Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 2.11.06, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Sei f : V → V Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums V und U ⊂ V Untervektorraum mit f(U) ⊂ U. Zeige: f diagonalisierbar ⇒ f |_{U} diagonalisierbar.

Aufgabe 2. Seien f, g : V → V diagonalisierbare Endomorphismen eines endlich-dimen-sionalen Vektorraums V, welche miteinander kommutieren, d.h. f ∘ g = g ∘ f. Zeige:

(a) Ist Eig(g; λ) Eigenraum von g zum Eigenwert λ, so gilt f(Eig(g; λ)) ⊂ Eig(g; λ).

(b) f |_{Eig(g;λ)} ist diagonalisierbar.

(c) Es gibt eine Basis B = (b_{1}, …, b_{n}) von V, wobei die b_{i} (1 ≤ i ≤ n) sowohl Eigenvektoren von f als auch von g sind.

Aufgabe 3. Es sei f_{0} := 0, f_{1} := 1 und f_{n+2} := f_{n+1}+f_{n} für n ∈ ℕ sowie A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , a = \frac{1+\sqrt{5}}{2} , b = \frac{1−\sqrt{5}}{2}. Zeige:

(a) A^{n+1} = (\begin{matrix}f_{n+2} & f_{n+1} \\ f_{n+1} & f_{n} \end{matrix}) , n ∈ ℕ

(b) A^{n+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix}a^{n+2} − b^{n+2} & a^{n+1} − b^{n+1} \\ a^{n+1} − b^{n+1} & a^{n} − b^{n} \end{matrix}) , n ∈ ℕ

Tip: Diagonalisiere A.

Aufgabe 4. Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer Vektorraum, x, y ∈ V. Dann gilt:

(a) ∥x∥ = ∥y∥ ⟺ ⟨x − y, x + y⟩ = 0.

(b) ∥x − y∥ = ∥x + y∥ ⟺ ⟨x, y⟩ = 0.

(c) ∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} ⟺ ⟨x, y⟩ = 0.

(d) ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2}.