Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 30.11.06 bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Es sei (V, ∥ ∥) ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit der Norm ∥ ∥ : V → ℝ und M ⊂ V eine beschränkte Menge, d.h. es gibt ein K > 0 mit ∥v∥ ≤ K ∀ v ∈ M. Zeigen Sie: Jede Folge (v_{k})_{k∈ℕ} von Vektoren v_{k} ∈ M besitzt eine konvergente Teilfolge. Hinweis: Es genügt, den Beweis zu führen für V = ℝ^{n} und eine allgemeine Norm auf ℝ^{n}, die also von der Standardnorm verschieden sein kann.

Aufgabe 2. Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über ℝ, auf dem zwei Normen ∥ ∥_{1} : V → ℝ und ∥ ∥_{2} : V → ℝ gegeben sind. Zeigen Sie: Es gibt Konstanten c_{1}, c_{2} ∈ ℝ mit ∥x∥_{1} ≤ c_{1}∥x∥_{2} und ∥x∥_{2} ≤ c_{2}∥x∥_{1} ∀ x ∈ V. (Benutze Aufgabe 1)

Aufgabe 3. Sei (a, b) ∈ ℝ^{2} und F : ℝ^{2} \ {(a, b)} → ℝ gegeben durch F (x_{1}, x_{2}) := ln ((x_{1} − a)^{2} + (x_{2} − b)^{2}). Zeigen Sie: ∂_{1}^{2}F + ∂_{2}^{2}F = 0.

Aufgabe 4. F : ℝ^{2} → ℝ sei durch F (x, y) := \sqrt{|x||y|} erklärt. Wo ist F stetig, wo partiell differenzierbar?