Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 16.11.06, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Es sei f : ℝ^{3} → ℝ^{3} eine orthogonale Abbildung. Zeige: Es gibt eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) des ℝ^{3}, so daß M_{B}^{B}(f) eine der beiden folgenden Formen hat:

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix}) oder (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix}) , 0 ≤ α < 2π .

Aufgabe 2. In den Bezeichnungen von Aufgabe 2 heißt ℝv_{3} die Drehachse, ℝv_{1} + ℝv_{2} die Drehebene und α der Drehwinkel der Abbildung f. Bestimmen Sie den Drehwinkel von

\frac{1}{125} (\begin{matrix}45 & −108 & 44 \\ 60 & −19 & −108 \\ 100 & 60 & 45 \end{matrix}) .

Aufgabe 3. Für v ∈ ℝ^{3} (Spaltenvektor) sei S_{v} := E_{3} − \frac{2}{⟨v,v⟩}v · v^{t} ∈ M(3, ℝ). Zeige:

a) S_{v}^{2} = E_{3}, S_{v}^{t} = S_{v}, also S_{v} ∈ O(3). (Eine solche Matrix S_{v} heißt deshalb Spiegelungsmatrix.)

b) Für v, w ∈ ℝ^{3} mit ∥v∥ = ∥w∥ gilt S_{v−w} · v = w und S_{w−v} · w = v.

Aufgabe 4. Es sei

T_{1}(α)= (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix}) , T_{2}(β)= (\begin{matrix}cos β & 0 & − sin β \\ 0 & 1 & 0 \\ sin β & 0 & cos β \end{matrix}) , T_{3}(γ)= (\begin{matrix}cos γ & − sin γ & 0 \\ sin γ & cos γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

a) Zeigen Sie: Die Matrizen aus SO(3) sind genau die Matrizen T_{1}(α) · T_{2}(β) · T_{3}(γ) mit α, β, γ ∈ [0, 2π)

b) Zeigen Sie: Die Matrizen aus SO(3) sind genau die Matrizen T_{3}(α) · T_{1}(β) · T_{3}(γ) mit α, β, γ ∈ [0, 2π). (In diesem Fall heißen α, β, γ die Eulerschen Winkel.)