Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 26.10.06, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Die lineare Abbildung f : ℝ^{3} → ℝ^{3} werde bezüglich der Standardbasis durch

die Matrix A = (\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}) definiert.

(i) Man bestimme a) das charakteristische Polynom von A,

b) das Minimalpolynom von A.

(ii) Man gebe eine Basis B von ℝ^{3} an, bzgl. der M_{B}^{B}(f) Diagonalgestalt hat.

Aufgabe 2. Man bestimme charakteristisches Polynom und Minimalpolynom von

(\begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & −1 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix}). Man berechne zu sämtlichen Eigenwerten die zugehörigen Eigenräume.

Aufgabe 3. Sei A = (\begin{matrix}1 & −3 & −2 & 1 \\ −1 & −1 & −2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}).

a) Man bestimme eine Matrix S, so daß S^{−1}AS = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}).

b) Man bestimme eine Matrix B, so daß B^{2} = A gilt.

Aufgabe 4. Man berechne A^{2006} für A = (\begin{matrix}−2 & 5 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}).