Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 21.12.06 bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Es sei A = A^{t} ∈ M(n × n, ℝ) eine symmetrische Matrix und die Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ definiert durch F (x) := x^{t}Ax. Zeige:

a) F besitzt auf der Einheitssphäre S^{n−1} := {y ∈ ℝ^{n} : ∑_{i=1}^{n} y_{i}^{2} = 1} ein Minimum λ, etwa in v ∈ ℝ^{n}.

b) Der Vektor v aus a) ist dann Eigenvektor von A zum Eigenwert v^{t}Av.

Aufgabe 2. Sei A_{0} die Hyperebene gegeben durch {x ∈ ℝ^{n} : a^{t}x − c = 0} für festes a ∈ ℝ^{n} mit ∥a∥ = 1 und festes c ∈ ℝ. Berechne den Abstand eines Punktes b_{0} ∈ ℝ^{n} von A_{0}.

Aufgabe 3. Es sei F : ℝ^{N} → ℝ definiert durch F (x_{1}, …, x_{N}) = ∏_{i=1}^{N} x_{i}. Eingeschränkt auf die Teilmenge {(x_{1}, …, x_{N}) : x_{ν} ≥ 0 für alle 1 ≤ ν ≤ N , ∑_{ν=1}^{N} x_{ν} = 1} besitzt F genau in x_{1} = … = x_{N} = \frac{1}{N} ein absolutes Maximum. Man folgere: Für beliebige positive x_{1}, …, x_{N} gilt

∏_{i=1}^{N} x_{i} ≤ (\frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i})^{N} .

“=” gilt genau dann, wenn x_{1} = … = x_{N} gilt.

Aufgabe 4. Es sei p ∈ ℝ, p > 1, a ∈ ℝ^{N}. Betrachtet werde die Funktion F : ℝ^{N} → ℝ mit F (x) := ⟨a, x⟩ = ∑_{i=1}^{N} a_{i}x_{i} und die durch f(x) = 1 − ∑_{i=1}^{N} |x_{i}|^{p} = 0 gegebene Untermannigfaltigkeit M.

a) Zeigen Sie, daß die Einschränkung von F auf M das absolute Maximum (∑_{i=1}^{N} |a_{i}|^{q})^{1/q}

und das absolutes Minimum − (∑_{i=1}^{N} |a_{i}|^{q})^{1/q} hat, wobei \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 ist.

b) Man folgere:

| ∑_{i=1}^{N} a_{i}x_{i}| ≤ (∑_{i=1}^{N} |a_{i}|^{q})^{1/q} (∑_{i=1}^{N} |x_{i}|^{p})^{1/p} für alle x ∈ ℝ^{N} .