Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 18.01.07, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Es sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt mit positivem Volumen, v_{n}(K) > 0. Dann heißt

S = (s_{1}, …, s_{n}) mit s_{i} := \frac{1}{v_{n}(K)} ∫_{K} d(x_{1}, …, x_{n}) x_{i}

der Schwerpunkt von K. Man berechne den Schwerpunkt eines Viertelkreises

VK := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} .

Aufgabe 2. Für 0 ≤ a < b < +∞ sei r : [a, b] → ℝ_{≥0} eine nichtnegative stetige Funktion und

V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ (r(z))^{2} , z ∈ [a, b]} .

(a) Zeige v_{3}(V) = π ∫_{a}^{b} r^{2}(z) dz

(b) Berechne mit (a) das Volumen v_{3}(K) der dreidimensionalen Vollkugel K mit Radius 1.

(c) Zeige: Ist (ξ, ζ) der Schwerpunkt der Menge F = {(x, z) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ r(z) , z ∈ [a, b]}, d.h.

(ξ, ζ) = \frac{1}{v_{2}(F)} (∫_{F} d(x, z) x , ∫_{F} d(x, z) z) ,

so gilt v_{3}(V) = 2πξ v_{2}(F).

Aufgabe 3. Es seien 0 < r < R < ∞ und T ⊂ ℝ^{3} der Volltorus, der durch Rotation der Kreisscheibe S := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : y = 0 , (x − R)^{2} + z^{2} ≤ r^{2}} um die z-Achse entsteht. Berechne v_{3}(T).

Aufgabe 4. Es sei K ⊂ ℝ^{3} kompakt, L ⊂ ℝ^{3} eine Gerade, d(x, L) der euklidische Abstand von x ∈ ℝ^{3} zu L. Dann heißt

Θ := ∫_{K} dx μ(x) (d(x, L))^{2}

das Trägheitsmoment von K mit Dichte μ = μ(x) bzgl. der Drehachse L. Berechne das Trägheitsmoment der homogenen Kugelschale

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : r^{2} ≤ x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ ℝ^{2}}

mit konstanter Dichte μ = 1 bzgl. der x-Achse.