Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 01.02.07, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 13 Aufgabe 1. Für t ∈ ℝ sei

g(t) = ∫_{ℝ} dx e^{−x^{2}/2}e^{−ixt} .

Zeige:

(a) g(0) = \sqrt{2π}

(b) g′(t) = −t g(t)

(c) g(t) = \sqrt{2π}e^{−t^{2}/2}

Aufgabe 2. Sei n ∈ ℕ, x > 0, f_{n}(t) := \{ \begin{matrix}t^{x−1}(1 − \frac{t}{n})^{n} & 0 < t ≤ n \\ 0 & t > n \end{matrix} .

Zeige:

Γ(x) = ∫_{0}^{∞} dt t^{x−1}e^{−t} = lim_{n→∞} ∫_{0}^{n} dt f_{n}(t) = lim_{n→∞} \frac{n^{x} n!}{x(x + 1) · . . . · (x + n)} .

Aufgabe 3. Für positive relle Zahlen x, y ∈ ℝ_{>0} ist durch B(x, y) := ∫_{0}^{1} dt (1−t)^{x−1}t^{y−1} die Beta-Funktion erklärt. Zeige:

(a) Γ(x)Γ(y) = Γ(x + y)B(x, y) Hinweis: Verwende ∫_{0}^{∞} du ∫_{0}^{∞} dt t^{x−1}u^{y−1}e^{−(t+u)} und (s, v) ↦ (\frac{u}{u+t}, u + t).

(b) ∫_{0}^{π/2} dt cos^{u} t sin^{v} t = \frac{1}{2} \frac{Γ(\frac{u+1}{2})Γ(\frac{v+1}{2})}{Γ(\frac{u+v}{2} + 1)}

(c) \frac{Γ(x)}{Γ(2x)} = \frac{\sqrt{π}}{2^{2x−1}Γ(x + \frac{1}{2})}

Aufgabe 4. Berechne das Trägheitsmoment bzgl. der x-Achse von

E = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} + (\frac{z}{c} )^{2} ≤ 1\} (für a, b, c > 0) .

Der Körper habe dabei konstante Dichte μ > 0.