Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 09.11.06 bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum und x, y ∈ V. Zeigen Sie: Gilt ∥x∥ = ∥y∥ = 1, dann folgt ∥x − λy∥ = ∥λx − y∥ für alle λ ∈ ℝ.

Aufgabe 2. Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} ∈ V. Zeigen Sie:

v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig ⟺ det ((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤n}} ) ≠ 0 .

Aufgabe 3. Es sei für f, g ∈ C^{0}([−1, 1]) (stetige reellwertige Funktionen über dem Intervall [−1, 1]) definiert:

⟨f, g⟩ := ∫_{−1}^{1} f(t) g(t) dt .

a) Zeigen Sie: ⟨ , ⟩ ist ein Skalarprodukt auf C^{0}([−1, 1]).

b) Durch das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren bestimme man eine Orthonormalbasis des Untervektorraums span(1, x, x^{2}, x^{3}) von C^{0}([−1, 1]).

Aufgabe 4. Man untersuche, welche der durch die folgenden Matrizen erklärten symmetrischen Bilinearformen positiv definiert sind:

a) (\begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 1 \end{matrix})  b) (\begin{matrix}3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & −2 \\ 0 & −2 & 5 \end{matrix})  c) (\begin{matrix}−1 & −1 & 0 \\ −1 & −2 & −2 \\ 0 & −2 & −5 \end{matrix}).