet-Bruhat, Dewitt-Morette: “Analysis, Manifolds and Physics: Part I+II”

• Kobayashi, Nomizu: “Foundations of Differential Geometry, Vol. 1”

• Naber: “Topology, Geometry and Gauge fields: Foundations”

• Göckeler, Schücker: “Differential Geometry, Gauge Theories, and Gravity”

• Dubrovin, Novikov, Fomenko: “Modern Geometry - Methods and Applications : Part I-III”

2 Mannigfaltigkeiten

2.1 Topologische Räume

2.1.1 Grundlegende Definition

Definition 1 Ein topologischer Raum (X, T ) ist eine Menge X zusammen mit einer Familie T von Teilmengen O_{i} ⊂ X, die die folgenden Axiome erfüllen:

• Die leere Menge ∅ und die Grundmenge X sind in T : X, ∅ ∈ T .

• Der Durchschnitt endlich vieler Teilmengen O_{i} ∈ T ist wieder in T : ⋂_{i=1}^{n} O_{i} ∈ T .

• Die Vereinigung beliebig vieler Teilmengen O_{i} ∈ T ist wieder in T : ⋃_{i} O_{i} ∈ T .

Die Familie T heißt die Topologie auf X. Die Mengen O ∈ T heißen offene Mengen und ihre Komplemente X \ O heißen abgeschlossene Mengen. Die Elemente von X heißen Punkte.

X und ∅ sind offen und abgeschlossen.

Definition 2 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und x ∈ X ein Punkt des Raumes. Eine offene Umgebung U von x ist eine offene Teilmenge, die x enthält. Eine Umgebung von x ist eine Teilmenge, die eine offene Umgebung von x als Teilmenge besitzt.

Definition 3 Eine Familie B ⊂ T offener Untermengen von X heißt Basis des topologischen Raumes, falls jede offene Menge O ∈ T als Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Elementen aus B dargestellt werden kann.

Interessant sind abzählbare Basen, die also nur aus abzählbar vielen Elementen bestehen.

2.1.2 Beispiel: Metrischer Raum

Meist ist es einfacher, eine Basis anzugeben und dann die Topologie aus der Basis heraus zu erzeugen.

Definition 4 Ein metrischer Raum (X, d) ist eine Menge X zusammen mit einer Abbildung d : X × X → ℝ, der Metrik, die für beliebige Elemente x, y, z ∈ X die folgenden Axiome erfüllt:

1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2. d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie)

3. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (Dreiecksungleichung)

Es gibt (für die Physik wichtige) Verallgemeinerungen, die imaginäre Abstände (d(x, y))^{2} < 0 zulassen.

Sei U_{ϵ}(x) = {y ∈ X : d(x, y) < ϵ} die ϵ-Umgebung von x ∈ X (oder auch die offene Kugel um x mit Radius ϵ).

Definition 5 Eine Teilmenge O ⊂ X heißt offen in (X, d), falls für jedes x ∈ O eine ϵ-Umgebung U_{ϵ}(x) existiert, so daß U_{ϵ}(x) ⊂ O.

Satz 1 Die so gewonnene Familie offener Teilmengen T macht X zu einem topologischen Raum (X, T ).

Beweis: Übungsaufgabe 1

Die Menge ℝ^{1} die reellen Zahlen wird mit d(x, y) := |x − y| zu einem metrischen und damit zu einem topologischen Raum. Die ϵ-Umgebungen U_{ϵ}(x) sind die offenen Intervalle (a, b) mit x = (a + b)/2 und ϵ = |b − a|/2.

Die offenen Intervalle bilden eine Basis der Topologie. Die offenen Intervalle (a, b) mit rationalen Endpunkten a, b ∈ ℚ bilden eine abzählbare Basis der Topologie.

2.1.3 Abbildungen von topologischen Räumen

Definition 6 Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt

• injektiv: f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2}

• surjektiv: ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X : f(x) = y

• bijektiv: f ist injektiv und surjektiv

• stetig in x_{0}:  Für jede offene Umgebung U von f(x_{0}) ist das Urbild f^{−1}(U) offen in X.

• Homöomorphismus: f ist bijektiv und f, f^{−1} sind in jedem Punkt stetig.

2.1.4 Äquivalenzrelationen

Definition 7 Eine Äquivalenzrelation ∼ ist eine Beziehung zwischen Objekten mit folgenden Eigenschaften:

• x ∼ x (reflexiv)

• x ∼ y ⇒ y ∼ x (symmetrisch)

• x ∼ y , y ∼ z ⇒ x ∼ z (transitiv)

Sei (X, ∼) eine Menge mit einer Äquivalenzrelation zwischen den Punkten. Dann schreiben wir [x] := {y ∈ X, x ∼ y} für die Äquivalenzklasse und X/ ∼ := {[x] , x ∈ X} für den Quotientenraum. Ein Element y ∈ X mit y ∼ x heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse [x] = [y].

Äquivalenzklassen werden uns oft begegnen. Die Strategie ist meist, eine Konstruktion zunächst für einen Repräsentanten durchzuführen und dann zu zeigen, daß sie wohldefiniert (unabhängig von der Wahl des Repräsentanten) ist.

2.1.5 Erzeugung von topologischen Räumen

Produkt-Topologie. Seien (X_{i}, T_{i}) topologische Räume und X = ×_{i} X_{i} das kartesische Produkt. Für jedes i gibt es eine kanonische Projektion π_{i} : X → X_{i}.

Dann wird eine Basis der Topologie auf X definiert als {⋂_{j=1}^{n} π_{j}^{−1}(U_{j}) , U_{j} ∈ T_{j}}

Offenbar bilden die offenen Hyperquader (a_{1}, b_{1}) × (a_{2}, b_{2}) × ⋯ × (a_{n}, b_{n}) mit a_{i}, b_{i} ∈ ℚ eine abzählbare Basis der Produkt-Topologie des ℝ^{n}.

Satz 2 Die Produkt-Topologie auf dem ℝ^{n} = ℝ^{1} × ⋯ × ℝ^{1} ist identisch mit der metrischen Topologie des (ℝ^{n}, d)

Beweis: Übungsaufgaben 2+3 für einen analogen Fall.

Unterraum-Topologie. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge. Dann ist die Unterraum-Topologie S auf Y definiert als S = {U ∩Y , U ∈ T }.

Beispiel: Topologie auf der n-Sphäre S^{n} als Durchschnitt offener Mengen im ℝ^{n+1} mit S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} , ∥x∥ = 1}.

Quotientenraum-Topologie. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Durch π(x) := [x] wird eine kanonische surjektive Abbildung π : X → X/ ∼, die kanonische Projektion, definiert. Dann wird die Quotientenraum-Topologie S auf X/∼ definiert durch U ∈ S ⇔ π^{−1}(U) ∈ T .

2.1.6 Trennung von Punkten

Definition 8 Ein Hausdorff-Raum ist ein topologischer Raum X, in dem das folgende Trennungsaxiom gilt:

• Für alle x, y ∈ X mit x ≠ y existieren disjunkte offene Umgebungen U(x) und V (y).

Trennungsaxiom: Zwei verschiedene Punkte x, y ∈ X sollen auch durch Umgebungen getrennt werden. Es gibt verschiedene Stärken der Trennung, die uns hier aber nicht interessieren.

Beispiel 1  • • ∘_{|}  ^{|}  ^{|}^{|} −b^{1} p_{1} a_{2} a_{1} −b_{2} p_{2}  z.B. \begin{matrix}O_{1} = (−b_{1}, 0] ∪ (0, a_{1}) \\ O_{2} = (−b_{2}, 0] ∪ (0, a_{2}) \end{matrix}

Alle offenen Mengen, die p_{1} und p_{2} enthalten, enthalten ein gemeinsames Intervall.

2.1.7 Kompaktheit

Definition 9 Ein topologischer Raum X heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Dabei bedeutet:

• offene Überdeckung von X: eine Familie {U_{i}}_{i∈I} von offenen Mengen, deren Vereinigung X ist: X = ⋃_{i∈I} U_{i}

• Teilüberdeckung: eine Auswahl {U_{j}}_{j∈J}, deren Vereinigung immer noch X ist

Definition 10 Ein topologischer Raum X heißt parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine lokal endliche Verfeinerung besitzt.

Dabei bedeutet:

• Verfeinerung: eine neue Überdeckung {V_{j}}_{j∈J}, wobei jede Menge V_{j} in mindestens einer Menge U_{i} der alten Überdeckung enthalten sein muß

• lokal endlich: zu jedem x ∈ X gibt es eine Umgebung, die nur endlich viele Mengen V_{j} schneidet.

Es gibt weitere Arten von Kompaktheit, die uns hier nicht interessieren.

Beispiel 2 Überdeckung von ℝ^{1} mit offenen Intervallen

• (n − \frac{1}{4}, n + \frac{5}{4}), n ∈ ℤ \ \{0\} → Lücke [\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]

• (\frac{1}{8} − \frac{1}{8m}, 1 − \frac{1}{8m}), m ∈ ℤ^{+}

Es kann keine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden ⇒ ℝ^{1} ist nichtkompakt. Die Überdeckung selbst ist nicht lokal endlich, da jede Umgebung von \frac{1}{2} unendlich viele Teilmengen schneidet. Es kann aber die Teilüberdeckung mit m = 1 ausgewählt werden, die auch zur Überdeckung ausreicht und lokal endlich ist.

2.1.8 Topologische Mannigfaltigkeit

Definition 11 Eine topologische Mannigfaltigkeit M ist ein parakompakter Hausdorff-Raum mit einer abzählbaren Basis, der lokal einem ℝ^{n} homöomorph ist, d.h. für alle x ∈ M existiert eine Umgebung U und ein Homöomorphismus κ : U ↦ κ(U) ⊂ ℝ^{n}. Das Paar (U, κ) heißt lokale Karte.

Das sind die minimalsten Voraussetzungen für eine sinnvolle Geometrie. Die Voraussetzungen sind eigentlich immer erfüllt und es ist viel schwieriger Gegenbeispiele zu finden (die dann sehr pathologisch sind).

Auf parakompakten Hausdorff-Räumen existiert die Zerlegung der Eins:

Satz 3 Sei X ein parakompakter Hausdorff-Raum mit gegebener offener Überdeckung {U_{i}}. Dann existiert eine Familie stetiger Funktionen f_{i} : X → [0, 1] mit folgenden Eigenschaften:

• Für jede dieser Funktionen existiert eine offene Umgebung aus der Überdeckung, so daß f_{i}(x) = 0 ∀x ∈ X \ U_{i}

• Jeder Punkt x ∈ X besitzt eine Umgebung V, so daß es nur endlich viele Funktionen f_{j} gibt, die auf V nicht identisch verschwinden, und ∑_{j} f_{j}(y) = 1 ∀y ∈ V.

Über die Zerlegung der Eins werden lokal (in jeder Karte) definierte Objekte zu globalen (auf der ganzen topologischen Mannigfaltigkeit definierten) Objekten zusammengeklebt.

Wir benötigen aber noch Differenzierbarkeit!

2.2 Differentialrechnung im ℝ^{n}

Definition 12 Seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m} offene Untermengen. Eine Abbildung f : U → V heißt differenzierbar in x ∈ U, falls eine stetige lineare Abbildung f′(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m} existiert, so daß

f(x + h) − f(x) = f′(x)(h) + r(x, h) und lim_{h→0} \frac{∥r(x, h)∥}{∥h∥} = 0 , h ∈ ℝ^{n} .

Die Abbildung f′(x) heißt Differential von f in x im Sinne von Fréchet. Die Abbildung f : U → V heißt differenzierbar auf U, wenn sie in jedem Punkt x ∈ U differenzierbar ist.

Die Definition verallgemeinert sich auf Abbildungen zwischen Banach-Räumen (vollständigen normierten Räumen).

Satz 4 Falls das Differential f′ existiert, dann ist es eindeutig.

Definition 13 Seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m} offene Untermengen. Die Abbildung f : U → V hat im Punkt x ∈ U eine Ableitung in Richtung des Vektors e ∈ ℝ^{n}, falls der Grenzwert

(∇_{e}f)(x) := lim_{t→0} \frac{f(x + te) − f(x)}{t} , t ∈ ℝ

existiert. Der Grenzwert (∇_{e}f)(x) heißt Richtungsableitung.

Satz 5 Falls f in x differenzierbar, dann existieren alle Richtungsableitungen und es gilt (∇_{e}f)(x) = f′(x)(e).

Seien (e_{1}, …, e_{n}) die kanonischen Basen im ℝ^{n}, dann schreiben wir (∇_{e_{j}}f)(x) ≡ (∂_{j}f)(x).

Definition 14 Sei ℝ ⊃ (a, b) ∋ t ↦ x(t) ⊂ ℝ^{n} eine Kurve im ℝ^{n}. Das Differential x′(t_{0}) : ℝ → ℝ^{n} heißt Tangentialvektor an die Kurve x(t) im Punkt x(t_{0}).

Satz 6 (Komposition von Abbildungen) Seien U ⊂ ℝ^{n}, V ⊂ ℝ^{m} und W ⊂ ℝ^{k} offene Teilmengen und g : U → V und f : V → W differenzierbar, dann ist die Abbildung f ∘ g : U → W differenzierbar, und es gilt

(f ∘ g)′(x) = f′(g(x)) ∘ g′(x)

Beweis: Übungen.

Seien X, Y, Z topologische Räume und f : X × Y → Z eine Abbildung. Dann wird

• für festes x ∈ X eine Abbildung f_{x} : Y → Z definiert durch f_{x}(y) = f(x, y),

• für festes y ∈ Y eine Abbildung f_{y} : X → Z definiert durch f_{y}(x) = f(x, y).

Satz 7 (von der impliziten Funktion) Seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{k} offene Teilmengen, F : U ×V → ℝ^{k} differenzierbar, und in einem Punkt (x_{0}, y_{0}) ∈ U ×V gelte f(x_{0}, y_{0}) = 0. Wenn das Differential F′_{x_{0}}(y_{0}) : ℝ^{k} → ℝ^{k}, aufgefaßt als Matrix, invertierbar ist, dann existieren offene Umgebungen U_{0} ⊂ U von x_{0} und V_{0} ⊂ V von y_{0} sowie eine eindeutige differenzierbare Abbildung g : U_{0} → V_{0}, so daß F (x, g(x)) = 0 für alle x ∈ U_{0}. Es gilt g′(x) = −(F′_{x}(g(x)))^{−1} ∘ F′_{g(x)}(x).

Korollar 1 Sei V ⊂ ℝ^{n} offen, f : V → U ⊂ ℝ^{n} differenzierbar und f′(y_{0}) : ℝ^{n} → ℝ^{n} im Punkt y_{0} ⊂ V invertierbar. Dann existieren offene Umgebungen V_{0} ⊂ V von y_{0} und U_{0} von f(y_{0}) und eine eindeutige inverse Abbildung f^{−1} : U_{0} → V_{0}. Die inverse Abbildung ist differenzierbar, und es gilt (f^{−1})′(x) = (f′(f^{−1}(x)))^{−1} für alle x ∈ U_{0}.

Beweis: Setze F (x, y) = x − f(y) mit F (x_{0}, y_{0}) = 0.

2.3 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Definition 15 Ein Atlas A^{k} der Klasse C^{k} einer topologischen Mannigfaltigkeit M ist eine Kollektion lokaler Karten {(U_{α}, κ_{α})}_{α∈I} mit

• M = ⋃_{α∈I} U_{α}, κ_{α} : U_{α} → ℝ^{n} sind Homöomorphismen

• die Karten sind miteinander verträglich, d.h. ∀(U_{α}, κ_{α}), (U_{β}, κ_{β}) mit U_{α} ∩U_{β} ≠ ∅ ist die Abbildung

κ_{β} ∘ κ_{α}^{−1} : ℝ^{n} ⊃ κ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) → κ_{β}(U_{α} ∩ U_{β}) ⊂ ℝ^{n}

differenzierbar der Klasse C^{k}. Diese Abbildung heißt Kartenwechsel.

[figure: M; U_{1}; U_{2}; U_{1}∩U_{2}; κ_{2}; κ_{1}; κ_{1}(U_{1}); κ_{2}(U_{2}); κ_{1}(U_{1} ∩ U_{2}); κ_{2}(U_{1} ∩ U_{2}); κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1}]

Definition 16 Eine Karte (U, κ) heißt verträglich mit einem Atlas A^{k}, wenn A^{k} ∪ (U, κ) wieder ein Atlas der Klasse C^{k} ist. Zwei Atlanten A_{1}^{k}, A_{2}^{k} heißen verträglich, wenn A_{1}^{k} ∪ A_{2}^{k} wieder ein Atlas der Klasse C^{k} ist.

Satz 8 Verträglichkeit von Atlanten ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: HA

Definition 17 Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse C^{k} ist eine topologische Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Äquivalenzklasse [A^{k}] von Atlanten der Klasse C^{k} auf M. Die Äquivalenzklasse [A^{k}] heißt differenzierbare Struktur auf M.

Bemerkung 1 Ein C^{1}-Atlas A^{1} auf M kann zu einem C^{k}-Atlas A^{k} verfeinert werden, so daß A^{k} und A^{1} als C^{1}-Atlanten äquivalent sind. Dabei kann k = ∞ (glatt = beliebig oft differenzierbar) und sogar k = ω (reell-analytisch) sein, und alle möglichen Verfeinerungen ergeben dieselbe glatte bzw. reell-analytische Mannigfaltigkeit. Es gibt aber topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension ≥ 4, die keine differenzierbare Struktur erlauben und es gibt nichtäquivalente differenzierbare Mannigfaltigkeiten, die als topologische Mannigfaltigkeiten homöomorph sind.

Definition 18 Eine Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, falls ein Atlas von M existiert, so daß für beliebige Karten (U_{α}, κ_{α}) und (U_{β}, κ_{β}) mit U_{α} ∩ U_{β} ≠ ∅ das Differential des Kartenwechsels positiv ist, d.h. det ((κ_{β} ∘ κ_{α}^{−1})′ (y)) > 0 für alle y ∈ κ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}).

2.3.1 Abbildungen von Mannigfaltigkeiten

Definition 19 Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m, n. Eine Abbildung f : M → N heißt differenzierbar, wenn für jedes Paar von Karten (U, κ), (V, ρ) mit f(U) ⊂ V der lokale Repräsentant

f_{ρ,κ} := ρ ∘ f|_{U} ∘ κ^{−1} : ℝ^{m} ⊃ κ(U) → ρ(V) ⊂ ℝ^{n}

differenzierbar ist.

Eine Abbildung f : M → N heißt Diffeomorphismus, falls f ein Homöomorphismus ist und f, f^{−1} differenzierbar sind. Die Mannigfaltigkeiten M, N heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus f : M → N gibt.

Definition 20 Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung f : M → N heißt Immersion (bzw. Submersion), wenn für jeden Punkt x ∈ M eine Karte (U, κ) von M mit x ∈ U und eine Karte (V, ρ) von N mit f(U) ⊂ V existieren, so daß das Differential f′_{ρ,κ} der Abbildung f_{ρ,κ} = ρ ∘ f ∘ κ^{−1} : κ(U) → ρ(V) injektiv (bzw. surjektiv) ist. Eine Einbettung f : M → N ist eine injektive Immersion, die M homöomorph auf N abbildet.

2.3.2 Beispiele für Mannigfaltigkeiten

1. M = ℝ^{n}

2. S^{n} mit stereographischer Projektion (Übung)

3. M_{1}, M_{2} → M_{1} × M_{2}, z.B. T^{n} = \underbrace{S^{1} × ⋯ × S^{1}}_{n}

4. Untermannigfaltigkeiten im ℝ^{n} durch Niveau-Fläche f^{−1}(0)

5. Lie-Gruppen

2.4 Untermannigfaltigkeiten im ℝ^{n}

Definition 21 Eine Teilmenge M ⊂ ℝ^{n+k} heißt differenzierbare n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden Punkt x_{0} ∈ M eine offene Umgebung U ⊂ ℝ^{n+k} von x_{0} und eine differenzierbare Funktion f : U → ℝ^{k} existieren, so daß

• U ∩ M = f^{−1}(0)

• für alle x ∈ U mit f(x) = 0 hat das Differential f′(x) : ℝ^{n+k} → ℝ^{k}, aufgefaßt als Matrix, den maximalen Rang k.

In diesen Bezeichnungen ist k die Kodimension der Untermannigfaltigkeit. Untermannigfaltigkeiten der Kodimension k = 1 heißen Hyperflächen.

Beispiel 3 S^{n} als Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n+1} ∋ x = (x_{1}, …, x_{n+1}) mittels f(x) = ∑_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}−1. Wir wählen U = ℝ^{n+1}\{0}. Dann ist f′(x) = 2(x_{1}, …, x^{n+1}) mit rg(f′(x)) = 1.

Satz 9 Eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit M im ℝ^{n+k} ist eine Mannigfaltigkeit im abstrakten Sinn, d.h. für jeden Punkt x ∈ M existiert eine Umgebung V und ein Homöomorphismus κ : V → κ(V) ⊂ ℝ^{n}, so daß die Kartenwechsel Diffeomorphismen sind.

Der Beweis wird in mehreren Teilschritten geführt.

Lemma 1 (angepaßte Koordinaten) Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n+k}. Dann gibt es zu jedem x_{0} ∈ M eine Zerlegung ℝ^{n+k} = ℝ^{n} × ℝ^{k} mit offenen Mengen U_{1} ⊂ ℝ^{n} und U_{2} ⊂ ℝ^{k} sowie eine differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2}, so daß M ∩ (U_{1} × U_{2}) = {(y, g(y)) , y ∈ U_{1}}.

Beweis: Sei f die die Untermannigfaltigkeit M definierende differenzierbare Abbildung und x_{0} ∈ M. Da f′(x_{0}) maximalen Rang hat, ist ker f′(x_{0}) ein ndimensionaler Unterraum T_{x_{0}} ⊂ ℝ^{n+k}. Sei N_{x_{0}} das orthogonales Komplement von T_{x_{0}} im ℝ^{n+k}, d.h. ⟨t, n⟩ = 0 ∀n ∈ N_{x_{0}}, t ∈ T_{x_{0}}. Damit ist N_{x_{0}} ≃ ℝ^{k} und T_{x_{0}} ≃ ℝ^{n} als Vektorräume. Das Koordinatensystem werde nun so gedreht, daß T_{x_{0}} gerade durch die ersten n Koordinatenrichtungen des ℝ^{n+k} aufgespannt wird und N_{x_{0}} durch die letzten k. In diesen Koordinaten hat x ∈ M die Darstellung x = (y, z) mit y ∈ ℝ^{n} und z ∈ ℝ^{k}. Speziell ist x_{0} = (y_{0}, z_{0}). Seien V_{1} ⊂ ℝ^{n} eine offene Umgebung von y_{0} und V_{2} ⊂ ℝ^{k} eine offene Umgebung von z_{0}, so daß f′((y, z)) für alle (y, z) ∈ M ∩ (V_{1} × V_{2}) maximalen Rang hat.

[figure: x_{0}; U_{1} × U_{2}; M; z_{0}; y_{0}; g(y); y]

Das Differential f′_{y_{0}}(z_{0}) : ℝ^{k} → ℝ^{k} eine invertierbare Matrix, denn f′_{y_{0}}(z_{0})(h) = f′(y_{0}, z_{0})(0, h) und (0, h) liegt im Komplement von ker f′(y_{0}, z_{0}). Nach dem Satz über implizite Funktionen existiert eine offene Umgebung U_{1} ⊂ V_{1} von y_{0} und eine offene Umgebung U_{2} ⊂ V_{2} von z_{0} sowie eine eindeutige differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2} mit f(y, g(y)) = 0 für alle y ∈ U_{1}. □

Lemma 2 (lokales Geradebiegen) Eine Teilmenge M ⊂ ℝ^{n+k} ist genau dann eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n+k}, wenn für jeden Punkt x ∈ M ⊂ ℝ^{n+k}

• eine offene Umgebung T ⊂ ℝ^{n+k} von x,

• eine offene Teilmenge S ⊂ ℝ^{n+k},

• ein Diffeomorphismus F : T → S

existieren, so daß F (T ∩ M) = S ∩ (ℝ^{n} × (\underbrace{0, …, 0}_{k})).

Beweis: (⇒) Nach dem vorigen Lemma existiert eine differenzierbare Abbildung g : ℝ^{n} ⊃ U_{1} → U_{2} ⊂ ℝ^{k} mit M ∩ (U_{1} × U_{2}) = {(y, g(y)) , y ∈ U_{1}}. Wir setzen T = U_{1} × U_{2} sowie F ((y, z)) = (y, z − g(y)) und S = F (T) ⊂ ℝ^{n+k}.

[figure: x; T; M; g(y); y; z; y; S; F (M ∩ T)]

• Injektivität: F (y, z) = F (u, v) bedeutet y = u und z − g(y) = v − g(u) = v − g(y), also z = v.

13 • Differenzierbarkeit: F′((y, z)) = ( \begin{matrix}I_{n×n} & 0 \\ −g′(y) & I_{k×k} \end{matrix} ) ist invertierbar, und

Preliminary version – 4. April 2006

damit existiert das Differential der inversen Abbildung, (F^{−1})′(s) = (F′(F^{−1}(s)))^{−1} für s ∈ S

(⇐) Sei x ∈ M ∩T und die Abbildung F : T → ℝ^{n+k} mit F (x) ∈ ℝ^{n}×(\underbrace{0, …, 0}_{k})

vorgegeben. Aus Injektivität folgt M ∩ T = {x ∈ T , F_{n+1}(x) = F_{n+2}(x) = ⋯ = F_{n+k}(x) = 0}. Wir wählen f : ℝ^{n+k} → ℝ^{k} als f(x) = (F_{n+1}(x), …, F_{n+k}(x)). Sei wieder x = (y, z), so ist f′(x) = (−g′(y), I_{k×k}), und damit hat f′(x) maximalen Rang. □

Definition 22 Sei U eine offene Teilmenge des ℝ^{n}. Eine Abbildung ϕ : U → ℝ^{n+k} heißt Immersion, wenn ϕ differenzierbar ist und rg(ϕ′(y)) = n für alle y ∈ U.

Lemma 3 Eine Teilmenge M ⊂ ℝ^{n+k} ist genau dann eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n+k}, wenn

• zu jedem x ∈ M eine (bezüglich der Unterraum-Topologie) offene Umgebung V von M,

• eine offene Teilmenge U ⊂ ℝ^{n},

• eine Immersion ϕ : U → ℝ^{n+k}

existieren, so daß U durch ϕ homöomorph auf V abgebildet wird.

Beweis: Wir zeigen nur (⇒), die Umkehrung benötigt Lemma 2. Nach Lemma 1 existieren offene Teilmengen U_{1} ⊂ ℝ^{n} und U_{2} ⊂ ℝ^{k} sowie eine differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2}, so daß M ∩ (U_{1} × U_{2}) = {(y, g(y)) , y ∈ U_{1}}. Wir setzen V = M ∩ (U_{1} × U_{2}) und U = U_{1} sowie ϕ(y) = (y, g(y)). Surjektivität folgt aus Lemma 1. Sei ϕ(y_{1}) = ϕ(y_{2}), dann ist y_{1} = y_{2} und, da g eindeutig, g(y_{1}) = g(y_{2}). Also ist ϕ injektiv, und damit ein Homöomorphismus, denn U und V sind offen.

Wir haben ϕ′(y) = ( \begin{matrix}I_{n×n} \\ g′(y) \end{matrix} ). Da g differenzierbar auf U ist auch ϕ differen-

zierbar in y und außerdem rg(ϕ′(y)) = n. □

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; x_{1}; V_{1}; x_{2}; V_{2}; M; (; ); κ_{1}(V_{1}); κ_{1}(V_{1} ∩ V_{2}); (; y_{1}; κ_{2}(V_{2}); κ_{2}(V_{1} ∩ V_{2}); ); y_{2}; T; S; x; x]

Beweis des Satzes: Da ϕ : U → V ein Homöomorphismus, ist auch die Einschränkung des Inversen κ : ϕ^{−1}|_{V} : V → U ein Homöomorphismus. Damit definiert (V, κ) eine Karte der topologischen Mannigfaltigkeit M. Es bleibt zu zeigen, daß die Kartenwechsel Diffeomorphismen sind. Seien also zwei Karten (V_{j}, κ_{j}), j = 1, 2 gegeben mit V_{1} ∩ V_{2} ≠ ∅. Als Komposition von Homöomorphismen ist klar, daß κ_{2} ∘ ϕ_{1} : κ_{1}(V_{1} ∩ V_{2}) → κ_{2}(V_{1} ∩ V_{2}) wieder ein Homöomorphismus ist. Es bleibt zu zeigen, daß diese Abbildung auch differenzierbar ist.

Sei y_{1} ∈ κ_{1}(V_{1} ∩ V_{2}) und x = ϕ_{1}(y_{1}) ∈ M sowie y_{2} = κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1}(y_{1}) = κ_{2}(x) ∈ κ_{2}(V_{1}∩V_{2}). Nach Lemma 2 existieren offene Teilmengen T, S ∈ ℝ^{n+k}, mit ϕ_{1}(y_{1}) ∈ T, und ein Diffeomorphismus F : T → S, so daß F (M ∩T) = S∩(ℝ^{n}×(\underbrace{0, …, 0}_{k})).

Wir können M ∩ T ⊂ V_{1} ∩ V_{2} annehmen, so daß W_{j} := κ_{j}(M ∩ T) ⊂ κ_{j}(V_{1} ∩ V_{2}) offen.

Damit haben wir auf W_{j} die Darstellung F ∘ ϕ_{j} = (ψ_{j}, \underbrace{0, …, 0}_{k}) mit ψ_{j} :

W_{j} → ℝ^{n}. Da F ein Diffeomorphismus und ϕ_{j} eine Immersion, ist (F ∘ϕ_{j})′(w_{j}) = F′(ϕ_{j}(w_{j}))ϕ′_{j}(w_{j}) differenzierbar auf W_{j} und hat den Rang n. Außerdem ist F ∘ ϕ_{j} injektiv, und damit ist ψ_{j} : W_{j} → ψ_{j}(W_{j}) ein Diffeomorphismus. Somit ist κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1} = ψ_{2}^{−1} ∘ ψ_{1} : W_{1} → W_{2} ein Diffeomorphismus. □

Folglich ist jede n-dimensionale Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n} auch eine Mannigfaltigkeit. Es gilt aber auch die Umkehrung:

Satz 10 (Whitney) Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann existiert eine Immersion i : M → ℝ^{m} für m ≥ 2n und eine Einbettung e : M → ℝ^{m} für m ≥ 2m + 1.

Definition 23 Eine Teilmenge M ⊂ N heißt Untermannigfaltigkeit von N, wenn für jeden Punkt x ∈ M eine Karte (U, κ) von N um x existiert, so daß κ(M ∩ U) eine Untermannigfaltigkeit der offenen Teilmenge κ(U) ⊂ ℝ^{n} ist. Eine Untermannigfaltikeit M von N heißt abgeschlossen, wenn das Komplement N \ M offen ist.

2.5 Lie-Gruppen

Definition 24 Eine Lie-Gruppe G ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der algebraischen Struktur einer Gruppe, so daß beide Strukturen verträglich sind. d.h. die Abbildung G × G ∋ (g, h) ↦ gh^{−1} ∈ G ist differenzierbar.

Definition 25 Eine Untergruppe H einer Lie-Gruppe G heißt Lie-Untergruppe, wenn H eine Untermannigfaltigkeit von G ist.

Satz 11 Die Gruppe GL(n, ℝ) der invertierbaren reellen n × n-Matrizen ist eine Lie-Gruppe und hat als Mannigfaltigkeit die Dimension n^{2}.

Beweis: GL(n, ℝ) ist eine offene Teilmenge des ℝ^{n^{2}}, denn ist g ∈ GL(n, ℝ) und für eine n × n Matrix h gelte ∥g − h∥ ≤ ∥g^{−1}∥^{−1}, dann ist auch h = (e − (g − h)g^{−1})g invertierbar, und h^{−1} ist durch die Neumannsche Reihe gegeben: h^{−1} = g^{−1} ∑_{k=0}^{∞}((g − h)g^{−1})^{k}. Damit ist GL(n, ℝ) global einer Teilmenge des ℝ^{n^{2}} homöomorph, nämlich zu sich selbst, mit der Karte (GL(n, ℝ), id). Die Äquivalenzklasse dieses Atlasses definiert eine differenzierbare Struktur auf GL(n, ℝ).

Alternativ: det^{−1}(ℝ \ (0)) ist offen, da die Determinante stetig ist.

Zu zeigen bleibt die Verträglichkeit mit den Gruppenoperationen. Sei U = GL(n, ℝ) × GL(n, ℝ) ⊂ ℝ^{2n^{2}}, dann ist das Differential der Multiplikation m : U ∋ (g, h) ↦ gh ⊂ ℝ^{n^{2}} gegeben durch m′(g, h) = (R_{h}, L_{g}), wobei R_{h} die Rechtsmultiplikation mit h und L_{g} die Linksmultiplikation mit g bedeutet. Für die Inversion i : GL(n, ℝ) ∋ g → g^{−1} ∈ GL(n, ℝ) haben wir i′(g)(t) = −g^{−1}tg^{−1}, so daß die Gruppenoperationen verträglich sind mit der Mannigfaltigkeits-Struktur. □

Entsprechend ist die Gruppe GL(n, ℂ) der invertierbaren komplexen n × n-Matrizen ist eine Lie-Gruppe der Dimension 2n^{2} und die Gruppe GL(n, ℍ) der invertierbaren quaternionischen n × n-Matrizen eine Lie-Gruppe der Dimension 4n^{2}.

Satz 12 Die Gruppe SL(n, ℝ) = {g ∈ GL(n, ℝ) , det g = 1} ist eine abgeschlossene Lie-Untergruppe von GL(n, ℝ) der Dimension n^{2} − 1.

Beweis: Mit der offenen Untermenge GL(n, ℝ) ⊂ ℝ^{n^{2}} setzen wir f : GL(n, ℝ) → ℝ, f(g) = det g − 1. Dann ist SL(n, ℝ) = f^{−1}(0) und das Differential ist wegen det′(g)(t) = det g tr(g^{−1}t) für g ∈ SL(n, ℝ) durch f′(g)(t) = tr(g^{−1}t) gegeben, und hat somit den Rang 1. Damit ist SL(n, ℝ) eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n^{2}}. Mit der globalen Karte (GL(n, ℝ), id) von GL(n, ℝ) wird SL(n, ℝ) zu einer Untermannigfaltigkeit von GL(n, ℝ) und damit zu einer Lie-Untergruppe. Diese Untermannigfaltigkeit ist abgeschlossen, denn sei g ∈ GL(n, ℝ) \ SL(n, ℝ), dann ist det g ≠ 1. Da die Determinante stetig ist, ist das Urbild det^{−1} einer offenen Kugel um det g, die 1 nicht enthält, offen. Damit ist die SL(n, ℝ) eine abgeschlossene Lie-Untergruppe von GL(n, ℝ). □

Damit ist noch nicht bewiesen, daß diese Gruppe auch eine Lie-Gruppe ist! Wir werden später beweisen, daß jede abgeschlossene Lie-Untergruppe einer Lie-Gruppe wieder eine Lie-Gruppe ist.

Entsprechend ist die Gruppe SL(n, ℂ) der komplexen n × n-Matrizen mit Determinante 1 eine abgeschlossene Lie-Untergruppe der Dimension 2n^{2} − 2.

Satz 13 Die orthogonale Gruppe O(n, ℝ) = {g ∈ GL(n, ℝ) , g^{T} g = e} ist eine abgeschlossene Lie-Untergruppe der Dimension \frac{n(n−1)}{2}.

Beweis: Sei Sym ⊂ ℝ^{\frac{n(n+1)}{2}} der Raum aller symmetrischen Matrizen. Mit der offenen Untermenge GL(n, ℝ) ⊂ ℝ^{n^{2}} setzen wir f : GL(n, ℝ) → Sym, f(g) = g^{T} g − e. Dann ist O(n, ℝ) = f^{−1}(0) und das Differential ist die lineare Abbildung f′(g)(t) = g^{T} t + t^{T} g. Setzt man t = \frac{1}{2}(g^{T})^{−1}s mit s ∈ Sym, so ist f′(g)(t) = s. Damit ist f′(g) surjektiv, hat also maximalen Rang. Da f stetig, wird O(n, ℝ) eine abgeschlossene Lie-Untergruppe der GL(n, ℝ). □

Die orthogonale Gruppe O(n, ℝ) ist kompakt und hat zwei Zusammenhangskomponenten, die eine bestehend aus den Matrizen g ∈ O(n, ℝ) mit det g = +1 und die andere bestehend aus den Matrizen g ∈ O(n, ℝ) mit det g = −1. Beide sind damit selbst Mannigfaltigkeiten, und die Matrizen mit det g = +1 sind zugleich eine Gruppe, die spezielle orthogonale Gruppe SO(n, ℝ).

Völlig analog werden folgende Gruppen zu abgeschlossenen Lie-Untergruppen:

• O(n, ℂ) ⊂ GL(n, ℂ) mit f(g) = g^{T} g − e, Dimension=n^{2} − n, nichtkompakt (für n > 1)

SO(n, ℂ) als Zusammenhangskomponente mit det g = 1

• U(n) ⊂ GL(n, ℂ) mit f(g) = g^{∗}g − e, Dimension=n^{2}, kompakt

• SU(n) ⊂ GL(n, ℂ) mit f(g) = (g^{∗}g − e, det g − 1), Dimension=n^{2} − 1, kompakt

• Sp(2n, ℝ) ⊂ GL(2n, ℝ) mit f(g) = g^{T} ωg − ω, ω = ( \begin{matrix}0 & −I_{n×n} \\ I_{n×n} & 0 \end{matrix} ),

Dimension=2n^{2} + n, nicht kompakt

• Sp(2n, ℂ) ⊂ GL(2n, ℂ) mit f(g) = g^{T} ωg − ω, ω = ( \begin{matrix}0 & −I_{n×n} \\ I_{n×n} & 0 \end{matrix} ),

Dimension=4n^{2} + 2n, nicht kompakt

• Sp(n) ⊂ GL(n, ℍ) mit f(g) = g^{∗}g − e, Dimension=2n^{2} + n, kompakt

3 Tensorbündel

3.1 Tangentialraum

3.1.1 Abstrakte Definition

Sei M eine (differenzierbare) Mannigfaltigkeit. Wir bezeichnen mit C^{∞}(M) die Algebra der (unendlich oft) differenzierbaren reellen Funktionen auf M, d.h. der Abbildungen f : M ∋ x → f(x) ∈ ℝ, so daß für eine Karte (U, κ) mit x ∈ U die Abbildung f ∘ κ^{−1} : ℝ^{n} ∋ κ_{1}(U) → ℝ differenzierbar ist. Die Algebra-Struktur ist punktweise definiert, d.h. (α_{1}f_{1} + α_{2}f_{2})(x) = α_{1}f_{1}(x) + α_{2}f_{2}(x) und (f_{1}f_{2})(x) = f_{1}(x)f_{2}(x).

Besonders nützlich sind die Koordinaten-Funktionen x ↦ x^{i}. Sei t = (t^{1}, … t^{n}) ∈ ℝ^{n}, dann definieren wir eine Abbildung a^{i} : ℝ^{n} ∋ t ↦ t^{i} ∈ ℝ und die Koordinaten-Funktionen in einer gegebenen Karte (U, κ) als x^{i} := a^{i} ∘κ : U → ℝ.

Definition 26 Sei M eine Mannigfaltigkeit. Ein Tangentialvektor v_{x} im Punkt x ∈ M ist eine lineare Abbildung v_{x} : C^{∞}(M) → ℝ, die die Leibniz-Regel erfüllt: v_{x}(α_{1}f_{1} + α_{2}f_{2}) = α_{1}v_{x}(f_{1}) + α_{2}v_{x}(f_{2}) und v_{x}(f_{1}f_{2}) = v_{x}(f_{1})f_{2}(x) + f_{1}(x)v_{x}(f_{2}) für f_{1}, f_{2} ∈ C^{∞}(M) und α_{1}, α_{2} ∈ ℝ.

Insbesondere verschwindet v_{x} auf (lokal) konstanten Funktionen f(x) = α1(x), mit 1(x) = 1∀x ∈ U, da v_{x}(α) = αv_{x}(1) = αv_{x}(1 · 1) = αv_{x}(1)1(x) + α1(x)v_{x}(1) = 2αv_{x}(1).

Der Raum T_{x}M aller Tangentialvektoren im Punkt x ∈ M wird durch (αv_{x} + βu_{x})(f) = αv_{x}(f) + βu_{x}(f) zu einem linearen Raum, dem Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt x.

3.1.2 Darstellung in einer Karte

In einer gegebenen Karte (U, κ) von M ergibt die Anwendung eines Tangentialvektors auf die Koordinaten-Funktionen v_{x}(x^{i}) = v_{x}^{i} ∈ ℝ. Wir setzen f = f ∘ κ^{−1} ∘ κ = f̂ ∘ κ, mit f̂ : ℝ^{n} ⊃ κ(U) → ℝ und wenden den Mittelwertsatz an: f̂(t) = f̂(t_{0}) + ∑_{i=1}^{n}(t^{i} − t_{0}^{t})\frac{∂f̂}{∂t̂^{i}}|_{t̂=t_{0}+s(t−t_{0})} für ein s ∈ (0, 1).

Mit t = κ(x) und t_{0} = κ(x_{0}) wird daraus f(x) = f(x_{0}) + ∑_{i=1}^{n}(x^{i}(x) − x_{0}^{i}(x))\frac{∂f̂}{∂t̂^{i}}|_{t̂=κ(x_{0})+s(κ(x)−κ(x_{0}))}. Anwenden von v_{x} ergibt, da f(x_{0}) und x_{0}^{i} konstan-

te Funktionen sind, v_{x}(f) = ∑_{i=1}^{n} v(x^{i})\frac{∂f̂}{∂t̂^{i}}|_{t̂=κ(x_{0})+s(κ(x)−κ(x_{0}))}. Im Limes x → x_{0}

ergibt sich v_{x_{0}}(f) = ∑_{i=1}^{n} v_{x_{0}}^{i} \frac{∂(f∘κ^{−1})}{∂t_{0}^{i}} |_{κ(x_{0})}. Symbolisch schreibt man dafür auch

v_{x} = ∑_{i=1}^{n} v_{x}^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}. Man betrachtet dann \{\frac{∂}{∂x^{i}} \} als Basis von T_{x}M. Andererseits können wir die partiellen Ableitungen wieder zu einem Differential zusammenfassen: ∑_{i=1}^{n} v_{x}^{i} \frac{∂(f∘κ^{−1})}{∂t^{i}} |_{κ(x)} = (f ∘ κ^{−1})′(κ(x))v_{x}^{(κ)} mit v_{x}^{(κ)} = (v_{x}^{1}, …, v_{x}^{n}) ∈ ℝ^{n}.

Als Konsequenz erhalten wir:

Satz 14 Jede Karte (U, κ) definiert einen Isomorphismus von Vektorräumen i_{(U,κ)} : T_{x}M ∋ v_{x} ↦ v_{x}^{(κ)} ∈ ℝ^{n}.

Seien (U_{1}, κ_{1}) und (U_{2}, κ_{2}) zwei Karten von M und x ∈ U_{1} ∩ U_{2}. In diesen Karten habe der Tangentialvektor v_{x} ∈ T_{x}M die Darstellung

v_{x}(f) = (f ∘ κ_{1}^{−1})′(κ_{1}(x))v_{x}^{(κ_{1})} = (f ∘ κ_{2}^{−1})′(κ_{2}(x))v_{x}^{(κ_{2})}
= (f ∘ κ_{1}^{−1} ∘ κ_{1} ∘ κ_{2}^{−1})′(κ_{2}(x))v_{x}^{(κ_{2})}
= (f ∘ κ_{1}^{−1})′(κ_{1}(x)) ∘ (κ_{1} ∘ κ_{2}^{−1})′(κ_{2}(x))v_{x}^{(κ_{2})}

Folglich transformieren sich die Kartendarstellungen von Tangentialvektoren beim Kartenwechsel gemäß v_{x}^{(κ_{1})} = (κ_{1} ∘ κ_{2}^{−1})′(κ_{2}(x))v_{x}^{(κ_{2})}. Vor allem in der Relativitätstheorie wird dieses Transformationsverhalten als Definition eines kontravarianten Vektors angesehen:

Definition 27 Ein Objekt ist ein Vektor, wenn es sich unter Kartenwechsel wie ein Vektor transformiert.

3.1.3 Tangentialvektoren an Kurven

Definition 28 Sei M eine Mannigfaltigkeit und I = (a, b) ∈ ℝ ein offenes Intervall. Eine Kurve auf M ist eine Abbildung γ : I ∋ t ↦ γ(t) ∈ M. Zwei Kurven γ_{1}, γ_{2} : I → M heißen äquivalent im Punkt x_{0} ∈ M, wenn γ_{1}(t_{0}) = γ_{2}(t_{0}) = x_{0} und \frac{d}{dt}(κ ∘ γ_{1})|_{t=t_{0}} = \frac{d}{dt}(κ ∘ γ_{2})|_{t=t_{0}} für alle Karten (U, κ) mit x_{0} ∈ U.

Satz 15 Jede Äquivalenzklasse [γ]_{x} von Kurven im Punkt x ∈ M definiert einen Tangentialvektor im Punkt x durch v_{x}(f) = \frac{d}{dt}(f ∘ γ(t))|_{t=t_{0}} für γ ∈ [γ]_{x} und f ∈ C^{∞}(M).

Beweis: Leibniz-Regel:

v_{x}(fg) = \frac{d}{dt}(fg ∘ γ(t))|_{t=t_{0}} = \frac{d}{dt}((f ∘ γ(t))(g ∘ γ(t)))|_{t=t_{0}}

= \frac{d}{dt}(f ∘ γ(t))|_{t=t_{0}} g ∘ γ(t_{0}) + f ∘ γ(t_{0}) \frac{d}{dt}(g ∘ γ(t))|_{t=t_{0}}

= v_{x}(f)g(x) + f(x)v_{x}(g)

Unabhängigkeit vom Repräsentanten γ_{1} ∈ [γ]_{x}:

v_{1,x}(f) = \frac{d}{dt}(f ∘ γ_{1}(t))|_{t=t_{0}} = \frac{d}{dt}(f ∘ κ^{−1} ∘ κ ∘ γ_{1}(t))|_{t=t_{0}}

= (f ∘ κ^{−1})′(κ ∘ γ_{1}(t_{0}))\frac{d}{dt}(κ ∘ γ_{1}(t))|_{t=t_{0}}

= (f ∘ κ^{−1})′(κ ∘ γ(t_{0}))\frac{d}{dt}(κ ∘ γ(t))|_{t=t_{0}}

= \frac{d}{dt}(f ∘ γ(t))|_{t=t_{0}} = v_{x}(f)  □

Satz 16 Jeder Tangentialvektor v_{x} definiert eine Äquivalenzklasse von Kurven [γ]_{x} so daß v_{x}(f) = \frac{d}{dt}(f ∘ γ)|_{t=t_{0}}.

Beweis: Eine Karte (U, κ) mit x ∈ U definiert einen Isomorphismus v_{x} ↦ v_{x}^{(κ)} = (v_{x}^{1}, …, v_{x}^{n}) ∈ ℝ^{n}. Wir setzen γ(t) = κ^{−1}(κ(x) + (t − t_{0})v_{x}^{(κ)}). Dann ist γ(t_{0}) = x und

\frac{d}{dt}(f ∘ γ(t))|_{t=t_{0}} = (f ∘ κ^{−1})′(κ(x))\frac{d}{dt}(κ(x) + (t − t_{0})v_{x}^{(κ)})|_{t=t_{0}}
= (f ∘ κ^{−1})′(κ(x))v_{x}^{(κ)} = v_{x}(f)  □

Damit besteht eine 1:1-Korrespondenz zwischen Tangentialvektoren in x ∈ M und Äquivalenzklassen von Kurven durch x.

3.1.4 Tangentialabbildung

Sei ϕ : M → N eine differenzierbare Abbildung von Mannigfaltigkeiten mit ϕ(x) = y. Dann induziert diese Abbildung eine Abbildung von Tangentialräumen ϕ′_{x} : T_{x}M ∋ v_{x} ↦ ϕ′_{x}(v_{x}) ∈ T_{ϕ(x)}N durch (ϕ′_{x}(v_{x}))(f) = v_{x}(f ∘ ϕ) für f ∈ C^{∞}(N).

3.1.5 Kotangentialraum

Definition 29 Der Kotangentialraum T_{x}^{∗}M in x ∈ M ist der Raum der linearen Funktionale auf T_{x}M, d.h. der linearen Abbildungen T_{x}^{∗}M ∋ ω_{x} : T_{x}M → ℝ.

Wenn \{\frac{∂}{∂x^{i}} \} Basis von T_{x}M, dann bezeichnen wir mit \{dx^{j}\} die duale Basis von T_{x}^{∗}M mit dx^{j}(\frac{∂}{∂x^{i}}) = δ_{i}^{j}. In dieser Basis ist ω_{x} = ∑_{j=1}^{n} ω_{xj}dx^{j}.

3.2 Tangentialbündel

Satz 17 Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas A = {(U_{α}, κ_{α})}_{α∈I}. Der Raum T M = ⋃_{x∈M} T_{x}M wird zu einer 2n-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit Atlas A^{T} = {(U_{α}^{T} , κ_{α}^{T})}_{α∈I} und Punkten v_{x} ∈ T_{x}M, x ∈ M. Dabei ist U_{α}^{T} = ⋃_{x∈U_{α}} T_{x}M und κ_{α}^{T}(v_{x}) = (κ_{α}(x), v_{x}^{(κ_{α})}) ∈ ℝ^{2n}.

Beweis: Zu überprüfen ist die Verträglichkeit der Karten, d.h. daß κ_{2}^{T} ∘ (κ_{1}^{T})^{−1} : κ_{1}^{T} (U_{1}^{T} ∩ U_{2}^{T}) → κ_{1}^{T} (U_{1}^{T} ∩ U_{2}^{T}) ein Diffeomorphismus ist. Wir haben

κ_{2}^{T} ∘ (κ_{1}^{T})^{−1}(κ_{1}(x), v_{x}^{(κ_{1})}) = κ_{2}(v_{x}) = (κ_{2}(x), v_{x}^{(κ_{2})})

= ((κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1})(κ_{1}(x)), (κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1})′v_{x}^{(κ_{1})}) .  □

Aus in Kürze ersichtlichen Gründen heißt T M das Tangentialbündel von M.

3.2.1 Natürliche Strukturen auf T M

1. Es existiert eine kanonische surjektive Projektion π : T M → M, π(v_{x}) = x. Die kanonische Projektion ist differenzierbar: Sei (U_{1}^{T} , κ_{1}^{T}) eine Karte von T M und (U_{2}, κ_{2}) eine Karte von M, dann ist die Abbildung κ_{2} ∘π ∘(κ_{1}^{T})^{−1} : κ_{1}(U_{1}) × ℝ^{n} → κ_{2}(U_{2}) gegeben durch

κ_{2} ∘ π ∘ (κ_{1}^{T})^{−1}(κ_{1}(x), v_{x}^{(κ_{1})}) = κ_{2} ∘ π(v_{x}) = κ_{2}(x) = (κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1})(κ_{1}(x))

2. Sei A = {U_{α}κ_{α})} ein Atlas von M. Dann existiert für jede Karte (U_{α}, κ_{α}) ∈ A eine Abbildung χ_{α} : π^{−1}(U_{α}) → U_{α} × ℝ^{n} mit χ_{α}(v_{x}) = (π(v_{x}), v_{x}^{(κ_{α})}). Damit ist

[figure: π^{−1}(U_{α}); U_{α} × ℝ^{n}; U_{α}; χ_{α}; π; pr_{1}]

ein kommutatives Diagramm.

Satz 18 Die Abbildung χ_{α} ist ein Diffeomorphismus und pr_{2} ∘ χ_{α}|_{π^{−1}(x)} : T_{x}M → ℝ^{n} ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Definition 30 Das Tupel T M = (T M, M, π, ℝ^{n}, {χ_{α}}) heißt Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit M. Im Tupel ist T M die Bündelmannigfaltigkeit, M die Basismannigfaltigkeit, π die kanonische Projektion, ℝ^{n} die typische Faser, und {χ_{α}} eine Familie lokaler Trivialisierungen. Der Raum π^{−1}(x) = T_{x}M heißt die Faser über x ∈ M.

3.3 Vektorbündel

Definition 31 Ein Vektorbündel E über der Basis M mit typischer Faser F ist ein Tupel (E, M, π, F, {χ_{α}}), wobei E, M differenzierbare Mannigfaltigkeiten und F ein endlich-dimensionaler Vektorraum sind und

• π : E → M ist differenzierbare Surjektion (Projektion)

• E besitzt eine Familie lokaler Trivialisierungen, d.h. es existiert eine Überdeckung {U_{α}} von M und eine Familie von Diffeomorphismen χ_{α} : π^{−1}(U_{α}) → U_{α} × F, so daß

[figure: π^{−1}(U_{α}); U_{α} × F; U_{α}; χ_{α}; π; pr_{1}]

ein kommutatives Diagramm ist und

pr_{2} ∘ χ_{α}|_{π^{−1}(x)} : π^{−1}(x) → F

ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

Dabei ist E die Bündelmannigfaltigkeit, M die Basismannigfaltigkeit, π die kanonische Projektion, F die typische Faser und {χ_{α}} eine Familie lokaler Trivialisierungen. Der Raum π^{−1}(x) = E_{x} heißt die Faser über x ∈ M.

Definition 32 Ein lokaler Schnitt eines Vektorbündels ist eine Abbildung s : U → E mit U ⊂ M offen und π ∘ s = id_{U}. Ein auf U = M definierter Schnitt heißt globaler Schnitt.

Jedes Vektorbündel besitzt einen ausgezeichneteten Schnitt, den Nullschnitt. Glatte Schnitte eines Vektorbündels bilden einen unendlich-dimensionalen Vektorraum Γ^{∞}(E) mit (α_{1}s_{1} + α_{2}s_{2})(x) = α_{1}s_{1}(x) + α_{2}s_{2}(x)

Definition 33 Eine Familie (s_{1}, …, s_{n}) von Schnitten heißt linear unabhängig, wenn für alle Punkte x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich das System (s_{1}(x), …, s_{n}(x)) linear unabhängig ist.

Damit ist jedes Element einer Familie linear unabhängiger Schnitte in jedem Punkt des gemeinsamen Definitionsbereichs verschieden von 0.

Satz 19 Sei F ein k-dimensionaler Verktorraum. Dann gibt es eine 1:1-Korrespondenz zwischen lokalen Trivialisierungen χ über U ⊂ M und Systemen {s_{i}} von k linear unabhängigen Schnitten über U.

Beweis: (⇒) Sei χ vorgegeben und {b_{i}} eine Basis von F. Dann setzen wir s_{i}(x) = χ^{−1}(x, b_{i}).

(⇐) Sei s_{i} vorgegeben, dann bilden die s_{i} in π^{−1}(x) eine Basis. Also ist π^{−1}(x) ∋ e = ∑_{i=1}^{k} e_{i}s_{i}(x). Wir setzen χ : π^{−1}(U) ∋ e ↦ (x, ∑_{i=1}^{k} e_{i}b_{i}) ∈ U × F. □

Definition 34 Das Bündel E heißt global trivial, falls ein System von k linear unabhängigen Schnitten des Bündels existiert, d.h. ein Diffeomorphismus χ : E → M × F.

3.3.1 Beispiele von Vektorbündeln

• triviales Bündel E = M × F.

• Tangentialbündel T M, im allgemeinen nicht trivial

• duales Bündel: Sei E = ⋃_{x∈M} E_{x} ein Vektorbündel und E_{x}^{∗} der Raum der linearen Funktionale auf E_{x} = π^{−1}(x), dann ist E^{∗} = ⋃_{x_{∈}M} E_{x}^{∗} ein Vektorbündel mit kanonischer Projektion π̃ : E^{∗} → M und Trivialisierungen

χ̃ : π̃^{−1}(U) → U × F^{∗} ,  χ̃(e^{∗}) := (π̃(e^{∗}), (χ|_{π̃^{−1}(π̃(e^{∗}))})^{−1 ∗}(e^{∗})) .

Dabei ist für e^{∗} ∈ E_{x}^{∗} und v ∈ F

((χ|_{π̃^{−1}(π̃(e^{∗}))})^{−1 ∗}(e^{∗}))(v) := e^{∗}((χ|_{π̃^{−1}(π̃(e^{∗}))})^{−1}v)

• direkte Summe von Vektorbündeln: E_{1}, E_{2} Vektorbündel über M, dann ist E_{1} ⊕ E_{2} = ⋃_{x∈M}((E_{1})_{x} ⊕ (E_{2})_{x}) ein Vektorbündel.

• Tensorprodukte von Vektorbündeln (später)

3.4 Vektorfelder

Wir bezeichnen mit 𝔛(M) = Γ^{∞}(T M) den unendlich-dimensionalen Vektorraum der glatten Schnitte des Tangentialbündels. Elemente aus 𝔛(M) heißen Vektorfelder. Die Auswertung eines Vektorfeldes in einem Punkt x ∈ M liefert einen Tangentialvektor X_{x} = X(x) ∈ T_{x}M.

Ein Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) ist eine lineare Abbildung X : C^{∞}(M) → C^{∞}(M), mit (Xf)(x) = X_{x}(f), die die Leibniz-Regel erfüllt:

X(f_{1}f_{2}) = X(f_{1}) · f_{2} + f_{1} · X(f_{2})

Definition 35 Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Familie von n linear unabhängigen Vektorfeldern auf einer offenen Umgebung von M heißt lokales Bezugssystem.

3.4.1 𝔛(M) als Lie-Algebra

Ist das Produkt von Vektorfeldern XY (f) := X(Y (f)) wieder ein Vektorfeld? Nein, da die Leibniz-Regel nicht erfüllt ist!

XY (f_{1}f_{2}) = X(Y (f_{1}f_{2})) = X(Y (f_{1}) · f_{2} + f_{1} · Y (f_{2}))

= X(Y (f_{1})) · f_{2} + Y (f_{1}) · X(f_{2}) + X(f_{1}) · Y (f_{2}) + f_{1} · X(Y (f_{2}))

≠ XY (f_{1}) · f_{2} + f_{1} · XY (f_{2}) .

Dageben ist der Kommutator [X, Y] = XY − Y X wieder ein Vektorfeld, da in obiger Rechnung die Terme Y (f_{1}) · X(f_{2}) + X(f_{1}) · Y (f_{2}) herausfallen.

Eigenschaften des Kommutators:

• [X, Y] = −[Y, X], [X, X] = 0 (Antisymmetrie)

• [X, Y + Z] = [X, Y] + [X, Z] (Linearität)

• [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 (Jacobi-Identität)

Definition 36 Ein Vektorraum L mit einer bilinearen Abbildung [ , ] : L × L → L, der Lie-Klammer, für die [X, X] = 0 ∀X ∈ L gilt und die die Jacobi-Identität [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 ∀X, Y, Z ∈ L erfüllt, heißt Lie-Algebra.

Bemerkung: 0 = [X+Y, X+Y] = [X, X]+[X, Y]+[Y, X]+[Y, Y] = [X, Y]+[Y, X], also [X, Y] = −[Y, X]

Damit ist der Raum aller Vektorfelder 𝔛(M) eine Lie-Algebra.

weitere Beispiele: Sei A eine assoziative Algebra, dann ist A auch eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer [a, b] = ab − ba.

Sei G eine Lie-Gruppe, dann bilden die linksinvarianten Vektorfelder (die später definiert werden) eine Lie-Algebra der gleichen Dimension wie G. Diese wird einfach als Lie-Algebra von G bezeichnet.

3.4.2 𝔛(M) als Modul über der Algebra C^{∞}(M)

Der Raum 𝔛(M) aller Vektorfelder auf M ist ein C^{∞}(M)-Modul, d.h. für X ∈ 𝔛(M) und f ∈ C^{∞}(M) ist fX ∈ 𝔛(M) mit (fX)(f_{1}) = f · X(f_{1}). Es gilt (f_{1}f_{2})X = f_{1}(f_{2}X) sowie die üblichen linearen Strukturen der Operation.

Solche Moduln über einer Algebra spielen eine große Rolle in verallgemeinerten (nichtkommutativen) Geometrien. Nicht die Vektorbündel selbst, sondern der Raum der Schnitte von Vektorbündeln besitzt eine nichtkommutative Verallgemeinerung. Die Klassifikation dieser Räume ist Gegenstand der K-Theorie.

3.4.3 Integralkurven

Definition 37 Sei X ∈ 𝔛(M). Die Abbildung γ_{x_{0}} : ℝ ⊃ (a, b) → M mit • γ_{x_{0}}(0) = x_{0}, 0 ∈ (a, b)

• \frac{d}{dt}(f ∘ γ_{x_{0}}(t)) = (Xf)(γ_{x_{0}}(t)) ∀t ∈ (a, b) heißt Integralkurve des Vektorfeldes X durch den fixierten Punkt x_{0}.

Aus Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung folgt lokal (in einer Umgebung von x_{0}) die Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven. Die Frage ist dann, wieweit sie ausgedehnt werden können.

Die Behandlung dynamischen Systeme (z.B. klassische Mechanik) führt zum Problem des Auffindens von Integralkurven (Trajektorien im Phasenraum).

Definition 38 Eine lokale einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen der Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung ϕ : M × ℝ ⊃ D → M mit 1. ϕ( . , 0) = id_{M}

2. Falls (x, s), (ϕ(x, s), t) und (x, s + t) in D liegen, dann ist ϕ(ϕ(x, s), t) = ϕ(x, s + t).

3. Für alle x ∈ M existieren Umgebungen U_{x} ⊂ M von x und Zahlen ϵ_{x} > 0, so daß ϕ( . , t) : U_{x} → ϕ(U_{x}, t) ein Diffeomorphismus ist für alle t ∈ (−ϵ_{x}, ϵ_{x}).

4. ϕ ist unendlich oft differenzierbar in t.

Satz 20 Jedem glatten Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) entspricht eindeutig eine lokale einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen ϕ_{X}, so daß γ_{x_{0}}(t) = ϕ_{X}(x, t) die Integralkurve von X durch x_{0} ist.

Beweis: Wir setzen (Xf)(x_{0}) = \frac{d}{dt}f(ϕ_{X}(x_{0}, t))|_{t=0}. Zu zeigen ist, daß diese Zuordnung ϕ_{X} ↦ X bijektiv ist. Surjektivität: Sei X ein beliebiges Vektorfeld, dann existiert lokal die Integralkurve γ_{x_{0}}(t), und wir setzen ϕ_{X}(x_{0}, t) = γ_{x_{0}}(t). Dann folgen 1. der Definition und 3.+4. aus Sätzen über Lösungen von Differentialgleichungen. Bleibt 2: Die Kurven ϕ_{X}(x_{0}, t + s) und ϕ_{X}(ϕ(x_{0}, s), t) erfüllen dieselbe Differentialgleichung

\frac{d}{dt}f(ϕ_{X}(x_{0}, t + s))|_{t=τ} = \frac{d}{dt}f(ϕ_{X}(x_{0}, t))|_{t=s+τ} = \frac{d}{dt}f(γ_{x_{0}}(t))|_{t=s+τ}
= (Xf)(γ_{x_{0}}(s + τ)) = (Xf)(ϕ(x_{0}, s + τ))

und

\frac{d}{dt}f(ϕ_{X}(ϕ_{X}(x_{0}, s), t))|_{t=τ} = \frac{d}{dt}f(γ_{ϕ_{X}(x_{0},s)}(t))|_{t=τ} = (Xf)(γ_{ϕ_{X}(x_{0},s)}(τ))
= (Xf)(ϕ(ϕ_{X}(x_{0}, s), τ)) ,

und sie gehen für t = 0 durch den gleichen Punkt ϕ_{X}(x_{0}, s) = ϕ_{X}(ϕ_{X}(x_{0}, s), 0). Also folgt 2.

Injektiviät folgt aus Eindeutigkeit der Lösung von Differentialgleichungen. □

Definition 39 Ein Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) heißt vollständig, wenn die zugehörige einparametrige Gruppe ϕ_{X}(x, t) von Diffeomorphismen global auf M × ℝ definiert ist.

3.4.4 Zurückziehen von Funktionen und Transport von Vektorfeldern

Definition 40 Sei ϕ : M → N eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und f ∈ C^{∞}(N). Dann ist das Zurückziehen (pull back) von Funktionen ϕ^{∗} : C^{∞}(N) → C^{∞}(M) definiert als (ϕ^{∗}f)(x) = (f ∘ ϕ)(x) mit x ∈ M.

Sei ϕ zusätzlich ein Diffeomorphismus, dann ist der Transport ϕ_{∗} : 𝔛(M) → 𝔛(N) von Vektorfeldern definiert durch (ϕ_{∗}X)_{y} = ϕ′(ϕ^{−1}(y))X_{ϕ^{−1}(y)} mit y ∈ N.

Rechenregeln 1. ϕ_{∗}(hX) = (h ∘ ϕ^{−1})ϕ_{∗}X = (ϕ^{−1 ∗}h)ϕ_{∗}X , h ∈ C^{∞}(M)

2. (ϕ^{∗}X)f = X(f ∘ ϕ) ∘ ϕ^{−1} = (ϕ^{−1})^{∗}(X(ϕ^{∗}f)) , f ∈ C^{∞}(N)

3. ψ_{∗} ∘ ϕ_{∗} = (ψ ∘ ϕ)_{∗}

4. ϕ_{∗}[X, Y] = [ϕ_{∗}X, ϕ_{∗}Y] Beweis:

ϕ_{∗}(hX)_{y} = ϕ′(ϕ^{−1}(y))(hX)_{ϕ^{−1}(y)} = ϕ′(ϕ^{−1}(y))(h(ϕ^{−1}(y)) · X_{ϕ^{−1}(y)})
= (h ∘ ϕ^{−1})(y)ϕ′(ϕ^{−1}(y))X_{ϕ^{−1}(y)}
= ((h ∘ ϕ^{−1})(ϕ_{∗}X))_{y}
((ϕ_{∗}X)f)(y) = (ϕ_{∗}X)_{y}(f) = (ϕ′(ϕ^{−1}(y))X_{ϕ^{−1}(y)})(f) = X_{ϕ^{−1}(y)}(f ∘ ϕ)
= (X(ϕ^{∗}f))_{ϕ^{−1}(y)} = (X(f ∘ ϕ) ∘ ϕ^{−1})(y) = ((ϕ^{−1})^{∗}(X(ϕ^{∗}f)))(y)
[ϕ_{∗}X, ϕ_{∗}Y](f) = ϕ_{∗}X(ϕ_{∗}Y (f)) − ϕ_{∗}Y (ϕ_{∗}X(f))
= ϕ_{∗}X((ϕ^{−1})^{∗}(Y (ϕ^{∗}f))) − ϕ_{∗}Y ((ϕ^{−1})^{∗}(X(ϕ^{∗}f)))
= (ϕ^{−1})^{∗}X(ϕ^{∗}((ϕ^{−1})^{∗}(Y (ϕ^{∗}f)))) − (ϕ^{−1})^{∗}Y (ϕ^{∗}((ϕ^{−1})^{∗}(X(ϕ^{∗}f))))
= (ϕ^{−1})^{∗}((XY − Y X)(ϕ^{∗}f)) = (ϕ_{∗}[X, Y])(f)

Definition 41 Sei ϕ : M → M ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit M. Ein Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) heißt invariant under dem Diffeomorphismus ϕ, wenn ϕ_{∗}X = X gilt.

Bemerkung: Ausgewertet im Punkt ϕ(x) bedeutet das X_{ϕ(x)} = ϕ′(x)X_{x} für alle x ∈ M. Diese Invarianz läßt sich auch als X ∘ ϕ^{∗} = ϕ^{∗} ∘ X schreiben nach der 2. Rechenregel für den Transport von Vektorfeldern.

3.5 Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Sei G eine Lie-Gruppe, dann bezeichnen wir mit L_{a} : G → G, L_{a}(b) = ab, die Linksmultiplikation mit a ∈ G. Nach Definition einer Lie-Gruppe ist die Linksmultiplikation ein Diffeomorphismus. Damit induziert L_{a} einen Transport (L_{a})_{∗} : 𝔛(G) ∋ X ↦ (L_{a})_{∗}X ∈ 𝔛(G) von Vektorfeldern auf G.

Definition 42 Ein Vektorfeld X ∈ 𝔛(G) heißt linksinvariant, wenn (L_{a})_{∗}X = X für alle a ∈ G.

Satz 21 Die linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe G bilden eine endlich-dimensionale Lie-Unteralgebra (𝔤, [ , ]) der Lie-Algebra 𝔛(G).

Beweis: [(L_{a})_{∗}X, (L_{a})_{∗}Y] = (L_{a})_{∗}[X, Y] □

Wir nennen 𝔤 die Lie-Algebra von G. Wenn e das Einselement von G ist, dann gilt L′_{a}(e)X_{e} = X_{a}. Damit sind linksinvariante Vektorfelder durch ihre Werte im Einselement bestimmt, d.h. 𝔤 ≃ T_{e}G als Isomorphismus von Vektorräumen.

3.5.1 Exponentialabbildung

Satz 22 Sei 𝔤 die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe G und e das Einselement von G.

1. Jedes Element A ∈ 𝔤 generiert eine globale einparametrige Gruppe ϕ_{A} von Diffeomorphismen

2. ϕ_{A}(e, .) : ℝ → G ist Homomorphismus von Lie-Gruppen, d.h. ϕ_{A}(e, s+t) = ϕ_{A}(e, s)ϕ_{A}(e, t) für alle s, t ∈ ℝ

3. ϕ_{sA}(e, t) = ϕ_{A}(e, st) für alle s, t ∈ ℝ

Beweis: Sei ϕ_{A}(e, .) : I → G die lokale Integralkurve von A durch e mit I = (t_{min}, t_{max}), d.h. ϕ_{A}(e, 0) = e und (Af)(ϕ_{A}(e, t)) = \frac{d}{dt}(f ∘ ϕ_{A}(e, t)) für alle f ∈ C^{∞}(G).

Wir zeigen zunächst: Falls s, t, s + t ∈ I, dann gilt ϕ_{A}(e, s)ϕ_{A}(e, t) = ϕ_{A}(e, s+t). Wir bezeichnen g = ϕ_{A}(e, s) und betrachten die Kurven

γ : I ∋ t ↦ g · ϕ_{A}(e, t) ∈ G ,
γ̃ : (t_{min} − s, t_{max} − s) ∋ t ↦ ϕ_{A}(e, s + t) ∈ G .

Dann sind γ, γ̃ Integralkurven von A durch g = g · ϕ_{A}(e, 0) = ϕ_{A}(e, s), denn

\frac{d}{dt}(f ∘ γ(t)) = \frac{d}{dt}(f ∘ L_{g}(ϕ_{A}(e, t))) = \frac{d}{dt}((L_{g}^{∗}f)(ϕ_{A}(e, t))) = (A(L_{g}^{∗}f))(ϕ_{A}(e, t))
= (A(L_{g}^{∗}f))(L_{g^{−1}} ∘ L_{g} ∘ ϕ_{A}(e, t)) = (((L_{g})_{∗}A)f)(L_{g} ∘ ϕ_{A}(e, t))
= (Af)(gϕ_{A}(e, t)) = (Af)(γ(t))

und

\frac{d}{dt}(f ∘ γ̃(t)) = \frac{d}{dt}(f ∘ ϕ_{A}(e, t + s)) = (Af)(ϕ_{A}(e, t + s)) = (Af)(γ̃(t)) .

Da die Integralkurve eindeutig, stimmen γ und γ̃ auf dem gemeinsamen Definitionsbereich I ∩ (t_{min} − s, t_{max} − s) überein.

Wir zeigen nun I = ℝ. Angenommen, t_{max} < ∞. Mit α = min(t_{max}, |t_{min}|) setzen wir γ(t) = ϕ_{A}(e, \frac{α}{2})ϕ_{A}(e, t − \frac{α}{2}). Dann ist γ(0) = ϕ_{A}(e, \frac{α}{2})ϕ_{A}(e, −\frac{α}{2}) = e und mit g = ϕ_{A}(e, \frac{α}{2}) gilt für t ∈ (t_{min} + \frac{α}{2}, t_{max} + \frac{α}{2})

\frac{d}{dt}(f ∘ γ(t)) = \frac{d}{dt}((L_{g}^{∗}f)(ϕ_{A}(e, t − \frac{α}{2}))) = (A(L_{g}^{∗}f))(ϕ_{A}(e, t − \frac{α}{2}))
= (((L_{g})_{∗}A)f)(L_{g} ∘ ϕ_{A}(e, t − \frac{α}{2}))
= (Af)(γ(t))

Damit ist γ(t) eine Fortsetzung der Integralkurve über I hinaus. Durch Iteration des Verfahrens wird I auf ganz ℝ ausgedehnt.

Schließlich sei γ(t) = ϕ_{X}(e, st), dann ist

\frac{d}{dt}(f ∘ γ(t)) = \frac{d}{dt}(f ∘ ϕ_{A}(e, st)) = s\frac{d}{d(st)}(f ∘ ϕ_{A}(e, st)) = s(Af)(ϕ_{A}(e, st))
= ((sA)f)(γ(t)) .

Damit ist ϕ_{A}(e, st) die Integralkurve von sA durch e, d.h. ϕ_{sA}(e, t) = ϕ_{A}(e, st). □

Definition 43 Sei 𝔤 die Lie-Algebra von G. Die Abbildung exp : 𝔤 → G, exp(A) = ϕ_{A}(e, 1) heißt Exponentialabbildung von G.

Satz 23 Die Exponentialabbildung exp : 𝔤 → G ist ein lokaler Diffeomorphismus um den Nullvektor 0 ∈ 𝔤. Es gilt

1. exp(0) = e

2. exp(−A) = (exp A)^{−1}

3. exp((t + s)A) = exp(tA) exp(sA)

für s, t ∈ ℝ und A ∈ 𝔤.

Beweis: Eigenschaften der globalen einparametrigen Gruppe von Diffeomorphismen ϕ_{A}. □

Satz 24 Falls f eine reell-analytische Funktion auf G und A ∈ 𝔤, dann ist f(a exp A) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(A^{k}f)(a) für a ∈ G.

Beweis: Sei ϕ_{A}(e, t) = exp(tA) die Integralkurve von A durch e, dann ist (Af)(a) = (Af)(L_{a}ϕ_{A}(e, t))|_{t=0} = \frac{d}{dt}(f ∘ L_{a} ∘ ϕ_{A}(e, t))|_{t=0} = \frac{d}{dt}f(a exp(At))|_{t=0}. Analog folgt Af(a exp(sA)) = \frac{d}{dt}f(a exp(sA) exp(tA))|_{t=0} = \frac{d}{ds}f(a exp(sA)). Durch Iteration erhalten wir A^{k}f(a exp(sA)) = \frac{d^{k}}{ds^{k}} f(a exp(sA)). Da f analy-

tisch, ist f(a exp(sA)) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{s^{k}}{k!} (\frac{d^{k}}{ds^{k}} f(a exp(sA))|_{s=0}). Für s = 1 und mit der zuvor hergeleiteten Formel bei s = 0 folgt die Behauptung. □

Daraus folgt zunächst

f(a exp(tA) exp(tB)) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}}{k!}(B^{k}f)(a exp(tA)) = ∑_{k,l=0}^{∞} \frac{t^{k+l}}{k!l!} (A^{l}(B^{k}f))(a) .

Die Frage ist nun, ob es eine formale Potenzreihe C(t) = ∑_{i=1}^{∞} t^{i}C_{i} ∈ 𝔤 gibt, so daß f(a exp(tA) exp(tB)) = f(a exp(C(t))) gilt. Durch Koeffizientenvergleich erhält man

t^{1} :  C_{1}f = (A + B)f

t^{2} :  (\frac{C_{1}^{2}}{2} + C_{2})f = (\frac{A^{2}}{2} + \frac{B^{2}}{2} + AB)f
⇒ C_{2} = \frac{1}{2}[A, B] ,
t^{3} :  (\frac{C_{1}^{3}}{6} + \frac{C_{2}C_{1} + C_{1}C_{2}}{2} + C_{3})f = (\frac{A^{3}}{6} + \frac{B^{3}}{6} + \frac{A^{2}B + AB^{2}}{2} )f
⇒ C_{3} = \frac{1}{12}([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) ,

Man kann beweisen, daß C_{i} ∈ 𝔤 (Baker-Campbell-Hausdorff Formel).

3.5.2 Karten der Lie-Gruppe

Sei V ⊂ 𝔤 eine offene Umgebung des Nullvektors, dann ist U_{e} = exp(V) ⊂ G eine offene Umgebung des Einselements und U_{a} = L_{a} exp(V) eine offene Umgebung von a ∈ G. Wir definieren durch κ_{a} = exp^{−1} ∘L_{a^{−1}} eine Abbildung κ_{a} : U_{a} → V. Dann ist (U_{a}, κ_{a}) eine Karte von G. Für a, b ∈ G ist der Kartenwechsel κ_{a} ∘ κ_{b}^{−1} : κ_{b}(U_{a} ∩ U_{b}) → κ_{a}(U_{a} ∩ U_{b}) gegeben durch

κ_{a} ∘ κ_{b}^{−1}(A) = κ_{a} ∘ L_{b}(exp A) = exp^{−1}(L_{a^{−1}b}(exp A)) .

Da exp und L_{a^{−1}b} Diffeomorphismen sind, ist auch der Kartenwechsel ein Diffeomorphismus.

Satz 25 Sei G eine Lie-Gruppe und H eine (im Sinne der Konvergenz von Folgen) abgeschlossene Untergruppe von G. Dann ist H eine Lie-Untergruppe von G mit Lie-Algebra 𝔥 = {A ∈ 𝔤 , exp(tA) ∈ H ∀t ∈ ℝ}, und die Gruppenoperationen H × H ∋ (a, b) ↦ a^{−1}b ∈ H sind differenzierbar, d.h. H selbst eine Lie-Gruppe.

Bemerkung: Wir hatten zuvor Lie-Untergruppen der GL(n, 𝕂) konstruiert, aber die Differenzierbarkeit der Gruppenoperationen noch nicht bewiesen.

Beweis: Zu zeigen ist zunächst, daß 𝔥 ein linearer Raum ist, d.h. A + B ∈ 𝔥 für A, B ∈ 𝔥. (Daß tA ∈ 𝔥 für A ∈ 𝔥, folgt aus der Definition.) Aus der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel folgt

H ∋ exp(tA) exp(tB) = exp(t(A + B + X(t)))

mit X(t) ∈ 𝔤. Wir wählen eine gegen Null strebende Folge positiver Zahlen t_{i}, so daß C_{i} = t_{i}(A + B + X(t_{i})) ≠ 0. Dann ist lim_{i→∞} \frac{C_{i}}{∥C_{i}∥} = \frac{A+B}{∥A+B∥} mit der Norm definiert über T_{e}G ≃ ℝ^{n}. Sei nun t ∈ ℝ fixiert und c_{i} ∈ ℤ so gewählt, daß c_{i}∥C_{i}∥ < t ≤ (c_{i} + 1)∥C_{i}∥. Da C_{i} gegen Null strebt, ist lim_{i→∞} c_{i}∥C_{i}∥ = t. Dann folgt

H ∋ (exp(C_{i}))^{c_{i}} = exp(c_{i}C_{i}) = exp (c_{i}∥C_{i}∥\frac{C_{i}}{∥C_{i}∥})

Da H abgeschlossen, erhalten wir für i → ∞

lim_{i→∞} exp (c_{i}∥C_{i}∥\frac{C_{i}}{∥C_{i}∥}) = exp (t\frac{(A + B)}{∥A + B∥}) ∈ H ∀t ∈ ℝ .

Somit ist 𝔥 ein linearer Raum. Analog folgt für den nächsten Term der Baker-Campbell-Hausdorf-Formel

H ∋ exp(tA) exp(tB) exp(−t(A + B)) = exp (\frac{t^{2}}{2} ([A, B] + X(t))) ,

daß für A, B ∈ 𝔥 auch [A, B] ∈ 𝔥 ist.

Seien n und r die Dimensionen von 𝔤 und 𝔥. Wir zeigen, daß H eine rdimensionale Untermannigfaltigkeit von G ist, indem wir für jeden Punkt a ∈ H eine Karte (U, κ) von G angeben, so daß κ(U ∩ H) = κ(U) ∩ \{ℝ^{r} × (\underbrace{0, …, 0}_{n−r})\}.

Sei 𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔪 und ϕ : 𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔪 → G gegeben durch ϕ(X ⊕ Y) = exp(X) exp(Y). Wir wissen, daß ϕ ein Diffeomorphismus auf einer Umgebung V = V_{𝔥} × V_{𝔪} ⊂ 𝔥 ⊕ 𝔪 von 0 ist. Dabei kann V_{𝔪} so gewählt werden, daß exp(V_{𝔪} \ {0}) ∩ H = ∅ ist. Denn sei X_{i} ∈ 𝔪 eine gegen Null strebende Folge mit exp(X_{i}) ∈ H, dann ist analog zum ersten Teil lim_{i→∞} exp(c_{i}∥X_{i}∥\frac{X_{i}}{∥X_{i}∥}) = lim_{i→∞} exp(t\frac{X_{i}}{∥X_{i}∥}) ∈ H, so daß lim_{i→∞} \frac{X_{i}}{∥X_{i}∥} ∈ 𝔥 wäre, im Widerspruch zu \frac{X_{i}}{∥X_{i}∥} ∈ 𝔪.

Wählen wir U_{e} = ϕ(V) und κ_{e} = ϕ^{−1}, dann ist (U, κ) eine Karte von G

um e ∈ H mit κ_{e}(U_{e} ∩ H) = V_{𝔥} × (\underbrace{0, …, 0}_{n−r}) = κ_{e}(U_{e}) ∩ (ℝ^{r} × (\underbrace{0, …, 0}_{n−r})).

Andere Karten (U_{a}, κ_{a}) um a ∈ H ergeben sich durch Linksmultiplikation: (U_{a} = L_{a}U_{e}, κ_{a} = ϕ^{−1} ∘ L_{a^{−1}}). Somit ist H eine Untermannigfaltigkeit von G, also eine Lie-Untergruppe.

Karten auf H werden nun durch Einschränkung dieser Karten auf H erhalten: Für a ∈ H setzen wir U_{a}^{H} := U_{a} ∩ H und κ_{a}^{H} = pr_{1} ∘ κ_{a}, wobei pr_{1} die Einschränkung von V_{𝔥} × (\underbrace{0, …, 0}_{n−r}) auf die ersten r Komponenten ist. Entspre-

chend ist (κ_{a}^{H})^{−1} = L_{a} ∘ exp : 𝔥 → H.

Seien nun a, b ∈ H mit a ∈ U H ; â und b ∈ U H ; b̂. Die Multiplikation m : U H ; â×U H ; b̂ → U_{ab}^{H} ist differenzierbar, wenn die Abbildung κ_{ab}^{H}∘m∘((κH ; â)^{−1}, (κH ; b̂)^{−1}) : V_{𝔥} × V_{𝔥} → V_{𝔥} differenzierbar ist. Das ist aber eine Kombination aus Linksmultiplikation und Exponentialabbildung, welche differenzierbar ist. Entsprechend haben wir für a ∈ U H ; â die Darstellung a = â exp(A) mit A ∈ 𝔥 und a^{−1} = exp(−A)â^{−1} mit A ∈ 𝔥. Dann ist die Inversion i : a ↦ a^{−1} differenzierbar, wenn (κ_{a^{−1}}^{H} ∘ i ∘ (κH ; â)^{−1} differenzierbar ist. Diese Abbildung ist aber die Kombination aus Exponentialabbildung und Multiplikation und deshalb differenzierbar. □

3.6 Tensorbündel

3.6.1 Tensoren

Definition 44 Seien V_{i}, i = 1, …, n, und W Vektorräme. Eine Abbildung F : ×_{I=1}^{n} V_{i} → W heißt n-Linearform, wenn sie in jeder Komponente V_{i} linear ist.

Natürliche Vektorraum-Struktur: (αF_{1} + βF_{2})(v_{1}, …, v_{n}) = αF_{1}(v_{1}, …, v_{n}) + βF_{2}(v_{1}, …, v_{n}).

Definition 45 Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über ℝ und V^{∗} sein Dualraum. Eine Multilinearform F : \underbrace{V × ⋯ × V}_{p} × \underbrace{V^{∗} × ⋯ × V^{∗}}_{q} → ℝ heißt p-fach

kovarianter und q-fach kontraviarianter Tensor. Das Paar (p, q) heißt die Valenz des Tensors. Der zugehörige Vektorraum der Multilinarformen mit dieser Struktur wird mit V_{p}^{q} bezeichnet.

Operationen • skalare Multiplikation:

(αf)(X_{1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{q}) = α · f(X_{1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{q})

• Addition von Tensoren der gleichen Valenz:

(f_{1} + f_{2})(X_{1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{q})

= f_{1}(X_{1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{q}) + f_{2}(X_{1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{q})

• Multplikation von Tensoren f_{1} ∈ V_{p}^{q}, f_{2} ∈ V_{r−p}^{s−q}:

(f_{1} ⊗ f_{2})(X_{1}, …, X_{p}, X_{p+1}, …, X_{r}, ξ^{1}, …, ξ^{q}, ξ^{q+1}, …, ξ^{s}) = f_{1}(X_{1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{q})f_{2}(X_{p+1}, …, X_{r}, ξ^{q+1}, …, ξ^{s})

f_{1} ⊗ f_{2} ≠ f_{2} ⊗ f_{1}

• Symmetrisierug, Antisymmetrisierung

• Kontraktion: f ∈ V_{p}^{q} → f̂ ∈ V_{p−1}^{q−1} bezüglich der k-ten und l-ten Komponente:

f̂(X_{1}, …, X̂_{k}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ̂^{l}, …, ξ^{q})

= ∑_{i=1}^{n} f(X_{1}, …, X_{k−1}, e_{i}, X_{k+1}, …, X_{p}, ξ^{1}, …, ξ^{l−1}, e^{∗}^{i}, ξ^{l+1}, …, ξ^{q}), wobei e_{i} eine Basis von V und e^{∗}^{j} die dazu duale Basis von V^{∗} ist

• Überschieben=Multiplikation+Kontraktion

3.6.2 Tensorprodukte von Vektorbündeln

Seien E_{1}, E_{2} Vektorbündel über M, dann definieren wir E_{1} ⊗ E_{2} = ⋃_{x∈M}(E_{1})_{x} ⊗ (E_{2})_{x} und statten E_{1} ⊗ E_{2} mit folgenden Karten aus: TODO

Beispiele sind T_{p}^{q}(M) = ⨂_{i=1}^{p} T M ⊗ ⨂_{j=1}^{q} T^{∗}M und Λ^{k}M = Λ^{k}T^{∗}M ≡ ⋀_{j=1}^{k} T^{∗}M (vollständig antisymmetrisierte Tensorprodukte von T^{∗}M.

Schnitte dieser Bündel liefern Tensorfelder:

• Γ^{∞}(T M) = 𝔛(M) – Vektorfelder

• Γ^{∞}(T^{∗}M) – Kovektorfelder

• Γ^{∞}(T_{p}^{q}(M)) – Tensorfelder vom Typ (p, q)

• Γ^{∞}(Λ^{k}M) – k-Formen

3.6.3 Lie-Ableitung nach einem Vektorfeld

Sei ϕ : M → N ein Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten. Dann induziert ϕ einen Transport ϕ^{∗} : Γ^{∞}(T_{p}^{q}(N)) → Γ^{∞}(T_{p}^{q}(M)) der Tensorfelder durch

(ϕ^{∗}t_{p}^{q})_{x}(v_{1}, …, v_{p}, v^{∗}^{1}, …, v^{∗}^{q}) = (t_{p}^{q})_{ϕ(x)}((ϕ_{∗}v_{1}, …, ϕ_{∗}v_{p}, (ϕ^{−1})^{∗}v^{∗}^{1}, …, (ϕ^{−1})^{∗}v^{∗}^{q}) ,

für v_{i} ∈ Γ^{∞}(T M) und v^{∗}^{j} ∈ Γ^{∞}(T^{∗}M). Dabei ist ((ϕ^{−1})^{∗}v^{∗})(v) = v^{∗}(ϕ_{∗}v) für v^{∗} ∈ Γ^{∞}(T^{∗}N) und v ∈ 𝔛(M).

Definition 46 Sei X ∈ 𝔛(M) ein Vektorfeld und T ein geometrisches Objekt auf M, also z.B. eine Funktion oder ein Schnitt eines Vektorbündels. Die Lie-Ableitung von T nach dem Vektorfeld X ist wieder ein geometrisches Objekt vom gleichen Typ wie T und definiert als

(L_{X}T)_{x} = lim_{t→0} \frac{1}{t}(((ϕ_{X}^{∗})_{t}T)_{x} − t_{x}) .

Dabei ist der Transport (ϕ_{X})_{t}^{∗} von T vom Punkt ϕ_{X}(x, t) in den Punkt x induziert durch die von X erzeugte einparametrigen Gruppe von lokalen Diffeomorphismen ϕ_{X}(x, t). Dieser Transport ist entsprechend der Natur des geometrischen Objekts zu wählen, also z.B.

((ϕ_{X})_{t}^{∗}f)(x) = f((ϕ_{X})_{t}(x)) für f ∈ C^{∞}(M) ,
((ϕ_{X})_{t}^{∗}Y)_{x} = ((ϕ_{X})_{−t ∗}Y)_{x} = (ϕ_{X})′_{−t}(ϕ_{X}(x, t))Y_{ϕ_{X}(x,t)} für Y ∈ 𝔛(M) .

Die Idee ist also, das Objekt T an der Stelle ϕ_{X}(x, t) mit jenem an der Stelle x zu vergleichen. Das ist direkt aber nicht möglich, da es sich dabei um verschiedene Räume handelt. Also wird der Transport (ϕ_{X})_{t}^{∗} verwandt, um T_{ϕ_{X}(x,t)} an die Stelle x zu bringen und dort verglichen.

Satz 26 Die Lie-Ableitung von Funktionen bzw. Vektorfeldern nach einem Vektorfeld X ist gegeben durch L_{X}f = Xf bzw. L_{X}Y = [X, Y].

Beweis: Wir haben

(L_{X}f)(x) = lim_{t→0} \frac{1}{t}((f(ϕ_{X})_{t}(x)) − f(x)) = \frac{d}{dt}(f ∘ ϕ_{X}(x, t))|_{t=0} = (Xf)(ϕ_{X}(x, 0))
= (Xf)(x)

Sei ϕ_{Y} (x, s) die durch das Vektorfeld Y erzeugte einparametrige Gruppe von lokalen Diffeomorphismen. Dann haben wir

((L_{X}Y)f)(x) = lim_{t→0} \frac{1}{t}(((ϕ_{X})_{−t ∗}Y)_{x} − Y_{x})(f)

= lim_{t→0} \frac{1}{t}((ϕ_{X})_{t}^{∗}(Y ((ϕ_{X})_{−t}^{∗}f))(x) − Y_{x}f)

= \frac{d}{dt}((Y ((ϕ_{X})_{−t}^{∗}f))(ϕ_{X}(x, t)))|_{t=0}

= \frac{d}{dt} \frac{d}{ds}((ϕ_{X})_{−t}^{∗}f) ∘ (ϕ_{Y})_{s} ∘ (ϕ_{X})_{t}(x)|_{t,s=0}

= \frac{d}{ds}(X(f ∘ (ϕ_{Y})_{s}))(x)|_{s=0} − \frac{d}{ds}(Xf)((ϕ_{Y})_{s}(x))|_{s=0}

= (X(Y (f)))(x) − (Y (X(f)))(x) = [X, Y](f)(x)

3.6.4 Adjungierte Darstellung

Definition 47 Sei G eine Lie-Gruppe. Die Abbildung G ∋ g ↦ α_{a}(g) = aga^{−1} ∈ G, für a ∈ G, heißt innerer Automorphismus von G.

Satz 27 Ein innerer Automorphismus von G induziert einen Automorphismus der Lie-Algebra Ad(a) = (α_{a})_{∗} : 𝔤 → 𝔤.

Beweis: Für allgemeine X, Y ∈ 𝔛(G) gilt (α_{a})_{∗}[X, Y] = [(α_{a})_{∗}X, (α_{a})_{∗}Y]. Zu zeigen bleibt, daß für A ∈ 𝔤 auch Ad(a)A ∈ 𝔤. Wir haben (α_{a})_{∗}A = (L_{a} ∘ R_{a^{−1}})_{∗}A = (L_{a})_{∗} ∘ (R_{a^{−1}})_{∗}A = (R_{a^{−1}})_{∗}A, da Links- und Rechtsmultiplikation kommutieren. Weitere Anwendung von (L_{b})_{∗} zeigt, daß (α_{a})_{∗}A ∈ 𝔤. □

Satz 28 Der Automorphismus Ad(a) induziert eine Darstellung der Lie-Algebra 𝔤 auf sich selbst durch ad(B)A = \frac{d}{dt}(Ad(exp(Bt))A)|_{t=0}. Es gilt ad(B)A = [B, A].

Diese Darstellung heißt die adjungierte Darstellung der Lie-Algebra.

Beweis: In einem Zwischenschritt zum Beweis von L_{B}A = [B, A] hatten wir für A, B ∈ 𝔤 und f ∈ C^{∞}(G)

([B, A]f)(g) = \frac{d}{dt}(A((ϕ_{B})_{−t}^{∗}f))(ϕ_{B}(g, t))|_{t=0}

hergeleitet. Die Integralkurve für linksinvariante Vektorfelder ist gerade exp, d.h. ϕ_{B}(g, t) = g exp(tB) = R_{exp(tB)}g. Damit finden wir

([B, A]f)(g) = \frac{d}{dt}(A(R_{exp(−tB)}^{∗}f))(R_{exp(tB)}g)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(R_{exp(tB)}^{∗}(A(R_{exp(−tB)}^{∗}f)))(g)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(((R_{exp(−tB)})_{∗}A)f)(g)|_{t=0} = \frac{d}{dt}((Ad(exp(tB))A)f)(g)|_{t=0}

= ((ad(B)A)f)(g) .

Daß ad(B) eine Darstellung ist, folgt aus der Jacobi-Identität:

ad([A, B])C = [[A, B], C] = −[C, [A, B]] = [A, [B, C]] + [B, [C, A]]

= [A, ad(B)C] − [B, ad(A)C] = ad(A)(ad(B)C) − ad(B)(ad(A)C)

= [ad(A), ad(B)]C .  □

Außerdem ist ad(A) : 𝔤 → 𝔤 eine Derivation, denn

ad(C)[A, B] = [C, [A, B]] = −[A, [B, C]] − [B, [C, A]] = [[C, A], B] + [A, [C, B]]
= [ad(C)A, B] + [A, ad(C)B] .

3.7 Differentialformen

Definition 48 Eine differentielle k-Form ist ein Schnitt des Vektorbündels Λ^{k}T^{∗}M = Λ^{k}M.

Folgerung: Eine differentielle k-Form im Punkt x ∈ M ist eine k-lineare vollständig antisymmetrische Abbildung α_{x} : ×_{i=1}^{k} T_{x}M → ℝ. Damit wir die k-Form α selbst eine Abbildung α : ×_{i=1}^{k} 𝔛(M) → C^{∞}(M).

Definition 49 Das äußere Produkt ist die Abbildung ∧ : Γ^{∞}(Λ^{k}M)×Γ^{∞}(Λ^{l}M) → Γ^{∞}(Λ^{k+l}M) definiert durch

(α ∧ β)(X_{1}, …, X_{k+l}) = \frac{1}{k!l!} ∑_{π∈S_{k+l}} σ_{π}α(X_{π(1)}, … X_{π(k)})β(X_{π(k+1)}, …, X_{π(k+l)}) .

Dabei ist S_{n} die Gruppe der Permutationen der Zahlen 1, …, n und σ_{π} das Vorzeichen der Permutation, d.h. die Anzahl der Transpositionen, die 1, 2, …, n in π(1), π(2), …, π(n) überführt.

Es gilt • (f_{1}α_{1} + f_{2}α_{2}) ∧ β = c_{1}α_{1} ∧ β + c_{2}α_{2} ∧ β, f_{1}, f_{2} ∈ C^{∞}(M),

• α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ,

• α ∧ β = (−1)^{kl}β ∧ α, α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M), β ∈ Γ^{∞}(Λ^{l}M).

Definition 50 Das innere Produkt zwischen einem Vektorfeld X ∈ X (M) und einer differentiellen k-Form α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M), k ≥ 1, ist eine differentielle (k −1)-Form definiert durch

(i_{X}α)(Y_{1}, …, Y_{k−1}) := α(X, Y_{1}, …, Y_{k−1}) ,

für Y_{i} ∈ X (M).

Definition 51 Ein k-Vektorfeld ist ein Schnitt des Vektorbündels Λ^{k}T M.

Dann ist punktweise die Abbildung ⟨ , ⟩ : Γ^{∞}(Λ^{k}T M) × Γ^{∞}(Λ^{k}T^{∗}M) → C^{∞}(M) definiert durch ⟨X_{1} ∧ …, ∧X_{k}, α⟩ = k!α(X_{1}, …, X_{k}).

Definition 52 Die Abbildung ⌋ : Γ^{∞}(Λ^{k}T M) × Γ^{∞}(Λ^{k+l}T^{∗}M) ∋ (X, α) → X⌋α ∈ Γ^{∞}(Λ^{l}T^{∗}M) definiert durch (X⌋α)(X_{1}, … X_{l}) = ⟨X ∧ X_{1} ∧ …, ∧X_{l}, α⟩ heißt Verjüngung der k + l-Form α mit dem k-Vektorfeld X.

Es gilt:

• (f_{1}X_{1} + f_{2}X_{2})⌋α = f_{1}(X_{1}⌋α) + f_{2}(X_{2}⌋α),

• X⌋(f_{1}α_{1} + f_{2}α_{2}) = f_{1}(X⌋α) + f_{2}(X⌋α_{2}),

3.7.1 Äußeres Differential

Definition 53 Ein System von linearen Abbildungen d_{k} : Γ^{∞}(Λ^{k}M) → Γ^{∞}(Λ^{k+1}M) heißt äußere Ableitung, wenn

1. d_{k+1} ∘ d_{k} = 0 ∀k ∈ ℕ ,

2. d_{k+l}(α ∧ β) = d_{k}α ∧ β + α ∧ d_{l}β ∀α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M), β ∈ Γ^{∞}(Λ^{l}M),

3. d_{0}f(X) = Xf ∀f ∈ C^{∞}(M) , X ∈ 𝔛(M),

4. Die Abbildungen d_{k} sind lokal, d.h. wenn für eine offene Umgebung U ⊂ M gilt α|_{U} = β|_{U}, dann ist (dα)|_{U} = d(α|_{U}) = d(β|_{U}) = (dβ)|_{U}.

Satz 29 Es existiert genau ein System von linearen Abbildungen d_{k}, das 1-4 erfüllt.

Beweis: Sei α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M). Wir definieren die Operatoren d_{k} durch

(d_{k}α)(X_{0}, X_{1}, …, X_{k}) := ∑_{i=0}^{k}(−1)^{i}X_{i}(α(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X_{k}))

+ ∑_{0≤i<j≤k}(−1)^{i+j}α([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k}) ,

für X_{i} ∈ 𝔛(M). Dabei bedeutet X̌_{i}, daß das Vektorfeld X_{i} wegzulassen ist. Eigenschaften 3 und 4 folgen direkt aus der Definition. Wir überprüfen 1:

(d_{k+1} ∘ d_{k}α)(X_{0}, X_{1}, X_{1}, …, X_{k+1})

= ∑_{i=0}^{k}(−1)^{i}X_{i}((d_{k}α)(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X_{k+1}))

+ ∑_{0≤i<j≤k+1}(−1)^{i+j}(d_{k}α)([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1})

\begin{matrix}= ∑_{i=1}^{k+1} ∑_{j=0}^{i−1}(−1)^{i+j}X_{i}(X_{j}(α(X_{0}, …, X̌_{j}, …, X̌_{i}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{i=0}^{k+1} ∑_{j=i+1}^{k}(−1)^{i+j+1}X_{i}(X_{j}(α(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{0≤i<j≤k+1}(−1)^{i+j}[X_{i}, X_{j}](α(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k})) \\ + ∑_{i=2}^{k+1} ∑_{0≤j<l<i}(−1)^{i+j+l}X_{i}(α([X_{j}, X_{l}], X_{0}, …, X̌_{j}, …, X̌_{l}, …, X̌_{i}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{i=1}^{k} ∑_{0≤j<i} ∑_{l=i}^{k+1}(−1)^{i+j+l+1}X_{i}(α([X_{j}, X_{l}], X_{0}, …, X̌_{j}, …, X̌_{i}, …, X̌_{l}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{i=0}^{k−1} ∑_{i<j<l≤k+1}(−1)^{i+j+l+2}X_{i}(α([X_{j}, X_{l}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X̌_{l}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{1≤i<j≤k+1} ∑_{l=0}^{i}(−1)^{i+j+l+1}X_{l}(α([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{l}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{0≤i<l<k+1} ∑_{j=l}^{k+1}(−1)^{i+j+l+2}X_{l}(α([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{l}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{0≤i<j<k+1} ∑_{l=j+1}^{k+1}(−1)^{i+j+l+3}X_{l}(α([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X̌_{l}, …, X_{k+1}))) \\ + ∑_{1≤i<j≤k+1}(−1)^{i+j+l+1}α([[X_{i}, X_{j}], X_{l}], X_{0}, …, X̌_{l}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}) \\ + ∑_{0≤i<l≤k} ∑_{j=l+1}^{k+1}(−1)^{i+j+l+2}α([[X_{i}, X_{j}], X_{l}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{l}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}) \\ + ∑_{0≤i<j≤k} ∑_{l=j+1}^{k+1}(−1)^{i+j+l+3}α([[X_{i}, X_{j}], X_{l}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X̌_{l}, …, X_{k+1}) \\ + ∑_{0≤l<m<i<j≤k+1}(−1)^{i+j+l+m}α([X_{l}, X_{m}], [X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{l}, …, X̌_{m}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}) \\ + ∑_{0≤l<i<m<j≤k+1}(−1)^{i+j+l+m+1}α([X_{l}, X_{m}], [X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{l}, …, X̌_{i}, …, X̌_{m}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1}) \\ + ∑_{0≤l<i<j<m≤k+1}(−1)^{i+j+l+m+2}α([X_{l}, X_{m}], [X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{l}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X̌_{m}, …, X_{k+1}) \end{matrix} ; 36

Preliminary version – 4. April 2006

+ ∑_{0≤i<l<m<j≤k+1}(−1)^{i+j+l+m+2}α([X_{l}, X_{m}], [X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{l}, …, X̌_{m}, …, X̌_{j}, …, X_{k+1})

+ …

Wir überprüfen 2:

(d_{k+l}(α ∧ β))(X_{0}, X_{1}, …, X_{k+l})

= ∑_{i=0}^{k+l}(−1)^{i}X_{i}((α ∧ β)(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X_{k+l}))

+ ∑_{0≤i<j≤k+l}(−1)^{i+j}(α ∧ β)([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k+l})

= \frac{1}{(k + l)!} ∑_{i=0}^{k+l}(−1)^{i} ∑_{π∈S_{0,...,ǐ,...,k+l}} σ_{π}X_{i}(α(X_{π(1)}, …, X_{π(k)})β(X_{π(k+1)}, …, X_{π(k+1)}))

+ \frac{1}{(k + l)!} ∑_{−1≤i<j≤k+l}(−1)^{i+j} ∑_{π∈S_{−1,0,...,ǐ,...,ǰ,...,k+l}} α(X_{π(1)}, …, X_{π(k)})β(X_{π(k+1)}, …, X_{π(k+1)})

mit X_{−1} = [X_{i}, X_{j}]. Andererseits haben wir

((d_{k}α) ∧ β + (−1)^{k}α ∧ (d_{l}β))(X_{0}, X_{1}, …, X_{k+l}) =

Bleibt die Eindeutigkeit: In einer Umgebung U ⊂ M kommutieren die Vektorfelder X_{i} entlang der Koordinatenfunktionen x^{i}: [X_{i}, X_{j}] = 0. Wir setzen α(X_{1}, …, X_{k}) = α_{1,...,k}. Dann vereinfacht sich die Formel zu

(d_{k}α)|_{U}(X_{0}, …, X_{k}) = (d_{k}α)_{0,...,k}|_{U}

= ∑_{i=0}^{k}(−1)^{k}X_{i}(α(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X_{k})|_{U}

= ∑_{i=0}^{k}(−1)^{k}X_{i}α_{0,...,ǐ,...,k}|_{U}

Sei {d′_{k}} ein zweites System, das 1-4 erfüllt, dann gilt (d′_{k}α)|_{U}(X_{0}, …, X_{k}) = (d′_{k}α)_{0,...,k}|_{U} wegen 4. Da d und d′ auf Funktionen übereinstimmen, folgt die Übereinstimmung auf allen Formen. □

Wir werden den Formengrad-Index am Differential meist weglassen und einfach d schreiben. Dann ist insbesondere d^{2} = 0.

3.7.2 Differentialformen im ℝ^{n}

Für M = U ⊂ ℝ^{n} stimmen die Koordinaten-Funktionen x^{i} mit den i-ten Komponenten von x ⊂ U überein. Dann sind die partiellen Ableitungen \frac{∂}{∂x^{i}} Vektorfelder entlang der Integralkurven γ_{i}(t) = (0, … 0, t, 0, …, 0), denn

(X_{i}f)(γ_{i}(t)) = \frac{d}{dt}(f ∘ γ_{i}(t))

= lim_{h→0} \frac{1}{h}(f(0, … 0, t + h, 0, …, 0) − f(0, … 0, t, 0, …, 0))

= \frac{∂f}{∂x^{i}} (0, … 0, t, 0, …, 0) .

Ein beliebiger Tangentialvektor v_{x} ∈ T_{x}U läßt sich nun schreiben als v_{x} = ∑_{i=1}^{n} v_{x}^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}.

Für die Differentiale der Koordinaten-Funktionen gilt wegen (df)(X) = Xf die Identität (dx^{i})(\frac{∂}{∂x^{j}}) = \frac{∂x^{i}}{∂x^{j}} = δ_{i}^{j}. Damit bilden die \{dx^{i}\}_{i=1}^{n} eine Basis des Kotangentialraums T_{x}U, die zur Basis \{\frac{∂}{∂x^{i}} \} von T_{x}U dual ist. Da Differentialformen α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}U) im Punkt x ∈ U das antisymmetrische Tensorprodukt von Kotangentialvektoren sind, können sie als α_{x} = ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{n} \frac{1}{k!}α_{xi_{1}...i_{k}}dx^{i_{1}} ∧ … dx^{i_{k}} geschrieben werden. Es gilt gerade

α_{x}(\frac{∂}{∂x^{j_{1}}} , …, \frac{∂}{∂x^{j_{k}}} ) = \frac{1}{k!} ∑_{π∈S_{k}} σ_{π}α_{x i_{π(1)}...i_{π(k)}}

Ist speziell α ∈ Γ^{∞}(Λ^{n}U), dann erhalten wir α_{x} = α_{x[1...n]}dx^{1} ∧ … dx^{n} mit α_{x[1...n]} := \frac{1}{n!} ∑_{π∈S_{n}} σ_{π}α_{x i_{π(1)}...i_{π(n)}}.

Wenn nun α ∈ Γ^{∞}(Λ^{n}U) auf dem Komplement U \ V einer kompakten Teilmenge V ⊂ U verschwindet, dann können wir α über U integrieren:

∫_{U} α ≡ ∫_{U} α_{x[1...n]}dx^{1}dx^{1} … dx^{n} .

Diese Integration läßt sich zu einer Integration auf Mannigfaltigkeiten ausdehnen.

3.7.3 Integration auf Mannigfaltigkeiten

Zur Erinnerung: Auf parakompakten Hausdorff-Räumen M mit gegebener offener Überdeckung {U_{i}} existiert eine Zerlegung der Eins, d.h. eine Familie stetiger Funktionen f_{i} : M → [0, 1] mit folgenden Eigenschaften:

• Für jede dieser Funktionen existiert eine offene Umgebung aus der Überdeckung, so daß f_{i}(x) = 0 ∀x ∈ M \ U_{i}

• Jeder Punkt x ∈ M besitzt eine Umgebung V, so daß es nur endlich viele Funktionen f_{j} gibt, die auf V nicht identisch verschwinden, und ∑_{j} f_{j}(y) = 1 ∀y ∈ V.

Eine Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar ist, wenn ein Atlas (U_{i}, κ_{i}) von M existiert, so daß für beliebige Karten (U_{i}, κ_{i}) und (U_{j}, κ_{j}) mit U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅ gilt det(κ_{i} ∘ κ_{j}^{−1})′(x) > 0 ∀x ∈ κ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}).

Definition 54 Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit fixiertem Atlas (U_{i}, κ_{i}) und {f_{i}} eine Zerlegung der Eins bezüglich {U_{i}}. Das Integral einer n-Form α ∈ Γ^{∞}(M) über M ist definiert als

∫_{M} α = ∑_{i} ∫ (κ_{i}^{−1})^{∗}(f_{i}α) .

Satz 30 Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist genau dann orientierbar, wenn eine nirgends verschwindende n-Form existiert, d.h. ein μ ∈ Γ^{∞}(Λ^{n}M) mit μ_{x} ≠ 0 ∀x ∈ M. In diesem Fall heißt μ die Volumenform von M.

Sei α ∈ Γ^{∞}(Λ^{n−k}M) und β ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M), dann ist α ∧ β ∈ Γ^{∞}(Λ^{n}M) und läßt sich über M integrieren. Das liefert eine Bilinearform ( , ) : Γ^{∞}(Λ^{n−k}M) × Γ^{∞}(Λ^{k}M) → ℝ gegeben durch

(α, β) = ∫_{M} α ∧ β

Satz 31 (von Stokes) Sei M eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit stückweise glattem Rand ∂M mit induzierter Orientierung und α ∈ Γ^{∞}(Λ^{n−1}M). Dann gilt

∫_{M} dα = ∫_{∂M} α

3.7.4 de Rham-Kohomologie

Definition 55 Eine Differentialform α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M) heißt geschlossen oder Kozykel, wenn d_{k}α = 0, und exakt oder Korand, wenn es ein β ∈ Γ^{∞}(Λ^{k−1}M) gibt mit α = d_{k−1}β.

Wir bezeichnen

Z^{k}(M) = {α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M) , d_{k}α = 0} ,
B^{k}(M) = {d_{k−1}β , β ∈ Γ^{∞}(Λ^{k−1}M)} .

Wegen d_{k} ∘ d_{k−1} = 0 gilt

B^{k}(M) ⊂ Z^{k}(M) ⊂ Γ^{∞}(Λ^{k}M) .

Definition 56 Der Quotientenraum

H^{k}(M) = Z^{k}(M)/B^{k}(M)

heißt die k-te Kohomologiegruppe von M im Sinne von de Rham. Elemente [α] ∈ H^{k}(M) heißen de Rhamsche Kohomologieklassen. Die Dimension von H^{k}(M) heißt k-te Betti-Zahl b_{k}(M) = dim(H^{k}(M)).

Elemente von H^{k}(M) sind also Äquivalenzklassen [α] von Kozykeln α ∈ Z^{k}(M), mit α_{1} ∼ α_{2} wenn α_{1} − α_{2} ∈ B^{k}(M). Das äußere Produkt von Differentialformen induziert ein Produkt von Kohomologieklassen ∧ : H^{k}(M)×H^{l}(M) ∋ ([α], [β]) ↦ [α ∧ β] ∈ H^{k+l}(M), denn

(α + dγ) ∧ (β + dδ) = α ∧ β + d(γ ∧ β + (−1)^{k}α ∧ δ + γ ∧ dδ) .

Die reellen Vektorräume B^{k}(M), Z^{k}(M) und Γ^{∞}(Λ^{k}M) sind unendlichdimensional, dagegen ist der Quotientenraum H^{k}(M) im allgemeinen endlichdimensional. Es zeigt sich, daß die H^{k}(M) nicht von der differenzierbaren Struktur von M abhängen und topologische Eigenschaften von M beschreiben. Eine wichtige topologische Größe ist die Euler-Charakteristik von M,

χ(M) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}b_{k}(M) .

Lemma 4 (von Poincaré) Sei U ein sternförmiges Gebiet des ℝ^{n}, d.h. eine zusammenhängende offene Teilmenge mit einem Punkt x_{0} ∈ U, so daß für jeden Punkt x ∈ U auch alle Punkte der Verbindungsstrecke tx + (1 − t)x_{0}, t ∈ [0, 1], in U liegen. Dann gilt H^{0}(U) = ℝ und H^{k}(U) = {0} für k > 0.

Satz 32 H^{k}(S^{n}) = \{ \begin{matrix}ℝ & für k ∈ \{0, n\} \\ 0 & für 0 < k < n \end{matrix}

Die durch Integration von Differentialformen gewonnene Bilinearform überträgt sich auf die Integration von Kohomologieklassen: Sei M eine Mannigfaltigkeit ohne Rand (∂M = ∅) und [α] ∈ H^{n−k}M und [β] ∈ H^{k}M, dann haben wir

(α + dγ, β + dδ) = ∫_{M}((α + dγ) ∧ (β + dδ))
= ∫_{M} (α ∧ β + d(γ ∧ β + (−1)^{k}α ∧ δ + γ ∧ dδ))
= ∫_{M} α ∧ β .

Es zeigt sich, daß diese Bilinearform nicht ausgeartet ist, d.h. wenn (α, β) = 0 für alle β, dann folgt α = 0. Dadurch wird ein kanonischer Isomorphismus H^{k}(M) ≃ H^{n−k}(M)^{∗}, die Poincaré-Dualität, definiert. Besonders wichtig ist der Fall n = 4l und k = 2l und ( , ) : H^{2l}(M) × H^{2l}(M) → ℝ. Die Zahl der positiven Eigenwerte minus der Zahl der negativen Eigenwerte heißt die Signatur von M und ist eine topologische Invariante σ(M).

3.8 Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Definition 57 Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist eine Mannigfaltigkeit M zusammen mit einem Tensorfeld g ∈ Γ^{∞}(T^{∗}M ⊗ T^{∗}M), dem metrischen Tensor, so daß

• g : 𝔛(M) × 𝔛(M) → C^{∞}(M) ist symmetrisch,

• Für alle x ∈ M ist die Bilinearform g_{x} : T_{x}M × T_{x}M → ℝ nichtausgeartet, d.h. falls g_{x}(v, w) = 0 für alle v ∈ T_{x}M genau dann, wenn w = 0.

Falls g_{x}(v, v) > 0 für alle x ∈ M und v ∈ T_{x}M, v ≠ 0, so ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit im eigentlichen Sinn, ansonsten eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Im ersten Fall liefert der metrische Tensor in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein inneres Produkt von Tangentialvektoren: ⟨v, w⟩ = g_{x}(v, w) für v, w ∈ T_{x}M.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten bilden die geometrsiche Grundlage für die Einsteinsche Gravitationstheorie. Das wird später behandelt werden.

3.8.1 Hodge-Dualität

Eine nichtausgeartete Bilinearform g_{x} auf T_{x}M liefert eine Isomorphismus g_{x} : T_{x}M → T_{x}^{∗}M durch (g_{x}(v))(w) = g_{x}(v, w). Entsprechend ist g_{x}^{−1} : T^{∗}xM → T_{x}M ebenfalls einIsomorphismus. Dieser wird genutzt, um Differentialformen in Multi-Vektorfelder umzuwandeln:

Λ^{k}g^{−1} : Γ^{∞}(Λ^{k}T^{∗}M) → Γ^{∞}(Λ^{k}T M)

Definition 58 Sei (M, g) eine orientierte n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und (e_{1}, …, e_{n}) ein lokales Orthonormalsystem, d.h. e_{i} ∈ 𝔛(U) mit g_{x}(e_{i}, e_{j}) = δ_{ij} für alle x ∈ U ⊂ M. Die n-Form v_{g} ∈ Γ^{∞}(Λ^{n}; ) heißt kanonische Volumenform, falls (v_{g}(e_{1}, …, e_{n}))(x) = 1 für alle x ∈ U.

Definition 59 (Hoge-Stern) Sei (M, g) eine orientierte n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M). Dann ist

∗α := Λ^{k}g^{−1}(α)⌋v_{g} ∈ Γ^{∞}(Λ^{n−k}M)

die duale Form im Sinne von Hodge/Kodaira.

Seien α, β ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M), dann ist α ∧ ∗β ∈ Γ^{∞}(Λ^{n}M). Diese Form kann über die Mannigfaltigkeit inegriert werden und liefert eine Bilinearform

⟨α, β⟩ := ∫_{M} α ∧ ∗β

(kanonisches Skalarprodukt in Γ^{∞}(Λ^{k}M)). Es gilt ∗ ∗ α = (−1)^{k(n−k)+ \frac{1}{2} (n−s)}α, wobei s die Signatur von (M, g) bezeichnet, d.h. die Zahl der positiven Eigenwerte von g minus der Zahl der negativen Eigenwerte von g.

Definition 60 Der durch

⟨α, δ_{k+1}β⟩ = ⟨d_{k}α, β⟩ , α ∈ Γ^{∞}(Λ^{k}M) , β ∈ Γ^{∞}(Λ^{k+1}M) ,

definierte Operator δ_{k+1} : Γ^{∞}(Λ^{k+1}M) → Γ^{∞}(Λ^{k}M) heißt der zum äußeren Differential duale Operator im Sinne von Hodge/Kodaira.

Es gilt δ = (−1)^{k(n−k)+ \frac{1}{2} (n−s)} ∗ d∗

Oft wird δ auch das Kodifferential genannt, jedoch ist δ kein Differential. Es gilt zwar δ^{2} = 0, d.h. δ_{k} ∘ δ_{k+1} = 0, aber δ ist keine Derivation des äußeren Produkts, δ_{k+l}(α ∧ β) ≠ (δ_{k}α) ∧ β + (−1)^{k}α ∧ (δ_{l}β).

Definition 61 Der Laplace-Beltrami-Operator der orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) ist der Operator Δ = d ∘ δ + δ ∘ d : Γ^{∞}(Λ^{k}M) → Γ^{∞}(Λ^{k}M).

4 Hauptfaserbündel und Zusammenhänge

4.1 Gruppenwirkung auf Mannigfaltigkeiten

Definition 62 Sei G eine Lie-Gruppe. Eine Mannigfaltigkeit M heißt rechte G-Mannigfaltigkeit, wenn eine Abbildung ψ : M ×G → M, die rechte Gruppenwirkung, erklärt ist, so daß

• ψ_{a} : M → M definiert durch ψ_{a}(x) = ψ(x, a) ist ein Diffeomorphismus für alle a ∈ G,

• ψ_{a} ∘ ψ_{b}(x) = ψ_{ba}(x)

Die Gruppenwirkung heißt

• transitiv, wenn für je zwei Elemente x, y ∈ M ein a ∈ G existiert mit y = ψ(x, a),

• effektiv, wenn aus ψ_{a}(x) = x für alle x folgt a = e,

• frei (d.h. ohne Fixpunkt), wenn aus der Existenz eines x ∈ M mit ψ_{a}(x) = x folgt a = e.

Satz 33 Sei (M, G) eine rechte G-Mannigfaltigkeit. Dann generiert jedes Element A ∈ 𝔤 (Lie-Algebra von G) eine lokale einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen ϕ(x, t) := ψ(x, exp(tA)) und damit ein Vektorfeld A_{∗} auf M definiert durch

(A_{∗}f)(x) = \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)}(x))|_{t=0} , f ∈ C^{∞}(M) .

Beweis: Es gilt ϕ(x, 0) = ψ_{e}(x) = x und ϕ(ϕ(x, s), t) = ψ_{exp(At)}(ψ_{exp(As)}(x)) = ψ_{exp(As)·exp(At)}(x) = ψ_{exp(A(s+t))}(x) = ϕ(x, t + s) □

Das Vektorfeld A_{∗} heißt Killingfeld bzw. fundamentales Vektorfeld der Gruppenwirkung.

Satz 34 • Die Abbildung σ : 𝔤 ∋ A ↦ σ(A) = A_{∗} ∈ 𝔛(M) ist ein Homomorphismus von Lie-Algebren.

• G wirkt effektiv ⇒ σ ist injektiv

• G wirkt frei ⇒ falls A ≠ 0, dann ist A_{∗} ≠ 0 überall auf M.

Beweis: Linearität:

(σ(A + B)f)(x) = \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(t(A+B))}(x))|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)} ∘ ψ_{exp(tB)}(x))|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)})|_{t=0} ∘ ψ_{exp(0·B)}(x) + f ∘ ψ_{exp(0·A)} ∘ \frac{d}{dt}(ψ_{exp(tB)}(x))|_{t=0}

= (A_{∗}f)(x) + (B_{∗}f)(x)

Lie-Klammer:

([A_{∗}, B_{∗}]f)(x) = ((L_{A_{∗}}B_{∗})f)(x) = \frac{d}{dt}(((ψ_{exp(−tA)})_{∗}B_{∗})f)(x)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(B_{∗}((ψ_{exp(−tA)})^{∗}f)((ψ_{exp(−tA)})^{−1}(x)))|_{t=0}

= \frac{d}{ds} \frac{d}{dt}(((ψ_{exp(−tA)})^{∗}f) ∘ ψ_{exp(sB)} ∘ (ψ_{exp(tA)}(x)))|_{t=0, s=0}

= \frac{d}{ds} \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)·exp(sB)·exp(−tA)}(x))|_{t=0, s=0}

= \frac{d}{ds} \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(sB+ \frac{1}{2} [tA,sB]+ \frac{1}{2} [sB,−tA]+O(st^{2},s^{2}t))}(x))|_{t=0, s=0} (aus BCH)

= \frac{d}{dt}(([tA, B] + O(t^{2}))_{∗}f)(x)|_{t=0}

= ([A, B]_{∗}f)(x) (aus Linearität von σ)

Injektivität: Sei σ(A) = 0, dann \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)}(x))|_{t=0} = 0 für alle x. Damit gilt ψ_{exp(tA)}(x) = x für alle x. Wenn G effektiv wirkt, so ist exp(tA) = e und damit A = 0.

Nullverschiedenheit: Angenommen, σ(A) = 0 in x_{0} ∈ M, dann ist \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)}(x_{0}))|_{t=0} = 0 und ψ_{exp(tA)}(x_{0}) = x_{0}. Wenn G frei wirkt, dann folgt exp(tA) = e und damit A = 0. Das bedeutet, daß aus A ≠ 0 stets A^{∗} ≠ 0 folgt. □

4.2 Hauptfaserbündel

Definition 63 Seien P, M differenzierbare Mannigfaltigkeiten, G eine Lie-Gruppe und es gelte

1. ψ : P × G → P ist eine freie rechte Gruppenwirkung

2. M ist der Faktorraum der Gruppenwirkung, M = P/G mit der kanonischen Projektion π : P → P/G = M

3. Es existiert eine Überdeckung (U_{i})_{i∈I} von M und eine Familie von Diffeomorphismen χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → U_{i} × G, den lokalen Trivialisierungen, so daß

• [figure: π^{−1}(U_{i}); U_{i} × G; U_{i}; χ_{i}; π; ^{pr^{1}}] ein kommutatives Diagramm ist

• pr_{2} ∘ χ_{i}(ψ_{g}(p)) = (pr_{2} ∘ χ_{i}(p)) · g Dann heißt die Struktur (P, M, G, π, ψ, {χ_{i}}) ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe G.

Bemerkungen:

• M = {[p], p ∈ P } und p_{1} ∼ p_{2} wenn ein g ∈ G existiert mit ψ_{g}(p_{1}) = p_{2}. Damit wirkt G transiv auf den Fasern π^{−1}(x).

• G wirkt frei ⇒ ψ_{p} : G → P ist injektiv (dabei ist ψ_{p}(g) = ψ(p, g) für festgehaltenes p ∈ P). Denn sei ψ_{p}(a) = ψ_{p}(b), so ψ_{a}(p) = ψ_{b}(p) und ψ_{b^{−1}} ∘ ψ_{a}(p) = ψ_{ab^{−1}}(p) = p. Wenn G frei wirkt, dann ist a = b.

• ψ_{p} : G → π^{−1}(π(p)) ist ein Diffeomorphismus. Damit ist jede Faser π^{−1}(x) diffeomorph zu G.

• Sei (U_{i}, χ_{i}) eine Familie von lokalen Trivialisierungen, und κ_{i} := pr_{2} ∘ χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → G. Dann ist κ_{i}(ψ_{g}p) · (κ_{j}(ψ_{g}p))^{−1} = κ_{i}(p) · g · (κ_{j}(p) · g)^{−1} = κ_{i}(p) · (κ_{j}(p))^{−1} unabhängig von g ∈ G und projiziert sich damit auf eine Abbildung ρ_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → G definiert durch ρ_{ij}(x) = κ_{i}(p) · (κ_{j}(p))^{−1} für p ∈ π^{−1}(x). Es gilt

1. ρ_{ii} = e

2. ρ_{ij} = ρ_{ji}^{−1}

3. Für U_{i}, U_{j}, U_{k} mit U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k} ≠ 0 gilt ρ_{ij} · ρ_{jk} = ρ_{ik}

Die {ρ_{ij}} bilden damit eine Kozyklus im Sinne der Homologietheorie

Satz 35 Eine Überdeckung {U_{i}} von M und ein zugehöriger Kozyklus {ρ_{ij}} genügen zur Rekonstruktion des Bündels.

Beweisidee: Wir setzen X = ⋃_{i} U_{i} × G (disjunkte Vereinigung) und

(i, x, g) ∼ (i′, x′, g′) ⇔ x = x′ ∈ U_{j} ∩ U_{j} und g′ = ρ_{i′i}(x) · g

Dann ist P = X/ ∼ ein Hauptfaserbündel mit Strukturgruppe G über M. Die freie rechte Gruppenwirkung auf P ist gegeben durch ψ_{a}[(i, x, g)] := [i, x, ga] und die Projektion ist π[(i, x, g)] = x

4.2.1 Beispiele

1. triviales Bündel P = M × G

2. Homogene Räume. Sei G eine Lie-Gruppe und H ⊂ G eine abgeschlossene Untergruppe von G. Es gibt eine natürliche rechte Gruppenwirkung von H auf G. Das definiert ein Hauptfaserbündel G über G/H mit Strukturgruppe H. Die Basismannigfaltigkeit G/H ist ein homogener Raum.

3. komplexes und quaternionisches Hopf-Bündel

4. Bündel der lokalen Bezugssysteme 4.2.2 Die Gruppe der lokalen Eichtransformationen

Definition 64 Ein Diffeomorphismus θ : P → P heißt Automorphismus des Hauptfaserbündels, falls

• es existiert ein Diffeomorphismus θ̃: M → M, so daß

[figure: P; P; θ; π; M; M; θ̃; π] ein kommutatives Diagramm ist

• θ kommutiert mit der rechten Gruppenwirkung, θ ∘ ψ_{g} = ψ_{g} ∘ θ ∀g ∈ G

Ein vertikaler Automorphismus θ̂ : P → P ist ein Automorphismus des Hauptfaserbündels mit ˜ θ̂ = id_{M}.

Wir bezeichnen mit Aut(P) die Gruppe der Automorphismen des Hauptfaserbündels P und mit Aut_{M}(P) die Gruppe der vertikalen Automorphismen.

Definition 65 Die Gruppe G = Aut_{M}(P) heißt Gruppe der lokalen Eichtransformationen.

Satz 36 Einem vertikalen Automorphismus θ̂ entspricht genau eine äquivariante Abbildung u : P → G (differenzierbar) mit u(ψ_{a}(p)) = a^{−1}u(p)a.

Beweis: Sei θ̂ ∈ G gegeben, setze θ̂(p) = ψ_{u(p)}p (Verschiebung durch rechte Gruppenwirkung). Dann ist θ̂(ψ_{a}p) = ψ_{a}(θ̂(p)) = ψ_{a}(ψ_{u(p)}(p)) = ψ_{u(p)·a}(p) = ψ_{u(p)·a}ψ_{a^{−1}} ∘ ψ_{a}(p) = ψ_{a^{−1}·u(p)·a}(ψ_{a}(p)). □

Die Gruppe der lokalen Eichtransformationen wirkt auf natürliche Weise auf Schnitten des Hauptfaserbündels s : M ⊃ U → P, π ∘ s = id_{U} durch ŝ(x) := θ̂ ∘ s(x) = ψ_{u(s(x))}s(x)

4.3 Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln

Sei (P, M, G, π, ψ) ein Hauptfaserbündel und p ∈ P. Die rechte Gruppenwirkung ψ : P × G → P induziert eine Abbildung σ : 𝔤 ∋ A ↦ A_{∗} ∈ 𝔛(P). Die so erhaltenen Vektorfelder A_{∗} heißen vertikale Vektorfelder, und Tangentialvektoren A_{∗}(p) ∈ T_{p}P sind tangential an die Faser π^{−1}(π(p)), d.h. an die Kurve in P, die durch die Gruppenwirkung mit exp(tA) gebildet wird.

Sei V_{p} ⊂ T_{p}P der Tangentialraum an die Faser. Da σ injektiv ist (die Gruppenwirkung ist frei, insbesondere effektiv) und die Faser isomorph zu G ist, ist tatsächlich V_{p} = σ(𝔤)_{p}.

Definition 66 Ein Zusammenhang Γ auf einem Hauptfaserbündel P ist eine Zuordnung P ∋ p ↦ H_{p} ⊂ T_{p}P, die folgende Bedingungen erfüllt:

• Komplementarität: T_{p}P = H_{p} ⊕ V_{p} ∀p ∈ P

• Rechtsinvarianz: ψ′_{g}(H_{p}) = H_{ψ_{g}(p)}

• die Zuordnung p ↦ H_{p} ist glatt Wenn X ∈ 𝔛(P), dann ist horX punktweise definiert durch T_{p}P ∋ X_{p} = verX_{p} + horX_{p} ein glattes Vektorfeld.

4.3.1 Die Zusammenhangsform ψ_{p} : G → π^{−1}(π(p)) induziert Isomorphismus von Vektorräumen σ : 𝔤 → V_{p}. Definition 67 Die Zusammenhangsform des Zusammenhangs Γ ist die differentielle 1-Form ω mit Werten in 𝔤 definiert durch

ω_{p}(X) := σ^{−1}(verX_{p})

Satz 37 Für die Zusammenhangsform ω gilt:

1. ω_{p}(X) = 0 für X ∈ H_{p}

2. ω(A_{∗}) = A

3. ψ_{a}^{∗}ω = Ad(a^{−1})ω im Sinne von (ψ_{a}^{∗}ω)(X) = Ad(a^{−1})(ω(X)) Beweis: 1. und 2. folgen aus der Definition. Bleibt 3:

(ψ_{a}^{∗}ω)_{p}(X) = ω_{ψ_{a}(p)}((ψ_{a})_{∗}X) = σ^{−1}(ver(ψ′_{a}X_{p})_{ψ_{a}(p)})

Wir zerlegen X_{p} = verX_{p} + horX_{p}, dann ist ψ′_{a}(horX_{p}) ∈ H_{ψ_{a}(p)} und deshalb ψ′_{a}(verX_{p}) ∈ V_{ψ_{a}(p)}. Folglich ist

(ψ_{a}^{∗}ω)_{p}(X) = ω_{ψ_{a}(p)}((ψ_{a})_{∗}X) = σ^{−1}((ψ′_{a}(verX_{p}))_{ψ_{a}(p)})

Sei (verX_{p}) = σ(A), dann haben wir

(((ψ_{a})_{∗}σ(A))f)(p) = (σ(A)(ψ_{a}^{∗}f))(ψ_{a^{−1}}(p))

= \frac{d}{dt}(ψ_{a}^{∗}f) ∘ ψ_{exp(tA)}(ψ_{a^{−1}}(p))|_{t=0}

= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{a^{−1}·exp(tA)·a}(p)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{exp(tAd(a^{−1})A)}(p)|_{t=0}

= (σ(Ad(a^{−1})A))f)(p)

und somit

(ψ_{a}^{∗}ω)_{p}(X) = ω_{ψ_{a}(p)}((ψ_{a})_{∗}X) = (Ad(a^{−1})A) = Ad(a^{−1})(ω_{p}(X))

Satz 38 Sei eine Einsform ω mit Werten in 𝔤 gegeben, so daß

• ω_{p}(σ(A)) = A

• ψ_{a}^{∗}ω = Ad(a^{−1})ω

dann definiert P ∋ p ↦ H_{p} := ker ω_{p} einen Zusammenhang Γ auf P.

4.3.2 Kovariante Ableitung

Definition 68 Sei α eine differentielle k-Form auf P mit werten in einem beliebigen Vektorraum. Dann definiert ein Zusammenhang Γ auf P eine kovariante Ableitung Dα durch

(Dα)_{p}(X_{1}, …, X_{k+1}) := (dα)_{p}(horX_{1}, …, horX_{k+1}) .

Definition 69 Die 2-Form Ω auf P mit Werten in 𝔤 definiert durch Ω = Dω heißt Krümmungsform des Zusammenhangs.

Satz 39 ψ_{a}^{∗}Ω = Ad(a^{−1})Ω

Beweis: d kommutiert mit Diffeomorphismen.

Satz 40 dω(X, Y) = −[ω(X), ω(Y)] + Ω(X, Y)

Beweis:

• X, Y vertikal, X = A_{∗}, Y = B_{∗}

dω(A_{∗}, B_{∗}) = A_{∗}ω(B_{∗}) − B_{∗}ω(A_{∗}) − ω[A_{∗}, B_{∗}] = A_{∗}B − B_{∗}A − ω[A_{∗}, B_{∗}]

A_{∗}B = 0 da konstante Funktion auf P

• X, Y horizontal, Definition von Ω

• X = A_{∗} vertikal, Y horizontal:

dω[A_{∗}, Y] = A_{∗}ω(Y) − Y ω(A_{∗}) − ω([A_{∗}, Y]) = 0

wegen [A_{∗}, Y] = L_{A_{∗}}Y = lim_{t→0} \frac{1}{t}((ψ_{exp(−tA)})_{∗}Y − Y) horizontal

([ω, ω]^{∧})(X, Y) = \frac{1}{1!1!}[ω(X), ω(Y)] − [ω(Y), ω(X)] = 2[ω(X), ω(Y)] deshalb Ω = dω + \frac{1}{2}[ω, ω]^{∧}

Satz 41 (Bianchi-Identität) DΩ = 0

Beweis: DΩ(X, Y, Z) = dΩ(horX, horY, horZ) = (ddω + \frac{1}{2}[dω, ω]^{∧} − \frac{1}{2}[ω, dω]^{∧})(horX, horY, horZ) = 0 4.3.3 Eichtransformationen der Zusammenhangsform

Definition 70 Eine differentielle k-Form α auf G heißt linksinvariant, wenn (L_{g}^{∗}α)_{a} = α_{a} gilt für alle g ∈ G.

Definition 71 Die Maurer-Cartan-Form Θ auf G ist die (eindeutige) linksinvariante differentielle 1-Form mit Werten in 𝔤 definiert durch

Θ(A) = A , A ∈ 𝔤

Satz 42 Sei θ̂ ein vertikaler Automorphismus des Hauptfaserbündels und u : P → G die entsprechende äquivariante Abbildung. Dann gilt für die Zusammenhangsform ω und die Krümmungsform Ω

(θ̂^{∗}ω)_{p} = Ad(u(p)^{−1})ω_{p} + (u^{∗}Θ)_{p} ,
(θ̂^{∗}Ω)_{p} = Ad(u(p)^{−1})Ω_{p} .

Beweis: Sei X_{p} ∈ T_{p}P der Tangentialvektor an die Kurve t ↦ p(t), mit p(0) = p, d.h. X_{p}f = \frac{d}{dt}f ∘ p(t)|_{t=0}. Sei p̂:= θ̂(p) = ψ_{u(p)}(p). Wir berechnen

(θ̂′_{p}X_{p})p̂f = X_{p}(θ̂^{∗}f) = \frac{d}{dt}(θ̂^{∗}f) ∘ p(t)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}f ∘ θ̂(p(t))|_{t=0}

= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{u(p(t))}p(t)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(ψ_{u(p)}^{∗}f) ∘ p(t)|_{t=0} + \frac{d}{dt}(ψ_{p}^{∗}f) ∘ u(p(t))|_{t=0}

= X_{p}(ψ_{u(p)}^{∗}f) + X_{p}(u^{∗}(ψ_{p}^{∗}f))

= (ψ′_{u(p)}X_{p})p̂f + (ψ′_{p}(u(p)′X_{p})_{u(p)})p̂f

Dabei ist ψ′_{u(p)} : T_{p}P → Tp̂P sowie u′_{p} : T_{p}P → T_{u(p)}G und ψ′_{p} : T_{u(p)}G → Tp̂P. Folglich gilt

(θ̂^{∗}ω)_{p}(X_{p}) = ωp̂(θ̂′_{p}X_{p})
= ωp̂(ψ′_{u(p)}X_{p}) + ωp̂(ψ′_{p}(u′_{p}X_{p})_{u(p)})
= Ad(u(p)^{−1})ω_{p}(X_{p}) + ωp̂(ψ′_{p}(u′_{p}X_{p})_{u(p)})

Sei B ∈ 𝔤 durch T_{u(p)}G ∋ u′_{p}(X_{p}) =: L′_{u(p)}(B) definiert. Wir differenzieren die Gleichung

ψ_{p} ∘ L_{u(p)}(g) = ψ_{u(p)·g}(p) = ψ_{g} ∘ ψ_{u(p)}(p) = ψ_{g}p̂

für g = exp(tB):

\frac{d}{dt}f ∘ ψ_{p} ∘ L_{u(p)}(exp(tB))|_{t=0} = \frac{d}{dt}(L_{u(p)}^{∗}(ψ_{p}^{∗}f)) ∘ exp(tB)|_{t=0}

= B(L_{u(p)}^{∗}(ψ_{p}^{∗}f)) = (L′_{u(p)}B)_{u(p)}(ψ_{p}^{∗}f)
= (u′_{p}X_{p})_{u(p)}(ψ_{p}^{∗}f) = (ψ′_{p}(u(p)′X_{p})_{u(p)})p̂f
= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{exp(tB)}(p̂)|_{t=0} = (σp̂(B))f .

Also erhalten wir

ωp̂((ψ′_{p}(u′_{p}X_{p})_{u(p)})p̂) = B = Θ_{e}(B) = Θ_{e}(L′_{u(p)^{−1}}(u′_{p}X_{p}))
= Θ_{u(p)}(u′_{p}X_{p}) = (u^{∗}Θ)_{p}(X_{p}) .

Damit folgt schließlich

(θ̂^{∗}ω)_{p}(X_{p}) = Ad(u(p)^{−1})ω_{p}(X_{p}) + (u^{∗}Θ)_{p}(X_{p}) .

Für die Krümmungsform erhalten wir, da der zweite Anteil vertikal ist,

(θ̂^{∗}Ω)_{p}(X_{p}, Y_{p}) = Ωp̂(θ̂′_{p}X_{p}, θ̂′_{p}Y_{p})
= Ωp̂(ψ′_{u(p)}X_{p}, ψ′_{u(p)}Y_{p})
= Ad(u(p)^{−1})(Ω_{p}(X_{p}, Y_{p})) .

Das beendet den Beweis. □

4.3.4 Zusammenhänge in lokaler Trivialisierung

Definition 72 Sei eine Trivialisierung χ : π^{−1}(U) → U × G gegeben, und sei κ = pr_{2} ∘ χ : U → G. Dann wird durch die Forderung κ ∘ s = e ein Schnitt s : U → P ausgezeichnet. Für diesen Schnitt heißt A = s^{∗}ω das lokale Eichpotential und F = s^{∗}Ω der lokale Feldstärketensor.

A ist eine differentielle 1-Form auf U mit Werten in 𝔤 und F ist eine differentielle 2-Form auf U mit Werten in 𝔤.

Satz 43 Es gilt

ω_{p} = Ad(κ(p)^{−1})(π^{∗}A)_{p} + (κ^{∗}Θ)_{p}
Ω_{p} = Ad(κ(p)^{−1})(π^{∗}F)_{p}

Dabei ist Θ die Maurer-Cartan-Form der Lie-Algebra 𝔤.

Beweis: Die Aufgabe besteht darin, die Zusammenhangsform im Punkt p durch jene im Punkt s(π(p)) auszudrücken.

Für alle p ∈ π^{−1}(U) gilt ψ(s ∘ π(p), κ(p)) = p, denn κ(ψ(s ∘ π(p), κ(p))) = κ(s ∘ π(p)) · κ(p) = κ(p) wegen κ ∘ s = e. Außerdem liegen p und ψ(s ∘ π(p), κ(p)) in der gleichen Faser.

Sei jetzt t ↦ p(t) eine Kurve in π^{−1}(U) mit p(0) = p und X_{p} Tangentialvektor an diese Kurve. Dann gilt für f ∈ C^{∞}(P)

X_{p}f = \frac{d}{dt}f ∘ p(t)|_{t=0}

= \frac{d}{dt}f ∘ ψ(s ∘ π(p(t)), κ(p(t)))|_{t=0}

= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{κ(p)}(s ∘ π(p(t)))|_{t=0} + \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{s∘π(p)}(κ(p(t)))|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(π^{∗}(s^{∗}(ψ_{κ(p)}^{∗}f)))(p(t))|_{t=0} + \frac{d}{dt}(κ^{∗}(ψ_{s∘π(p)}^{∗}f))(p(t))|_{t=0}

= X_{p}(π^{∗}(s^{∗}(ψ_{κ(p)}^{∗}f))) + X_{p}(κ^{∗}(ψ_{s∘π(p)}^{∗}f))(p(t))

= ((ψ_{κ(p)})′_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p})))f + ((ψ_{s∘π(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p}))f .

Dadurch bekommen wir

ω_{p}(X_{p}) = ω_{p}((ψ_{κ(p)})′_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p}))) + ω_{p}((ψ_{s∘π(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})) .

Im ersten Term haben wir

ω_{p}((ψ_{κ(p)})′_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p}))) = (ψ_{κ(p)}^{∗}ω)_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p}))
= Ad(κ(p)^{−1})(ω_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p})))
= Ad(κ(p)^{−1})((π^{∗}A)_{p}(X_{p})) .

Im zweiten Teil führen wir eine ähnliche Rechnung wie zuvor bei den Eichtransformationen aus. Sei B ∈ 𝔤 definiert durch L′_{κ(p)}B = κ′_{p}X_{p}. Wir haben

ψ_{s∘π(p)}(L_{κ(p)}g) = ψ_{κ(p)·g}(s ∘ π(p)) = ψ_{g}(ψ_{κ(p)}(s ∘ π(p))) = ψ_{g}p

Sei g(t) = exp(tB), dann gilt

\frac{d}{dt}f ∘ ψ_{s∘π(p)}(L_{κ(p)} exp(tB))|_{t=0} = \frac{d}{dt}(L_{κ(p)}^{∗}(ψ_{s∘π(p)}^{∗}f)) exp(tB)|_{t=0}
= B_{e}(L_{κ(p)}^{∗}(ψ_{s∘π(p)}^{∗}f))
= (κ′_{p}X_{p})(ψ_{s∘π(p)}^{∗}f) = ((ψ_{s∘π(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p}))f
= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{exp(tB)}p|_{t=0} = σ_{p}(B)f .

Somit folgt

ω_{p}((ψ_{s∘π(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})) = ω_{p}(σ_{p}(B)) = B = Θ_{e}(B) = Θ_{e}(L′_{κ(p)^{−1}}(κ′_{p}X_{p}))
= Θ_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p}) = (κ^{∗}Θ)_{p}(X_{p}) .

Für die Feldstärke bekommen wir, da der zweite Teil vertikal ist,

Ω_{p}(X_{p}, Y_{p}) = Ω_{p}((ψ_{κ(p)})′_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p})), (ψ_{κ(p)})′_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}Y_{p})))
= Ad(κ(p)^{−1})(Ω_{s(π(p))}(s′_{π(p)}(π′_{p}X_{p}), s′_{π(p)}(π′_{p}Y_{p})))
= Ad(κ(p)^{−1})(π^{∗}F)_{p}(X_{p}, Y_{p}))

Das beendet den Beweis. □

4.3.5 Eichtransformationen in lokaler Trivialisierung

Ein vertikaler Automorphismus θ̂: P → P induziert eine Eichtransformation ω ↦ ω̂ = θ̂^{∗}ω. Sei ω in der gegebenen Trivialisierung durch das lokale Eichpotential A beschrieben, dann gilt

ω̂_{p} = (θ̂^{∗}ω)_{p} = Ad(u(p)^{−1})ω_{p} + (u^{∗}Θ)_{p}
= Ad(u(p)^{−1})(Ad(κ(p)^{−1})(π^{∗}A)_{p} + (κ^{∗}Θ)_{p}) + (u^{∗}Θ)_{p}

Andererseits wird ω̂ in der gegebenen Trivialisierung durch das lokale Eichpotential Â beschrieben:

ω̂_{p} = Ad(κ(p)^{−1})(π^{∗}Â)_{p} + (κ^{∗}Θ)_{p} .

Somit erhalten wir

(π^{∗}Â)_{p} = Ad(κ(p))(Ad(u(p)^{−1})(Ad(κ(p)^{−1})(π^{∗}A)_{p}))

+ Ad(κ(p))(Ad(u(p)^{−1})(κ^{∗}Θ)_{p}) + Ad(κ(p))(u^{∗}Θ)_{p} − Ad(κ(p))(κ^{∗}Θ)_{p}

Es gilt

Ad(κ(p)) ∘ Ad(u(p)^{−1}) ∘ Ad(κ(p)^{−1}) = Ad(κ(p) · u(p)^{−1} · κ(p)^{−1}) = Ad(λ(p)^{−1})

mit λ(p) := κ(p)·u(p)·κ(p)^{−1} ∈ G. Sei X_{p} Tangentialvektor an die Kurve t ↦ p(t) mit p(0) = p. Dann finden wir den induzierten Tangentialvektor λ′_{p}X_{p} = L′_{λ(p)}B ∈ T_{λ(p)}G an die Kurve λ(p(t)) mit B ∈ 𝔤 mittels f ∈ C^{∞}(G) als

(L′_{λ(p)}B)f = \frac{d}{dt}f ∘ κ(p(t)) · u(p(t)) · κ(p(t))^{−1}|_{t=0}
= X_{p}(κ^{∗}(R_{u(p)}^{∗}(R_{κ(p)^{−1}}^{∗}f))) + X_{p}(u^{∗}(R_{κ(p)^{−1}}^{∗}(L_{κ(p)}^{∗}f)))
− X_{p}(κ^{∗}(L_{λ(p)}^{∗}(R_{κ(p)^{−1}}^{∗}f)))

Folglich gilt

B_{e} = (L_{λ(p)^{−1}})′_{λ(p)}((R_{κ(p)^{−1}})′_{κ(p)·u(p)}((R_{u(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))
+ (L_{λ(p)^{−1}})′_{λ(p)}((L_{κ(p)})′_{u(p)·κ(p)^{−1}}((R_{κ(p)^{−1}})′_{u(p)}(u′_{p}X_{p})))
− (L_{λ(p)^{−1}})′_{λ(p)}((R_{κ(p)^{−1}})′_{κ(p)·u(p)}((L_{λ(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))

Darauf wenden wir Θ an und verwenden Θ(R′_{a^{−1}}A) = Θ(α′_{a}A) = α′_{a}A = Ad(a)A = Ad(a)Θ(A):

B = Θ_{e}(B_{e}) = Θ_{e}((L_{λ(p)^{−1}})′_{λ(p)}λ′_{p}X_{p}) = Θ_{λ(p)}(λ′_{p}X_{p})
= Θ_{λ(p)}((R_{κ(p)^{−1}})′_{κ(p)·u(p)}((R_{u(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))
+ Θ_{λ(p)}((L_{κ(p)})′_{u(p)·κ(p)^{−1}}((R_{κ(p)^{−1}})′_{u(p)}(u′_{p}X_{p})))

− Θ_{λ(p)}((R_{κ(p)^{−1}})′_{κ(p)·u(p)}((L_{λ(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))
= Ad(κ(p))(Θ_{κ(p)·u(p)}((R_{u(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))
+ Θ_{u(p)·κ(p)^{−1}}((R_{κ(p)^{−1}})′_{u(p)}(u′_{p}X_{p}))
− Ad(κ(p))(Θ_{κ(p)·u(p)}((L_{λ(p)})′_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))
= Ad(κ(p))(Ad(u(p)^{−1})(Θ_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p})))
+ Ad(κ(p))(Θ_{u(p)}(u′_{p}X_{p}))
− Ad(κ(p))(Θ_{κ(p)}(κ′_{p}X_{p}))

Daraus lesen wir

(λ^{∗}Θ)_{p} = Ad(κ(p))(Ad(u(p)^{−1})(κ^{∗}Θ)_{p}) + Ad(κ(p))(u^{∗}Θ)_{p} − Ad(κ(p))(κ^{∗}Θ)_{p}

ab, so daß

(π^{∗}Â)_{p} = Ad(λ(p)^{−1})(π^{∗}A)_{p} + (λ^{∗}Θ)_{p}

entsteht. Nun ist λ konstant auf der Faser, denn

λ(ψ_{g}p) = κ(ψ_{g}p) · u(ψ_{g}p) · κ(ψ_{g}p)^{−1} = κ(p)g · g^{−1}u(p)gg^{−1}κ(p)^{−1} = λ(p)

Sei ŝ irgendein Schnitt von P und p = ŝ(x), dann erhalten wir wegen π ∘ ŝ = id_{M} durch Anwendung von ŝ^{∗} auf obige Gleichung

Â_{x} = Ad(τ(x)^{−1})A_{x} + (τ^{∗}Θ)_{x} , τ = λ ∘ ŝ

Dabei ist τ : U → G allein durch den vertikalen Automorphismus θ̂ und die Trivialisierung gegeben und unabhängig von p ∈ π^{−1}(x). Völlig analog findet man

F̂_{x} = Ad(τ(x)^{−1})F_{x} .

4.3.6 Wechsel der Trivialisierung

Eine lokale Trivialisierung χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → U_{i} × G definiert eine Abbildung κ_{i} = pr_{2} ∘ χ : U_{i} → G, damit einen kanonischen Schnitt s_{i} : U_{i} → π^{−1}(U_{i}) durch κ_{i} ∘ s_{i} = e und schließlich das lokale Eichpotential A_{i} = s_{i}^{∗}ω und den lokalen Feldstärketensor F_{i} = s_{i}^{∗}Ω. Seien jetzt zwei Trivialisierungen χ_{i}, χ_{j} gegeben mit U_{i} ∩ U_{j} ≠ 0, dann führen diese auf U_{i} ∩ U_{j} ⊂ M zu zwei verschiedenen lokalen Eichpotentialen A_{i} und A_{j}.

Satz 44 Für x ∈ U_{i} ∩ U_{j} gilt

(A_{j})_{x} = Ad(ρ_{ij}^{−1}(x))(A_{i})_{x} + (ρ_{ij}^{∗}Θ)_{x} ,
(F_{j})_{x} = Ad(ρ_{ij}^{−1}(x))(F_{i})_{x} ,

wobei ρ_{ij}(x) = κ_{i}(p) · κ_{j}(p)^{−1} für ein beliebiges p ∈ π^{−1}(x) die Übergangsfunktionen sind.

Beweis: Wir haben κ_{i}(p) = ρ_{ij}(π(p)) · κ_{j}(p). Aus

ω_{p} = Ad(κ_{i}(p)^{−1})(π^{∗}A_{i})_{p} + (κ_{i}^{∗}Θ)_{p} = Ad(κ_{j}(p)^{−1})(π^{∗}A_{j})_{p} + (κ_{j}^{∗}Θ)_{p}

folgt

(π^{∗}A_{j})_{p} = Ad(κ_{j}(p))(Ad(κ_{i}(p)^{−1})(π^{∗}A_{i})_{p} + (κ_{i}^{∗}Θ)_{p} − (κ_{j}^{∗}Θ)_{p})

Im ersten Term verwenden wir Ad(κ_{j}(p))Ad(κ_{i}(p)^{−1}) = Ad(κ_{j}(p) · κ_{i}(p)^{−1}) = Ad(ρ_{ij}(π(p))^{−1}). Zur Diskussion des zweiten Teils sei X_{p} ∈ T_{p}P ein Tangentialvektor an die Kurve t ↦ p(t) durch p(0) = p. Dann ist (ρ′_{ij})_{x}(π′_{p}X_{p}) ∈ T_{ρ_{ij}(π(p))}G der Tangentialvektor an die Kurve κ_{i}(p(t)) · κ_{j}(p(t))^{−1}. Wir schreiben (ρ′_{ij})_{x}(π′_{p}X_{p}) = L′_{ρ_{ij}(π(p))}B mit B ∈ 𝔤 und erhalten für f ∈ C^{∞}(G)

(L′_{ρ_{ij}(π(p))}B)f = \frac{d}{dt}f ∘ κ_{i}(p(t)) · κ_{j}(p(t))^{−1}|_{t=0}

= \frac{d}{dt}(R_{κ_{j}(p)^{−1}}^{∗}f) ∘ κ_{i}(p(t))|_{t=0} − \frac{d}{dt}(L_{κ_{i}(p)·κ_{j}(p)^{−1}}^{∗}R_{κ_{j}(p)^{−1}}^{∗}f) ∘ κ_{j}(p(t))|_{t=0}

= ((κ′_{i})_{p}X_{p})(R_{κ_{j}(p)^{−1}}^{∗}f) − ((κ′_{j})_{p}X_{p})(L_{ρ_{ij}(π(p))}^{∗}R_{κ_{j}(p)^{−1}}^{∗}f) .

Folglich gilt

B = Θ_{e}(B_{e}) = Θ_{e}(L′_{ρ_{ij}(π(p))^{−1}}(ρ′_{ij})_{x}(π′_{p}X_{p})) = Θ_{ρ_{ij}(x)}((ρ′_{ij})_{x}(π′_{p}X_{p}))

= (ρ_{ij}^{∗}Θ)_{x}(π′_{p}X_{p})

= Θ_{e}(L′_{ρ_{ij}(π(p))^{−1}}(R′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{i})_{p}X_{p}))) − Θ_{e}(L′_{ρ_{ij}(π(p))^{−1}}(L′_{ρ_{ij}(π(p))}(R′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{j})_{p}X_{p}))))

= Θ_{ρ_{ij}(π(p))}(R′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{i})_{p}X_{p})) − Θ_{e}(R′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{j})_{p}X_{p}))

= (L_{κ_{i}^{−1}}^{∗}(L_{κ_{j}(p)}^{∗}Θ))_{ρ_{ij}(π(p))}(R′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{i})_{p}X_{p})) − Θ_{e}(R′_{κ_{j}(p)^{−1}}L′_{κ_{j}(p)}L′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{j})_{p}X_{p}))

= Θ_{e}(α′_{κ_{j}(p)}(L′_{κ_{i}(p)^{−1}}((κ′_{i})_{p}X_{p}))) − Θ_{e}(α′_{κ_{j}(p)^{−1}}L′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{j})_{p}X_{p}))

= Ad(κ_{j}(p))(Θ_{e}(L′_{κ_{i}(p)^{−1}}((κ′_{i})_{p}X_{p})) − Θ_{e}(L′_{κ_{j}(p)^{−1}}((κ′_{j})_{p}X_{p})))

= Ad(κ_{j}(p))((κ_{i}^{∗}Θ)_{p}(X_{p}) − (κ_{j}^{∗}Θ)_{p}(X_{p})) .

Dadurch erhalten wir

(π^{∗}A_{j})_{p} = Ad(ρ_{ij}(π(p))^{−1})(π^{∗}A_{i})_{p} + (π^{∗}(ρ_{ij}^{∗}Θ))_{p} .

Durch Anwendung eines beliebigen Schnittes ŝ : U_{i} ∩ U_{j} → π^{−1}(U_{i} ∩ U_{j}) mit π ∘ ŝ = id_{U_{i}∩U_{j}} erhalten wir

(A_{j})_{x} = Ad(ρ_{ij}(x)^{−1})(A_{i})_{x} + (ρ_{ij}^{∗}Θ)_{x} .

Die Beziehung für die lokale Feldstärke folgt sofort aus

Ω_{p} = Ad(κ_{i}(p)^{−1})(π^{∗}F_{i})_{p} = Ad(κ_{j}(p)^{−1})(π^{∗}F_{i})_{p}

durch Anwenden von Ad(κ_{j}(p)). □

4.3.7 Zusammenfassung

• (P, M, G, π, ψ, {χ_{i}}) – Hauptfaserbündel Bündelmannigfaltigkeit P mit rechter freier Wirkung ψ : P × G → P der Strukturgruppe G (Lie-Gruppe), dadurch Äquivalenzrelation p_{1} ∼ p_{2} wenn p_{1} = ψ_{g}p_{2}, Basismannigfaltigkeit M = P/ ∼ mit kanonischer Projektion π : P → M, lokale Trivialisierung χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → U_{i} × G

• global definierte Zusammenhangsform ω 1-Form auf P mit Werten in 𝔤 und ω_{p}(σ_{p}(A)) = A für A ∈ 𝔤 und (σ_{p}(A))f = \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{exp(tA)}p|_{t=0} sowie (ψ_{g}^{∗}ω)_{p} = Ad(g^{−1})ω_{p}

• horizontaler Unterraum H_{p} ⊂ T_{p}P als H_{p} = ker ω_{p}, kovariante Ableitung Dα(X_{1}, …, X_{k}) = dα(horX_{1}, …, horX_{p})

• Krümmungsform Ω = Dω (2-Form auf P mit Werten in 𝔤 und (ψ_{g}^{∗}Ω)_{p} = Ad(g^{−1})Ω_{p}, Strukturgleichung Ω = dω + \frac{1}{2}[ω, ω]^{∧} ≡ dω + ω ∧ ω

• Eichtransformationen gegeben durch Gruppe G der vertikalen Automorphismen von P, d.h. θ̂(p) = ψ_{u(p)}p, Wirkung auf ω, Ω durch (θ̂^{∗}ω)_{p} = Ad(u(p)^{−1})ω_{p} + (u^{∗}Θ)_{p} und (θ̂^{∗}Ω)_{p} = Ad(u(p)^{−1}), dabei ist Θ die Maurer-Cartan-Form

• Trivialisierung χ_{i} mit κ_{i} = pr_{2} ∘ χ_{i} definiert ausgezeichneten Schnitt s_{i} : U_{i} → π^{−1}(U_{i}) und damit lokales Eichpotential A_{i} = s_{i}^{∗}ω und lokalen Feldstärketensor F_{i} = s_{i}^{∗}Ω, Umkehrung ω_{p} = Ad(κ_{i}(p)^{−1})(π^{∗}A_{i})_{p} + (κ^{∗}Θ)_{p} und Ω_{p} = Ad(κ_{i}(p)^{−1})(π^{∗}F_{i})_{p}

• Eichtransformation der lokalen Objekte (Â_{i})_{x} = Ad(τ_{i}(x)^{−1})(A_{i})_{x} +(τ^{∗}Θ)_{x} und (F̂_{i})_{x} = Ad(τ_{i}(x)^{−1})(F_{i})_{x} mit τ_{i}(x) = κ(p) · u(p) · κ(p)^{−1} unabhängig von p ∈ π^{−1}(x)

• Wechsel der Trivialisierung (A_{j})_{x} = Ad(ρ_{ij}(x)^{−1})(A_{i})_{x} + (ρ_{ij}^{∗}Θ)_{x} und (F_{j})_{x} = Ad(ρ_{ij}(x)^{−1})(F_{j})_{x} mit Übergangsfunktionen ρ_{ij} = κ_{i}(p) · κ_{j}(p)^{−1} ∈ G unabhängig von p ∈ π^{−1}(x)

4.4 Reine Yang-Mills-Wirkung

Sei ⟨ , ⟩_{𝔤} ein Ad-invariantes Skalarprodukt auf 𝔤, d.h.

⟨Ad(a)A, Ad(a)B⟩_{𝔤} = ⟨A, B⟩_{𝔤} A, B ∈ 𝔤 , a ∈ G

Definition 73 Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 2 und ⋆ der durch die Metrik g induzierte Hodge-Stern Operator. Sei P ein Hauptfaserbündel über M. Dann ist das Yang-Mills-Wirkungsfunktional auf dem Raum der Zusammenhänge auf P definiert durch

YM[ω] = ∫_{M} F ˙∧ ∗ F

Dabei ist in Tensorprodukt-Schreibweise (α ⊗ A) ˙∧(β ⊗ B) := α ∧ β⟨A, B⟩_{𝔤} für α, β ∈ Γ^{∞}(Λ^{∗}M) und A, B ∈ 𝔤.

Satz 45 Y M[ω] ist wohldefiniert (unabhängig von der Trivialisierung χ) und eichinvariant, Y M[θ̂^{∗}ω] = Y M[ω].

Beweis: Das Integral ist über eine Zerlegung der Eins {f_{i}} bezüglich des Atlasses {(U_{i}, κ̃_{i})} zu gegebener Überdeckung von M definiert, d.h.

∫_{M} F ˙∧ ∗ F = ∑_{i} ∫_{κ̃_{i}(U_{i})}(κ̃_{i}^{−1})^{∗}(f_{i}F ˙∧ ∗ F)

= ∑_{i} ∫_{κ̃_{i}(U_{i})}(κ̃_{i}^{−1})^{∗}(f_{i}F_{i} ˙∧ ∗ F_{i})

da F|_{suppf_{i}} = F_{i}|_{suppf_{i}}. Wir können annehmen, daß jeder Punkt x ∈ M nur in endlich vielen U_{i} liegt. Wir zerlegen jedes Gebiet U_{i} in endlich viele Teilgebiete U_{i} = U_{i}^{0}∪⋃_{j≠i}(U_{i}∩U_{j})^{0}∪⋃_{j≠k≠i≠j}(U_{i}∩U_{j}∩U_{k})^{0}∪… mit U_{i}^{0} = U_{i}∩(M \⋃_{j≠i} U_{j}), (U_{i} ∩ U_{j})^{0} = U_{i} ∩ U_{j} ∩ (M \ ⋃_{k≠i≠j≠k} U_{k}), usw. Dann taucht z.B. das Gebiet (U_{i} ∩ U_{j})^{0} in obiger Summe genau zweimal auf, als

∫_{κ̃_{i}(U_{i}∩U_{j})^{0}} κ̃_{i}^{−1}(f_{i}F_{i} ˙∧ ∗ F_{i}) + ∫_{κ̃_{j}(U_{i}∩U_{j})^{0}} κ̃_{j}^{−1}(f_{j}F_{j} ˙∧ ∗ F_{j})

Für alle x ∈ (U_{i} ∩ U_{j})^{0} gilt (F_{j})_{x} = Ad(ρ_{ij}^{−1}(x))(F_{i})_{x}. Außerdem verschwinden auf (U_{i} ∩ U_{j})^{0} sämtliche f_{k} mit k ≠ i, j, so daß f_{i} + f_{j} = 1 auf (U_{i} ∩ U_{j})^{0}. Damit bekommen wir

∫_{κ̃_{i}(U_{i}∩U_{j})^{0}}(κ̃_{i}^{−1})^{∗}(f_{i}F_{i} ˙∧ ∗ F_{i}) + ∫_{κ̃_{j}(U_{i}∩U_{j})^{0}}(κ̃_{j}^{−1})^{∗}(f_{j}F_{j} ˙∧ ∗ F_{j})

= ∫_{κ̃_{i}(U_{i}∩U_{j})^{0}}(κ̃_{i}^{−1})^{∗}(f_{i}F_{i} ˙∧ ∗ F_{i}) + ∫_{κ̃_{j}(U_{i}∩U_{j})^{0}}(κ̃_{j}^{−1})^{∗}((1 − f_{i})Ad(ρ_{ij}^{−1})F_{i} ˙∧ ∗ Ad(ρ_{ij}^{−1})F_{i})

= ∫_{(U_{i}∩U_{j})^{0}} (f_{i}F_{i} ˙∧ ∗ F_{i}) + ∫_{(U_{i}∩U_{j})^{0}} ((1 − f_{i})F_{i} ˙∧ ∗ F_{i})

= ∫_{(U_{i}∩U_{j})^{0}} (F_{i} ˙∧ ∗ F_{i}) ≡ ∫_{(U_{i}∩U_{j})^{0}} (F_{j} ˙∧ ∗ F_{j}) .

Dabei wurde die Ad-Invarianz des Skalarprodukts verwandt.

Entsprechend fallen in den Beiträgen der disjunkten Gebiete (U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}})^{0} sowohl die Übergangsfunktionen als auch die Zerlegungen der Eins heraus, und in jedem Gebiet kann für die Feldstärke ein beliebiger lokaler Repräsentant F_{i_{j}} gewählt werden. Das Wirkungsfunktional ist damit unabhängig von der Trivialisierung und unabhängig von der Zerlegung der Eins.

Unter lokalen Eichtransformationen transformiert sich (F_{i})_{x} zu Ad(τ_{i}(x)^{−1})(F_{i})_{x}, und die Ad-Invarianz des Skalarprodukts sichert die Invarianz unter Eichtransformationen. □

4.4.1 Darstellung in lokalen Basen

Sei b_{i} eine Basis der Lie-Algebra 𝔤 und dx^{μ} eine Basis von T_{x}^{∗}U, dann hat das lokale Eichpotential die Darstellung A_{x} = ∑_{μ=1}^{n} ∑_{i=1}^{N} A_{μ}^{i}(x)dx^{μ} ⊗ b_{i} mit A_{μ}^{i} ∈ C^{∞}(U). Die Komponenten findet man durch Einsetzen der Basisvektoren \frac{∂}{∂x^{μ}} ∈ T_{x}U zu

A_{x}(\frac{∂}{∂x^{μ}} ) = ∑_{ν=1}^{n} ∑_{i=1}^{N} A_{ν}^{i}(x)dx^{ν}(\frac{∂}{∂x^{μ}} )b_{i} = ∑_{i=1}^{n} A_{μ}^{i}(x)b_{i} .

Die Feldstärke hat in dieser Basis als 2-Form die Darstellung F_{x} = ∑_{μ_{1},μ_{2}=1}^{n} ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{2}F_{μ_{1}μ_{2}}^{i}(x)dx^{μ_{1}} ∧ dx^{μ_{2}} ⊗ b_{i}. Die Komponenten findet man durch Einsetzen der Basisvektoren \frac{∂}{∂x^{ν_{j}}} ∈ T_{x}U zu

F_{x}(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} , \frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} )

= ∑_{μ_{1},μ_{2}=1}^{n} ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{2}F_{μ_{1}μ_{2}}^{i}(x)(dx^{μ_{1}} ∧ dx^{μ_{2}})(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} , \frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} )b_{i}

= ∑_{μ_{1},μ_{2}=1}^{n} ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{2}F_{μ_{1}μ_{2}}^{i}(x)\{dx^{μ_{1}}(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} )dx^{μ_{2}}(\frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} ) − dx^{μ_{1}}(\frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} )dx^{μ_{2}}(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} )\}b_{i}

= ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{2}(F_{ν_{1}ν_{2}}^{i}(x) − F_{ν_{2}ν_{1}}^{i}(x))b_{i}

= (dA)_{x}(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} , \frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} ) + [A_{x}(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} ), A_{x}(\frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} )] ⟵ HA 40

= \frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} A(\frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} ) − \frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} A(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} ) − A([\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} , \frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} ]) + [A(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} ), A(\frac{∂}{∂x^{ν_{2}}} )]

= ∑_{i=1}^{N} \frac{∂A_{ν_{2}}^{i}}{∂x^{ν_{1}}} b_{i} − \frac{∂A_{ν_{1}}^{i}}{∂x^{ν_{2}}} b_{i} + ∑_{i,j=1}^{N} [A_{ν_{1}}^{i}b_{i}, A_{ν_{2}}^{j}b_{j}] .

Mit den Strukturkonstanten für die gewählte Basis der Lie-Algebra [b_{i}, b_{j}] = ∑_{k=1}^{N} c_{ij}^{k}b_{k} ergibt sich

F_{ν_{1}ν_{2}}^{k} = −F_{ν_{2}ν_{1}}^{k} = \frac{∂A_{ν_{2}}^{k}}{∂x^{ν_{1}}} − \frac{∂A_{ν_{1}}^{k}}{∂x^{ν_{2}}} + ∑_{i,j=1}^{N} c_{ij}^{k}A_{ν_{1}}^{i}A_{ν_{2}}^{j} .

4.4.2 Hodge-⋆ in lokalen Basen

Sei dazu g_{x} : T_{x}M × T_{x}M die Metrik mit g_{x}(\frac{∂}{∂x^{μ}} , \frac{∂}{∂x^{ν}}) = g_{μν}(x), dann wird durch g_{x}(v)(w) := g_{x}(v, w) ein Isomorphismus g_{x} : T_{x}M → T_{x}^{∗}M induziert. Es gilt

g_{x}(\frac{∂}{∂x^{μ}} )(\frac{∂}{∂x^{ν}} ) = g_{μν}(x) = ∑_{ρ=1}^{n} g_{μρ}(x)dx^{ρ}(\frac{∂}{∂x^{ν}} ) ,

also g_{x}(\frac{∂}{∂x^{μ}}) = ∑_{ρ=1}^{n} g_{μρ}(x)dx^{ρ}. Dann ist die inverse Abbildung g_{x}^{−1} : T_{x}^{∗}M → T_{x}M gegeben durch \frac{∂}{∂x^{μ}} = ∑_{ρ=1}^{n} g_{μρ}(x)g_{x}^{−1}(dx^{ρ}). Seien g^{μν}(x) die Komponenten der inversen Matrix g_{μν}, d.h. ∑_{ρ=1}^{n} g_{μρ}g^{ρν} = δ_{μ}^{ν}, so folgt g_{x}^{−1}(dx^{μ}) = ∑_{ρ=1}^{n} g^{μρ} \frac{∂}{∂x^{ρ}}.

Sei α eine lokale k-Form auf U gegeben durch

α_{x} = \frac{1}{k!} ∑_{μ_{1},...,μ_{k}=1}^{n} α_{μ_{1}μ_{2}...μ_{k}}(x)dx^{μ_{1}} ∧ dx^{μ_{2}} ∧ ⋯ ∧ dx^{μ_{k}} ,

wobei α_{μ_{1}μ_{2}...μ_{k}} vollständig antisymmetrisch in allen Indizes ist, dann erhalten wir den ersten Teil des Hodge-⋆ Operators zu

(Λ^{k}g^{−1}α)_{x} = \frac{1}{k!} ∑_{μ_{1},...,μ_{k},ν_{1},...,μ_{k}=1}^{n} g^{μ_{1}ν_{1}} ⋯ g^{μ_{k}μ_{k}}α_{μ_{1}...μ_{k}} \frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} ∧ ⋯ ∧ \frac{∂}{∂x^{ν_{k}}} .

Um die kanonische Volumenform zu finden, ist ein Übergang von \{\frac{∂}{∂x^{μ}} \} zu einem Orthonormalsystem {e_{a}} bezüglich der Metrik notwendig. Mit e_{a}(x) = ∑_{μ=1}^{n} A_{aμ}(x)\frac{∂}{∂x^{μ}} folgt

g_{x}(e_{a}, e_{b}) = ∑_{μ,ν=1}^{n} A_{aμ}(x)A_{bν}(x)g_{μν}(x) = (AgA^{T})_{ab}(x) .

Wir wählen A_{aμ} = \frac{1}{\sqrt{|(OgO^{T})_{aa}|}}O_{aμ}, wobei O(x) ∈ SO(n, ℝ) jene spezielle or-

thogonale Matrix (d.h. OO^{T} = O^{T} O = I_{n×n} und det O(x) = 1) ist, die die symmetrische Matrix g_{μν}(x) diagonalisiert. Dann folgt

(v_{g})_{x} = \sqrt{| det g(x)|} dx^{1} ∧ dx^{2} ⋯ ∧ dx^{n} ,

denn

(v_{g})_{x}(e_{1}, e_{2}, …, e_{n})

= \begin{matrix}√ & \overline{| det g|} \\ √ & \overline{|(OgO^{T})_{11}| ⋯ |(OgO^{T})_{nn}|} \end{matrix}

× ∑_{μ_{1},μ_{2},...,μ_{n}=1}^{n} O_{1μ_{1}}O_{2μ_{2}} ⋯ O_{nμ_{n}}(dx^{1} ∧ dx^{2} ⋯ ∧ dx^{n})(\frac{∂}{∂x^{μ_{1}}} , \frac{∂}{∂x^{μ_{2}}} , …, \frac{∂}{∂x^{μ_{n}}} )

= \begin{matrix}√ & \overline{| det g|} \\ √ & \overline{| det(OgO^{T})|} \end{matrix} ∑_{π∈S_{n}} σ_{π}O_{1π(1)}O_{2π(2)} ⋯ O_{nπ(n)} = det O = 1

Mit der Definition der Verjüngung

((\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} ∧ ⋯ ∧ \frac{∂}{∂x^{ν_{k}}} )⌋(dx^{1} ∧ ⋯ ∧ dx^{n}))(X_{k+1}, … X_{n})

:= (dx^{1} ∧ ⋯ ∧ dx^{n})(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} , …, \frac{∂}{∂x^{ν_{k}}} , X_{k+1}, …, X_{n})

58 erhalten wir

Preliminary version – 4. April 2006

(∗α)_{x}(\frac{∂}{∂x^{ν_{k+1}}} , …, \frac{∂}{∂x^{ν_{n}}} ) = (Λ^{k}g^{−1}α)⌋v_{g})_{x}(\frac{∂}{∂x^{ν_{k+1}}} , …, \frac{∂}{∂x^{ν_{n}}} )

= \frac{1}{k!} ∑_{μ_{1},...,μ_{k},ν_{1},...,ν_{k}=1}^{n} \sqrt{| det g|} g^{μ_{1}ν_{1}} ⋯ g^{μ_{k}ν_{k}}α_{μ_{1}...μ_{k}}(x)(dx^{1} ⋯ ∧ dx^{n})(\frac{∂}{∂x^{ν_{1}}} , …, \frac{∂}{∂x^{ν_{n}}} )

= \frac{1}{k!} ∑_{μ_{1},...,μ_{k},ν_{1},...,ν_{k}=1}^{n} \sqrt{| det g|} g^{μ_{1}ν_{1}} ⋯ g^{μ_{k}ν_{k}}α_{μ_{1}...μ_{k}}(x) \underbrace{∑_{π∈S_{n}} σ_{π}δ_{ν_{1}}^{π(1)} ⋯ δ_{ν_{n}}^{π(n)}}_{ϵ_{ν_{1}...νn}}

= \frac{1}{k!(n − k)!} ∑_{μ_{1},...,μ_{k},ρ_{1},...,ρ_{n}=1}^{n} \sqrt{| det g|} g^{μ_{1}ρ_{1}} ⋯ g^{μ_{k}ρ_{k}}ϵ_{ρ_{1}...ρ_{n}}α_{μ_{1}...μ_{k}}(x)

× (dx^{ρ_{k+1}} ∧ dx^{ρ_{n}})(\frac{∂}{∂x^{ν_{k+1}}} , …, \frac{∂}{∂x^{ν_{n}}} )

Folglich gilt

(∗α)_{x} = \frac{1}{k!(n − k)!} ∑_{μ_{1},...,μ_{k},ρ_{1},...,ρ_{n}=1}^{n} \sqrt{| det g|} g^{μ_{1}ρ_{1}} ⋯ g^{μ_{k}ρ_{k}}ϵ_{ρ_{1}...ρ_{n}}α_{μ_{1}...μ_{k}}(x)dx^{ρ_{k+1}} ∧ dx^{ρ_{n}} .

4.4.3 Yang-Mills-Wirkung in lokalen Basen In Anwendung auf die Feldstärke erhalten wir somit

F ˙∧ ∗ F = \frac{1}{2!2!(n − 2)!} ∑_{ν_{1},ν_{2},μ_{1},μ_{2},ρ_{1},...,ρ_{n}=1}^{n} ∑_{i,j=1}^{n}⟨b_{i}, b_{j}⟩_{𝔤}\sqrt{| det g|} g^{μ_{1}ρ_{1}}g^{μ_{2}ρ_{2}}F_{ν_{1}ν_{2}}^{i}F_{μ_{1}μ_{2}}^{j}ϵ_{ρ_{1}...ρ_{n}}

× dx^{ν_{1}} ∧ dx^{ν_{2}} ∧ dx^{ρ_{3}} ∧ ⋯ ∧ dx^{ρ_{n}} ⟵ = ϵ^{ν_{1}ν_{2}ρ_{3}...ρ_{n}}dx^{1} ∧ ⋯ ∧ dx^{n}

= \frac{1}{2!2!} ∑_{ν_{1},ν_{2},μ_{1},μ_{2},ρ_{1},ρ_{2}=1}^{n} ∑_{i,j=1}^{n}⟨b_{i}, b_{j}⟩_{𝔤}\sqrt{| det g|} g^{μ_{1}ρ_{1}}g^{μ_{2}ρ_{2}}F_{ν_{1}ν_{2}}^{i}F_{μ_{1}μ_{2}}^{j}

× (δ_{ρ_{1}}^{ν_{1}}δ_{ρ_{2}}^{ν_{2}} − δ_{ρ_{1}}^{ν_{2}}δ_{ρ_{2}}^{ν_{1}})dx^{1} ∧ ⋯ ∧ dx^{ρ_{n}}

= \frac{1}{2!} ∑_{ν_{1},ν_{2},μ_{1},μ_{2}=1}^{n} ∑_{i,j=1}^{n}⟨b_{i}, b_{j}⟩_{𝔤} g^{μ_{1}ν_{1}}g^{μ_{2}ν_{2}}F_{ν_{1}ν_{2}}^{i}F_{μ_{1}μ_{2}}^{j} v_{g} .

Im physikalisch interessanten Fall, daß die Strukturgruppe eine Untergruppe der GL(m, 𝕂) ist, ist ein Ad-invariantes Skalarprodukt durch die Spur gegeben,

⟨A, B⟩_{𝔤} = tr(AB) oder ⟨A, B⟩_{𝔤} = ℜtr(A^{∗}B) ,

denn

⟨Ad(a)A, Ad(a)B⟩_{𝔤} = ⟨aAa^{−1}, aBa^{−1}⟩_{𝔤} = tr(aAa^{−1}aBa^{−1}) = tr(AB) .

59

Preliminary version – 4. April 2006

Dann erhalten wir

Y M[ω] = \frac{1}{2} ∫_{M} v_{g} ∑_{μ_{1},μ_{2},ν_{1},μ_{2}} tr(g^{μ_{1}ν_{1}}g^{μ_{2}ν_{2}}F_{μ_{1}μ_{2}}F_{ν_{1}ν_{2}}) ,

mit F_{μ_{1}μ_{2}} = ∑_{i=1}^{N} F_{μ_{1}μ_{2}}^{i}b_{i}.

4.4.4 Variationsprinzip

Jeder Zusammenhang in einem Hauptfaserbündel definiert eine Geometrie (“rechter Winkel” zwischen Tangentialraum an die Faser und horizontalem Unterraum).

Hamiltonsches Prinzip. Von allen mathematisch möglichen Geometrien, die durch ein Hauptfaserbündel P beschrieben werden und durch je eine Zusammenhangsform ω auf P parametrisiert werden, würde in der Natur jene Geometrie realisiert sein, für die das Yang-Mills-Wirkungsfunktional stationär ist.

Definition 74 Eine Zusammenhangsform ω macht das Wirkungsfunktional stationär, wenn für jede benachbarte Zusammenhangsform ω̃ = ω + ϵδω gilt Y M[ω̃] = Y M[ω] + O(ϵ^{2}).

Dabei ist δω horizontal, denn (δω)_{p}(σ_{p}(A)) = ω̃_{p}(σ_{p}(A))−ω_{p}(σ_{p}(A)) = A−A = 0 für alle A ∈ 𝔤.

Seien A = s_{∗}ω, Ã = s_{∗}ω̃ und ϵδA = s^{∗}(ϵδω) = s^{∗}ω̃ − s^{∗}ω die auf M zurückgezogenen Objekte. Dann gilt

F̃_{μν}^{k} − F_{μν}^{k} = ϵ(\frac{∂δA_{ν}^{k}}{∂x^{μ}} − \frac{∂δA_{μ}^{k}}{∂x^{ν}} + ∑_{i,j=1}^{N} c_{ij}^{k}(δA_{μ}^{i})A_{ν}^{j} + ∑_{i,j=1}^{N} c_{ij}^{k}A_{μ}^{i}(δA_{ν}^{j})) + O(ϵ^{2})

und

Y M[ω̃] − Y M[ω]

= ∫_{M} v_{g} ∑_{μ,ν,ρ,σ=1}^{n} ∑_{k,l=1}^{N}⟨b_{k}, b_{l}⟩_{𝔤} g^{μρ}g^{νσ}(F̃_{μν}^{k} − F_{μν}^{k})F_{ρσ}^{l} + O(ϵ^{2})

= 2ϵ ∫_{M} v_{g} ∑_{μ,ν,ρ,σ=1}^{n} ∑_{k,l=1}^{N}⟨b_{k}, b_{l}⟩_{𝔤} g^{μρ}g^{νσ}(\frac{∂δA_{ν}^{k}}{∂x^{μ}} + ∑_{i,j=1}^{N} c_{ij}^{k}A_{μ}^{i}(δA_{ν}^{j}))F_{ρσ}^{l} + O(ϵ^{2})

= 2ϵ ∑_{μ,ν,ρ,σ=1}^{n} ∑_{k,l=1}^{N}⟨b_{k}, b_{l}⟩_{𝔤} ∫_{M} \frac{∂}{∂x^{μ}} (v_{g}g^{μρ}g^{νσ}(δA_{ν}^{k})F_{ρσ}^{l})

− 2ϵ ∑_{μ,ν,ρ,σ=1}^{n} ∑_{j,l=1}^{N} ∫_{M} v_{g}(δA_{ν}^{j})(\frac{⟨b_{j}, b_{l}⟩_{𝔤}}{\sqrt{| det g|}} \frac{∂}{∂x^{μ}} (\sqrt{| det g|} g^{μρ}g^{νσ}F_{ρσ}^{l})

+ ∑_{i,k=1}^{N}⟨b_{k}, b_{l}⟩_{𝔤} g^{μρ}g^{νσ}c_{ji}^{k}A_{μ}^{i}F_{ρσ}^{l}) + O(ϵ^{2}) .

Das Integral ∫_{M} \frac{∂}{∂x^{μ}} ( ) wird mit dem Satz von Stokes in ein Integral über ∂M überführt. Wir können annehmen, daß dieses Integral verschwindet, z.B. wenn M keinen Rand hat, oder die Variation δA_{μ}^{j} auf dem Rand verschwindet oder im Fall M = ℝ^{4} die Feldstärke kompakten Support hat.

Damit Y M stationär in ω ist, muß der verbleibende Teil für beliebiges δA_{ν}^{j} verschwinden. Das liefert die Yang-Mills-Gleichungen

0 = ∑_{μ,ρ,σ=1}^{n} ∑_{l=1}^{N} \frac{∂}{∂x^{μ}} (⟨b_{j}, b_{l}⟩_{𝔤}\sqrt{| det g|} g^{μρ}g^{νσ}F_{ρσ}^{l})

+ ∑_{μ,ρ,σ=1}^{n} ∑_{i,k,l=1}^{N}⟨b_{k}, b_{l}⟩_{𝔤} \sqrt{| det g|}g^{μρ}g^{νσ}c_{ji}^{k}A_{μ}^{i}F_{ρσ}^{l} ,

die die Euler-Lagrange-Gleichungen für das Yang-Mills Wirkungsfunktional sind. Die in der Natur realisierte Geometrie bestimmt sich damit als eine Lösung A_{μ}^{i} der Yang-Mills-Gleichungen.

Eine solche Lösung ist im allgemeinen sehr schwierig. In n = 4 Dimensionen kann eine solche Lösung jedoch sofort im selbstdualen Fall erhalten werden. Man kann zeigen (HA), daß die Yang-Mills-Gleichungen geschrieben werden können als ∗D∗F = 0, wobei D die kovariante Ableitung ist. Wenn für einen Zusammenhang ∗F = ±F gilt, dann folgen die Yang-Mills-Gleichungen aus der Bianchi-Identität DF = 0.

4.5 Assoziierte Vektorbündel

Sei (P, M, G, π, ψ, {χ}) ein Hauptfaserfündel und F eine Mannigfaltigkeit, auf der die Strukturgruppe G von links wirkt: λ : G × F ∋ (a, y) ↦ λ_{a}(y) ∈ F. Dann wird auf der Produktmannigfaltigkeit P × F eine rechte Gruppenwirkung definiert durch

ψ × λ^{o} : (P × F) × G ∋ ((p, y), a) ↦ (ψ_{a}p, λ_{a^{−1}}y) ∈ P × F .

Sei E = P × F/G der Quotientenraum von P × F nach der durch diese Gruppenwirkung induzierten Äquivalenzrelation

(p_{1}, y_{1}) ∼ (p_{2}, y_{2}) ⇔ ∃a ∈ G so daß p_{2} = ψ_{a}p_{1} und y_{2} = λ_{a^{−1}}y_{1} .

Insbesondere ist (ψ_{a}p, y) ∼ (p, λ_{a}y). Sei ι : P ×F → E die kanonische Projektion. Die kanonische Projektion π : P → M induziert eine Projektion π_{E} : E → M durch π_{E}[(p, y)] = π(p). Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn π(p) ist unabhängig vom gewählten Repräsentaten. Damit gilt π_{E} ∘ ι = π ∘ pr_{1} auf P × F.

Satz 46 Der Diffeomorphismus χ : π^{−1}(U) → U × G mit U ⊂ M offen induziert einen Diffeomorphismus χ^{E} : π_{E}^{−1}(U) → U × F, so daß das folgende Diagramm kommutiert:

P × F ⊃ π^{−1}(U) × F ⟶^{χ×id_{F}} (U × G) × F
ι ↓  ↓ id_{U} × λ
E ⊃ π_{E}^{−1}(U)  ⟶^{χ^{E}} U × F
π_{E} ↘  ↙ pr_{1}
U

Beweis: Das Diagramm liefert (χ^{E})^{−1}(x, y) = ι(p, λ_{κ(p)^{−1}}y) für ein beliebiges p ∈ π^{−1}(x), so daß χ^{E} surjektiv.

Injektivität: Das Diagramm liefert χ^{E}[(p, y)] = (π(p), λ_{κ(p)}y). Sei χ^{E}[(p_{1}, y_{1})] = χ^{E}[(p_{2}, y_{2})], dann ist π(p_{1}) = π(p_{2}) und λ_{κ(p_{1})}y_{1} = λ_{κ(p_{2})}y_{2}. Aus der ersten Gleichung folgt die Existenz eines a ∈ G mit p_{2} = ψ_{a}p_{1}. Dann liefert die zweite Gleichung

λ_{κ(p_{2})}y_{2} = λ_{κ(ψ_{a}p_{1})}y_{2} = λ_{κ(p_{1})·a}y_{2} = λ_{κ(p_{1})}(λ_{a}y_{2}) = λ_{κ(p_{1})}y_{1} .

Durch Anwendung von λ_{a^{−1}κ(p_{1})^{−1}} folgt y_{2} = λ_{a^{−1}}y_{1}. Damit gilt [(p_{1}, y_{1})] = [(p_{2}, y_{2})]. □

Definition 75 Die so konstruierte Struktur (E, M, F, G, P) heißt das mit dem Hauptfaserbündel P assoziierte Faserbündel über der Basis M mit typischer Faser F und Strukturgruppe G. Falls F ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist, dann heißt E assoziiertes Vektorbündel.

Wir betrachten χ_{i}^{E} ∘ (χ_{j}^{E})^{−1} : (U_{i} ∩ U_{j}) × F → (U_{i} ∩ U_{j}) × F:

χ_{i}^{E} ∘ (χ_{j}^{E})^{−1}(x, y) = χ_{i}^{E} ∘ ι(p, λ_{κ_{j}(p)^{−1}}y) = (π(p), λ_{κ_{i}(p)}λ_{κ_{j}(p)^{−1}}y) = (x, λ_{ρ_{ij}(x)})

Damit läßt sich E aus den Übergangsfunktionen ρ_{ij} rekonstruieren.

Sei F_{x} = π_{E}^{−1}(x) die Faser über x ∈ U, dann ist die Abbildung pr_{2} ∘ χ^{E} : F_{x} → F bijektiv und gegeben durch pr_{2} ∘ χ^{E}[(p, y)] = λ_{κ(p)}y. Sei F nun ein endlich-dimensionaler Vektorraum, dann definiert diese Bijektion eine Vektorraum-Struktur auf F_{x}. Wenn [(p_{1}, y_{1})], [(p_{2}, y_{2})] ∈ F_{x}, dann ist p_{2} = ψ_{a}p_{1} und damit [(p_{2}, y_{2})] = [(p_{1}, λ_{a}y_{2})]. Dann definieren wir

c_{1}[(p_{1}, y_{1})] + c_{2}[(p_{2}, y_{2})] = [(p_{1}, c_{1}y_{1} + c_{2}λ_{a}y_{2})] .

Im weiteren sei F ein endlich-dimensionaler Vektorraum.

Satz 47 Es existiert eine eineindeutige Zuordnung zwischen Schnitten ϕ des assoziierten Vektorbündels E und äquivarianten Abbildungen ϕ̃ : P → F, d.h. ϕ̃ ∘ ψ_{a} = λ_{a^{−1}} ∘ ϕ̃, so daß

P ⟶^{(id_{P} ,ϕ̃)} P × F
π ↓  ↓ ι
M ⟶^{ϕ}  E

ein kommutatives Diagramm ist.

Beweis: Das Diagramm liefert ϕ(π(p)) = [(p, ϕ̃(p))] für ein beliebiges p ∈ π^{−1}(x). Sei ϕ̃ gegeben, dann ist die Abbildung wohldefiniert, denn wenn statt p ein anderes p_{1} ∈ π^{−1}(x) gewählt wird, dann gilt p_{1} = ψ_{a}p und [(p_{1}, ϕ̃(p_{1}))] = [(ψ_{a}p, ϕ̃(ψ_{a}p))] = [(ψ_{a}p, λ_{a^{−1}} ϕ̃(p))] = [(p, ϕ̃(p))]. Sei ϕ gegeben, dann setzen wir ϕ̃(p) := λ_{κ(p)^{−1}}(pr_{2}∘ χ^{E}(ϕ(π(p)))). Tatsächlich ist für ϕ(π(p)) = [(p, y)] dann

[(p, λ_{κ(p)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(ϕ(π(x)))))] = [(p, λ_{κ(p)^{−1}}λ_{κ(p)}y)] = [(p, y)] = ϕ(π(p)) .

Dann gilt für einen anderen Punkt p_{1} = ψ_{a}p in der gleichen Faser

ϕ̃(ψ_{a}p) = λ_{κ(ψ_{a}p)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(ϕ(π(ψ_{a}p)))) = λ_{(κ(p)a)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(ϕ(π(p))))
= λ_{a^{−1}}λ_{κ(p)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(ϕ(π(p)))) = λ_{a^{−1}} ϕ̃(p) .  □

Materiefelder in Eichtheorien sind solche Schnitte ϕ eines Vektorbündels E, welches zum die Eichtheorie beschreibenden Hauptfaserbündel P assoziiert ist. Die äquivalente Beschreibung durch ein ϕ̃: P → F erlaubt dann die Definition kovarianter Ableitungen über den Horizontalitätsbegriff auf P.

Definition 76 Sei F ein Vektorraum und (E, M, F, G, P) das zu P assoziierte Vektorbündel. Eine k-Form α̃ auf P mit Werten in F heißt horizontal vom Typ λ, wenn

• α̃(X_{1}, …, X_{k}) = 0 falls ein X_{i} ∈ 𝔛(P) vertikal ist,

• ψ_{a}^{∗}α̃ = λ_{a^{−1}} α̃.

Satz 48 Es existiert eine eineindeutige Zuordnung zwischen lokalen k-Formen α auf M mit Werten in E und horizontalen k-Formen α̃ vom Typ λ auf P mit Werten in F, so daß das folgende Diagramm kommutiert:

Γ^{∞}(Λ^{k}T P) ⟶^{pr_{P} ×α̃} P × F
(π_{∗})^{k} ↓  ↓ ι
Γ^{∞}(Λ^{k}T M) ⟶^{α} E

Dabei bedeutet Lokalität von α, daß π_{E}(α_{x}(X_{1}, … X_{k})) = x gilt.

Beweis: Das Diagramm liefert α_{π(p)}(π′X_{1}, …, π′X_{k}) = ι(p, α̃_{p}(X_{1}, …, X_{k})) für X_{i} ∈ T_{p}P. Dabei ist X_{i} ∈ H_{p} horizontal auf beiden Seiten. Sei α̃ gegeben, dann ist α wohldefiniert, denn wenn statt p ein anderes p̂ ∈ π^{−1}(x) sowie statt X_{i} ∈ H_{p} ⊂ T_{p}P horizontale Vektoren X̂_{i} ∈ Hp̂ ⊂ Tp̂P gewählt werden, dann gilt p̂ = ψ_{a}p und

ι(p̂, α̃p̂(X̂_{1}, …, X̂_{k})) = ι(ψ_{a}p, α̃_{ψ_{a}p}((ψ′_{a})_{p}(ψ′_{a^{−1}} X̂_{1}), …, (ψ′_{a})_{p}(ψ′_{a^{−1}} X̂_{k})))
= ι(ψ_{a}p, (ψ_{a}^{∗}α̃)_{p}((ψ′_{a^{−1}} X̂_{1}), …, (ψ′_{a^{−1}} X̂_{k})))
= ι(ψ_{a}p, λ_{a^{−1}}(α̃_{p}((ψ′_{a^{−1}} X̂_{1}), …, (ψ′_{a^{−1}} X̂_{k}))))
= ι(p, α̃_{p}((ψ′_{a^{−1}} X̂_{1}), …, (ψ′_{a^{−1}} X̂_{k}))) .

Da ψ′_{a^{−1}} X̂_{i} wieder horizontal ist und sich wegen π′ψ′_{a^{−1}} X̂_{i} = π′X̂_{i} = π′(X_{i}) auf den gleichen Tangentialvektor von T_{x}M projiziert, ist ψ′_{a^{−1}} X̂_{i} = X_{i}.

Sei α gegeben, dann setzen wir α̃_{p}(X_{1}, …, X_{k}) := λ_{κ(p)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(α_{π(p)}(π′X_{1}, …, π′X_{k}))). Tatsächlich ist für α_{π(p)}(π′X_{1}, …, π′X_{k}) = [(p, y)] dann

[(p, λ_{κ(p)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(α_{π(p)}(π′X_{1}, …, π′X_{k}))) = [(p, λ_{κ(p)^{−1}}λ_{κ(p)}y)] = [(p, y)]
= α_{π(p)}(π′X_{1}, …, π′X_{k}) .

Dann gilt für einen anderen Punkt p_{1} = ψ_{a}p in der gleichen Faser und horizontale Vektoren ψ′_{a}X_{i}

α̃_{ψ_{a}p}(ψ′_{a}X_{1}, …, ψ′_{a}X_{k}) = λ_{κ(ψ_{a}p)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(α_{π(ψ_{a}p)}(π′ψ′_{a}X_{1}, … π′ψ′_{a}X_{k})))
= λ_{(κ(p)a)^{−1}}(pr_{2} ∘ χ^{E}(α_{π(p)}(π′X_{1}, … π′X_{k})))
= λ_{a^{−1}} α̃_{ψ_{a}p}(ψ′_{a}X_{1}, …, ψ′_{a}X_{k}) .  □

4.5.1 Kovariante Ableitung

Definition 77 Sei ϕ̃: P → F eine äquivariante Abbildung, ϕ̃∘ψ_{a} = λ_{a^{−1}} ∘ϕ̃. Dann ist die kovariante Ableitung Dϕ̃ im Sinne des vorgegebenen Zusammenhangs auf P definiert durch

(Dϕ̃)_{p}(X) = (dϕ̃)_{p}(horX) , X ∈ T_{p}P .

Satz 49 Dϕ̃ ist eine horizontale 1-Form auf P mit Werten in F vom Typ λ, und es gilt

(Dϕ̃)_{p}(X) = (dϕ̃)_{p}(X) + λ′(ω_{p}(X))ϕ̃(p) .

Beweis: Horizontalität ist klar. Sei der horizontale Vektor X ∈ H_{p} tangential and die Kurve t ↦ p(t), dann ist ψ′_{a}X ∈ H_{ψ_{a}p} ebenfalls horizontal. Es gilt

(ψ_{a}^{∗}(Dϕ̃))_{p}(X) = (Dϕ̃)_{ψ_{a}p}(ψ′_{a}X) = (dϕ̃)_{ψ_{a}p}(ψ′_{a}X)

= (ψ′_{a}X)(ϕ̃) = X(ψ_{a}^{∗}ϕ̃) = \frac{d}{dt}ϕ̃(ψ_{a}p(t))|_{t=0} = \frac{d}{dt}λ_{a^{−1}} ϕ̃(p(t))|_{t=0}

= λ_{a^{−1}}(Xϕ̃) = λ_{a^{−1}}((dϕ̃)_{p}(X)) = λ_{a^{−1}}((Dϕ̃)_{p}(X)) .

Sei X ∈ T_{p}P, dann ist horX = X − verX = X − σ_{p}(ω_{p}(X)), denn für verX = A_{∗} = σ_{p}(A) gilt ω_{p}(A_{∗}) = A. Dieses fundamentale Vektorfeld A_{∗} ist tangential and die Kurve t ↦ ψ_{exp(tω_{p}(X))}p. Dann folgt

(Dϕ̃)_{p}(X) = (dϕ̃)_{p}(X − σ_{p}(ω_{p}(X))) = (dϕ̃)_{p}(X) − σ_{p}(ω_{p}(X))(ϕ̃)

= (dϕ̃)_{p}(X) − \frac{d}{dt}ϕ̃ ∘ ψ_{exp(tω_{p}(X))}p|_{t=0}

= (dϕ̃)_{p}(X) − \frac{d}{dt}λ_{exp(−tω_{p}(X))}ϕ̃(p)|_{t=0}

= (dϕ̃)_{p}(X) + λ′(ω_{p}(X))ϕ̃(p) .  □

4.5.2 Darstellung in lokaler Trivialisierung

Definition 78 Sei χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → U_{i}×G eine lokale Trivialisierung und s_{i} : U_{i} → P der durch κ_{i} ∘ s_{i}(x) = e für alle x ∈ U_{i} definierte kanonische lokale Schnitt. Dann ist das lokale Vektorfeld die Abbildung v_{i} = s_{i}^{∗}ϕ̃ = ϕ̃ ∘ s_{i} : U_{i} → F. Die kovariante Ableitung des Vektorfeldes ist durch Dv_{i} := s_{i}^{∗}(Dϕ̃) definiert.

Sei p ∈ π^{−1}(x) beliebig, dann gibt es ein a ∈ G mit p = ψ_{a}(s_{i}(x)). Anwendung von κ_{i} liefert κ_{i}(p) = κ_{i}(ψ_{a}(s_{i}(x))) = κ_{i}(s(x)) · a = a, also s_{i}(x) = ψ_{κ_{i}(p)^{−1}}p. Damit gilt v_{i}(x) = ϕ̃(s_{i}(x)) = ϕ̃(ψ_{κ_{i}(p)^{−1}}p) = λ_{κ_{i}(p)}ϕ̃(p) für ein beliebiges p ∈ π^{−1}(x). Sei nun eine andere Trivialisierung χ_{j} : π^{−1}(U_{j}) → U_{j} × G mit U_{i} ∩ U_{j} ≠ 0 gegeben und seien s_{j} und v_{j} der entsprechende lokale Schnitt bzw. das lokale Vektorfeld. Folglich gilt v_{i}(x) = λ_{κ_{i}(p)}λ_{κ_{j}(p)^{−1}}v_{j}(x) = λ_{ρ_{ij}(x)}v_{j}(x), wobei ρ_{ij}(x) = κ_{i}(p)κ_{j}(p)^{−1} ∈ G die (unabhängig von p ∈ π^{−1}(U_{i} ∩ U_{j}) definierten) Übergangsfunktionen von P sind.

Satz 50 Für x ∈ U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅ gilt (Dv_{i})_{x} = λ_{ρ_{ij}}(Dv_{j})_{x}.

Beweis: Sei X tangential an die Kurve t ↦ x(t) und sei t ↦ p(t) ein beliebiger Lift dieser Kurve, so daß π(p(t)) = x(t). Sei Y ∈ T_{p}P der Tangentialvektor an die Kurve t ↦ p(t). Dann gilt s(x(t)) = ψ_{κ(p(t))^{−1}}p(t) und für f ∈ C^{∞}(P)

(s′X)f = \frac{d}{dt}f ∘ s(x(t))|_{t=0} = \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{κ(p(t))^{−1}}p(t)|_{t=0}

= Y (ψ_{κ(p)^{−1}}^{∗}f) + \frac{d}{dt}(ψ_{p}^{∗}f)κ(p(t))^{−1}|_{t=0}

= Y (ψ_{κ(p)^{−1}}^{∗}f) − κ^{∗}(L_{κ(p)^{−1}}^{∗}(R_{κ(p)^{−1}}^{∗}(ψ_{p}^{∗}f)))Y

= (ψ′_{κ(p)^{−1}}Y)f − (ψ′_{p}(R′_{κ(p)^{−1}}(L′_{κ(p)^{−1}}(κ′_{p}Y))))f .

Dabei ist κ′_{p}Y ∈ T_{κ(p)}G = L′_{κ(p)}B mit B ∈ 𝔤. Wir haben

ψ_{p}(R_{κ(p)^{−1}}g) = ψ_{g·κ(p)^{−1}}p = ψ_{κ(p)^{−1}}(ψ_{g}p)

Sei g(t) = exp(tB), dann gilt

\frac{d}{dt}f ∘ ψ_{p}(R_{κ(p)^{−1}} exp(tB))|_{t=0} = \frac{d}{dt}(R_{κ(p)^{−1}}^{∗}(ψ_{p}^{∗}f)) exp(tB)|_{t=0}

= B_{e}(R_{κ(p)^{−1}}^{∗}(ψ_{p}^{∗}f)) = (ψ′_{p}(R′_{κ(p)^{−1}}B))f

= \frac{d}{dt}f ∘ ψ_{κ(p)^{−1}}(ψ_{exp(tB)}p) = σ_{p}(B)(ψ_{κ(p)^{−1}}^{∗}f) .

Folglich gilt

s′X = ψ′_{κ(p)^{−1}}(Y − σ_{p}(L′_{κ(p)^{−1}}(κ′_{p}Y)))

und damit

(Dv)_{x}(X) = (s^{∗}(Dϕ̃))_{x}(X) = (Dϕ̃)_{s(x)}(s′X)
= (Dϕ̃)_{ψ_{κ(p)^{−1}}p}(ψ′_{κ(p)^{−1}}(Y − σ_{p}(L′_{κ(p)^{−1}}(κ′_{p}Y))))
= (ψ_{κ(p)^{−1}}^{∗}(Dϕ̃))_{p}(Y − σ_{p}(L′_{κ(p)^{−1}}(κ′_{p}Y)))
= λ_{κ(p)}((Dϕ̃)_{p}(Y)) .

Daraus folgt schließlich

(Dv_{i})_{x}(X) = λ_{κ_{i}(p)}λ_{κ_{j}(p)^{−1}}(Dv_{j})_{x}(X) = λ_{ρ_{ij}(x)}(Dv_{j})_{x}(X) .  □

Satz 51 Es gilt (Dv)(X) = (dv)(X) + λ′(A(X))v mit A = s^{∗}ω. Beweis: Sei X ∈ T_{x}M, dann gilt

(Dv)_{x}(X) = (s^{∗}(Dϕ̃))_{x}(X) = (Dϕ̃)_{s(x)}(s′X)

= (dϕ̃)_{s(x)}(s′X) + λ′(ω_{s(x)}(s′X))ϕ̃(s(x)) = (s′X)(ϕ̃) + λ′(ω_{s(x)}(s′X))ϕ̃(s(x))

= X(ϕ̃ ∘ s) + λ′(A_{x}(X))ϕ̃(s(x))
= (dv)_{x}(X) + λ′(A_{x}(X))v(x) .  □

4.5.3 Eichtransformationen

Sei G die Gruppe der vertikalen Automorphismen von P und θ̂ ∈ G mit θ̂(p) = ψ_{u(p)}p. Damit folgt

(θ̂^{∗}ϕ̃)_{p} = ϕ̃ ∘ ψ_{u(p)}p = λ_{u(p)^{−1}} ψ̃(p) .

Die induzierte Transformation v ↦ v̂ ist wegen v(x) = λ_{κ(p)}ϕ̃(p) gegeben durch

v̂(x) = λ_{κ(p)}(θ̂^{∗}ϕ̃)(p) = λ_{κ(p)}λ_{u(p)^{−1}} ψ̃(p) = λ_{κ(p)}λ_{u(p)^{−1}}λ_{κ(p)^{−1}}v(x) = λ_{τ(x)^{−1}}v(x) .

Die Eichtransformation der kovarianten Ableitung ist dann

(D̂ϕ̃)_{p}(Y) := (θ̂^{∗}(Dϕ̃))_{p}(Y) = (ψ_{u(p)}^{∗}(Dϕ̃))_{p}(Y) = λ_{u(p)^{−1}}((Dϕ̃)_{p}(Y))

Wegen (Dv)_{x}(X) = λ_{κ(p)}((Dϕ̃)_{p}(Y)) gilt dann für die Eichtransformation der kovarianten Ableitung des lokalen Vektorfeldes

(D̂v)_{x}(X) = λ_{κ(p)}(D̂ϕ̃)_{p}(Y) = λ_{κ(p)}λ_{u(p)^{−1}}λ_{κ(p)^{−1}}(Dv)_{x}(X) = λ_{τ(x)^{−1}}(Dv)_{x}(X) .

4.5.4 Wirkungsfunktional

Sei ⟨ , ⟩_{F} ein G-invariantes Skalarprodukt auf F, d.h. ⟨λ(a)y_{1}, λ(a)y_{2}⟩_{F} = ⟨y_{1}, y_{2}⟩_{F}. Wir bezeichnen mit ∧_{F} die Kombination aus äußerem Produkt in ΛM und diesem Skalarprodukt auf F, d.h. in Tensorprodukt-Schreibweise

(α ⊗ y_{1}) ∧_{F} (β ⊗ y_{2}) := α ∧ β ⟨y_{1}, y_{2}⟩_{F}

Definition 79 Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 2 und ⋆ der durch die Metrik g induzierte Hodge-Stern Operator. Sei P ein Hauptfaserbündel über M und E ein zu P assoziiertes Vektorbündel mit typischer Faser F. Dann ist das Wirkungsfunktional auf dem Raum der Zusammenhänge auf P und dem Raum der Schnitte von E definiert durch

S[ω, ϕ] = ∫_{M} (F ˙∧ ∗ F + Dv ∧_{F} ∗(Dv) + ∗V (⟨v, v⟩_{F})) ,

wobei das V (z) ein Polynom in z ist. Dabei beschreibt der z-lineare Teil von V (z) einen Massenterm für das Vektorfeld ϕ.

Satz 52 Das Wirkungsfunktional S[ω, ϕ] ist wohldefiniert (unabhängig von der Trivialisierung, die die lokalen Größen F und v definiert) und eichinvariant, S[θ̂^{∗}ω, θ̂^{∗}ϕ] = S[ω, ϕ].

Beweis: Der Beweis ist völlig analog zum Beweis für Y M[ω]. Man verwendet v_{i}(x) = λ_{ρ_{ij}(x)}v_{j}(x) und (Dv_{i})_{x} = λ_{ρ_{ij}(x)}(Dv_{j})_{x} sowie v̂(x) = λ_{τ(x)^{−1}}v(x) und (D̂v)_{x} = λ_{τ(x)^{−1}}(Dv)_{x} und schließlich die G-Invarianz von ⟨ , ⟩_{F}. □

Sei \{\frac{∂}{∂x^{μ}} \}_{μ=1}^{n} eine Basis von T_{x}U und \{b_{i}\}_{i=1}^{N} eine Basis von 𝔤. Sei \{y_{A}\}_{A=1}^{N} eine Basis von F, dann hat das lokale Vektorfeld v die Darstellung v(x) = ∑_{A=1}^{N} v^{A}y_{A}. Außerdem ist durch λ′(b_{i})y_{A} = ∑_{B=1}^{N} λ_{iA}^{B}y_{B} die Darstellungsmatrix des Basisvektors b_{i} ∈ 𝔤 in der Basis von F definiert. Dann bekommen wir für die kovariante Ableitung mit X = \frac{∂}{∂x^{μ}} die Beziehung

(Dv)(\frac{∂}{∂x^{μ}}) ≡ D_{μ}v = ∑_{A=1}^{v}(D_{μ}v^{A})y_{A} = (dv)(\frac{∂}{∂x^{μ}}) + λ′(A(\frac{∂}{∂x^{μ}}))v

= ∑_{A=1}^{v} \frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} y_{A} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{A,B=1}^{v} A_{μ}^{i}λ_{iB}^{A}v^{B}y_{A} .

Damit erhalten wir für den Hodge-Stern

∗(Dv) = ∗( ∑_{μ=1}^{n} ∑_{A=1}^{N} \frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} dx^{μ} ⊗ y_{A} + ∑_{μ=1}^{n} ∑_{i=1}^{N} ∑_{A,B=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iB}^{A}v^{B} dx^{μ} ⊗ y_{A})

= \frac{1}{(n − 1)!} ∑_{μ,ρ_{1},...,ρ_{n}=1}^{n} \sqrt{| det g|}g^{μρ_{1}}ϵ_{ρ_{1}...ρ_{n}}( ∑_{A=1}^{N} \frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{A,B=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iB}^{A}v^{B})

× dx^{ρ_{2}} ∧ ⋯ ∧ dx^{ρ_{n}} ⊗ y_{A}) .

Dann erhalten wir wegen dx^{ν} ∧ dx^{ρ_{2}} ∧ ⋯ ∧ dx^{ρ_{n}} = ϵ^{νρ_{2}...ρ_{n}}dx^{1} ∧ ⋯ ∧ dx^{n} und ∑_{ρ_{2},...,ρ_{n}} ϵ_{ρ_{1}...ρ_{n}}ϵ^{νρ_{2}...ρ_{n}} = (n − 1)!δ_{ρ_{1}}^{ν} die Beziehung

(Dv) ∧_{F} ∗(Dv)

= ∑_{μ,ν=1}^{n} g^{μν}( ∑_{A′=1}^{N} \frac{∂v^{A′}}{∂x^{ν}} + ∑_{j=1}^{N} ∑_{A′,B′=1}^{N} A_{μ}^{j}λ_{jB′}^{A′}v^{B′})( ∑_{A=1}^{N} \frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{A,B=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iB}^{A}v^{B})

× ⟨y_{A′}, y_{A}⟩_{F} v_{g}

Wir nehmen im weiteren an, daß die Basen von F und 𝔤 orthonormal bezüglich der Skalarprodukte sind. Dann gilt ⟨v, v⟩_{F} = ∑_{A=1}^{N}(v^{A})^{2} und

∗V (⟨v, v⟩_{F}) = v_{g} ∑_{q=1}^{∞} ∑_{A_{1},...,A_{q}} c_{q}(v^{A_{1}})^{2} ⋯ (v^{A_{q}})^{2}

4.5.6 Euler-Lagrange-Gleichungen

Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben sich wieder aus dem Hamiltonschen Prinzip, welches jene durch (ω, ϕ) definierte Geometrie auszeichnet, für die das Wirkungsfunktional stationär wird. Durch Variation A ↦ Ã = A + ϵδA und v ↦ ṽ = v + ϵδv erhalten wir

S[ω̃, ϕ^{∼}] − S[ω, ϕ] = Y M[ω̃] − Y M[ω]

+ 2ϵ ∫_{M} v_{g} ∑_{μ,ν=1}^{n} ∑_{j=1}^{N} ∑_{A,B=1}^{N} δA_{μ}^{j}λ_{jB}^{A}v^{B}(\frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{C=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iC}^{A}v^{C})

− 2ϵ ∫_{M} v_{g} ∑_{A=1}^{N} δv^{A}( ∑_{μ,ν=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{| det g|}} \frac{∂}{∂x^{μ}} (\sqrt{| det g|}g^{μν}(\frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{C=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iC}^{A}v^{C}))

− ∑_{B=1}^{N} ∑_{μ,ν=1}^{n} ∑_{j=1}^{N} λ_{jA}^{B}A_{μ}^{j}(\frac{∂v^{B}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{C=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iC}^{B}v^{C}) − \frac{1}{2} \frac{∂V}{∂v^{A}} ) + O(ϵ^{2}) .

Damit ergeben sich die Gleichungen

∑_{μρ,σ=1}^{n} (\frac{1}{\sqrt{| det g|}} \frac{∂}{∂x^{μ}} (\sqrt{| det g|} g^{μρ}g^{νσ}F_{ρσ}^{j}) + ∑_{i,k=1}^{N} g^{μρ}g^{νσ}c_{ik}^{j}A_{μ}^{j}F_{ρσ}^{k}) = −J_{ν}^{j}

∑_{μ,ν=1}^{n} (\frac{1}{\sqrt{| det g|}} \frac{∂}{∂x^{μ}} (\sqrt{| det g|}g^{μν}(\frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{C=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iC}^{A}v^{C}))

− ∑_{B=1}^{N} ∑_{j=1}^{N} λ_{jA}^{B}A_{μ}^{j}(\frac{∂v^{B}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{C=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iC}^{B}v^{C})) − \frac{1}{2} \frac{∂V}{∂v^{A}} = 0

mit

J_{ν}^{j} = ∑_{μ=1}^{n} ∑_{A,B=1}^{N} λ_{jB}^{A}v^{B}(\frac{∂v^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{C=1}^{N} A_{μ}^{i}λ_{iC}^{A}v^{C}) .

Eine triviale Lösung dieser Gleichungen ist A_{μ}^{i} = 0 und v^{B} = 0. Eine etwas weniger triviale ist A_{μ}^{i} = 0 und v^{B} = v_{0}^{B} = const mit \frac{∂V}{∂v^{A}} |_{v^{B}=v_{0}^{B}} = 0.

4.5.7 Quantenfluktuationen

In der Quantenphysik werden (im Gegensatz zur klassischen Feldtheorie) auch andere Geometrien als die durch die Stationarität des Wirkungsfunktionals definierten Lösungen realisiert. Jede mathematisch mögliche Geometrie wird mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit realisiert. Die Bedeutung der stationären Punkte besteht darin, daß sie mit der größten Wahrscheinlichkeit auftreten. Gibt es mehrere stationäre Punkte, dann haben treten auch sie i.a. mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten auf. Insbesondere kann die Lösung von \frac{∂V}{∂v^{A}} |_{v^{B}=v_{0}^{B}} = 0 wahrscheinlicher sein als die triviale Lösung. Man sagt, daß (A_{μ}^{i} = 0 , v^{B} = v_{0}^{B} = const) die Vakuumslösung ist. Ein solches nichttriviales Vakuum ist oft mit interessanten Phänomenen verbunden wie spontaner Symmetriebrechung und Phasenübergängen.

Es ist sinnvoll, die Geometrie in der Nähe der Vakuumslösung zu parametrisieren durch v^{B} = v_{0}^{B} + ṽ^{B}. Dann wird ṽ^{B} als das physikalische Feld angesehen. Die kovariante Ableitung schreibt sich dann als

D_{μ}ṽ^{A} = \frac{∂ṽ^{A}}{∂x^{μ}} + ∑_{i=1}^{N} ∑_{B=1}^{v} A_{μ}^{i}λ_{iB}^{A}(v_{0}^{B} + ṽ^{B}) .

Der dabei auftretende Term ∑_{i=1}^{N} A_{μ}^{i}(∑_{B=1}^{v} λ_{iB}^{A}v_{0}^{B}), der quadratisch in die Wirkung eingeht, führt dann zu einem Massenterm fürs Eichpotential A_{μ}^{i}. Es ist die einzige geometrische Möglichkeit, massive Eichfelder zu erhalten. Dieser Mechanismus der Massenerzeugung über das Vakuum heißt Higgs-Mechanismus. Er ist verbunden mit einer Reduktion der Symmetriegruppe zu einer Untergruppe.

4.6 Reduktion von Hauptfaserbündeln

Definition 80 Sei (P, M, G, π, ψ) ein Hauptfaserbündel und η : H → G eine Homomorphismus von Lie-Gruppen. Eine Reduktion von P ist gegeben durch ein Hauptfaserbündel (Q, M, H, π_{Q}, ψ^{Q}) und eine differenzierbare Abbildung ϱ : Q → P, so daß

• π ∘ ϱ = π_{Q}

• ϱ(ψ_{h}^{Q}q) = ψ_{η(h)}ϱ(q).

Wichtige Beispiele sind die Reduktion des (im nächsten Semester einzuführenden) Reperbündels (Bündel der linearen Bezugssysteme) mit Strukturgruppe GL(n, ℝ) zu einem O(n, ℝ)-Bündel der orthogonalen Bezugssysteme (mittels der Metrik) und dann zu einem SO(n, ℝ)-Bündel (mittels der Orientierung).

Sei H eine abgeschlossene Untergruppe von G. Dann wird auf G folgende Äquivalenzrelation definiert

g_{1} ∼ g_{2} ⇔ ∃h ∈ H : g_{1} = g_{2}h .

Der homogene Raum G/H ist der Raum aller Äquivalenzklassen: G/H = {[g] , g ∈ G}. Man kann zeigen, daß (G, G/H, H) ein Hauptfaserbündel wird.

Auf G/H ist eine linke G-Wirkung gegeben durch λ_{g}[g′] = [gg′]. Damit läßt sich ein zu P assoziiertes Bündel E konstruieren: E = (P × G/H)/G.

Satz 53 Durch j([(p, [g]_{H})]_{E}) := [ψ_{g}p]_{H} wird ein Diffeomorphismus j : E = (P × G/H)/G → P/H, durch den P ein Hauptfaserbündel über E mit Strukturgruppe H wird.

Satz 54 Das Hauptfaserbündel (P, M, G, π, ψ) ist genau dann auf eine abgeschlossene Untergruppe H ⊂ G reduzierbar, wenn das mit P assoziierte Faserbündel (E, M, G/H, G) einen globalen glatten Schnitt besitzt.

Beweis: Sei ϕ : M → E ein globaler glatter Schnitt, dann entspricht dem eine äquivariante Abbildung ϕ̃ : P → G/H mit ϕ̃(ψ_{g}p) = λ_{g^{−1}} ϕ̃(p). Wir definieren Q = {q ∈ P , ϕ̃(q) = [e]}.

1. H wirkt von rechts auf Q, denn ϕ̃(ψ_{h}q) = λ_{h^{−1}} ϕ̃(q) = λ_{h^{−1}}[e] = [e].

2. Seien q_{1}, q_{2} ∈ Q ∩ π^{−1}(x), dann gibt es ein g ∈ G mit q_{2} = ψ_{g}q_{1}. Weiter ist [e] = ϕ̃(q_{2}) = ϕ̃(ψ_{g}q_{1}) = λ_{g^{−1}} ϕ̃(q_{1}) = λ_{g^{−1}}[e] = [g^{−1}], also g ∈ H. Also wirkt H transitiv auf den Fasern. H-Wirkung ist frei, da G-Wirkung frei.

3. Trivialisierung: Sei s : U → P ein lokaler Schnitt von (P, M, G) und s̃ : G/H → G ein lokaler Schnitt von (G, G/H, H), dann ist g := s̃ ∘ ϕ̃ ∘ s : U → G eine differenzierbare Abbildung. Wir setzen s_{Q}(x) := ψ_{g(x)}s(x). Sei π_{G/H} : G → G/H die kanonische Projektion, dann gilt π_{G/H} ∘ g(x) = [g(x)] = ϕ̃ ∘ s(x). Dann gilt ϕ̃(s_{Q}(x)) = λ_{g(x)^{−1}} ϕ̃(s(x)) = λ_{g(x)^{−1}}[g(x)] = [e], so daß s_{Q} : U → Q ein Schnitt von Q ist. Dann definieren wir die Trivialisierung durch χ_{Q}(q) = (π(q), κ_{Q}(q)) mit q = ψ_{κ_{Q}(q)}s_{Q}(π(q)). Dann ist ψ_{h}q = ψ_{κ_{Q}(ψ_{h}q)}s_{Q}(π(ψ_{h}q)) = ψ_{h}ψ_{κ_{Q}(q)}s_{Q}(π(q)), so daß κ_{Q}(ψ_{h}q) = κ_{Q}(q)· h.

Sei umgekehrt durch ϱ : Q → P eine Reduktion von (P, M, G, π, ψ) nach (Q, M, H, π_{Q}, ψ^{Q}) gegeben. Da H als Untergruppe von links auf G wirkt, ist (Q × G)/H ein zu Q assoziiertes Faserbündel über M mit typischer Faser G. Wir definieren eine Abbildung j̃ : (Q×G)/H ∋ [(q, g)] ↦ ψ_{g}ϱ(q) ∈ P und behaupten, daß j̃ ein Diffeomorphismus ist.

1. Surjektivität: Für gegebenes p ∈ P mit π(p) = x existiert ein q ∈ Q mit π_{Q}(q) = x. Wegen π ∘ ϱ = π_{Q} folgt π(ϱ(q)) = x, so daß ein g ∈ G existiert mit p = ψ_{g}ϱ(q).

2. Injektivität: Sei j̃[(q_{1}, g_{1})] = j̃[(q_{2}, g_{1})] = ψ_{g_{1}}ϱ(q_{1}) = ψ_{g_{2}}ϱ(q_{2}), dann liegen wegen π ∘ ϱ = π_{Q} die Punkte q_{1}, q_{2} in der gleichen Faser, also ist q_{2} = ψ_{h}^{Q}q_{1}. Dann folgt ψ_{g_{2}}ϱ(q_{2}) = ψ_{g_{2}}ϱ(ψ_{h}^{Q}q_{1}) = ψ_{g_{2}}ψ_{h}ϱ(q_{1}) = ψ_{hg_{2}}ϱ(q_{1}), also g_{2} = h^{−1}g_{1} = λ_{h^{−1}}g_{1}. Damit folgt [(q_{1}g_{1})] = [(q_{2}, g_{2})].

Der globale Schnitt ϕ̃ : P ≃ (Q × G)/H → G/H wird nun erhalten durch ϕ̃(j̃[(q, g)]) := [g^{−1}]. Damit ist ϕ̃ wohldefiniert und es gilt

ϕ̃(ψ_{g_{1}} j̃[(q, g)]) = ϕ̃(ψ_{g_{1}}ψ_{g}ρ(q)) = ϕ̃(ψ_{gg_{1}}ρ(q)) = ϕ̃([(q, gg_{1})])
= [g_{1}^{−1}g^{−1}] = λ_{g_{1}^{−1}}[g^{−1}] = λ_{g_{1}^{−1}} ϕ̃([(q, g)]) .

Das beendet den Beweis. □

5 Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung

Wir haben in den Übungen gesehen, daß die Elektrodynamik eine Eichtheorie ist, die durch ein Hauptfaserbündel mit Strukturgruppe U(1) über der Raumzeit-Mannigfaltigkeit beschrieben werden kann. Die Maxwellschen Gleichungen sind dabei die Yang-Mills-Gleichungen, wobei elektrische und magnetische Feldstärke Komponenten des lokalen Feldstärketensors werden.

• es gibt andere Kräfte in der Natur: schwache und starke

• 4 Fermion-Wechselwirkung im β-Zerfall

• Stärke proportional G_{F}, nicht renormierbar

• Idee: Austausch von Eichfeldern in Yang-Mills-Theorie. einfachste Wahl erscheint Strukturgruppe SU(2) (Isospin), die dann durch Linksmultiplikation von 2 × 2-Matrizen auf dem Vektorraum ℂ^{2}, in dem die (e, ν) und (u, d)-Paare leben, wirken kann.

• diese Eichfelder müssen massiv sein

• Massenterm für Eichfelder zunächst nicht möglich

• Higgs-Mechanismus: Kopplung der Eichfelder an Skalarfeld v (Higgs-Feld), dessen Potential zu nichtverschwindendem Vakuumserwartungswert führt.

• auch Photon soll an e koppeln, aber nicht an ν. Erfordert Idee der Hyperladung, gleich für (e, ν), die sich mit z-Komponente des Isospins zur elektrischen Ladung zusammensetzt. Das Photon ist masselos.

5.1 Geometrische Beschreibung

Wir konstruieren eine Yang-Mills-Theorie mit Strukturgruppe G = SU(2) × U(1)_{Y}, die über die kovariante Ableitung an ein Skalarfeld koppelt. Das Skalarfeld ist ein Schnitt in einem zum SU(2) × U(1)_{Y} -Hauptfaserbündel assoziierten Vektorbündel, welches allein durch die linke G-Wirkung auf einen Vektorraum F bestimmt ist. Da die entsprechenden Eichfelder massiv werden sollen, entsprechen sie keiner Symmetriegruppe mehr. Dagegen wird das masselose Photon durch eine U(1)_{em}-Theorie beschrieben. Wir identifizieren also H = U(1)_{em} als Untergruppe von G = SU(2) × U(1)_{Y}.

Die SU(2) = SL(1, ℍ) wird realisiert durch

SU(2) = \{u_{2} = ( \begin{matrix}α & −β̄ \\ β & ᾱ \end{matrix} ) , α, β ∈ ℂ , |α|^{2} + |β|^{2} = 1\}

und U(1) = {u_{1} ∈ ℂ , |u_{1}| = 1}. Die natürliche Wahl ist zunächst F = ℂ^{2} ∋ y mit der linken Gruppenwirkung

λ_{(u_{2},u_{1})}y = ( \begin{matrix}αu_{1} & −β̄u_{1} \\ βu_{1} & ᾱu_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y^{1} \\ y^{2} \end{matrix} )

Sei (P, M, SU(2) × U(1)_{Y}) ein Hauptfaserbündel und (E, M, ℂ^{2}, SU(2) × U(1)_{Y}) das dazu assoziierte Vektorbündel mit typischer Faser ℂ^{2}. Sei ω ein Zusammenhang auf P und s : U → P der kanonische Schnitt auf U ⊂ M, dann ist s^{∗}ω = (W, B) das lokale Eichpotential, wobei

W = ( \begin{matrix}iW^{3} & iW^{1} + W^{2} \\ iW^{1} − W^{2} & −iW^{3} \end{matrix} )

eine lokale 1-Form auf U ist mit Werten in su(2) (Lie-Algebra von SU(2)) und B = iB eine lokale 1-Form auf U mit Werten in u(1) = iℝ (Lie-Algebra von U(1)).

Das Higgs-Feld ist ein Schnitt von E, also eine Abbildung ϕ : M → E mit π_{E}ϕ(x) = x. Es kann äquivalent durch eine äquivariante Abbildung ϕ̃ : P → F beschrieben werden. Zurückziehen mit s definiert das lokale Higgs-Feld v = s^{∗}ϕ̃: U → ℂ^{2}, d.h. v(x) ∈ ℂ^{2} für x ∈ U. Wegen λ_{(u_{2},u_{1})} = λ_{u_{2}}λ_{u_{1}} gilt, wenn man u_{i}(t) nach t differenziert, λ′(W(x), B(x)) = λ′(W(x)) + λ′(B(x)). Deshalb gilt für die kovariante Ableitung des lokalen Higgs-Feldes

(D_{μ}v)_{x} = ∑_{μ=1}^{n} dx^{μ}⊗(( \frac{∂(v^{1}+iv^{2})}{∂x^{μ}} ; \frac{∂(v^{3}+iv^{4})}{∂x^{μ}} ) + ( \begin{matrix}i(B_{μ} + W_{μ}^{3}) & iW_{μ}^{1} + W_{μ}^{2} \\ iW_{μ}^{1} − W_{μ}^{2} & i(B_{μ} − W_{μ}^{3}) \end{matrix} ) (\begin{matrix}v^{1} + iv^{2} \\ v^{3} + iv^{4} \end{matrix}))

Das Skalarprodukt auf F ist ⟨y, y⟩_{F} = ℜ(y^{∗}y) = ∑_{A=1}^{4}(y^{A})^{2}. Damit wählen wir folgendes Higgs-Potential:

V (x) = −\frac{μ^{2}}{2} ⟨v(x), v(x)⟩_{F} + \frac{λ}{4}(⟨v(x), v(x)⟩_{F})^{2} .

Es führt zur Bewegungsgleichung

0 = \frac{∂V (x)}{∂v^{A}(x)} = −μ^{2}v^{A} + λv^{A}⟨v(x), v(x)⟩_{F}

mit der Lösung v_{0}(x) = 0 oder ⟨v_{0}(x), v_{0}(x)⟩_{F} = \frac{μ^{2}}{λ}. Folglich ist die

Lösungsmannigfaltigkeit der nichttrivialen Lösung die S^{3} mit Radius \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}.

Die gesamte Lösungsmannigfaltigkeit S^{3} besitzt die volle G = (SU(2) × U(1)_{Y}) ⊗ C^{∞}(M)-Symmetrie. Jedoch wird die experimentelle Messung von v(x) einen ganz bestimmten Vakuumwert v(x) ∈ S^{3} liefern. Wir können die Eichsymmetrie nutzen, um diesen Vakuumwert in eine Standardform zu überführen.

Dazu ist ein vertikaler Automorphismus θ̂ : P ∋ p ↦ ψ_{u(p)}p ∈ P zu verwenden, der zu v(x) ↦ v̂(x) = λ_{τ(x)^{−1}}v(x) führt, mit τ(x) = κ(p)u(p)κ(p)^{−1}. Wir

wählen u so, daß v̂(x) = (\sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} , 0, 0, 0) auf ganz U entsteht. Dabei transformie-

ren sich Feldstärke und kovariante Ableitung zu F_{x} ↦ F̂_{x} = Ad(τ(x)^{−1})F_{x} und (Dv)_{x} ↦ ˆ (Dv)_{x} = λ_{τ(x)^{−1}}(Dv)_{x}, verschwinden also identisch. Nach dieser

Eichtransformation ist global v_{0}(x) = (\sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} , 0, 0, 0) erreicht. Diese Konfiguration ist nun nicht mehr invariant unter allen vertikalen Automorphismen von P, sondern nur noch unter solchen, die v_{0}(x) invariant lassen. Die entsprechenden Gruppenelemente definieren nun eine Untergruppe H ⊂ G durch

H = \{(h_{2}, h_{1}) ∈ G , λ_{(h_{2},h_{1})}(\sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} , 0, 0, 0) = (\sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} , 0, 0, 0)\}

Mit der Matrixdarstellung von G findet man

(h_{1}, h_{2}) = (( \begin{matrix}u_{1}^{∗} & 0 \\ 0 & u_{1} \end{matrix} ) , u_{1}) , λ_{(h_{2},h_{1})} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & (u_{1})^{2} \end{matrix} )

Damit ist H ≃ U(1)_{em}. Mit anderen Worten, die konkrete Wahl des Vakuums bricht die Symmetrie G = SU(2) × U(1)_{Y} der Lösungsmannigfaltigkeit aller Higgs-Vakua zur Untergruppe U(1)_{em}. Dieser Mechanismus heißt spontane Symmetriebrechung. Er wird geometrisch beschrieben als Reduktion des Hauptfaserbündels (P, M, G) zum Unterbündel (Q, M, H).

Wir hatten gesehen, daß dabei der homogene Raum G/H eine wichtige Rolle spielt. Offenbar ist G ≃ λ(G), so daß die Äquivalenz g_{1} ∼ g_{2} ⇔ g_{2} = g_{1}h sich wie folgt schreibt:

( \begin{matrix}α_{1} & −β̄_{1} \\ β_{1} & ᾱ_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{1} & 0 \\ 0 & c_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{2} & −β̄_{2} \\ β_{2} & ᾱ_{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{2} & 0 \\ 0 & c_{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & (u_{1})^{2} \end{matrix} )

Offenbar bleibt dabei die erste Spalte von λ(G) invariant, die durch Multipli-

kation mit ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) erhalten wird. Folglich gilt wir G/H ≃ S^{3}, wobei wir als

Radius \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} nehmen können. Dann ist die Äquivalenzklasse des Einselements

[e] = (\sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} , 0, 0, 0).

Diese Überlegungen zeigen, daß das Higgs-Vakuum eine Abbildung v_{0} : M → G/H definiert. Ausgedrückt durch ϕ̃_{0} ergibt sich für p = ψ_{g}s(π(p)) und κ(p) = κ_{ψ_{g}s(π(p))} = κ(s(π(p))) · g = g die Beziehung

ϕ̃_{0}(p) = ϕ̃_{0}(ψ_{κ(p)}s(π(p))) = λ_{κ(p)^{−1}}v_{0}(π(p)) .

Wegen der G-Invarianz des Skalarprodukts ist ϕ̃_{0}(p) ∈ G/H ≃ S^{3} (mit gegebenem

Radius \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}). Die G-Äquivarianz ist automatisch.

Die rechte Seite ist zunächst nur lokal definiert. Man nimmt üblicherweise aber an, daß das Higgs-Vakuum eine globale äquivariante Abbildung ϕ̃ : P → G/H definiert. Die allgemeinen Sätze erlauben dann eine Reduktion von P auf das durch Q = {q ∈ P, ϕ̃(q) = [e]} definierte Unterbündel. Nach der zu v_{0}(x) = [e] führenden Eichtransformation ist s(x) ∈ Q und damit Q = {ψ_{H} ∘ s(M)}. Da s nur lokal definiert ist, kann Q nur dann global definiert sein, wenn die Übergangsfunktionen von P in der Untergruppe H liegen, ρ_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → H (weitere äquivalente Definition der Reduktion).

5.1.1 Zerlegung der Zusammenhangsform

Die Reduktion auf die Untergruppe H ⊂ G führt auch zu einer Reduktion der Zusammenhangsform. Seien 𝔤, 𝔥 die Lie-Algebren von G, H und sei die Zerlegung 𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔪 so gewählt, daß Ad(H)𝔪 ⊂ 𝔪. Im Beispiel ist

𝔥 = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & iℝ \end{matrix} ) , 𝔪 = \{( \begin{matrix}ia & ib + c \\ ib − c & 0 \end{matrix} ) , a, b, c ∈ ℝ\} .

Satz 55 Sei ϱ : Q → P die Reduktionsabbildung und ω eine Zusammenhangsform auf P, dann ist (ϱ^{∗}ω)|_{𝔥} eine Zusammenhangsform auf Q und (ϱ^{∗}ω)|_{𝔪} eine horizontale 1-Form auf Q (bezüglich des durch (ϱ^{∗}ω)|_{𝔥} definierten Zusammenhangs) vom Typ Ad_{H}.

Im Beispiel ist ϱ = id und die Zerlegung führt auf ein lokales U(1)-Eichpotential A mit Komponenten

A_{μ} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & i(B_{μ} − W_{μ}^{3}) \end{matrix} )

und einem 3-komponentigen Materiefeld

( \begin{matrix}iZ_{μ} & i\sqrt{2}W_{μ}^{+} \\ \sqrt{2}iW_{μ}^{−} & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}i(B_{μ} + W_{μ}^{3}) & iW_{μ}^{1} + W_{μ}^{2} \\ iW_{μ}^{1} − W_{μ}^{2} & 0 \end{matrix} )

Skalarprodukte in 𝔤 und F sind nur bis auf einen Faktor definiert. Diese Faktoren heißen Kopplungskonstanten. So ist im Beispiel die Yang-Mills-Wirkung vor der Symmetriebrechung gegeben durch

Y M[ω_{2}, ω_{1}] = ∫_{M} \frac{1}{4g_{2}^{2}} tr(F_{2} ∧ ∗F_{2}) + \frac{1}{2g_{1}^{2}} F_{1} ∧ ∗F_{1}

In der Physik ist es üblich, die Kopplungskonstanten g_{2}, g_{1} in den Eichfeldern zu absorbieren, W^{A} ↦ g_{2}W^{A} und B ↦ g_{1}B. Außerdem setzen wir g_{2} = \sqrt{g_{1}^{2} + g_{2}^{2}} cos θ_{W} und g_{1} = \sqrt{g_{1}^{2} + g_{2}^{2}} sin θ_{W} sowie Z = cos θ_{W} W^{3} + sin θ_{W} B und A = cos θ_{W} B − sin θ_{W} W^{3}.

Die in der kovariante Ableitung auftauchende Matrix der lokalen Eichfelder wird nun

( \begin{matrix}i(B_{μ} + W_{μ}^{3}) & iW_{μ}^{1} + W_{μ}^{2} \\ iW_{μ}^{1} − W_{μ}^{2} & i(B_{μ} − W_{μ}^{3}) \end{matrix} )

↦ g_{2} ( \begin{matrix}\frac{i}{cos θ_{W}} Z_{μ} & iW_{μ}^{1} + W_{μ}^{2} \\ iW_{μ}^{1} − W_{μ}^{2} & 0 \end{matrix} ) + 2g_{2} sin θ_{W} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & i(A_{μ} − cot(2θ_{W})Z_{μ}) \end{matrix} )

Durch Kopplung an das Higgs-Feld v = (\sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}} + η, 0, 0, 0) entstehen Massenterme für W^{1}, W^{2}, Z, wobei m_{z} = \frac{m_{w}}{cos θ} wird, während das Photon A masselos bleibt. Die Elektron-ladung wird zu e = g_{2} sin θ_{W}. Beide Beziehungen sind in experimenteller Übereinstimmung.