Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske

Probeklausur zur Mathematik für Physiker III

Aufgabe 1. Berechne

(\begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix})^{2007}

Aufgabe 2. Seien

f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3}  gegeben durch f(x, y) := (x^{2} + y, x − y, x) ,
g : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2}  gegeben durch g(u, v, w) := (u^{10} − v, u^{5} + v^{5}) .

Berechne (D(g ∘f))(0, 1). Aufgabe 3. Sei δ > 0 fest. Bestimme das globale Minimum von x^{2} + y^{2} + (δ − x − y)^{2} auf ℝ^{2}. Aufgabe 4. Man bestimme alle Extrema von

x^{4} + y^{4} + z^{4} auf x^{2} + y^{2} + z^{2} − 1 = 0 .

Aufgabe 5. Sei α > 0, β ∈ ℝ und I(α, β) := ∫_{0}^{∞} dx e^{−αx} \frac{sin βx}{x}. Zeige:

a) (\frac{∂}{∂β} I)(α, β) = \frac{α}{α^{2} + β^{2}}

b) ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} = \frac{π}{2} .

Aufgabe 6. Berechne das Trägheitsmoment des Kugeloktanten

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1 , x > 0, y > 0, z > 0}

bzgl. der z-Achse als Drehachse.