Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 23.11.06, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Untersuchen Sie folgende Mengen X auf Offenheit und Abgeschlossenheit und bestimmen Sie ihre Ränder ∂X:

a) X = \{z ∈ ℂ : |z| ≤ \frac{1}{1+|z|}\} ⊂ ℂ

b) X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ∈ ℚ , y ∈ ℝ \ ℚ} ⊂ ℝ^{2}

c) X = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ∈ ℝ \ \{0\} , |y| < | sin \frac{1}{x}|\} ⊂ ℝ^{2}

d) X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y > x^{2} und y < x} ⊂ ℝ^{2}

Aufgabe 2. Es sei X eine Menge und d : X × X → ℝ erklärt durch

d(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & falls x = y \\ 1 & sonst \end{matrix}

Zeigen Sie: d ist eine Metrik auf X. Beschreiben Sie die Cauchyfolgen. Wann konvergiert eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} bzgl. dieser Metrik?

Aufgabe 3. Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Für x, y ∈ X sei D : X × X → ℝ durch

D(x, y) := \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}

erklärt. Zeigen Sie: (X, D) ist ein metrischer Raum.

Aufgabe 4.

a) Es sei V der Vektorraum der auf [0, 1] beschränkten Funktionen. Zeigen Sie:

∥f∥ := sup {|f(x)| : x ∈ [0, 1]}

ist eine Norm auf V.

b) Es sei V der Vektorraum der auf [0, 1] stetigen Funktionen

∥v∥ := (∫_{0}^{1} |v(t)|^{2} dt)^{1/2} .

Zeigen Sie: (V, ∥ … ∥) ist ein normierter Vektorraum, aber nicht vollständig.