Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 07.12.06, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Eine differenzierbare Funktion f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ heißt homogen vom Grad r > 0, wenn gilt f(tx) = t^{r}f(x) für alle x ∈ ℝ^{n} \ {0} und t > 0. Zeige: f homogen vom Grad r ⟺ rf(x) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}(∂_{j}f)(x).

Aufgabe 2. Es seien f : ℝ^{1} → ℝ^{3} erklärt durch f(t) = (t, t sin t, t cos t) und g : ℝ^{3} → ℝ^{1} durch g(x, y, z) := x^{2} + y^{2} − z^{2}. Berechne (\frac{d}{dt}(g ∘ f))(1).

Aufgabe 3. Die van der Waalssche Zustandsgleichung eines Gases lautet

p(v, T) = \frac{RT}{v − b} − \frac{a}{v^{2}} .

Berechnen Sie (∂_{1}p)(v, T) und (∂_{1}^{2}p)(v, T) sowie den kritischen Punkt (v_{k}, T_{k}, p_{k}), der durch (∂_{1}p)(v_{k}, T_{k}) = 0 und (∂_{1}^{2}p)(v_{k}, T_{k}) = 0 definiert ist.

Aufgabe 4. Berechnen Sie die Richtungsableitungen von f(x, y, z) = cos z + sin(xy)

a) im Punkt (0, π, \frac{π}{2}) in Richtung v = (\frac{4}{5}, 0, \frac{3}{5})

b) im Punkt (1, π, \frac{π}{2}) in Richtung v = (0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5})

c) im Punkt (π, 2, 1) in Richtung v = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)

d) im Punkt (π, 0, 0) in Richtung v = (0, −1, 0)