Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 25.01.07, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Es sei f eine integrierbare Funktion auf ℝ^{n}, a ∈ ℝ^{n} ein Vektor und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ^{∗} positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, daß dann auch die durch f_{a}(x) := f(x − a) und f_{(λ_{1},...,λ_{n})}(x_{1}, …, x_{n}) := f (\frac{x_{1}}{λ_{1}} , …, \frac{x_{n}}{λ_{n}} ) erklärten Funktionen integrierbar auf ℝ^{n} sind, und daß für diese gilt

∫_{ℝ^{n}} dx f_{a}(x) = ∫_{ℝ^{n}} dx f(x) , ∫_{ℝ^{n}} dx f_{(λ_{1},...,λ_{n})}(x) = |λ_{1} ⋯ λ_{n}| ∫_{ℝ^{n}} dx f(x) .

Aufgabe 2. a) Für n ∈ ℕ, n ≥ 1 sei c_{n} = ∫_{−1}^{+1} dt (1 − t^{2})^{\frac{n−1}{2}} = 2 ∫_{0}^{π/2} dx sin^{n} x. Zeige

(mit partieller Integration) für k ∈ ℕ

c_{2k} = π ∏_{i=1}^{k} \frac{2i − 1}{2i} ,  c_{2k+1} = 2 ∏_{i=1}^{k} \frac{2i}{2i + 1} ,  c_{n}c_{n−1} = \frac{2π}{n}  (n ≥ 1) .

(es wird die Konvention ∏_{i=a}^{b} f(i) = 1 für a > b verwendet)

b) Sei κ_{n}(r) das Volumen der n-dimensionalen Kugel vom Radius r und κ_{n} := κ_{n}(1). Zeige κ_{n} = κ_{n−1}c_{n} (benutze Aufgabe 1), also κ_{n} = \frac{2π}{n}κ_{n−2}.

c) Folgere

κ_{2k} = \frac{1}{k!}π^{k} , κ_{2k+1} = \frac{2^{k+1}}{1 · 3 · . . . · (2k + 1)}π^{k} .

Aufgabe 3. a) Zeige:

A = \{x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ ≤ R\} ⇒ ∫_{A} dx x_{i}^{2} = κ_{n} \frac{R^{n+2}}{n + 2}

b) Berechne

∫_{A} dx ln ∥x∥ für A = {x ∈ ℝ^{n} : r ≤ ∥x∥ ≤ R}

c) Berechne

∫_{A} dx x_{i}^{2}e^{−∥x∥^{2}} für A = {x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} : r ≤ ∥x∥ ≤ R}

Aufgabe 4. Für s ∈ ℝ, s > 1 sei ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}. Für k ∈ ℕ, k ≥ 1 sei f_{k} : ℝ → ℝ definiert durch

f_{k}(x) = \{ \begin{matrix}x^{s−1}e^{−kx} & für x > 0 \\ 0 & für x ≤ 0 \end{matrix}

a) Zeige: Für 0 < ε < R < ∞ gilt

∫_{ε}^{R} dx f_{k}(x) = \frac{1}{k^{s}} ∫_{kε}^{kR} t^{s−1}e^{−t} dt also
∫_{ℝ} dx f_{k}(x) = \frac{Γ(s)}{k^{s}} , damit ∑_{k=1}^{∞} ∫_{ℝ} f_{k}(x) dx = Γ(s)ζ(s) .

b) Zeige ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(x) = \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} und folgere ∫_{0}^{∞} dx \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} = Γ(s)ζ(s).

(Wende auf t_{n} := ∑_{k=1}^{n} f_{k} den Satz von der monotonen Konvergenz an.) Das Integral ∫_{0}^{∞} dx \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} tritt in der statistischen Physik im Zusammenhang mit dem Planckschen Strahlungsgesetz auf.