Überblick

1. Semester: Grundlagen der Analysis

2. Semester: Lineare Algebra

3. Semester: Höherdimensionale Differential- und Integralrechnung

Inhalt des 1. Semesters

Teil I: Grundlagen
Teil II: Folgen und Reihen
Teil III: Funktionen, Stetigkeit
Teil IV: Differentialrechnung
Teil V: Integralrechnung

Literatur

[1] O. Forster, “Analysis 1,” Vieweg (2006).
[2] K. Königsberger, “Analysis 1,” Springer (2004).

Teil I

Grundlagen

1 Mathematische Beweise

Die Mathematik basiert auf einer Reihe von Axiomen, d.h. als “wahr” angenommenen Grundaussagen, aus denen dann durch logische Verknüpfungen weitere Aussagen bewiesen, d.h. als “wahr” erkannt werden. Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch, niemals beides.

Sei B eine mathematische Aussage (z.B. 5 > 2). Um zu beweisen, daß B wahr ist, ist eine bereits als wahr erkannte Aussage A zu suchen, aus der B folgt (geschrieben: A ⇒ B). Meist sind in Beweisen mehrere Aussagen zu verknüpfen.

Definition 1.1 Es seien A, B Aussagen. Dann werden Verknüpfungen A∧B (und), A ∨ B (oder), ¬A (nicht), A ⇒ B (folgt) und A ⇔ B (äquivalent) definiert durch die Wahrheitstafel

\begin{matrix}A & B & A ∧ B & A ∨ B & A ⇒ B & A ⇔ B & ¬A \\ w & w & w & w & w & w & f \\ w & f & f & w & f & f & f \\ f & w & f & w & w & f & w \\ f & f & f & f & w & w & w \end{matrix}

In der Analysis müssen wir entsprechende Verknüpfungen für Mengen von Aussagen untersuchen. Dazu einige Bezeichnungen für Mengen: Endliche Mengen kann man durch eine vollständige Liste ihrer Elemente angeben, Schreibweise X = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}. Dabei ist die Reihenfolge beliebig, und das gleiche Element darf nicht mehrmals auftreten. Die x_{i}, i = 1, …, n, heißen Elemente der Menge X, Schreibweise x_{i} ∈ X. Wenn x kein Element von X ist, schreiben wir x ∉ X. Die leere Menge ∅ enthält kein Element. Eine Menge Y heißt Teilmenge einer Menge X, wenn für jedes Element y ∈ Y gilt y ∈ X. Ist Y ⊂ X, dann ist das Komplement X \ Y definiert als die Menge der x ∈ X mit x ∉ Y. Das direkte Produkt von Mengen X_{1}, …, X_{n} ist erklärt als die Menge aller geordneten n-Tupel:

X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} := {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ X_{i}} .

Speziell schreiben wir X^{n} := \underbrace{X × ⋯ × X}_{n}.

Viele der Konstruktionen aus endlichen Mengen lassen sich auch auf unendliche Mengen übertragen. Wir benötigen vor allem folgende Zahlbereiche: die Menge ℕ = {0, 1, 2 …, } der natürlichen Zahlen, die Menge ℤ = {0, ±1, ±2, … } der ganzen Zahlen, die Menge ℚ der rationalen Zahlen sowie die Menge ℝ der reellen Zahlen. Wir werden später im Detail darauf eingehen und insbesondere auch die Menge ℂ der komplexen Zahlen definieren.

Definition 1.2 (für alle; es gibt) Es sei I eine beliebige Indexmenge und {A_{i} : i ∈ I} ein System von Aussagen.

i) Die Aussage (∀i ∈ I gilt A_{i}) ist wahr genau dann, wenn alle Aussagen A_{i} wahr sind.

ii) Die Aussage (∃i ∈ I mit A_{i}) ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen A_{i} wahr ist.

Also ist ∀ die Verallgemeinerung von ∧ und ∃ die Verallgemeinerung von ∨. Einige Folgerungen aus der Definition sind:

• (A ∧ B) ⇒ A ∨ B

• (A ⇔ B) ⇒ (A ⇒ B)

• (A ⇔ B) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B))

• A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

• (¬A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ A)

Die letzte Eigenschaft ist die Grundlage des indirekten Beweises: Um B zu beweisen, suchen wir eine falsche Aussage A und zeigen, daß A aus der Verneinung von B folgt, also ¬B ⇒ A.

Beispiel 1.3 (Irrationalität von \sqrt{2}) Es sei B die Aussage: \sqrt{2} ist eine irrationale Zahl. Wir gehen von der Negation ¬B aus: Angenommen, \sqrt{2} wäre eine rationale Zahl, also \sqrt{2} = \frac{p}{q} mit p, q ∈ ℤ und q ≠ 0. Durch Kürzen kann erreicht werden, daß p oder q ungerade ist. Es gilt 2 = (\sqrt{2})^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}} , also p^{2} = 2q^{2}. Damit ist p^{2} und dann auch p gerade. Somit ist nach Voraussetzung q ungerade. Da p gerade ist, gibt es ein r ∈ ℤ mit p = 2r. Nun ergibt sich 2 = \frac{4r^{2}}{q^{2}} , also q^{2} = 2r^{2}, d.h. q^{2} und damit auch q ist auch ungerade! Wir haben also gezeigt:

\underbrace{(\sqrt{2} ∈ ℚ)}_{¬B} ⇒ \underbrace{(∃q ∈ ℤ, q ≠ 0, mit q ist gerade und ungerade )}_{A} ist wahr.

Da A falsch ist, kann ¬B ⇒ A nur dann wahr sein, wenn ¬B falsch ist, also B wahr, d.h. \sqrt{2} ist irrational. □

Wichtig in indirekten Beweisen ist die korrekte Verneinung der Aussage. Dabei gelten:

• ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
• ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B

• ¬(∀i ∈ I gilt A_{i}) ⇔ ∃i ∈ I mit ¬A_{i}
• ¬(∃i ∈ I mit A_{i}) ⇔ ∀i ∈ I gilt ¬A_{i}

Beispiel 1.4 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge reeller Zahlen. Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent, wenn gilt:

Es gibt ein a ∈ ℝ, so daß für alle ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit |a_{n} − a| < ϵ für alle n ≥ N.

Die Verneinung ist nicht: “Es gibt kein a ∈ ℝ … ”, sondern:

Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ist nicht konvergent, wenn für alle a ∈ ℝ gilt: Es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle N ∈ ℕ ein n ≥ N existiert mit |a_{n} − a| ≥ ϵ.

2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Die Struktur der Menge ℕ der natürlichen Zahlen wird als bekannt vorausgesetzt. In dieser Vorlesung ist 0 ∈ ℕ, für die natürlichen Zahlen ohne 0 schreiben wir ℕ \ {0}. Die wichtigste Eigenschaft von ℕ ist, daß für jede Zahl n ∈ ℕ genau ein Nachfolger n + 1 existiert, und startend mit 0 wird mit 0, 1, 2, …, n, n + 1, … jede natürliche Zahl genau einmal durchlaufen. Daraus ergibt sich das

2.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Es sei N ∈ ℕ, und zu jeder Zahl n ∈ ℕ mit n ≥ N sei eine Aussage A_{n} gegeben. Alle Aussagen A_{n} sind richtig, wenn man (I0) und (I1) beweisen kann:

(I0) A_{N} ist wahr (Induktionsanfang).

(I0) Für beliebiges n ≥ N gilt: Falls A_{n} wahr ist, so ist auch A_{n+1} wahr (Induktionsschritt).

Beispiel 2.2 Für jedes n ∈ ℕ gilt die Aussage A_{n}: 0 + 1 + ⋯ + n = \frac{1}{2}n(n + 1).

Beweis. i) Wähle N = 0. Offenbar ist A_{0} wahr. ii) Unter der Annahme, daß A_{n} gilt, folgt

\underbrace{0 + 1 + ⋯ + n}_{A_{n}} +(n + 1) = \frac{1}{2}n(n + 1) + (n + 1) = \frac{1}{2}(n + 1)(n + 2) ,

also die Aussage A_{n+1}. □

Da Summen wie in Beispiel 2.2 häufig vorkommen, vereinbart man das Summenzeichen Σ: Ist für jede natürliche Zahl k ∈ ℤ mit m ≤ k ≤ n eine reelle Zahl a_{k} gegeben, dann setzt man

∑_{k=m}^{n} a_{k} := \{ \begin{matrix}a_{m} + a_{m+1} + ⋯ + a_{n} falls & n ≥ m \\ 0 falls & n < m \end{matrix}

(Dabei bedeutet “:=”, daß der links stehende Ausdruck durch die rechte Seite

erklärt wird.) Insbesondere ist ∑_{k=m}^{m} a_{k} = a_{m} und

∑_{k=m}^{n+1} a_{k} = ∑_{k=m}^{n} a_{k} + a_{n+1} .  (*)

Durch letzte Eigenschaft kann man das Summenzeichen rekursiv ähnlich zum Prinzip der vollständigen Induktion definieren: Man wählt als Induktionsanfang

∑_{k=m}^{m−1} a_{k} := 0 und (*) als Induktionsschritt. Weitere Beispiele rekursiver Defini-

tionen sind die Potenzen einer reellen Zahl als x^{1} := x (Induktionsanfang) und x^{n+1} := x · x^{n} (Induktionsschritt). Für x ≠ 0 definiert man außerdem x^{0} := 1. (Der Ausdruck “0^{0}” ist nicht definiert. Jedoch werden wir im weiteren Verlauf des Semesters x^{y} definieren und x^{y} für x, y → 0 untersuchen.) Mit diesen Vorbereitungen beweisen wir

Satz 2.3 (geometrische Summenformel) Es sei x eine von 0 und 1 verschie-

dene reelle Zahl und n ∈ ℕ. Dann gilt ∑_{k=0}^{n} x^{k} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x}.

Beweis. i) Induktionsanfang: Für n = 0 steht auf der linken Seite x^{0} = 1 und auf der rechten Seite \frac{1−x}{1−x} = 1, die Aussage ist also wahr unter der Voraussetzung x ≠ 0 und x ≠ 1. ii) Induktionsschritt:

∑_{k=0}^{n+1} x^{k} = ∑_{k=0}^{n} x^{k} + x^{n+1} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + x^{n+1} \frac{1 − x}{1 − x} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + \frac{x^{n−1} − x^{n+2}}{1 − x}

= \frac{1 − x^{n+2}}{1 − x} .  □

(Die linke Seite ist auch für x = 1 sinnvoll und ergibt ∑_{k=0}^{n} 1 = n + 1. Fragen wie nach dem Wert der rechten Seite für x → 1 sind typisch für die Analysis.)

Ähnlich zum Summenzeichen wird auch das Produktzeichen (mit sonst gleichen Bezeichnungen wie zuvor) eingeführt als

∏_{k=m}^{n} a_{k} := \{ \begin{matrix}a_{m} · a_{m+1} ⋯ a_{n} falls & n ≥ m \\ 1 falls & n < m \end{matrix}

Die rekursive Definition ist ∏_{k=m}^{m−1} a_{k} := 1 und ∏_{k=m}^{n+1} a_{k} := a_{n+1} · ∏_{k=m}^{n} a_{k}. Besonders

wichtig ist für n ∈ ℕ \ {0} der Ausdruck n! := ∏_{k=1}^{n} k = 1 · 2 ⋯ n, gesprochen “n-Fakultät”. Außerdem definiert man 0! := 1. Über die Fakultät bildet man für n, k ∈ ℕ die Binomialkoeffizienten

\binom{n}{k} := \{ \begin{matrix}\frac{n!}{k!(n − k)!} falls & n ≥ k \\ 0 falls & n < k \end{matrix}

Insbesondere gilt \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 für alle n ∈ ℕ. Ist n ≥ k ≥ 1, so ergibt sich

\binom{n}{k} = \frac{n(n − 1) ⋯ (n − k + 1)}{k!}, was für konkrete Berechnungen sinnvoller ist.

Lemma 2.4 Für n, k ∈ ℕ gilt \binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}.

Beweis. Für k = 0 ist auf der linken Seite \binom{n + 1}{1} = n + 1 und auf der rechten

Seite \binom{n}{0} + \binom{n}{1} = 1 + n, d.h. die Formel gilt für k = 1. Für n = k sind

beide Seiten der Gleichung gleich 1 und für k > n verschwinden beide Seiten der Gleichung. Damit verbleibt der Fall n > k ≥ 1:

\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1} = \frac{n!}{k!(n − k)!} + \frac{n!}{(k + 1)!(n − (k + 1))!}

= \frac{n!(k + 1)}{k!(k + 1)(n − k)!} + \frac{n!(n − k)}{(k + 1)!(n − k)(n − k − 1)!}

= \frac{n!(k + 1) + n!(n − k)}{(k + 1)!(n − k)!} = \frac{(n + 1)!}{(k + 1)!(n + 1 − (k + 1))!}

= \binom{n + 1}{k + 1} .  □

Das Lemma ist der Hintergrund für das Pascalsche Dreieck zur Veranschaulichung der Binomialkoeffizienten.

Satz 2.5 (Binomialentwicklung) Für reelle Zahlen x, y ≠ 0 und n ∈ ℕ gilt

(x + y)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n−k}.

Beweis. Durch Induktion nach n. i) Induktionsanfang: Für n = 0 ist (x + y)^{0} = 1

und ∑_{k=0}^{0} \binom{0}{k}x^{k}y^{−k} = 1.

ii) Induktionsschritt:

(x + y)^{n+1} = (x + y)(x + y)^{n} = \underbrace{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k+1}y^{n−k}}_{k+1→l} + \underbrace{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n+1−k}}_{k→l}

= ∑_{l=1}^{n+1} \binom{n}{l − 1}x^{l}y^{n+1−l} + ∑_{l=0}^{n} \binom{n}{l}x^{l}y^{n+1−l}

= ∑_{l=1}^{n} \underbrace{\{\binom{n}{l − 1} + \binom{n}{l}\}}_{=\binom{n+1}{l}} x^{l}y^{n+1−l} + \underbrace{\binom{n}{n}}_{=\binom{n+1}{n+1}} x^{n+1}y^{0} + \underbrace{\binom{n}{0}}_{=\binom{n+1}{0}} x^{0}y^{n+1}

= ∑_{l=0}^{n+1} \binom{n + 1}{l}x^{l}y^{n+1−l}  □

3 Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen bilden aufgrund ihrer Vollständigkeit die Grundlage der Analysis. Die Erweiterung von ℕ zu ℤ bewirkt, daß die Subtraktion stets ausführbar ist. Dadurch bildet ℤ eine sogenannte kommutative Gruppe.

Definition 3.1 Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗ heißt Gruppe, falls die folgenden Axiome erfüllt sind:

(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, ∈ G (Assoziativgesetz)

(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit e ∗ a = a für alle a ∈ G

(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein a^{−1} ∈ G (das zu a inverse Element) mit a^{−1} ∗ a = e

Die Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), falls außerdem a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G. In diesem Fall schreibt man meist + für die Verknüpfung, 0 für das neutrale Element und −a für das zu a inverse Element.

Die Erweiterung von ℤ zu ℚ bewirkt, daß die Division durch von Null verschiedene Elemente ausführbar wird. Außerdem sind die beiden Verknüpfungen + und · kompatibel. Man sagt, ℚ ist ein Körper:

Definition 3.2 Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :K × K → K ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :K × K → K ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Körper, wenn folgendes gilt:

(K1) K zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 0 bezeichnet und das zu a ∈ K inverse Element mit −a.

(K2) Sei K^{∗} := K \{0}, dann ist für a, b ∈ K^{∗} auch a·b ∈ K^{∗}, und K^{∗} mit dieser Multiplikation ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 1 bezeichnet und das zu a ∈ K^{∗} inverse Element mit a^{−1} = 1/a. Man schreibt auch a/b = a^{−1} · b = b · a^{−1}.

(K3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ K.

Offenbar sind ℚ und ℝ Körper, ℤ ist es nicht. Später werden wir den Körper ℂ der komplexen Zahlen einführen. In der Algebra werden noch viele weitere Körper untersucht, z.B. kann man die zweielementige Menge ℤ_{2} := {0, 1} zu einem Körper machen. In ℚ, ℝ, ℂ schreiben wir die Multiplikation meist als ab statt a · b.

Die rationalen und reellen Zahlen sind dadurch gekennzeichnet, daß gewisse Elemente als positiv ausgezeichnet sind:

Definition 3.3 (Anordnungs-Axiome) Ein Körper K heißt angeordnet, falls eine Teilmenge K_{+}^{∗} ⊂ K existiert mit folgenden Eigenschaften:

(A1) Für a ∈ K^{∗} := K \ {0} ist entweder a ∈ K_{+}^{∗} oder −a ∈ K_{+}^{∗}.

(A2) Aus a, b ∈ K_{+}^{∗} folgen a + b ∈ K_{+}^{∗} und ab ∈ K_{+}^{∗}.

Die Elemente a ∈ K^{+} heißen positiv, Schreibweise a > 0.

Offenbar sind ℚ und ℝ angeordnete archimedische Körper. Man vereinbart

a > b,  falls a − b > 0
b < a,  falls a > b
a ≤ b,  falls a < b oder a = b
a ≥ b,  falls a > b oder a = b

Ist −a positiv, also a < 0, so heißt a negativ. Ist a ≥ 0, so heißt a nichtnegativ. Die Menge der nichtnegativen rellen Zahlen wird mit ℝ_{+} bezeichnet, die der positiven rellen Zahlen mit ℝ_{+}^{∗}. Außerdem ist ℝ^{∗} := ℝ \ {0}. Die Anordnung ermöglicht die Darstellung der rellen Zahlen auf der Zahlengeraden

Alle Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen folgen aus diesen Axiomen. Hier eine Auswahl ohne Beweis.

Lemma 3.4 Es sei K ein angeordneter Körper (z.B. ℝ oder ℚ). Dann gelten:

i) Für beliebige a, b ∈ 𝕂 gilt genau eine der Relationen a > b, a = b, a < b.

ii) Aus a > b und b > c folgt a > c (Transitivität). iii) Aus a > b folgen \frac{1}{a} < \frac{1}{b}, a + c > b + c für alle c ∈ 𝕂 sowie ac > bc für

c ∈ 𝕂_{+}^{∗} und ac < bc für −c ∈ 𝕂_{+}^{∗}.

iv) Aus a > b und c > d folgt a + c > b + d und im Fall b, d > 0 auch ac > bd

v) Für a ≠ 0 gilt a^{2} > 0

Analoge Regeln gelten für “≥”. Indem man n ∈ ℕ mit n1 := \underbrace{1 + ⋯ + 1}_{n mal} ∈ K

identifiziert, kann man ℕ als Teilmenge jedes geordneten Körpers K auffassen, analog auch ℤ. Indem man \frac{p}{q} ∈ ℚ_{+}^{∗} für p ∈ ℕ, q ∈ ℕ \ \{0\} mit (p1)(q1)^{−1} ∈ K identifiziert, kann man ℚ_{+}^{∗} und analog auch ℚ als Teilmenge jedes geordneten Körpers K auffassen.

Lemma 3.5 (Bernoullische Ungleichung) Es sei K ein angeordneter Körper (z.B. ℝ oder ℚ).

i) Für alle x ∈ K mit x > −1 und x ≠ 0 und n ∈ ℕ mit n ≥ 2 gilt (1 + x)^{n} > 1 + nx.

ii) Für alle x ∈ K mit x > −1 und n ∈ ℕ gilt (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx.

Beweis. Wir beweisen i) durch Induktion nach n. (1) Induktionsanfang: Für n = 2 ergibt ist (1 + x)^{2} = 1 + 2x + x^{2} > 1 + 2x wegen x^{2} > 0.

(2) Induktionsschritt. Die Bernoullische Ungleichung gelte für n. Dann folgt unter Verwendung von 1 + x > 0 und x^{2} > 0

(1+x)^{n+1} = \underbrace{(1 + x)^{n}}_{>1+nx}(1+x) > (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx^{2} > 1+(n+1)x .

Der Beweis von ii) ist analog. □

Definition 3.6 Ein angeordneter Körper K heißt archimedisch, wenn zusätzlich gilt:

(A3) Zu jedem Element a ∈ 𝕂 gibt es eine natürliche Zahl n, so daß n − a > 0.

Offenbar sind ℚ und ℝ archimedisch angeordnet.

Satz 3.7 Es sei K ein archimedisch angeordneter Körper und q, R, ϵ ∈ K und n ∈ ℕ. Dann gilt:

i) Ist q > 1, so gibt es zu jedem R ∈ K ein N ∈ ℕ mit q^{n} > R∀n ≥ N.

ii) Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit q^{n} < ϵ ∀n ≥ N.

iii) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein n ∈ ℕ mit 0 < \frac{1}{n} < ϵ.

Beweis. i) Setze q = 1 + x mit x > 0. Nach (A3) gibt es ein N ∈ ℕ mit \frac{R}{x} < N, also Nx > R. Nach Bernoulli gilt q^{N} > 1 + Nx für N ≥ 2, N ∈ ℕ. Für Nx > R ergibt sich q^{N} > 1 + R > R und damit q^{n} > R für alle n ≥ N ≥ 2.

ii) Für 0 < q < 1 ist \frac{1}{q} > 1. Nach i) gibt es ein N ∈ ℕ mit (\frac{1}{q})^{n} > R := \frac{1}{ϵ} für alle n ≥ N. Damit ergibt sich 0 < q^{n} < \frac{1}{R} = ϵ für alle n ≥ N.

iii) Nach (A3) gibt es ein N ∈ ℕ mit 0 < \frac{1}{ϵ} =: R < N. Dann ist N ≥ 1, und es folgt 0 < \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N} < \frac{1}{R} = ϵ für alle n ≥ N. □

Der Vergleich positiver Zahlen ϵ > 0 wird im weiteren eine große Rolle spielen. Dazu benötigen wir

Definition 3.8 (Absolutbetrag) Für a ∈ ℝ ist der Absolutbetrag |a| ∈ ℝ_{+} erklärt als

|a| := \{ \begin{matrix}a falls & a ≥ 0 \\ −a falls & a < 0 \end{matrix}

Lemma 3.9 Für den Absolutbetrag gilt |a| = | − a|, a ≤ |a|, −a ≤ |a|, |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung), |ab| = |a||b|, und ||a| − |b|| ≤ |a − b| ∀a, b ∈ ℝ.

Beweis. Die ersten drei Beziehungen folgen aus der Definition, die Dreiecksungleichung dann aus Lemma 3.4.iv, |ab| = |a||b| dann durch Fallunterscheidung nach a ≷ 0 und b ≷ 0. Aus der Dreiecksungleichung folgt |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| bzw. |a| − |b| ≤ |a − b|. Vertauschen von a, b liefert |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, zusammengefaßt damit die letzte Ungleichung. □

Die Dreiecksungleichung (und ihre Verallgemeinerungen) werden wir oft benötigen.

Alle bisher eingeführten algebraischen Strukturen gelten gleichermaßen für beide archimedisch angeordneten Körper ℚ und ℝ. Der wesentliche analytische Unterschied ist die Vollständigkeit von ℝ. Wir definieren die Vollständigkeit zunächst geometrisch über Intervallschachtelungen, später über sogenannte Fundamentalfolgen (was sich auf andere Beispiele verallgemeinern läßt).

Definition 3.10 i) Beschränkte Intervalle. Seien a, b ∈ ℝ mit a < b. Wir setzen

[a, b] := {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall)
]a, b[ := {x ∈ ℝ : a < x < b} (offenes Intervall)
[a, b[ := {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} (rechts halboffenes Intervall)
]a, b] := {x ∈ ℝ : a < x ≤ b} (links halboffenes Intervall)

Die Intervalle [a, b] nennt man auch kompakt. Für alle diese Intervalle I = [a, b],]a, b[, … heißen die Punkte a, b die Randpunkte und die x ∈ ℝ mit a < x < b die inneren Punkte. Für jedes dieser Intervalle I ist Ī:= [a, b] der Abschluß. Die relle Zahl |I| := b − a heißt Länge des Intervalls I. ii) Unbeschränkte Intervalle. Sei a ∈ ℝ. Wir setzen

\begin{aligned}[a, ∞[ & := \{x ∈ ℝ : a ≤ x\} & ]a, ∞[ & := \{x ∈ ℝ : a < x\} \\ ] − ∞, a] & := \{x ∈ ℝ : x ≤ a\} & ] − ∞, a[ & := \{x ∈ ℝ : x < a\} \end{aligned}

und ] − ∞, ∞[ = ℝ.

Die in i) und ii) angegebenen Intervalle heißen auch echte Intervalle im Unterschied zum unechten Intervall [a, a] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ a} = {a}.

Manchmal werden offene Intervalle auch als (a, b) geschrieben.

Definition 3.11 Eine Intervallschachtelung ist eine Folge I_{0}, I_{1}, I_{2}, …, kompakter Intervalle, kurz (I_{n})_{n∈ℕ}, mit folgenden Eigenschaften:

(I1) I_{n+1} ⊂ I_{n} für alle n ∈ ℕ,

(I2) zu jedem ϵ > 0 gibt es ein Intervall I_{n} mit der Länge |I_{n}| < ϵ.

Eine Formulierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen besteht in der Gültigkeit des

3.12 Intervallschachtelungsprinzip. Zu jeder Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} in ℝ existiert ein x ∈ ℝ mit x ∈ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

Die so erhaltene reelle Zahl x ist eindeutig bestimmt: Gäbe es zwei solche Zahlen x_{1}, x_{2} mit x_{1} < x_{2}, so müßte das Intervall [x_{1}, x_{2}] in allen I_{n} enthalten sein, und jedes dieser I_{n} hätte eine Länge ≥ x_{2} − x_{1} im Widerspruch zu (I2).

Eine erste Anwendung der Vollständigkeit ist die Existenz der k-ten Wurzeln positiver reeller Zahlen.

Satz 3.13 Zu jeder reellen Zahl x > 0 und jeder natürlichen Zahl k ≥ 1 gibt es genau eine reelle Zahl y > 0 mit y^{k} = x. (Diese wird als y = x^{\frac{1}{k}} oder y = \sqrt[k]{x} geschrieben.)

Beweis. Da aus y_{1} > y_{2} > 0 die Relation y_{1}^{k} > y_{2}^{k} > 0 folgt, kann es höchstens eine positive Lösung geben. Für x = 1 ist y = 1 die einzige Lösung. Wir betrachten zunächst den Fall x > 1 und konstruieren eine Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} mit folgenden Eigenschaften:

(1_{n}) a_{n}^{k} ≤ x ≤ b_{n}^{k}

(2_{n}) |I_{n}| = \frac{1}{2^{n}} |I_{0}| Wir beginnen mit I_{0} := [1, x] als Induktionsanfang. Dann ist (2_{0}) offenichtlich, und aus 1 < x folgt 1^{k} ≤ x ≤ x^{k}. Induktionsschritt von n auf n + 1: Gegeben ist I_{n} = [a_{n}, b_{n}] mit (1_{n}) und (2_{n}). Setze c_{n} := \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}) = a_{n} + \frac{1}{2}(b_{n} − a_{n}) und

a_{n+1} := c_{n} , b_{n+1} := b_{n} falls c_{n}^{k} ≤ x ,
a_{n+1} := a_{n} , b_{n+1} := c_{n} falls c_{n}^{k} > x .

Diese Konstruktion erfüllt (1_{n+1}) und wegen |I_{n+1}| = \frac{1}{2}|I_{|} auch (2_{n+1}). Nach Satz 3.7 erfüllt (I_{n})_{n∈ℕ} die Eigenschaften einer Intervallschachtelung (Definition 3.11), und nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es genau ein y ∈ ℝ mit y ∈ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

Bleibt zu beweisen, daß y^{k} = x. Dazu zeigt man, daß auch (J_{n})_{n∈ℕ} mit J_{n} := [a_{n}^{k}, b_{n}^{k}] eine Intervallschachtelung ist. Der Einschluß J_{n+1} ⊂ J_{n} ist klar, und für die Längen gilt für k > 1

|J_{n}| = b_{n}^{k} − a_{n}^{k} = \underbrace{(b_{n} − a_{n})}_{=|I_{n}|} \underbrace{(b_{n}^{k−1}a_{n}^{0} + b_{n}^{k−2}a_{n}^{1} + ⋯ + b_{n}^{0}a_{n}^{k−1})}_{<kx^{k}} < \frac{kx}{2^{n}}|I_{0}| .

Nun liegen nach Konstruktion sowohl x als auch y^{k} in jedem Intervall J_{n}. Da diese in allen Intervallen der Schachtelung liegende reelle Zahl eindeutig ist, gilt y^{k} = x.

Ist 0 < x < 1, so konstruiert man zu \frac{1}{x} > 1 die k-te Wurzel y > 1 mit y^{k} = \frac{1}{x}. Dann ist \frac{1}{y} die k-te Wurzel aus x, denn (\frac{1}{y})^{k} = \frac{1}{y^{k}} = \frac{1}{1/x} = x. □

Definition 3.14 (obere und untere Schranken) Eine Teilmenge M ⊂ ℝ heißt nach oben beschränkt bzw. nach unten beschränkt, wenn es ein s ∈ ℝ gibt, so daß für alle x ∈ ℕ gilt

x ≤ s bzw. x ≥ s .

In diesem Fall heißt s eine obere Schranke bzw. eine untere Schranke. Die Menge M heißt beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist.

Beispiel 3.15 Für a, b ∈ ℝ sind die offenen, halboffenen und abgeschlossenen Intervalle ]a, b[, [a, b[, ]a, b] und [a, b] beschränkt, damit auch nach oben oder unten beschränkt. Aus dem archimedischen Axiom folgt: Die Intervalle [a, ∞] und ]a, ∞] sind nach unten beschränkt, aber nicht beschränkt. Die Intervalle ] − ∞, b[ und ] − ∞, b] sind nach oben beschränkt, aber nicht beschränkt. Das Intervall ] − ∞, ∞[ ist weder nach oben noch nach unten geschränkt.

In einer beschränkten Menge braucht es eine größte oder kleinste Zahl nicht zu geben. Ist I = ]0, 1[, dann gibt es zu jeder Zahl x ∈ I eine größere, z.B. \frac{1+x}{2} > x. Damit ist s = 1 eine obere Schranke von I (und jede reelle Zahl s > 1 ist ebenfalls eine obere Schranke), aber 1 ∉ I. Aber 1 ist die kleinste obere Schranke von I:

Definition 3.16 (Supremum und Infimum) Eine Zahl s ∈ ℝ heißt Supremum der Menge M ⊂ ℝ, geschrieben s = sup M, wenn s die kleinste obere Schranke für M ist, d.h.

i) M ist beschränkt und s ist eine obere Schranke für M.

ii) Jede Zahl s′ < s ist keine obere Schranke für M. Entschrechend ist das Infimum von M ⊂ ℝ die größte untere Schranke, geschrieben inf M.

Beispiel 3.17 Für die Intervalle I gegeben durch ]a, b[, [a, b[, ]a, b] und [a, b] mit a < b gilt jeweils sup I = b und inf I = a. Auf der nach oben abgeschlossenen Seite von [a, b] und ]a, b] wird das Supremum b in I angenommen, es liegt dann ein Maximum vor, wobei max M := {x ∈ M : y ≤ x ∀y ∈ M}. Es gilt dann sup(]a, b]) = max(]a, b]) = b. Dagegen gilt sup([a, b[) = b, aber [a, b[ besitzt kein Maximum.

Satz 3.18 Jede nach oben (unten) beschränkte nichtleere Teilmenge M ⊂ ℝ besitzt ein Supremum (Infimum).

Bemerkung: Das ist eine Formulierung der Vollständigkeit und gilt somit nicht für M ⊂ ℚ. Beweis (für das Supremum). Analog zum Existenzbeweis der k-ten Wurzel (Satz 3.13) konstruiert man eine Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} = [a_{n}, b_{n}] derart, daß b_{n} ∈ ℝ eine obere Schranke ist und a_{n} ∈ M keine obere Schranke ist. Man startet mit einem beliebigen a_{0} ∈ M und einer beliebigen oberen Schranke b_{0} und konstruiert per Induktion das Intervall I_{n+1} durch Halbierung von I_{n}. Eine der Hälften hat die geforderten Eigenschaften. □

Umgekehrt folgt das Intervallschachtelungsprinzip aus der Existenz eines Supremums und Infimums für beschränkte Mengen: Es sei (I_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} = [a_{n}, b_{n}] eine Intervallschachtelung. Die Menge A := {a_{0}, a_{1}, … } ist nach oben beschränkt durch jedes der oberen Schranken b_{i}. Dann gibt es das Supremum s = sup A ∈ ℝ (kleinste obere Schranke) mit a_{n} ≤ s ≤ b_{n} für alle n ∈ ℕ.

4 Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der die Gleichung z^{2} + 1 = 0 lösbar ist. Viele Bereiche der Analysis lassen sich ohne Modifikation von den reellen auf die komplexen Zahlen erweitern, und manche Eigenschaften im Reellen lassen sich über den “Umweg” der komplexen Zahlen besser verstehen.

Für den zu bestimmenden Erweiterungskörper ℂ der reellen Zahlen fordern wir:

i) z^{2} + 1 = 0 ist lösbar, und i bezeichne eine Lösung dieser Gleichung.

ii) Für jede reelle Zahl x ∈ ℝ gilt auch x ∈ ℂ.

Dann ist für x, y ∈ ℝ auch z := x + iy ∈ ℂ. Die Körperaxiome (insbesondere Kommutativität und Distributivität) sowie i^{2} = −1 liefern für x, y, u, v ∈ ℝ:

(x+iy)+(u+iv) = (x+u)+i(y+v) , (x+iy)·(u+iv) = (xu−yv)+i(xv+yu) .

Damit ist die Menge der Elemente der Form x + iy abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Aus (x + iy) = (u + iv) folgt (x − u)^{2} = −(y − v)^{2}, also x = u und y = v. Die beiden reellen Zahlen x, y in z = x + iy sind durch z eindeutig definiert. Das formalisiert man wie folgt:

Definition 4.1 Eine komplexe Zahl ist ein Element z = (x, y) ∈ ℝ^{2} = ℝ × ℝ mit folgender Addition und Multiplikation:

(x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) , (x, y) · (u, v) = (xu − yv, xv + yu) .

Satz 4.2 Die mit dieser Addition und Multiplikation definierte Menge der komplexen Zahlen bildet einen Körper, der mit ℂ bezeichnet wird.

Beweis. Es sind die Körperaxiome nach Definition 3.2 zu überprüfen. Man findet:

• 0 = (0, 0) ist das neutrale Element der Addition.

• 1 = (1, 0) ist das neutrale Element der Multiplikation.

• −z = (−x, −y) ist bezüglich der Addition das zu z = (x, y) inverse Element.

• Nicht so offensichtlich ist das zu z ≠ 0 bezüglich der Multiplikation inverse Element: Dieses ist gegeben durch z^{−1} = (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} , −\frac{y}{x^{2}+y^{2}} ), d.h. es gilt (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} , −\frac{y}{x^{2}+y^{2}} ) · (x, y) = (1, 0).

(Man kann allgemein zeigen, daß das neutrale und inverse Element einer Gruppe eindeutig ist.) Durch Nachrechnen zeigt man die Distributivgesetze. □

Die durch ι : x ↦ (x, 0) definierte Abbildung ι : ℝ → ℂ ist injektiv. Wegen (x, 0) + (u, 0) = (x + u, 0) und (x, 0) · (u, 0) = (xu, 0) kann man deshalb ℝ mit seinem Bild ι(ℝ) = ℝ × {0} ⊂ ℂ identifizieren und somit die reellen Zahlen als Unterkörper der komplexen Zahlen auffassen.

Unter Verwendung der imaginären Einheit i := (0, 1) ∈ ℂ, mit i^{2} = (−1, 0) = −1, kann man eine komplexe Zahl schreiben als z = (x, y) = (x, 0)+(0, 1)·(y, 0) = ι(x) + iι(y), oder kurz als z = x + iy.

Definition 4.3 Für z = x + iy ∈ ℂ heißt

• Re(z) := x ∈ ℝ der Realteil von z,

• Im(z) := y ∈ ℝ der Imaginärteil von z

• z̄:= x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

Die Abbildung z ↦ z̄ heißt komplexe Konjugation.

Es gilt

\overline{z + w} = z̄ + w̄ ,  \overline{z · w} = z̄ · w̄ ,
z + z̄ = 2Re(z) ,  z − z̄ = 2iIm(z) ,
¯z̄ = z ,  z ∈ ℝ ⇔ z = z̄ .

Für z = x + iy ist z · z̄ = (x + iy) · (x − iy) = x^{2} + y^{2} stets eine nichtnegative reelle Zahl. Es läßt sich deshalb die Wurzel ziehen, und wir definieren

|z| := \sqrt{z · z̄} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∈ ℝ_{+}

als den Betrag von z.

Satz 4.4 Für beliebige z, w ∈ ℂ gilt

i) |z| > 0 ⇔ z ≠ 0,
ii) |z̄| = |z|,
iii) |Re(z)| ≤ |z| , |Im(z)| ≤ |z|,
iv) |z · w| = |z| · |w|,
v) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung).

Beweis. i),ii),iii) sind klar. Zu (iv) betrachte |zw|^{2} = zw\overline{zw} = zz̄ww̄ = |z|^{2}|w|^{2}. Bleibt die Dreiecksungleichung:

|z + w|^{2} = (z + w)(z̄ + w̄) = |z|^{2} + zw̄ + z̄w + |w|^{2} = |z|^{2} + 2Re(zw̄) + |w|^{2}
≤^{iii)} |z|^{2} + 2|zw̄| + |w|^{2} = |z|^{2} + 2|z||w| + |w|^{2} = (|z| + |w|)^{2} .  □

Es ist nun sehr intuitiv, eine komplexe Zahl z = x + iy als Punkt (x, y) in einem kartesischen Koordinatensystem in der Ebene (Gaußsche Zahlenebene) darzustellen. Nach Pythagoras ist dann |z| gerade der Abstand dieses Punktes vom Ursprung 0 = (0, 0).

[figure: *; (x, y); y; x; ^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}; 0; α]

Ist z ≠ 0, dann ergeben sich Real- und Imaginärteil in Polarkoordinaten zu x = |z| cos α und y = |z| sin α, so daß wir folgende Darstellung einer komplexen Zahl erhalten:

z = |z|(cos α + i sin α) , 0 ≤ α < 2π .

Die Addition (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) entspricht geometrisch der Addition von Vektoren:

[figure: Im; Re; z; wz; w; z+w; 0; 1]

Die Dreiecksungleichung |z + w| ≤ |z| + |w| entspricht der Tatsache, daß in einem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen größer ist als die Länge der verbleibenden Seite.

Die Multiplikation schreibt man am besten in Polarkoordinaten: Ist z = |z|(cos α + i sin α) und w = |w|(cos β + i sin β), dann ergibt sich

zw = |z||w|((cos α cos β − sin α sin β) + i(cos α sin β + sin α cos β))
= |z||w|( cos(α + β) + i sin(α + β)) ,

wobei im letzten Schritt die Additionstheoreme verwendet wurden. Folglich ergibt sich in Polarkoordinaten das Produkt zw durch Multiplikation der Radien und Addition der Winkel von z und w. Alternativ kann man sich überlegen, daß für festes w ∈ ℂ die durch f : z ↦ zw definierte Abbildung f : ℂ → ℂ wegen |f(z_{1} − z_{2})| = |w| |z_{1} − z_{2}| eine Ähnlichkeitsabbildung ist: Alle Längen werden um |w| gestreckt/gestaucht, damit bleiben Dreiecke kongruent und allgemein bleiben die Winkel zwischen Vektoren erhalten. Da der Ursprung erhalten bleibt und 1 in w überführt wird, ist die Abbildung z ↦ wz für w = |w|(cos β + i sin β) zusammengesetzt aus einer Drehung von z um den Ursprung mit Drehwinkel β und einer anschließenden Skalierung um den Faktor |w|.

Über diese geometrische Deutung der Multiplikation findet man die n-ten Einheitswurzeln, also komplexe Zahlen mit z^{n} = 1. Nach der Eindeutigkeit der reellen Wurzeln gilt |z_{k}| = 1 für jede Lösung z_{k}: die Einheitswurzeln liegen auf dem (Einheits-) Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Damit gilt z_{k} = cos α_{k} + i sin α_{k} und nach der Multiplikationsregel z_{k}^{n} = cos(nα_{k}) + i sin(nα_{k}). Aus z_{k}^{n} = 1 folgt nun nα_{k} = 2πk mit k ∈ ℤ, und die Menge der verschiedenen Lösungswinkel ist somit α = \{\frac{2πk}{n} : k = 0, 1, 2, …, n − 1\}. Folglich hat z^{n} = 1 die n Lösungen z_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} mit k = 0, 1, …, n − 1. Insbesondere hat z^{2} = 1 die Lösungen z = {1, −1}, und z^{4} = 1 hat die Lösungen z = {1, i, −1, −i}. Die Tatsache, daß z^{n} = 1 genau n Lösungen hat, steht in Verbindung zum

4.5 Fundamentalsatz der Algebra. Es sei n > 0. Jede Gleichung

z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0} = 0

mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Lösung.

15

Preliminary version – 7. Februar 2008

Teil II

Folgen und Reihen

5 Folgen und Grenzwerte

Unter einer Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen versteht man eine Abbildung a : ℕ → ℂ, d.h. jedem n ∈ ℕ wird eine komplexe Zahl a_{n} ∈ ℂ zugeordnet. Analog ist eine Folge reeller Zahlen definiert.

Definition 5.1 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent, wenn es eine Zahl a ∈ ℂ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß |a_{n} − a| < ϵ für alle n ≥ N. Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, geschrieben a = lim_{n→∞} a_{n}. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

Wichtig ist, daß das N ∈ ℕ in der Definition von ϵ abhängt. Verkleinert man ϵ, dann muß im allgemeinen N vergrößert werden.

Im Fall der Konvergenz ist der Grenzwert einer Folge eindeutig: Angenommen, a, b wären Grenzwerte der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann gibt es zu jedem ϵ = \frac{1}{3}|a − b| > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < ϵ und |a_{n} − b| < ϵ. Nach der Dreicksungleichung gilt aber |a − b| = |(a − a_{n}) + (a_{n} − b)| ≤ |a_{n} − a| + |a_{n} − b| < 2ϵ, im Widerspruch zu 2ϵ = \frac{2}{3}|a − b|. Geometrisch bedeutet Definition 5.1, daß alle Folgenglieder a_{n} mit n ≥ N in der Kreisscheibe

K_{ϵ}(a) := {z ∈ ℂ : |z − a| < ϵ}

in ℂ mit Mittelpunkt a und Radius ϵ liegen, bzw. für reelle Folgen im offenen Intervall I_{ϵ}(a) = {x ∈ ℝ : |x−a| < ϵ} mit Mittelpunkt a und halber Länge (Radius) ϵ. Die Teilmengen K_{ϵ}(a) ⊂ ℂ bzw. I_{ϵ}(a) ⊂ ℝ heißen auch die ϵ-Umgebungen von a.

Beispiel 5.2 i) Die konstante Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = a für alle n ∈ ℕ konvergiert gegen a.

ii) Die Folge (\frac{1}{n+1})_{n∈ℕ} konvergiert nach Satz 3.7.ii) gegen 0, ist also eine Nullfolge.

iii) Die Folge ((−1)^{n})_{n∈ℕ} divergiert: Angenommen, a ∈ ℂ wäre Grenzwert dieser Folge, dann gäbe es für ϵ = 1 ein N ∈ ℕ mit |(−1)^{n} − a| < 1 für alle n ≥ N. Damit wäre nach der Dreiecksungleichung

2 = |(−1)^{n+1} − (−1)^{n}| = |(−1)^{n+1} − a + a − (−1)^{n}|
≤ |(−1)^{n+1} − a| + |a − (−1)^{n}| < 2 , Widerspruch.

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent gegen a und gibt es für die Folge (b_{n})_{n∈ℕ} ein m ∈ ℤ mit a_{n} = b_{n+m} für alle n ≥ N, so ist auch (b_{n})_{n∈ℕ} konvergent mit lim_{n→∞} b_{n} = a. Damit können in einer konvergenten Folge die Folgenglieder a_{n} mit n ≤ N beliebig abgeändert werden, insbesondere auch weggelassen oder endlich viele Glieder vor a_{n} eingeschoben werden, ohne Konvergenz und Grenzwert zu ändern.

Satz 5.3 Es seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen mit lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b. Dann gilt:

i) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b

ii) lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = ab

iii) Ist b ≠ 0, dann gibt es ein N ∈ ℕ mit b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N, und

lim_{n→∞} \frac{a_{n+N}}{b_{n+N}} = \frac{a}{b}

Beweis. i) Zu gegebenem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{n} −a| < \frac{ϵ}{2} und |b_{n} −b| < \frac{ϵ}{2} für alle n ≥ N (man wähle die größere der Schranken N beider Folgen). Die Dreiecksungleichung liefert

|a_{n} + b_{n} − (a + b)| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} für alle n ≥ N .

ii) Wähle N derart, daß |a_{n} − a| < min(1, \frac{ϵ}{2(|b|+1)}) und |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2(|a|+1)} für alle n ≥ N. Dann ist |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < |a| + 1 und

|a_{n}b_{n} − ab| = |a_{n}(b_{n} − b) + (a_{n} − a)b| ≤ |a_{n}(b_{n} − b)| + |(a_{n} − a)b|

= |a_{n}| |b_{n} − b| + |a_{n} − a| |b| < (|a| + 1)\frac{ϵ}{2(|a| + 1)} + \frac{ϵ}{2(|b| + 1)}|b| < ϵ .

iii) Sei c := \frac{1}{2}|b| > 0. Wähle N derart, daß |b_{n} − b| < min(c, \frac{ϵ}{2}|b|^{2}) für alle n ≥ N. Für diese n gilt dann |b| = |(b − b_{n}) + b_{n}| ≤ |b − b_{n}| + |b_{n}|, also |b_{n}| ≥ |b| − |b − b_{n}| > \frac{1}{2}|b| > 0. Weiter folgt für n ≥ N

|\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| = |\frac{b − b_{n}}{b_{n}b} | = \frac{|b_{n} − b|}{|b| |b_{n}|} < \frac{2|b_{n} − b|}{|b|^{2}} < ϵ .

Somit gilt lim_{n→∞} \frac{1}{b_{N+n}} = \frac{1}{b}, und mit ii) folgt die Behauptung. □

Satz 5.4 (elementare Grenzwerte) Im folgenden sei n ∈ ℕ \ {0}.

i) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{s}} = 0 für alle s ∈ ℚ_{+}^{∗}. (Dabei ist n^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{n^{p}} ∈ ℝ.)

ii) lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1 für alle a ∈ ℝ_{+}^{∗}.

iii) lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

iv) lim_{n→∞} z^{n} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1.
v) lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{z^{n}} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| > 1 und alle k ∈ ℕ.

Beweis. i) Zu gegebenem ϵ > 0 wähle nach dem Archimedischen Axiom N ∈ ℕ derart, daß N > ϵ^{− \frac{1}{s}}. Dann gilt für n ≥ N zunächst \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N}, dann \frac{1}{n^{p}} ≤ \frac{1}{N^{p}} und

\sqrt[q]{\frac{1}{n^{p}}} ≤ \sqrt[q]{\frac{1}{N^{p}}}, also |\frac{1}{n^{s}} | ≤ |\frac{1}{N^{s}} | < ϵ.

ii) Für a ≥ 1 setze x_{n} := \sqrt[n]{a} − 1 > 0. Nach der Bernoullischen Ungleichung ist a = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + nx_{n}, damit x_{n} < \frac{a}{n} und 0 < |\sqrt[n]{a} − 1| = x_{n} < ϵ für alle

n ≥ N > \frac{a}{ϵ}. Für 0 < a < 1 gilt lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1. Die Behauptung folgt dann aus

Satz 5.3.iii).

iii) Sei n ≥ 2. Nach der Binomialentwicklung gilt für x_{n} := \sqrt[n]{n} − 1 > 0

n = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + \binom{n}{2}x_{n}^{2} = 1 + \frac{n(n − 1)}{2}x_{n}^{2} ,

also n − 1 ≥ \frac{n(n−1)}{2}x_{n}^{2} und schließlich x_{n} ≤ \sqrt{\frac{2}{n}} für n ≥ 2. Wähle N > \frac{2}{ϵ^{2}} , so folgt |\sqrt[n]{n} − 1| = x_{n} < ϵ für alle n ≥ N.

iv) Es gilt |z^{n} − 0| = |z|^{n}. Die Aussage folgt aus Satz 3.7.ii).

v) Betrachte n > 2k + 1 und |z| = 1 + x mit x > 0. Dann ergibt die Binomialentwicklung

(1 + x)^{n} > \binom{n}{k + 1}x^{k+1} = \frac{n(n − 1) ⋯ (n − k)}{(k + 1)!}x^{k+1} > (\frac{n}{2})^{k+1} \frac{x^{k+1}}{(k + 1)!} ,

also |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < \frac{2^{k+1}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{n}. Wähle N ∈ ℕ mit N > max (\frac{2^{k+1}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{ϵ} , 2k +1), dann folgt |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < ϵ für alle n ≥ N. □

Beispiel 5.5 Es sei n ∈ ℕ \ {0}.

i) lim_{n→∞} \frac{2n^{2} + 3n}{3n^{2} + 4} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{3}{n}}{3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{lim_{n→∞} 2 + \frac{3}{n}}{lim_{n→∞} 3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

ii) Für k ∈ ℕ gilt: lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{k}} = lim_{n→∞}(\sqrt[n]{n})^{k} = ( lim_{n→∞}(\sqrt[n]{n}))^{k} = 1

Einige weitere Rechenregeln für Grenzwerte:

Satz 5.6 i) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiere gegen a ∈ ℂ. Dann gilt

lim_{n→∞} |a_{n}| = |a| , lim_{n→∞} \overline{a_{n}} = ā , lim_{n→∞} Re(a_{n}) = Re(a) , lim_{n→∞} Im(a_{n}) = Im(a) .

Insbesondere sind die Grenzwerte reeller Folgen reell, und es gilt

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} Re(a_{n}) + i · lim_{n→∞} Im(a_{n}) .

ii) Es gelte lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b, ferner gebe es ein N ∈ ℕ mit a_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ N. Dann gilt a ≤ b.

iii) Zu einer Folge (c_{n})_{n∈ℕ} gebe es konvergente Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} und ein N ∈ ℕ derart, daß a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ N. Gilt lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = a, dann konvergiert auch (c_{n})_{n∈ℕ} mit lim_{n→∞} c_{n} = a.

iv) Für eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen gebe es ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß für alle n ≥ N gilt a_{n} ≠ 0 und |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q. Dann gilt

lim_{n→∞} a_{n} = 0.

Beweis. i) Nach Satz 4.4 gilt |Re(a_{n}) − Re(a)| = |Re(a_{n} − a)| ≤ |a_{n} − a|, damit folgt aus der Konvergenz von (a_{n})_{n∈ℕ} die Konvergenz von (Re(a_{n}))_{n∈ℕ}. Analog für Im(a_{n}) und \overline{a_{n}}. Für die Beträge folgt die Aussage aus Lemma 3.9: ||a_{n}|−|a|| ≤ |a_{n} − a|. Der zweite Teil ist klar.

ii) Nach Voraussetzung gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß gleichzeitig a_{n} ≤ b_{n} sowie |a_{n} − a| < ϵ und |b_{n} − b| < ϵ gilt für alle n ≥ N. Nach Fallunterscheidung bedeutet das −ϵ < a_{n} − a < ϵ und −ϵ < b_{n} − b < ϵ, somit schließlich a − ϵ < a_{n} ≤ b_{n} < b + ϵ. Das ergibt a − b < 2ϵ für alle ϵ > 0, also a − b ≤ 0.

iii) Wie in ii) gilt a−ϵ < a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} < a+ϵ für alle n ≥ N, also |c_{n} −a| < ϵ. iv) Aus |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q folgt |a_{n+1}| ≤ q|a_{n}|, damit für n = N + k die Relation

|a_{n}| ≤ q|a_{n−1}| ≤ q^{2}|a_{n−2}| ⋯ ≤ q^{k}|a_{N}| = q^{n} \frac{|a_{N}|}{q^{N}} .

Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach Satz 3.7.ii) ein N′ ∈ ℕ mit q^{n} < ϵ\frac{q^{N}}{|a_{N} |} für alle n ≥ N′. Damit gilt |a_{n} − 0| < ϵ für alle n ≥ max(N′, N). □

Beispiel 5.7 i) Für s ∈ ℚ_{+}^{∗} gilt 1 ≤ \sqrt[n]{n^{s}} ≤ \sqrt[n]{n^{k}} für ein k ≥ s und damit

lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{s}} = 1.

ii) Für 0 ≤ a < b gilt b ≤ \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} ≤ \sqrt[n]{2(b^{n})} = b\sqrt[n]{2}, damit

lim_{n→∞} \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} = b.

Entsprechend der allgemeinen Definition beschränkter Teilmengen heißt eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt, wenn es ein s ∈ ℝ gibt mit |a_{n}| ≤ s für alle n ∈ ℕ.

Satz 5.8 Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis. Es sei a der Grenzwert einer konvergenten Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann gibt es zu ϵ = 1 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < 1 für alle n ≥ N. Dann ist |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < |a| + 1 für alle n ≥ N, und insgesamt gilt |a_{n}| ≤ s := max (|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N}|, |a| + 1). □

Die Umkehrung wäre falsch: Aus der Beschränktheit einer Folge folgt nicht die Konvergenz, wie das Beispiel ((−1)^{n})_{n∈ℕ} zeigt.

Definition 5.9 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen heißt

i) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt a_{n} ≤ a_{n+1} bzw. a_{n} < a_{n+1};

ii) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt a_{n} ≥ a_{n+1} bzw. a_{n} > a_{n+1};

iii) (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.

Bemerkung: Monotonie kann nicht für Folgen komplexer Zahlen definiert werden.

Satz 5.10 Jede beschränkte monotone Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert

i) gegen sup A, falls die Folge monoton wachsend ist,

ii) gegen inf A, falls die Folge monoton fallend ist,

wobei A := {a_{n} : n ∈ ℕ} ⊂ ℝ.

Beweis. i) Sei s := sup A, d.h. die kleinste obere Schranke. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein a_{N} ∈ A mit s − ϵ < a_{N}. Da (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend ist, gilt s − ϵ < a_{n} ≤ s, d.h. |a_{n} − s| < ϵ, für alle n ≥ N. ii) ist analog. □

Satz 5.11 (Eulersche Zahl e) Für n ∈ ℕ \ \{0\} sei a_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n}. Dann gilt: Die Folge (a_{n})_{n≥1} ist konvergent, und für ihren Grenzwert e := lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} gilt 2 < e ≤ 3.

Genauer gilt: e ist irrational mit e = 2, 71828 . . .. Wir werden später sehen, daß e in der Analysis eine wichtige Rolle spielt.

Beweis. Wir zeigen: (a_{n})_{n∈ℕ} ist monoton wachsend und beschränkt. Monotonie folgt aus

\frac{a_{n}}{a_{n−1}} = \frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n−1})^{n−1}} = \frac{n}{n − 1}( \frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n}{n−1}} )^{n} = \frac{n}{n − 1}(\frac{n^{2} − 1}{n^{2}})^{n} = \frac{n}{n − 1}(1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}

>^{Bernoulli} \frac{n}{n − 1}(1 − n\frac{1}{n^{2}} ) = 1 ,

d.h. a_{n} > a_{n−1} für alle n ≥ 2. Weiter gilt nach der binomischen Formel für n ≥ 2

(1 + \frac{1}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} = 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n} · \frac{n − 1}{n} ⋯ \frac{n − k + 1}{n} · \frac{1}{k!} < 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}

≤ 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k−1}} = 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} < 3 .

Dabei wurde für k ≥ 1 die Ungleichung \frac{1}{1·2·3···k} ≤ \frac{1}{2^{k−1}} sowie im letzten Schritt die geometrische Summenformel benutzt. Also ist a_{n} beschränkt mit a_{n} < 3, und nach Satz 5.10 konvergiert die Folge. Eine untere Schranke ergibt sich z.B. für n = 2 zu (1 + \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4} > 2. □

Oft sind Folgen rekursiv definiert durch einen Startwert a_{0} (oder mehrere Startwerte a_{0}, a_{1}, …, a_{N}) und eine Rekursionsformel.

Satz 5.12 (Folge zur Berechnung der Quadratwurzeln) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für einen beliebigen Startwert x_{0} > 0 konvergiert die rekursiv definierte Folge

x_{n+1} := \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) für n ∈ ℕ

gegen \sqrt{a} ∈ ℝ_{+}^{∗}, d.h. lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt{a}.

Beweis. Nach Induktion ist x_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ. Weiter gilt

x_{n+1}^{2} − a = \frac{1}{4}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}} )^{2} − a = \frac{1}{4}(x_{n} − \frac{a}{x_{n}} )^{2} ≥ 0 ,

d.h. x_{n} ≥ \sqrt{a} für alle n ≥ 1. Damit ergibt sich, daß die Folge (x_{n})_{n≥1} monoton fallend ist:

x_{n} − x_{n+1} = \frac{1}{2x_{n}} (x_{n}^{2} − a) > 0 n ≥ 1 .

Nach Satz 5.10 konvergiert (x_{n})_{n∈ℕ} gegen einen Grenzwert x ≥ \sqrt{a}. Für diesen Grenzwert gilt die Gleichung x = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}), mit der positiven Lösung x = \sqrt{a}. □

Das Rekursionsverfahren hat mehrere interessante Eigenschaften: 1) Es ist stabil, also unabhängig vom Startwert. 2) Man kann zeigen, daß die Folge sehr schnell (quadratisch) gegen den Grenzwert konvergiert, so daß schon wenige Folgenglieder eine brauchbare Näherung liefern.

Allgemeiner gilt (Beweis ist analog):

Satz 5.13 (Folge zur Berechnung der k-ten Wurzeln) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für einen beliebigen Startwert x_{0} > 0 konvergiert die rekursiv definierte Reihe

x_{n+1} := \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) für n ∈ ℕ

gegen \sqrt[k]{a} ∈ ℝ_{+}^{∗}, d.h. lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt[k]{a}.

6 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Cauchy-Folgen

Definition 6.1 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen und n_{0} < n_{1} < n_{2} < … eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} = (a_{n_{0}}, a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, …) eine Teilfolge von (a_{n})_{n∈ℕ}.

Direkt aus der Definition folgt, daß jede Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} einer konvergenten Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent ist gegen den gleichen Grenzwert, d.h. für konvergente Folgen gilt lim_{n→∞} a_{n} = lim_{k→∞} a_{n_{k}}.

Definition 6.2 Eine Zahl h ∈ ℂ heißt Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, wenn es eine Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} gibt, die gegen h konvergiert.

Satz 6.3 Eine Zahl h ∈ ℂ ist genau dann Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{nh∈ℕ}, wenn für alle ϵ > 0 gilt: Die Menge {n ∈ ℕ : |h − a_{n}| < ϵ} ist unendlich.

Beweis. (⇒) Es gebe eine gegen h konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Also gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n_{k}} − h| < ϵ für alle k ≥ N. Die Menge {n_{k} ∈ ℕ : k ≥ N} ist unendlich.

(⇐) Jede ϵ-Umgebung von h enthalte unendlich viele Folgenglieder. Wir konstruieren induktiv eine Abbildung k → n_{k} mit n_{k+1} > n_{k} und |a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k+1}, also eine gegen h konvergente Teilfolge.

i) Induktionsanfang: Wegen {n ∈ ℕ : |a_{n} − h| < 1} ≠ ∅ gibt es ein n_{0} ∈ ℕ mit |a_{n_{0}} − h| < 1. ii) Induktionsschritt k → k+1: Sei a_{n_{k}} gewählt mit |a_{n_{k}} −h| < \frac{1}{k+1}. Nach Voraussetzung ist die Menge \{n ∈ ℕ : |a_{n} − h| < \frac{1}{k+2} unendlich, insbesondere enthält sie eine Zahl m > n_{k}. Setze n_{k+1} := m. □

Beispiel 6.4 i) Die alternierende Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} := (−1)^{n} besitzt die beiden Häufungspunkte 1 und −1, denn (a_{2n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen 1 und (a_{2n+1})_{n∈ℕ} gegen −1.

ii) Die durch a_{n} := (−1)^{n} + \frac{1}{n+1} gegebenen Folge hat ebenfalls 1 und −1 als

Häufungspunkte, denn lim_{n→∞} a_{2n} = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n + 1}) = 1 und lim_{n→∞} a_{2n+1} =

lim_{n→∞}(−1 + \frac{1}{n + 1}) = −1.

iii) Die durch a_{n} = n definierte Folge hat keine Häufungspunkte: jede Teilfolge enthält unendlich viele Elemente, die paarweise einen Abstand ≥ 1 haben.

iv) Eine konvergente Folge hat ihren Grenzwert als einzigen Häufungspunkt, da jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.

Satz 6.5 (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis. Wir zeigen den Satz zunächst für Folgen reeller Zahlen a_{n} ∈ ℝ. Wegen der Beschränktheit der Folge gibt es reelle Zahlen c < d mit a_{n} ∈ [c, d] für alle n ∈ ℕ. Wir konstruieren induktiv eine Intervallschachtelung (I_{k})_{k∈ℕ}, so daß I_{k} = [c_{k}, d_{k}] unendlich viele Folgenglieder a_{n} enthält, sowie eine zugehörige Folge (n_{k})_{k∈ℕ} natürlicher Zahlen mit n_{k+1} > n_{k} und a_{n_{k}} ∈ I_{k}.

i) Induktionsanfang: Wähle I_{0} = [c_{0}, d_{0}] mit c_{0} := c und d_{0} = d sowie ein a_{n_{0}} ∈ I_{0}. ii) Induktionsschritt k → k + 1. Sei I_{k} = [c_{k}, d_{k}] bereits konstruiert und m_{k} := \frac{1}{2}(c_{k} + d_{k}) der Mittelpunkt. Da I_{k} unendlich viele Folgenglieder enthält, können nicht beide Teilintervalle [c_{k}, m_{k}] und [m_{k}, d_{k}] nur endlich viele Folgenglieder enthalten. Setze I_{k+1} := [c_{k+1}, d_{k+1}] mit c_{k+1} := c_{k} und d_{k+1} := m_{k}, falls [c_{k}, m_{k}] unendlich viele Folgenglieder enthält, ansonsten I_{k+1} := [c_{k+1}, d_{k+1}] mit c_{k+1} := m_{k} und d_{k+1} := d_{k}. Offenbar gilt I_{k+1} ⊂ I_{k} und |I_{k+1}| = \frac{1}{2}|I_{k}| = \frac{1}{2^{k+1}} |I_{0}|. Da die Menge {n ∈ ℕ : a_{n} ∈ I_{k+1}} unendlich ist, enthält sie ein Element m > n_{k}. Setze n_{k+1} := m, d.h. es gilt a_{n_{k+1}} ∈ I_{k+1} und n_{k+1} > n_{k}.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl h ∈ ℝ mit h ∈ I_{k} für alle k ∈ ℕ. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit I_{k} ⊂ [h − ϵ, h + ϵ] für alle k ≥ N, d.h. |a_{n_{k}} − h| ≤ ϵ < 2ϵ für alle k ≥ N. Das bedeutet lim_{k→∞} a_{n_{k}} = h, und der Satz von Bolzano-Weierstraß ist im reellen Fall bewiesen.

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge komplexer Zahlen, dann bildet (Re(a_{n}))_{n∈ℕ} eine beschränkte Folgen reeller Zahlen. Nach obigem Beweis gibt es eine konvergente Teilfolge (Re(a_{n_{k}}))_{k∈ℕ} mit lim_{k→∞} Re(a_{n_{k}}) = h_{1}. Die Folge der Imaginärteile (Im(a_{n_{k}}))_{k∈ℕ} ist ebenfalls eine beschränkte Folge reeller Zahlen und enthält somit eine konvergente Teilfolge (Im(a_{(n_{k})_{l}}))_{l∈ℕ} mit lim_{l→∞} Im(a_{(n_{k})_{l}}) = h_{2}. Dann gilt auch lim_{l→∞} Re(a_{(n_{k})_{l}}) = h_{1} als Teilfolge einer konvergenten Folge. Insgesamt ist eine konvergente komplexe Teilfolge (a_{(n_{k})_{l}})_{l∈ℕ} von (a_{n})_{n∈ℕ} konstru-

iert mit lim_{l→∞} a_{(n_{k})_{l}} = h_{1} + ih_{2}. □

Nach Definition 6.2 kann man den Satz von Bolzano-Weierstraß auch so formulieren, daß jede beschränkte Folge komplexer Zahlen mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Der Beweis nutzt ganz entscheidend das Intervallschachtelungsprinzip. Unter Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß beweisen wir nun das Cauchysche Konvergenzkriterium, das es auch ohne Kenntnis des Grenzwertes erlaubt, die Konvergenz von Folgen zu entscheiden.

Satz 6.6 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |a_{n} − a_{m}| < ϵ gilt für alle n, m ≥ N.

Beweis. (⇒) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} sei konvergent mit Grenzwert a. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2} und |a_{m} − a| < \frac{ϵ}{2} für alle n, m ≥ N. Die Dreiecksungleichung liefert |a_{n}−a_{m}| = |a_{n}−a+(a−a_{m})| ≤ |a_{n}−a|+|a_{m}−a| < ϵ.

(⇐) Es gelte |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N. Dann ist die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt, denn zu ϵ = 1 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a_{N}| < 1 für alle n ≥ N; somit gilt |a_{n}| ≤ max(|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N}|, |a_{N}| + 1). Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit a := lim_{k→∞} a_{n_{k}}.

Wir zeigen, daß auch (a_{n})_{n∈ℕ} gegen a konvergiert: Zu beliebigem ϵ > 0 gibt es ein N′ ∈ ℕ, so daß gleichzeitig gilt |a_{n} − a_{m}| < \frac{ϵ}{2} für alle m, n ≥ N′ und |a_{n_{k}} − a| < \frac{ϵ}{2} für ein n_{k} ≥ N′. Die Dreiecksungleichung liefert |a_{n} −a| = |a_{n} −a_{n_{k}} +(a_{n_{k}} −a)| ≤ |a_{n} − a_{n_{k}}| + |a_{n_{k}} − a| < ϵ. □

Definition 6.7 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge), wenn zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so daß |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N.

Nach Satz 6.6 sind in ℂ genau die Cauchy-Folgen die konvergenten Folgen. Der Beweis benutzt Bolzano-Weierstraß, wobei der entscheidende Teil für reelle Folgen bewiesen wird, wo das Intervallschachtelungsprinzip zur Verfügung steht. Damit wird das Cauchysche Konvergenzkriterium letztendlich auf die Vollständigkeit von ℝ zurückgeführt. Bemerkenswert ist, daß auch die Umkehrung gilt:

Satz 6.8 Für einen archimedisch angeordneten Körper folgt das Intervallschachtelungsprinzip aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium.

Beweis. Es sei ([a_{n}, b_{n}])_{n∈ℕ} eine Intervallschachtelung. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{N} − b_{N}| < ϵ. Wegen a_{n} < b_{N} für alle n ≥ N gilt |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle m, n ≥ N, d.h. (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge. Sei s := lim_{n→∞} a_{n} der Grenzwert. Da (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend ist, gilt a_{n} ≤ s für alle n ∈ ℕ. Aus a_{k} < b_{n} und Satz 5.6 für die konstante Folge (b_{n})_{k} = b_{n} folgt s ≤ b_{n} für alle n ∈ ℕ. Somit gilt s ∈ [a_{n}, b_{n}] für alle n ∈ ℕ. □

Dadurch wird es sinnvoll, die Vollständigkeit eines Raumes über die Konvergenz von Cauchy-Folgen zu definieren. Dazu wird in der allgemeinsten Version ein sogenannter Abstand benötigt, für den wir im wesentlichen die Dreiecksungleichung fordern:

Definition 6.9 Eine Menge X mit einer Abbildung d : X × X → ℝ, dem Abstand, heißt metrischer Raum, wenn für alle x, y, z ∈ X gilt

(D1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ,

(D2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie),

(D3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).

Die Axiome liefern insbesondere d(x, y) ≥ 0. Beispiele sind die durch Beträge definierten Abstände in ℝ und ℂ, d.h. d(x, y) = |x − y|, aber auch der durch Pythagoras gegebene Abstand im ℝ^{3}, d.h.

d((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) := \sqrt{(x_{1} − y_{1})^{2} + (x_{2} − y_{2})^{2} + (x_{3} − y_{3})^{2}} .

Die Definition der Konvergenz einer Folge und die Definition einer Fundamentalfolge überträgt sich sofort auf beliebige metrische Räume, so daß deren Vollständigkeit charakterisiert werden kann:

Definition 6.10 Es sei (X, d) ein metrischer Raum und (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Elementen a_{n} ∈ X.

• Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge), wenn zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so daß d(a_{n}, a_{m}) < ϵ für alle n, m ≥ N.

• Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent, wenn es ein a ∈ X gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 existiert ein N ∈ ℕ, so daß d(a_{n}, a) < ϵ für alle n ≥ N.

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge von Elementen a_{n} ∈ X in X konvergent ist.

Im Sinne dieser Definition haben wir mit Satz 6.6 und Satz 6.5 die Vollständigkeit von ℂ bewiesen. Ebenso würde man die Vollständigkeit von ℝ^{n} zeigen.

Offenbar gibt es metrische Räume, die nicht vollständig sind. Ein Beispiel ist ℚ mit dem Abstand d(q, r) = |q − r| für q, r ∈ ℚ. Jedoch gilt ganz allgemein, daß man einen beliebigen metrischen Raum (X, d) vervollständigen kann zu einem metrischen Raum (X̂, d̂), indem man Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen hinzunimmt. Dazu erklärt man einen Pseudo-Abstand zweier Cauchy-Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} in X als

d̂((a_{n}), (b_{n})) := lim_{n→∞} d(a_{n}, b_{n}) .

Dieser Abstand ist wohldefiniert, es gilt die Dreiecksungleichung, aber aus d((a_{n}), (b_{n})) = 0 folgt natürlich nicht die Gleichheit (a_{n})_{n∈ℕ} = (b_{n})_{n∈ℕ} der Folgen. Jedoch bilden Cauchy-Folgen mit Abstand 0 eine Äquivalenzrelation, und (X̂, d̂) ist die Menge dieser Äquivalenzklassen mit obigem Abstand (der wirklich (D1)-(D3) erfüllt!). Repräsentanten für Elemente a ∈ X sind z.B. die konstanten Folgen a_{n} = a. Auf diese Weise kann man ℝ als Vervollständigung von ℚ mittels d(q, r) = |q − r| definieren.

7 Reihen

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen, so werden durch

s_{0} := a_{0} , s_{1} := a_{0} + a_{1} , …, s_{m} := ∑_{k=0}^{m} a_{k}

die sogenannten Partialsummen definiert. Diese bilden dann die Folge der Partialsummen (s_{m})_{m∈ℕ}, die wieder auf Konvergenz untersucht werden kann. Eine solche Folge der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe, und für diese schreibt man

∑_{n=0}^{∞} a_{n}. Das Symbol hat eine doppelte Bedeutung: Zum einen ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} gleichbe-

deutend mit der Folge der Partialsummen (s_{m})_{m∈ℕ} mit s_{m} := ∑_{k=0}^{m} a_{k}. Konvergiert diese Folge, dann meint man mit ∑_{n=0}^{∞} a_{n} auch den eindeutig bestimmten Grenz-

wert der Folge der Partialsummen. Über das Cauchysche Konvergenzkriterium für Folgen erhalten wir:

Satz 7.1 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} ist genau dann

konvergent, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß | ∑_{k=n}^{m} a_{k}| < ϵ für alle

m ≥ n > N.

Beweis. Klar wegen |s_{m} − s_{n−1}| = | ∑_{k=n}^{m} a_{k}|. □

Daraus ergibt sich, daß aus der Konvergenz von ∑_{n=0}^{∞} a_{n} auch die Konvergenz

von ∑_{n=p}^{∞} a_{n} folgt, und umgekehrt (wenn alle a_{n} definiert sind).

Satz 7.2 Die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} konvergiert für z ∈ ℂ mit 0 < |z| < 1,

und in diesem Fall gilt ∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1 − z}.

Beweis. Nach Satz: 2.3 (analog zu beweisen für z ∈ ℂ \ {0, 1}) sind für z ∉ {0, 1} die Partialsummen gegeben durch

s_{n} := ∑_{k=0}^{n} z^{k} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} ,

und nach Satz 5.4.iv) ist die Folge (\frac{1−z^{n+1}}{1−z} )_{n∈ℕ} für |z| < 1 konvergent mit dem angegebenen Grenzwert. □

Beispiel 7.3 (periodische Dezimalbrüche) Für q = 0.\overline{162} := 162 ∑_{n=1}^{∞} 10^{−3n}

gilt q = \frac{162}{1000} · ∑_{n=0}^{∞} 10^{−3n} = \frac{162}{1000} · \frac{1}{1−10^{−3}} = \frac{162}{999} = \frac{18}{111} = \frac{6}{37}.

Satz 7.4 Die harmonische Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ist divergent.

Beweis. Wir zeigen, daß die Folge der Partialsummen keine Cauchy-Folge ist. Für beliebige N ∈ ℕ \ {0} gilt

s_{2N} − s_{N} = ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} ≥ ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} .

Wäre (s_{n})_{n≥1} eine Cauchy-Folge, so gäbe es zu ϵ = \frac{1}{2} ein N ∈ ℕ mit |s_{n} −s_{m}| < \frac{1}{2} für alle n, m ≥ N, Widerspruch. □

Es ist im allgemeinen leichter, die Konvergenz einer Reihe zu beweisen, als den Grenzwert konkret anzugeben. Für den Konvergenzbeweis stehen mehrere Kriterien zur Verfügung.

Lemma 7.5 Sind ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konvergent, so gilt

∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} + ∑_{n=0}^{∞} b_{n}  und ∑_{n=0}^{∞}(za_{n}) = z ∑_{n=0}^{∞} a_{n}  (z ∈ ℂ) .

Beweis. Folgt aus Satz 5.3. □

Lemma 7.6 Ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergent, so bildet (a_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge.

Beweis. Es sei s der Grenzwert der Reihe. Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |s_{n} − s| < \frac{ϵ}{2} für alle n > N. Aus a_{n} = s_{n} − s_{n−1} folgt |a_{n} − 0| = |s_{n} − s_{n−1}| = |s_{n} − s + (s − s_{n−1})| ≤ |s_{n} − s| + |s_{n−1} − s| < ϵ für alle n ≥ N. □

Das ist nützlich in negierter Form: Ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, so kann die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} nicht konvergent sein. Daraus ergibt sich, daß für z ∈ ℂ mit |z| ≥ 1 die

Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} nicht konvergieren kann, da (z^{n})_{n∈ℕ} dann keine Nullfolge ist.

Die Umkehrung von Lemma 7.6 wäre falsch: Ist (a_{n})_{n∈ℕ} Nullfolge, so kann zunächst nichts über die Konvergenz gesagt werden, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.

Lemma 7.7 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} mit positiven reellen Gliedern a_{n} ≥ 0 konvergiert

genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Beweis. Für a_{n} ≥ 0 ist die Folge der Partialsummen monoton. □

Beispiel 7.8 Die folgende Reihe ist konvergent: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 1.

Beweis. Wegen \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k+1} (Partialbruchzerlegung) gilt

s_{m} := ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k(k + 1)} = ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k} − ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{(k + 1)} = 1 − \frac{1}{m + 1} .

Die Folge (1 − \frac{1}{n+1})_{n≥1} ist konvergent mit dem angegebenen Grenzwert.

Satz 7.9 Für s ∈ ℚ_{+}^{∗} ist

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} \{ \begin{matrix}konvergent für & s > 1 \\ divergent für & s ≤ 1 \end{matrix}

Beweis. Für s ≤ 1 gilt für die Partialsummen

s_{n} = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + ⋯ + \frac{1}{n^{s}} ≥ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n} ,

und für die (divergente) harmonische Reihe ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt.

Für s > 1 betrachten wir die Teilfolge s_{2^{k}−1} der Partialsummen. Durch Zusammenfassen der Summanden a_{2^{j}}, … a_{2^{j+1}−1} entsteht

s_{2^{k}−1} = 1 + (\frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} ) + (\frac{1}{4^{s}} + ⋯ + \frac{1}{7^{s}} ) + ⋯ + (\frac{1}{(2^{k−1})^{s}} + ⋯ + \frac{1}{(2^{k} − 1)^{s}} )

≤ 1 + 2 · \frac{1}{2^{s}} + 4 · \frac{1}{4^{s}} + ⋯ + 2^{k−1} · \frac{1}{(2^{k−1})^{s}}

= ∑_{j=0}^{k−1} \frac{1}{(2^{j})^{s−1}} = ∑_{j=0}^{k−1} \frac{1}{(2^{s−1})^{j}} = \frac{1 − 2^{(s−1)k}}{1 − 2^{s−1}} < \frac{1}{1 − 2^{s−1}} .

Damit ist die Teilfolge (s_{2^{k}−1})_{k≥1} beschränkt. Da jedes n ∈ ℕ durch ein 2^{k} −1 ≥ n abgeschätzt werden kann und die Folge der Partialsummen monoton ist, ist auch (s_{n})_{n∈ℕ} selbst beschränkt und damit konvergent. □

Die Reihe ζ(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} heißt Riemannsche Zeta-Funktion, wobei zunächst z ∈

ℚ mit z > 1 ist. Später wird sich zeigen, daß die Reihe auch für gewisse z ∈ ℂ sinnvoll ist. Über die Grenzwerte können wir zunächst nicht viel sagen. Später

werden wir z.B. ζ(2) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} zeigen.

Satz 7.10 (Konvergenzkriterium von Leibniz) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine mono-

ton fallende Nullfolge (insbesondere a_{n} ∈ ℝ_{+}). Dann ist die Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}a_{n}

konvergend, und für den Grenzwert s gilt |s − ∑_{j=0}^{n}(−1)^{j}a_{j}| ≤ a_{n+1}.

Solche Reihen heißen alternierend.

Beweis. Für die geraden Partialsummen gilt s_{2k+2} − s_{2k} = a_{2k+2} − a_{2k+1} < 0, d.h. die Teilfolge (s_{2k})_{k∈ℕ} ist monoton fallend. Für die ungeraden Partialsummen gilt s_{2k+3} − s_{2k+1} = −a_{2k+3} + a_{2k+2} > 0, d.h. die Teilfolge (s_{2k+1})_{k∈ℕ} ist monoton wachsend. Weiter gilt s_{2k+1} − s_{2k} = −a_{2k+1} < 0, d.h. s_{2k} ≥ s_{2k+1} ≥ s_{1} für alle k ∈ ℕ. Da also (s_{2k})_{k∈ℕ} monoton und beschränkt ist, konvergiert die gerade Teilfolge gegen einen Grenzwert s_{g}, und analog konvergiert (s_{2k})_{k∈ℕ} gegen einen Grenzwert s_{u} ≤ s_{g}. Nach Satz 5.3 gilt s_{g}−s_{u} = lim_{k→∞}(s_{2k}−s_{2k+1}) = lim_{k→∞} a_{2k+1} = 0. Damit konvergiert die gesamte Folge der Partialsummen gegen den gemeinsamen Grenzwert s = s_{g} = s_{u}.

Die Fehlerabschätzung ergibt sich daraus, daß s zwischen s_{k} und s_{k+1} liegt und |s_{k} − s_{k+1}| = a_{k+1}. □

Beispiel 7.11 Die alternierende harmonische Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n+1} ist konvergent. Der Grenzwert liegt zwischen s_{1} = \frac{1}{2} und s_{0} = 1. Mit später bereitgestellten Methoden kann man ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n+1} = ln 2 zeigen.

Die alternierende Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n+1} ist konvergent. Der Grenzwert liegt zwischen s_{1} = \frac{1}{3} und s_{0} = 1. Mit später bereitgestellten Methoden kann man ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n+1} = \frac{π}{4} zeigen.

8 Absolute Konvergenz von Reihen

Definition 8.1 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| konvergent ist.

Satz 8.2 (Majorantenkriterium) Es seien ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} Reihen und p ∈

ℕ derart, daß |a_{n}| ≤ |b_{n}| für alle n ≥ p.

i) Ist ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}| konvergent, so konvergieren auch ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|, und es gilt

| ∑_{n=p}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| .

Insbesondere ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent.

ii) Ist ∑_{n=p}^{∞} a_{n} divergent, so ist auch ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| divergent.

Das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe zeigt, daß aus Konvergenz nicht absolute Konvergenz folgt.

Beweis. ii) folgt aus i) durch Negation.

i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium ein

N ∈ ℕ mit N ≥ p, so daß ∑_{k=n}^{m} |b_{k}| < ϵ für alle m ≥ n > N. Nach der Dreiecksun-

gleichung gilt für die endliche Summe

| ∑_{k=n}^{m} a_{k}| = |a_{n} + ⋯ + a_{m}| ≤ |a_{n}| + ⋯ + |a_{m}| = ∑_{k=n}^{m} |a_{k}| ≤ ∑_{k=n}^{m} |b_{k}| < ϵ ,

so daß ∑_{n=p}^{∞} a_{n} und ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konver-

gent sind. Aus Satz 5.6.i) folgt schließlich

| ∑_{n=p}^{∞} a_{n}| = | lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} a_{n}| = lim_{m→∞} | ∑_{n=p}^{m} a_{n}|

≤ lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} |a_{n}| \{ \begin{matrix}= ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| \\ ≤ lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} |b_{n}| = ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| \end{matrix}  □

Beispiel 8.3 i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} ist konvergent, da für n > 2 gilt:

\frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n} · \frac{2}{n} ⋯ \frac{n − 1}{n} · \frac{n}{n} ≤ \frac{2}{n^{2}} , und ∑_{n=1}^{∞} \frac{2}{n^{2}} ist (absolut) konvergent.

ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}} ist divergent, da \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} ≥ \frac{1}{n+1}, und die harmonische

Reihe ist divergent.

Satz 8.4 (Quotientenkriterium) Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine Reihe mit a_{n} ≠ 0 für alle

n ∈ ℕ, und es gebe ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für alle n ≥ N. Dann konvergiert die Reihe absolut.

Beweis. Für n ≥ N gilt dann |a_{n}| ≤ q|a_{n−1}| ≤ … (q)^{n−N}|a_{N}|, so daß die Reihe

∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| durch die konvergente Reihe ∑_{n=N}^{∞} q^{n} \frac{|a_{N}|}{q^{N}} = \frac{|a_{N}|}{1 − q} majorisiert wird. □

Die Eigenschaft |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für ein 0 < q < 1 ist automatisch erfüllt, wenn die Folge (|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |)_{n∈ℕ} gegen ein α < 1 konvergiert: Nach Definition des Grenzwertes gibt es dann zu α < q < 1 ein N ∈ ℕ, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − α + α| ≤

α + |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − α| ≤ q für alle n ≥ N. Gilt lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = q > 1, dann ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, und die Reihe divergiert.

Wichtig ist, daß das q im Quotientenkriterium unabhängig von n sein muß.

Für die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} mit s ∈ ℚ_{+}^{∗} ist zwar |(\frac{n}{n+1})^{s}| < 1 für alle n ≥ 1, aber zu

jedem q < 1 findet man ein N ∈ ℕ mit q < |(\frac{n}{n+1})^{s}| < 1 für alle n ≥ N. Über die Konvergenz kann das Quotientenkriterium in diesem Fall keine Aussage machen. Die Reihe ist für s > 1 absolut konvergent und für s ≤ 1 divergent.

Die Konvergenz der geometrischen Reihe kann nicht mit dem Quotientenkriterium begründet werden!

Beispiel 8.5 (komplexe Binomialreihen) Über \binom{α}{k} := ∏_{j=1}^{k} \frac{α − j + 1}{j} für

k ∈ ℕ und α ∈ ℂ lassen sich komplexe Binomialkoeffizienten definieren (siehe Aufgabe 1 im Übungsblatt 2 für reelle α). Wir betrachten für z ∈ ℂ die zugehörige binomische Reihe

B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} ,

die für α ∈ ℕ bei k = α abbricht und in die binomische Formel übergeht. Das Quotientenkriterium liefert lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} |\frac{α − n}{n + 1} · z| = |z|, so daß die bino-

mische Reihe für |z| < 1 absolut konvergent ist und für |z| > 1 divergiert.

Satz 8.6 (Wurzelkriterium) Für eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} existiere ein N ∈ ℕ und

ein 0 < q < 1, so daß \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q für alle n ≥ N. Dann konvergiert die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut.

Ist \sqrt[n]{|a_{n}|} ≥ 1 für unendlich viele n ∈ ℕ, so ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, und die Reihe ist divergent.

Beweis. Die Reihe ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| besitzt die konvergente Majorante ∑_{n=N}^{∞} q^{n}. □

Die Eigenschaft \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q für ein 0 < q < 1 ist automatisch erfüllt, wenn der größte Häufungspunkt von (\sqrt[n]{|a_{n}|})_{n∈ℕ} kleiner als 1 ist, insbesondere wenn (\sqrt[n]{|a_{n}|})_{n∈ℕ} gegen α < 1 konvergiert.

Beispiel 8.7 Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} n^{k}z^{n} für z ∈ ℂ mit |z| < 1 ist absolut konvergent:

Wir betrachten \sqrt[n]{|n^{k}z^{n}|} = \sqrt[n]{n^{k}}|z|. Wegen lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{k}} = 1 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß \sqrt[n]{n^{k}} < \frac{2}{1+|z|}. Damit kann im Wurzelkriterium q = \frac{2|z|}{1+|z|} < 1 gewählt werden.

Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine Reihe und τ : ℕ → ℕ eine bijektive Abbildung. Dann

nennt man die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)} eine Umordnung der Reihe. Im Gegensatz zu end-

lichen Summen gilt das Kommutativgesetz “∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)}” nicht immer.

Wir zeigen, daß es bei absolut konvergenten Reihen gilt und zumindest für die alternierende harmonische Reihe nicht gilt.

Satz 8.8 (Umordnungssatz) Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine absolut konvergente Reihe.

Dann ist auch jede Umordnung dieser Reihe absolut konvergent mit dem gleichen Grenzwert.

Beweis. Es sei s = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und τ : ℕ → ℕ bijektiv. Zu jedem ϵ > 0 gibt es wegen

der absoluten Konvergenz ein N ∈ ℕ, so daß ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < \frac{ϵ}{2}. Dann gilt

|s − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| = | ∑_{n=N}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < \frac{ϵ}{2} .

Sei nun ein N′ ∈ ℕ so gewählt, daß {0, 1, …, N − 1} ⊂ {τ(0), τ(1), …, τ(N′)}, d.h. N′ ≥ max(τ^{−1}(0), … τ^{−1}(N − 1)}. Dann gilt für alle m ≥ N′ nach der Dreiecksungleichung

| ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)}| ≤ | ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| + | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n} − s| < ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| + \frac{ϵ}{2} < ϵ ,

denn in ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n} heben sich a_{0}, a_{1}, …, a_{N−1} gegeneinander weg und

die Summe über die verbleibenden Terme ist wie angegeben beschränkt. Damit

konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)} gegen den gleichen Grenzwert s. Die absolute Konvergenz

folgt durch Wiederholung des Beweises für die Reihe ∑_{n=0}^{∞} |a_{τ(n)}|. □

Wir zeigen nun am Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe, die konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, daß der Umordnungssatz in diesem Fall nicht gilt. Wir betrachten folgende Umordnung:

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{τ(n)+1}}{τ(n)} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{6}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} − \frac{1}{8}) + …
+ (\frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n+1}−1} − \frac{1}{2n+2}) + …

In dieser Umordnung kommen alle negativ zu zählenden Glieder \frac{1}{2n+2} vor, aber immer mehr verzögert gegenüber den positiven Gliedern. Nun gilt die Abschätzung

(\frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n+1}−1} − \frac{1}{2n+2}) > 2^{n−1} \frac{1}{2^{n+1}} − \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{4} − \frac{1}{2n+2}
≥ \frac{1}{12} für n ≥ 2 .

Wie schon im Divergenzbeweis der harmonischen Reihe ist damit für ϵ = \frac{1}{12} das Cauchysche Konvergenzkriterium verletzt, so daß die umgeordnete Reihe divergiert. Man kann übrigens für die alternierende harmonische Reihe zu jedem x ∈ ℝ eine Umordnung derart finden, daß die umgeordnete Reihe gegen x konvergiert.

9 Polynome

Ein Polynom in x mit Koeffizienten in ℂ ist ein formaler Ausdruck der Form

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} , a_{i} ∈ ℂ .

Die Menge aller solcher Polynomome wird mit ℂ[x] bezeichnet, bzw. mit ℝ[x] wenn a_{i} ∈ ℝ. Die Unbestimmte x werden wir zunächst als x ∈ ℂ oder x ∈ ℝ auffassen; später werden Verallgemeinerungen wichtig. Es gibt eine offensichtliche Addition

( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) + ( ∑_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}) := ∑_{i=0}^{max(m,n)}(a_{i} + b_{i})x^{i} ,

wobei a_{i} = 0 für i > n und b_{i} = 0 für i > m gesetzt wird. Das Nullpolynom f(x) = 0 (alle a_{i} verschwinden) ist das neutrale Element. Außerdem erhält man durch Ausmultiplizieren und Ordnen nach Potenzen von x eine Multiplikation

( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) · ( ∑_{j=0}^{m} b_{j}x^{j}) := ∑_{k=0}^{m+n} c_{k}x^{k} , c_{k} = ∑_{j=0}^{k} a_{k−j}b_{j} .

(Es wird wieder a_{i} = 0 für i > n und b_{j} = 0 für j > m gesetzt.) Die auftretenden Summanden ergeben sich aus den Diagonalen im folgenden Schema (mit k = max(m, n)):

a_{k}b_{0} a_{k}b_{1}  … a_{k}b_{k}
[figure: ⋮; ⋮]
a_{2}b_{0}  … a_{2}b_{k}
[figure]
a_{1}b_{0} a_{1}b_{1}  … a_{1}b_{k}
[figure]
a_{0}b_{0} a_{0}b_{1} a_{0}b_{2} … a_{0}b_{k}

Für x = 1 erhalten wir das folgende Produkt endlicher Summen:

( ∑_{i=0}^{n} a_{i})( ∑_{j=0}^{m} b_{j}) = ∑_{k=0}^{m+n} c_{k} , c_{k} = ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j} = ∑_{j=max(0,k−n)}^{min(k,m)} a_{k−j}b_{j}

Der maximale Exponent von x, für den der Koeffizient in f(x) ungleich Null ist, heißt der Grad des Polynoms und wird mit deg(f) bezeichnet. Genauer ist für f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}

deg(f) = \{ \begin{matrix}−∞ & für f = 0 \\ max\{i ∈ ℕ : a_{i} ≠ 0\} & sonst \end{matrix}

Konstante, aber nichtverschwindende, Polynome haben den Grad 0. Es gilt

deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)) , deg(f · g) = deg(f) + deg(g)

(mit (−∞) + n = −∞ und (−∞) + (−∞) = −∞).

Satz 9.1 (Division mit Rest) Sind f, g ∈ ℂ[x] und ist g ≠ 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ ℂ[x] mit

f = q · g + r , deg(r) < deg(g) .

Beweis. i) Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit. Sei f = q · g + r = q′ · g + r′ mit deg(r) < deg(g) und deg(r′) < deg(g), dann folgt

(q − q′) · g = r′ − r .

Wäre q ≠ q′, dann ist der Grad der linken Seite deg((q−q′)·g) > deg(g), während der Grad der rechten Seite deg(r′ − r) < deg(g) ist, Widerspruch. Also ist q = q′ und dann r = r′.

ii) Existenz der Polynome durch explizite Konstruktion mittels “Division mit

Rest”. Sei f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und g = ∑_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}, mit a_{n}, b_{m} ≠ 0. Für n < m ist q = 0

und r = f. Sei also n ≥ m. Wir setzen

q_{(1)} := \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n−m} , f_{(1)} := f − q_{(1)} · g .

Da der höchste Koeffizient von f durch Subtraktion entfernt wurde, gilt deg(f_{(1)}) < deg(f). Auf diese Weise konstruiert man eine Folge von Monomen q_{(k)} = c_{k}x^{i(k)}, so daß für f_{(k)} := f_{(k−1)} − q_{(k)} · g gilt deg(f_{(k)}) < deg(f_{(k−1)}). Das Verfahren bricht im l-ten Schritt ab, wenn deg(f_{(l)}) < deg(g). Dann ist r := f_{(l)} und q := q_{(1)} + ⋯ + q_{(l)}. □

Beispiel 9.2 Es sei f = x^{3} und g = 2x^{2} + x, also a_{3} = 1 und b_{2} = 2. Dann ist q_{(1)} = \frac{a_{3}}{b_{3}} x^{3−2} = \frac{1}{2}x und f_{(1)} = f − \frac{1}{2}x · (2x^{2} + x) = −\frac{1}{2}x^{2}. Im nächsten Schritt ist

q_{(2)} = \frac{− \frac{1}{2}}{2} x^{0} = −\frac{1}{4} und f_{(2)} = f_{(1)} + \frac{1}{4} · (2x^{2} + x) = \frac{1}{4}x. Hier bricht das Verfahren ab. Somit gilt x^{3} = (\frac{1}{2}x − \frac{1}{4})(2x^{2} + x) + \frac{1}{4}x.

Ist r = 0 in Satz 9.1, so heißt g ein Teiler von f.

Definition 9.3 Eine Zahl α ∈ ℂ heißt Nullstelle eines Polynoms f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, wenn f(α) = ∑_{i=0}^{n} a_{n}α^{i} = 0.

Satz 9.4 Eine Zahl α ∈ ℂ ist genau dann Nullstelle eines Polynoms f ∈ ℂ[x], wenn x − α Teiler von f ist.

Beweis. Für deg(f) = 0 hat f keine Nullstellen, für deg(f) = −∞ ist f = 0 und x − α ein Teiler für beliebige α ∈ ℂ. Verbleibt deg(f) ≥ 1. Die Division mit Rest liefert eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ ℂ[x] mit f = q · (x − α) + r und deg(q) = deg(f) − 1, deg(r) < deg(x − α) = 1, also r ∈ ℂ. Dann ist f(α) = r. □

Hat auch q eine Nullstelle α_{2}, so läßt sich ein weiterer Linearfaktor x − α_{2} abspalten, usw. Aus der Abbruchbedingung der Division mit Rest folgt, daß ein Polynom vom Grad n ≥ 0 höchstens n Nullstellen haben kann.

Satz 9.5 (Identitätssatz für Polynome) Stimmen die Werte der Polynome

f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und f(x) = ∑_{i=0}^{n} b_{i}x^{i} an n + 1 verschiedenen Stellen überein, dann

gilt a_{i} = b_{i} für alle i = 0, …, n und somit f(x) = g(x) für alle x ∈ ℂ.

Beweis. Das Polynom f − g hat n + 1 verschiedene Nullstellen und einen Grad ≤ n. Damit ist f − g das Nullpolynom. □

Der Identitätssatz liefert die sehr wichtige Methode des

9.6 Koeffizientenvergleich. Gibt es für ein Polynom zwei Darstellungen, so sind die entsprechenden Koeffizienten einander gleich.

Satz 9.7 (Additionstheorem der Binomialkoeffizienten) Für alle s, t ∈ ℂ und n ∈ ℕ gilt

∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k} = \binom{s + t}{n} .

Beweis. i) Sei zunächst s, t ∈ ℕ. Dann gilt

(1 + x)^{s+t} = ∑_{n=0}^{s+t} \binom{s + t}{n}x^{n}

(1 + x)^{s} · (1 + x)^{t} = ( ∑_{k=0}^{s} \binom{s}{k}x^{k})( ∑_{l=0}^{t} \binom{t}{l}x^{l}) = ∑_{n=0}^{s+t} ( ∑_{k+l=n} \binom{s}{k}\binom{t}{l})x^{n}

Die Behauptung folgt aus ∑_{k+l=n} \binom{s}{k}\binom{t}{l} = ∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k} und Koeffizienten-

vergleich.

ii) Sei s ∈ ℂ und t ∈ ℕ. Interpretieren wir beide Seiten des Additionstheorems als Polynome in s, dann stimmen diese nach i) in unendlich vielen Stellen überein, nach dem Identitätssatz dann für alle s ∈ ℂ.

iii) Für s, t ∈ ℂ werden schließlich beide Seiten bei festem s als Polynome in t aufgefaßt, die nach ii) an unendlich vielen Stellen übereinstimmen, damit überall. □

10 Potenzreihen

Potenzreihen sind Verallgemeinerungen von Polynomen auf unendliche Sum-

men, also Reihen, P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit a_{n} ∈ ℂ und einer Unbestimmten z ∈ ℂ. Beispiele sind die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} und die binomische Reihe

B_{s}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}z^{n}. Später werden auch die in einen anderen Ursprung z_{0} ∈ ℂ

verschobenen Potenzreihen P (z, z_{0}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} betrachtet. Im allgemeinen

werden diese Reihen nicht für alle z ∈ ℂ konvergieren.

Satz 10.1 Konvergiert eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} in einem Punkt z_{0} ∈

ℂ, dann konvergiert sie absolut in jedem Punkt z ∈ ℂ mit |z| < |z_{0}|.

Beweis. Die Folge (a_{n}z_{0}^{n})_{n∈ℕ} ist als Nullfolge insbesondere beschränkt, d.h. es gilt |a_{n}z_{0}^{n}| ≤ S für alle n ∈ ℕ. Dann ist |a_{n}z^{n}| = q^{n}|a_{n}z_{0}^{n}| ≤ q^{n}S mit q := |\frac{z}{z_{0}} | < 1.

Damit besitzt ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} die konvergente Majorante ∑_{n=0}^{∞} q^{n}S, so daß die Reihe für

|z| < |z_{0}| absolut konvergent ist. □

Dieser Satz liefert für jede Potenzreihe P (z) die Existenz eines Konvergenzkreises mit Radius

R(P) := sup{r ∈ ℝ : P (r) konvergiert } ∈ ℝ_{+} ∪ {∞} .

Man nennt R(P) den Konvergenzradius von P.

Satz 10.2 Die Potenzreihe P ist für alle z ∈ ℂ mit |z| < R(P) absolut konvergent und für alle z ∈ ℂ mit |z| > R(P) divergent.

Beweis. i) Für |z| < R(P) gibt es ein r ∈ ℝ mit |z| < r < R(P), so daß P (r) konvergent ist. Dann ist P (z) absolut konvergent nach Satz 10.1.

ii) Sei |z| > R(P). Wäre P (z) konvergent, so wäre nach Satz 10.1 P (r) (sogar absolut) konvergent für alle R(P) < r < |z|, im Widerspruch zur Supremumseigenschaft von R(P). □

Der Konvergenzradius einer Potenzreihe P (z) kann unendlich sein; in diesem Fall ist P (z) absolut konvergent für alle z ∈ ℂ. Der Konvergenzradius R(P) ist 0, wenn P (z) nur für z = 0 konvergiert. Die Bestimmung des Konvergenzradius

von P = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} kann über das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium

versucht werden:

i) R(P) = \frac{1}{q}, wenn q der größte Häufungswert der Folge \{\sqrt[n]{|a_{n}|}\}_{n≥1} ist (Cauchy-Hadamard),

ii) R(P) = \frac{1}{q}, wenn \{|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |\}_{n≥1} gegen q konvergiert (Euler).

Über Konvergenz von P (z) auf dem Rand des Konvergenzkreises, d.h. für |z| = R(P), kann keine Aussage gemacht werden.

Beispiel 10.3 Für P (z) := ∑_{n=0}^{∞} z^{n} ist nach Satz 7.2 R(P) = 1.

Für P (z) = B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} ist nach Beispiel 8.5 R(P) = 1.

Für den Polylogarithmus P (z) = Li_{s}(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{s}} ist R(P) = 1.

Absolut konvergente Reihen können nach Satz 8.8 beliebig umgeordnet werden. Dadurch wird es möglich, zwei Reihen innerhalb des gemeinsamen Konvergenzkreises zu multiplizieren und nach gemeinsamen Potenzen von z umzuordnen, ähnlich zum Produkt von Polynomen auf Seite 34:

Satz 10.4 Konvergieren die Potenzreihen f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n}

im Punkt z ∈ ℂ absolut, so gilt

f(z) · g(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k})z^{n} .

Beweis. Siehe Forster: Analysis 1 (§8 Satz 3) für z = 1. Man muß ähnlich zum Beweis des Umordnungssatzes die Reihen entsprechend dem Schema für Summen auf Seite 34 in anderer Reihenfolge aufsummieren. Absolute Konvergenz sichert die Gleichheit der umgeordneten Reihen. □

Beispiel 10.5 (Multiplikation der Binomialreihen) Für alle s, t ∈ ℂ und z ∈ ℂ mit |z| < 1 gilt nach Satz 9.7

B_{s}(z) · B_{t}(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k})z^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s + t}{n}z^{n} = B_{s+t}(z) .

Daraus folgt B_{s}(x) = (1 + x)^{s} für alle x ∈ ℝ mit |x| < 1 und alle s ∈ ℚ: Aus B_{p}(x) = (1 + x)^{p} für p ∈ ℕ folgt mit s = \frac{p}{q} und q ∈ ℕ \ \{0\}

\underbrace{B_{\frac{p}{q}} (x) ⋯ B_{\frac{p}{q}} (x)}_{q mal} = B_{p}(x) = (1 + x)^{p} ,

also B_{\frac{p}{q}} (x) = (1 + x)^{\frac{p}{q}} wegen der Eindeutigkeit der Wurzel reeller Zahlen. Für negative s benutzt man B_{s}(x) · B_{−s}(x) = B_{0}(x) = 1.

Daraus ergibt sich z.B.

\sqrt{1 + x} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{n}x^{n} = 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1} x + \frac{\frac{1}{2}}{1} · \frac{(\frac{1}{2} − 1)}{2}x^{2} + \frac{\frac{1}{2}}{1} · \frac{(\frac{1}{2} − 1)}{2} \frac{(\frac{1}{2} − 2)}{3}x^{3} + …

= 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{2 · 4}x^{2} + \frac{1 · 3}{2 · 4 · 6}x^{3} − \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6 · 8}x^{4} + …

Als weiteres Beispiel können wir die (sehr wichtige) Exponentialreihe einführen und untersuchen:

Satz 10.6 i) Für alle z ∈ ℂ ist die Exponentialreihe exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

absolut konvergent, und es gilt | exp(z)| ≤ exp(|z|).

ii) Für alle w, z ∈ ℂ gilt exp(w) · exp(z) = exp(w + z).

iii) Für N ∈ ℕ mit |z| < 1 + \frac{N}{2} gilt | exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!}.

iv) Es gilt exp(z) = lim_{n→∞}(1 + \frac{z}{n})^{n}, insbesondere e = exp(1).

Beweis. i) Das Quotientenkriterium liefert lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} \frac{|z|}{n+1} = 0 < 1, damit ist exp(z) für alle z ∈ ℂ absolut konvergent. Die Ungleichung | exp(z)| ≤ exp(|z|) folgt aus Satz 8.2.

ii) Für t ∈ ℂ ist nach Satz 10.4

exp(wt) · exp(zt) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \frac{w^{n−k}}{(n − k)!} \frac{z^{k}}{k!} )t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}( ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}w^{n−k}z^{k})t^{n}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{(w + z)^{n}t^{n}}{n!} = exp((w + z)t) .

iii) Für |z| ≤ \frac{N+2}{2} gilt

| exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | = | ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{|z|^{n}}{n!}

= \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!}(1 + \frac{|z|}{N + 2} + \frac{|z|^{2}}{(N + 2)(N + 3)} + …)

≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{|z|}{N + 2})^{k} ≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} = \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!} .

39 iv) Aus ii) folgt exp(z) = ( exp(\frac{z}{n}))^{n} für alle n ∈ ℕ \ \{0\}. Damit gilt

Preliminary version – 7. Februar 2008

| exp(z) − (1 + \frac{z}{n})^{n}| = |( exp(\frac{z}{n}))^{n} − (1 + \frac{z}{n})^{n}|

= |( exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})) ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{z}{n}))^{k}(1 + \frac{z}{n})^{n−k−1}|

≤ | exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} .

Offenbar gilt 1 + \frac{|z|}{n} ≤ exp(\frac{|z|}{n}) und deshalb

∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n} = n exp(z) .

Schließlich gilt nach iii) für N = 1 und |\frac{z}{n}| < \frac{3}{2}, also n ≥ \frac{3}{2}|z|,

| exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ≤ 2|\frac{|z|^{2}}{2n^{2}}

und damit | exp(z)−(1+ \frac{z}{n})^{n}| ≤ \frac{|z|^{2}}{n^{2}} ·n exp(z). Für n → ∞ folgt die Behauptung. □

Diese Eigenschaften haben mehrere Folgerungen.

i) Wegen exp(0) = 1 existiert für alle z ∈ ℂ das Inverse ( exp(z))^{−1} = exp(−z) ∈ ℂ, damit ist exp(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ.

ii) Die Exponentialreihe konvergiert sehr schnell; im Schritt s_{N} → s_{N+1} der Partialsummen verbessert sich die Konvergenz um den Faktor N + 2. Damit kann die Eulersche Zahl e numerisch gut berechnet werden. Die Folge e = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} konvergiert viel schlechter.

iii) Es gilt exp s = e^{s} für alle s ∈ ℚ.

iv) Im Reellen folgt aus x_{1} > x_{2} > 0 die Beziehung exp(x_{1}) > exp(x_{2}). Über exp(−x) = \frac{1}{exp(x)} folgt dann exp(x_{1}) > exp(x_{2}) für alle x_{1} > x_{2}. Damit ist die zugehörige reelle Exponentialfunktion streng monoton wachsend auf ℝ.

Restgliedabschätzungen wie bei der Exponentialfunktion werden oft benötigt.

Lemma 10.7 Eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} habe einen Konvergenzradius

R(P) > 0. Dann gibt es zu jedem 0 < r < R(P) und jedem p ∈ ℕ eine Konstante

c_{p} ∈ ℝ, so daß | ∑_{n=p}^{∞} a_{n}z^{n}| < c_{p}|z|^{p} für alle z ∈ ℂ mit |z| ≤ r.

Beweis. Setze c_{p} := ∑_{k=0}^{∞} |a_{k+p}|r^{k}. Dann gilt | ∑_{n=p}^{∞} a_{n}z^{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}||z|^{n} =

∑_{k=0}^{∞} |a_{k+p}||z|^{k}|z|^{p} < c_{p}|z|^{p}. □

Teil III

Funktionen und Stetigkeit

11 Funktionen

Definition 11.1 Unter einer komplexwertigen Funktion auf einer Menge X versteht man eine Vorschrift f, die jedem Element x ∈ X in eindeutiger Weise eine komplexe Zahl f(x) ∈ ℂ zuordnet. Dafür schreibt man f : X → ℂ und x ↦ f(x). Die Menge X heißt Definitionsbereich, die Teilmenge f(X) := {f(x) ∈ ℂ : x ∈ X} heißt Wertebereich von f. Analog sind reellwertige Funktionen f : X → ℝ definiert. Als Graph von f : X → ℂ bezeichnet man die Menge G(f) := {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊂ X × ℂ.

Für X ⊂ ℝ und f : X → ℝ ist der Graph eine Kurve im ℝ^{2}.

Die üblichen Rechenregeln für komplexe Zahlen übertragen sich punktweise auf Funktionen f, g : X → ℂ (mit c ∈ ℂ):

(f + g)(x) := f(x) + g(x) , (f · g)(x) := f(x) · g(x) , (cf)(x) := c · f(x) ,
\frac{f}{g} (x) := \frac{f(x)}{g(x)}  falls g(x) ≠ 0 für alle x ∈ X ,
f̄(x) := \overline{f(x)} ,  (Re f)(x) := Re(f(x)) , (Im f)(x) := Im(f(x)) .

Definition 11.2 Sind f : X → ℂ und g : Y → ℂ Funktionen mit f(X) ⊂ Y, dann ist die zusammengesetzte Funktion g∘f : X → ℂ erklärt durch (g∘f)(x) := g(f(x)).

Beispiel 11.3 i) Polynome f ∈ ℂ[x] mit x ∈ X ⊂ ℂ, also f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}.

ii) Potenzreihen f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}, wenn X Teilmenge des Konvergenzkreises

(eventuell ohne den Rand) der Potenzreihe ist, z.B. f(x) = exp(x) für x ∈ ℂ oder f(x) = B_{s}(x) für x ∈ ℂ mit |x| < 1 und s ∈ ℂ oder x ∈ ] − 1, 1[ ⊂ ℝ und s ∈ ℚ.

iii) Rationale Funktionen. Sind f, g ∈ ℂ[x] Polynome, dann heißt die auf ℂ \ A definierte Funktion R(x) = \frac{f(x)}{g(x)} eine rationale Funktion, wobei A ⊂ ℂ alle Nullstellen von g enthält. Durch Polynomdivision läßt sich der Definitionsbereich maximal erweitern.

iv) Potenzfunktion mit rationalen Exponenten: Ist X ⊂ ℝ_{+} und s ∈ ℚ, dann wird durch f : x ↦ x^{s} die Potenzfunktion f : X → ℝ_{+} definiert

v) Zusammensetzungen dieser Funktionen, wenn Definitions- und Wertebereich passen, z.B. f : x ↦ x^{2} + 2x + 3 für x ∈ ℝ (reelles Polynom ohne Nullstelle) und g : y ↦ \sqrt{y} für y ∈ ℝ_{+}, dann ist g ∘ f : ℝ → ℝ_{+} gegeben durch (g ∘ f)(x) = \sqrt{x^{2} + 2x + 3}. vi) Die Bildung von Real- und Imaginärteil sind Funktionen Re : ℂ → ℝ und Im : ℂ → ℝ. Die Bildung des Betrags ist eine Funktion abs : ℂ → ℝ_{+}.

Für rationale Funktionen gilt

Satz 11.4 (Partialbruchzerlegung) Für α_{0}, α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ und ν_{1}, …, ν_{n} ∈ ℕ \ {0} sei f(x) = α_{0}(x − α_{1})^{ν_{1}} ⋯ (x − α_{n})^{ν_{n}} ein Polynom vom Grad deg(f) = ν_{1} + ⋯ + ν_{n}. Dann gibt es zu g ∈ ℂ[x] ein eindeutig bestimmtes Polynom q vom Grad deg(g) − deg(f) (mit q = 0 falls deg(g) < deg(f)) und eindeutig bestimmte Koeffizienten b_{k,j_{k}} ∈ ℂ mit k = 1, …, n und j_{k} = 1, … ν_{k}, so daß für alle x ∉ {α_{1}, …, α_{n}} gilt

\frac{g(x)}{f(x)} = q(x)+∑_{k=1}^{n} ∑_{j_{k}=1}^{ν_{k}} \frac{b_{k,j_{k}}}{(x − α_{k})^{j_{k}}} = q(x)+∑_{k=1}^{n} (\frac{b_{k,1}}{(x − α_{k})^{1}} +\frac{b_{k,2}}{(x − α_{k})^{2}} +⋯+\frac{b_{k,ν_{k}}}{(x − α_{k})^{ν_{k}}} ) .

Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung.

Beweis. Das Polynom q wird durch Division mit Rest erhalten, g = q · f + r. Damit genügt es, den Satz für rationale Funktionen \frac{g}{f} mit deg(g) < deg(f) und q = 0 zu beweisen. Für r = 1 ist dieser Beweis die Übungsaufgabe 2a von Blatt 7, der sich dann auf den allgemeinen Fall übertragen läßt. □

Definition 11.5 Es sei X ⊂ ℂ.

i) Eine Funktion f : X → ℂ heißt injektiv, wenn aus f(x) = f(y) folgt x = y ∈ X.

ii) Ist f : X → ℂ injektiv, dann heißt die eindeutig bestimmte Vorschrift g, die jedem y ∈ f(X) das Urbild x ∈ X mit g(f(x)) = x zuordnet, die Umkehrfunktion zu f.

Definition 11.6 Sei X ⊂ ℝ. Eine Funktion f : X → ℝ heißt

i) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle x, y ∈ X mit x < y gilt f(x) < f(y) bzw. f(x) ≤ f(y);

ii) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle x, y ∈ X mit x < y gilt f(x) > f(y) bzw. f(x) ≥ f(y);

iii) (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.

Jede streng monotone (reellwertige) Funktion auf X ⊂ ℝ ist injektiv und besitzt damit eine Umkehrfunktion g : f(X) → ℝ, die im gleichen Sinn streng monoton ist. In diesem Fall gehen die Graphen von f und g durch Spiegelung an der Diagonalen y = x auseinander hervor:

G(f) = {(x, y) : y = f(x) , x ∈ X} ⇔ G(g) = {(y, x) : y = f(x) , x ∈ X} .

12 Stetigkeit

12.1 Definition und Beispiele

Bisher war der Definitionsbereich einer Funktion eine beliebige Menge X. Wir werden nun zusätzliche Informationen über die Funktion erarbeiten für den Fall, daß der Definitionsbereich eine Teilmenge D ⊂ ℂ oder D ⊂ ℝ ist.

Definition 12.1 (Stetigkeit) Eine Funktion f : D → ℂ heißt stetig im Punkt x_{0} ∈ D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß gilt:

|f(x) − f(x_{0})| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − x_{0}| < δ .

Eine Funktion f heißt stetig in D, wenn sie in jedem Punkt von D stetig ist.

Zu beachten ist, daß δ von ϵ und im allgemeinen auch von x_{0} abhängt: wird ϵ verkleinert, so muß im allgemeinen auch δ verkleinert werden, damit die Relationen richtig bleiben. Die Stetigkeitsforderung besagt, daß das immer möglich ist.

Wir diskutieren die geometrische Bedeutung der Definition für eine reellwertige Funktion f : D → ℝ mit D ⊂ ℝ.

[figure: x_{1}; x_{1}−δ; x_{1}+δ; f(x_{1}); f(x_{1})−ϵ; f(x_{1})+ϵ; x_{0}; x_{0}−δ; x_{0}+δ; f(x_{0}); f(x_{0})−ϵ; f(x_{0})+ϵ]

Die abgebildete Funktion ist stetig in x_{0}, aber unstetig in x_{1}. Denn für die abgebildete Wahl von ϵ ist zu jeder Wahl von δ > 0 das Bild des Intervalls ]x_{1} −δ, x_{1} +δ[ nicht enthalten^{1} im Intervall ]f(x_{1}) − ϵ, f(x_{1}) + ϵ[.

Beispiel 12.2 Die Funktion f(z) = z^{2} ist stetig in ganz ℂ.

Beweis. Sei z_{0} ∈ ℂ fest gewählt und ϵ > 0 beliebig. Es gilt |f(z) − f(z_{0})| = |z^{2} − z_{0}^{2}| = |z − z_{0}| |z + z_{0}| ≤ |z − z_{0}|(|z − z_{0}| + 2|z_{0}|). Es genügt deshalb, δ(δ + 2|z_{0}|) ≤ ϵ zu wählen, z.B. δ := min(1, \frac{ϵ}{1+2|z_{0}|}). □

44 Beispiel 12.3 Die Funktion f(z) = exp(z) ist stetig in ganz ℂ.

1Das Beispiel zeigt auch, daß die Formulierung der Stetigkeit in x_{1} nicht lautet: Aus |f(x)− f(x_{1})| < ϵ folgt |x − x_{1}| < δ. So etwas wäre erfüllt.

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Beweis. Sei z_{0} ∈ ℂ fest gewählt und ϵ > 0 beliebig. Es gilt

| exp(z) − exp(z_{0})| = | exp(z_{0}) · (exp(z − z_{0}) − 1)| ≤ exp(|z_{0}|)| exp(z − z_{0}) − 1| .

Nach der Abschätzung in Satz 10.6.iii) für N = 0 gilt für |z −z_{0}| < 1 die Relation | exp(z − z_{0}) − 1| < 2|z − z_{0}|. Somit genügt es, δ := min(1, \frac{ϵ}{2 exp(|z_{0}|)} zu wählen. □

Beispiel 12.4 Für eine Funktion f : D → ℂ gebe es eine Konstante L ≥ 0, so daß |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| für alle x, y ∈ D. Eine solche Funktion heißt Lipschitz-stetig. Jede Lipschitz-stetige Funktion ist stetig: Man wähle δ := \frac{ϵ}{L} für L ≠ 0 und δ = 1 für L = 0.

Insbesondere sind folgende Funktionen stetig:

i) die konstante Funktion f(x) = c (mit L = 0),

ii) lineare Funktionen f(x) = ax + b (mit L = |a|),

iii) f(x) = |x|, f(x) = Re(x), f(x) = Im(x), f(x) = \overline{x} jeweils mit L = 1

Beispiel 12.5 Für k ∈ ℕ\\{0\} ist die Wurzelfunktion f : ℝ_{+} → ℝ_{+}, f(x) := \sqrt[k]{x} stetig. Beweis. Sei x_{0} > 0. Für y ≥ 0 gilt y^{k} ≤ (1+y)^{k} −1, also (\sqrt[k]{\frac{x}{x_{0}}} −1)^{k} ≤ \frac{x}{x_{0}} −1 und

\sqrt[k]{x}− \sqrt[k]{x_{0}} ≤ \sqrt[k]{x − x_{0}} für x ≥ x_{0} bzw. (Tausch x_{0} ↔ x) |\sqrt[k]{x}− \sqrt[k]{x_{0}}| ≤ \sqrt[k]{|x − x_{0}|} für alle x, x_{0} ∈ ℝ_{+}. Dann genügt es, δ = ϵ^{k} zu wählen. □

Ein historisch bedeutsames Beispiel ist die nirgends stetige Funktion f : ℝ →

ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}1 für & x ∈ ℚ \\ 0 für & x ∉ ℚ \end{matrix}

12.2 Folgenkriterium der Stetigkeit

Satz 12.6 (Folgenkriterium der Stetigkeit) Eine Funktion f : D → ℂ ist genau dann stetig in x̃ ∈ D, wenn für jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} von Punkten x_{n} ∈ D mit lim_{n→∞} x_{n} = x̃ gilt lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x̃).

Beweis. i) Sei f stetig in x̃. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0, so daß |f(x) − f(x̃)| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − x̃| < δ. Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige gegen x̃ konvergente Folge in D, dann gibt es nach Definition des Grtenzwertes ein N ∈ ℕ, so daß |x_{n} − x̃| < δ für alle n ≥ N. Also ist |f(x_{n}) − f(x̃)| < ϵ für alle n ≥ N wegen der Stetigkeit von f in x̃, und f(x̃) ist Grenzwert der Folge (f(x_{n}))_{n∈ℕ}.

ii) Sei die Folgenbedingung erfüllt. Angenommen, f wäre nicht stetig in x̃. Das bedeutet: Es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle δ > 0 gilt: Aus |x − x̃| < δ folgt |f(x) − f(x̃)| ≥ ϵ. Wähle δ = \frac{1}{n+1} und für jedes n ∈ ℕ einen Punkt x_{n} ∈ D mit |x_{n} − x̃| < \frac{1}{n+1}. Damit gibt es eine gegen x̃ konvergente Folge (x_{n})_{n∈ℕ}, für die gilt |f(x_{n}) − f(x̃)| ≥ ϵ für alle n ∈ ℕ, im Widerspruch zu lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x̃). □

Definition 12.7 Eine Umgebung V eines Punktes x̃ ∈ D ist eine Teilmenge V ⊂ D, die eine Menge der Gestalt D ∩ K_{ϵ}(x̃) enthält; dabei ist K_{ϵ}(x̃) := {z ∈ ℂ : |z − x̃| < ϵ} ⊂ ℂ die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt x̃ und Radius ϵ > 0.

Die Rechenregeln für Grenzwerte aus Satz 5.3 übertragen sich auf stetige Funktionen:

Satz 12.8 Die Funktionen f, g : D → ℂ seien stetig in x̃ ∈ D. Dann gilt:

i) Die Funktionen f + g, f · g sind stetig in x̃.

ii) Ist g(x̃) ≠ 0, so ist auch g(x) ≠ 0 in einer Umgebung V ⊂ D von x̃, und die Funktion \frac{f}{g} : V → ℂ ist stetig in x̃ ∈ V.

iii) Ist die Komposition g ∘ f definiert und sind f : D → ℂ stetig in x̃ und g : D′ → ℂ mit f(D) ⊂ D′ stetig in f(x̃), dann ist auch g ∘ f stetig in x̃.

Beweis. i) Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige Folge in D mit lim_{n→∞} x_{n} = x̃, so gilt lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x̃) und lim_{n→∞} g(x_{n}) = g(x̃). Satz 5.3 liefert lim_{n→∞}(f + g)(x_{n}) = (f + g)(x̃) und lim_{n→∞}(f · g)(x_{n}) = (f · g)(x̃). Nach dem Folgenkriterium sind dann f + g und f · g stetig.

ii) Wir zeigen: Ist g stetig in x̃ ∈ D, dann ist V := {x ∈ D : |g(x)| ≥ \frac{1}{2}g(x̃)\} ⊂ D eine Umgebung von x̃. Für g(x_{0}) = 0 ist V = D, ansonsten gibt es zu ϵ = \frac{1}{2}g(x̃) ein δ > 0, so daß für alle x ∈ D mit |x−x̃| < δ gilt |g(x)−g(x̃)| < ϵ. Dann gilt (Lemma 3.9)

|g(x)| ≥ | |g(x̃)| − |g(x) − g(x̃)|| ≥ \frac{1}{2}|g(x̃)| für |x − x̃| < δ .

Somit ist D ∩{x ∈ ℂ : |x−x̃| < δ} ⊂ V. Zum Beweis der Behauptung genügt es zu bemerken, daß x_{n} ∈ V für alle n ≥ N ∈ ℕ gilt. Damit konvergiert (\frac{f}{g} (x_{n}))_{n∈ℕ} gegen \frac{f}{g} (x̃).

iii) Konvergiert (x_{n})_{n∈ℕ} gegen x̃, dann konvergiert (f(x_{n}))_{n∈ℕ} gegen f(x̃) und schließlich (g(f(x_{n})))_{n∈ℕ} gegen g(f(x̃)). □

Einige Folgerungen:

i) Jedes Polynom ist auf ganz ℂ stetig.

ii) Jede rationale Funktion ist stetig auf ihrem Definitionsbereich.

iii) Die reellwertige Funktion f(x) = x^{s} für x ∈ ℝ_{+}^{∗} und s ∈ ℚ ist stetig.

iv) Mit f sind auch |f|, \overline{f}, Re f und Im f stetig als Komposition mit den stetigen Funktionen g(y) = |y| usw.

v) Für stetige Funktionen f, g sind auch max(f, g) = \frac{1}{2}(f + g + |f − g|) und min(f, g) = \frac{1}{2}(f + g − |f − g|) stetig.

Satz 12.9 Jede Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ist im Inneren ihres Konvergenz-

kreises stetig.

Beweis. Es sei R(f) der Konvergenzradius von f(z) und |z_{0}| < r < R(f). Wegen

der absoluten Konvergenz der Reihe gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}|r^{n} <

\frac{ϵ}{3}. Da das Polynom ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} stetig ist, gibt es ein r − |z_{0}| > δ > 0, so daß

| ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z_{0}^{n}| < \frac{ϵ}{3} für alle z ∈ ℂ mit |z − z_{0}| < δ. Dann ist |z| ≤

|z − z_{0}| + |z_{0}| < δ + |z_{0}| < r, so daß

|f(z) − f(z_{0})| ≤ | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z_{0}^{n}| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}z| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}z_{0}| < ϵ . □

12.3 Funktionsfolgen

Wir betrachten nun Folgen (f_{n})_{n∈ℕ} stetiger Funktionen f_{n} : D → ℂ. Eine solche Folge heißt punktweise konvergent, wenn in jedem Punkt x ∈ D die Folge (f_{n}(x))_{n∈ℕ} der Funktionswerte konvergiert. In diesem Fall wird punktweise durch

f(x) := lim_{n→∞} f_{n}(x) , x ∈ D ,

die Grenzfunktion f : D → ℂ definiert. Diese ist im allgemeinen aber nicht stetig:

Beispiel 12.10 Durch f_{n}(x) := x^{n} für x ∈ [0, 1] ist eine Folge stetiger Funktionen gegeben. Die punktweise gebildete Grenzfunktion

f(x) = lim_{n→∞} x^{n} = \{ \begin{matrix}0 für & 0 ≤ x < 1 \\ 1 für & x = 1 \end{matrix}

existiert, aber sie ist unstetig im Punkt 1 ∈ [0, 1].

Definition 12.11 Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} stetiger Funktionen f_{n} : D → ℂ heißt gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion f : D → ℂ, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |f_{n}(x) − f(x)| < ϵ für alle x ∈ D und alle n ≥ N.

Satz 12.12 Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} stetiger Funktionen konvergiere gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f : D → ℂ. Dann ist f stetig.

Beweis. Wir zeigen, daß f in jedem Punkt x̃ ∈ D stetig ist. Zu ϵ > 0 gibt es wegen der gleichmäßigen Konvergenz ein N ∈ ℕ, so daß |f_{n}(x)−f(x)| < \frac{ϵ}{3} für alle n ≥ N und alle x ∈ D. Da f_{n} in x̃ stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit |f_{n}(x) − f_{n}(x̃)| < \frac{ϵ}{3} für alle x ∈ D mit |x − x̃| < δ. Dann folgt aus der Dreiecksungleichung

|f(x) − f(x̃)| ≤ |f(x) − f_{n}(x)| + |f_{n}(x) − f_{n}(x̃)| + |f_{n}(x̃) − f(x̃)| < ϵ

für alle x ∈ D mit |x − x̃| < δ. □

13 Grenzwerte von Funktionen

Stetigkeit ist eng verbunden mit dem Begriff des Grenzwertes für Funktionen.

Definition 13.1 Ein Punkt x_{0} ∈ ℂ heißt Häufungspunkt einer Menge D ⊂ ℂ, wenn für jedes ϵ > 0 gilt: Die ϵ-Umgebung K_{ϵ}(x_{0}) := {z ∈ ℂ : |x_{0} − z| < ϵ} enthält unendlich viele Punkte aus D.

Ein Häufungspunkt von D ist nicht notwendigerweise in D enthalten. Für die offene Kreisscheibe D = K_{r}(a) := {z ∈ ℂ : |a − z| < r} sind alle Punkte des abgeschlossenen Kreises \overline{K_{r}(a)} := \{z ∈ ℂ : |a − z| ≤ r\} Häufungspunkte, aber die Randpunkte |z − a| = r gehören nicht zu D.

Definition 13.2 Es sei x̃ ∈ ℂ ein Häufungspunkt von D. Eine Funktion f : D → ℂ hat in x̃ den Grenzwert a, wenn

i) es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß |f(x) − a| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − x̃| < δ, oder

ii) für jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} mit lim_{n→∞} x_{n} = x̃ gilt: lim_{n→∞} f(x_{n}) = a. In diesem Fall schreibt man a = lim_{x→x̃} f(x).

Wie im Satz 12.6 sind beide Versionen i) und ii) des Grenzwertes äquivalent. Gehört x̃ zum Definitionsbereich von f, dann ist f nach Satz 12.6 in x̃ genau dann stetig, wenn lim_{x→x̃} f(x) = f(x̃). Damit gibt es folgende Möglichkeiten für Unstetigkeiten einer Funktion f im Punkt x̃:

i) f hat in x̃ keinen Grenzwert,

ii) f hat in x̃ einen Grenzwert ungleich f(x̃).

Die Bedeutung des Grenzwertes von Funktionen besteht darin, daß man Funktionen unter Umständen stetig über den Definitionsbereich hinaus fortsetzen kann.

Beispiel 13.3 Für z ∈ D := ℂ \ \{0\} sei f(z) = \frac{exp(cz)−1}{z} für c ∈ ℂ. Wir zeigen: lim_{z→0} f(z) = c. Auf D gilt

\frac{exp(cz) − 1}{z} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(cz)^{n}}{zn!} = c + ∑_{k=1}^{∞} \frac{c(cz)^{k}}{(k + 1)!} .

48 Nach Lemma 10.7 gibt es zu r = 1 ein c_{1} ∈ ℝ mit

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|\frac{exp(cz) − 1}{z} − c| ≤ | ∑_{k=1}^{∞} \frac{c(cz)^{k}}{(k + 1)!}| < c_{1}|z| .

für alle |z| < 1. Wähle δ = min(1, \frac{ϵ}{c_{1}} ).

Man kann übrigens beweisen, daß f(z) = exp(cz) die einzige Lösung der beiden Bedingungen f(w)f(z) = f(w + z) für alle z, w ∈ ℂ und lim_{z→0} \frac{f(z)−1}{z} = c ist (siehe Königsberger, Analysis 1, §8.1).

Damit ist die Funktion F (z) = \{ \begin{matrix}\frac{exp(cz) − 1}{z} für & z ≠ 0 \\ c für & z = 0 \end{matrix} stetig auf ganz ℂ.

Für des Rechnen mit Grenzwerten gelten die üblichen Regeln (der Beweis ist ähnlich wie in Satz 5.3 und Satz 12.8.

Satz 13.4 Gilt lim_{x→x̃} f(x) = a und lim_{x→x̃} g(x) = b, so folgt lim_{x→x̃}(f +g)(x) = a + b, lim_{x→x̃}(f · g)(x) = a · b und, falls b ≠ 0, lim_{x→x̃} \frac{f}{g} (x) = \frac{a}{b}.

Ist die Komposition g ∘ f definiert und ist lim_{x→x̃} f(x) = a und g stetig in a, dann folgt lim_{x→x̃} g ∘ f(x) = g(a).

Im Reellen kann man zusätzlich einseitige Grenzwerte definieren:

Definition 13.5 Es sei x̃ ein Häufungspunkt von D ⊂ ℝ und D_{−} := D∩ ]−∞, x̃[ und D_{+} := D∩ ]x̃, ∞[ . Eine Funktion f : D → ℂ hat in x̃ linksseitig bzw. rechtsseitig den Grenzwert a, falls die Einschränkung von f auf D_{−} bzw. D_{+} den Grenzwert a hat. In diesem Fall schreibt man

a = lim_{x↗x̃} f(x) = f(x̃−) bzw. a = lim_{x↘x̃} f(x) = f(x̃+) .

Ist x̃ ∈ D und f(x̃) = f(x̃−) bzw. f(x̃) = f(x̃+), dann heißt f in x̃ linksseitig bzw. rechtsseitig stetig.

Beispiel 13.6 Es sei f(x) = [x] ∈ ℤ der ganze Teil einer reellen Zahl x, d.h.

[x] = sup{g ∈ ℤ : g ≤ x}. Dann hat f in g ∈ ℤ linksseitig den Grenzwert g − 1 und rechtsseitig den Grenzwert g und ist rechtsseitig stetig.

Über die einseitigen Grenzwerte kann man den Grenzwert einer im Reellen definierten Funktion in ±∞ definieren:

Definition 13.7 Der Definitionsbereich D ⊂ ℝ einer Funktion f : D → ℂ sei nach oben unbeschränkt. Eine Zahl a ∈ ℂ heißt Grenzwert von f in ∞, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N gibt mit |f(x)−a| < ϵ für alle x ∈ D mit x > N. In diesem Fall schreibt man lim_{x→∞} f(x) = a. Analog ist ein Grenzwert in −∞ definiert.

Beispiel 13.8 lim_{x→∞}(\sqrt{x^{2} + x} − x) = \frac{1}{2} für x ≥ 0. Beweis. Für x > 1 gilt unter Verwendung der Binomialreihe

\sqrt{x^{2} + x} − x = x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} − 1) = x ∑_{n=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{n}\frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k + 1}\frac{1}{x^{k}}

Da der Konvergenzradius gleich 1 ist, gibt es nach Lemma 10.7 ein c_{1} ∈ ℝ mit

| ∑_{k=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k + 1}\frac{1}{x^{k}} | < c_{1} \frac{1}{x} für alle x > 1. □

Dieses Beispiel demonstriert bereits das allgemeine Prinzip der Zurückführung von Grenzwerten in ∞ auf Grenzwerte in 0:

Lemma 13.9 Setzt man g(ξ) = f(\frac{1}{ξ}) für \frac{1}{ξ} ∈ D, dann gilt: f besitzt genau dann in ∞ einen Grenzwert, wenn g rechtsseitig in 0 einen Grenzwert besitzt, und dann

gilt lim_{x→∞} f(x) = g(0+).

Analog gilt gegebenenfalls lim_{x→−∞} f(x) = g(0−).

Schließlich führen wir ±∞ als uneigentliche Grenzwerte reellwertiger Funktionen ein:

Definition 13.10 Eine Funktion f : D → ℝ hat in x_{0} ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞} den uneigentlichen Grenzwert ∞ bzw. −∞, wenn es zu jedem M ∈ ℝ eine Umgebung V ⊂ D \ {x_{0}} gibt, so daß für alle x ∈ V gilt f(x) > M bzw. f(x) < M.

Beispiel 13.11 Für Polynome f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} mit n ≥ 1 gilt

lim_{x→∞} f(x) = \{ \begin{matrix}∞ falls & a_{n} > 0 \\ −∞ falls & a_{n} < 0 \end{matrix}

Ist a_{n} > 0, so gilt

lim_{x→−∞} f(x) = \{ \begin{matrix}∞ falls & n gerade \\ −∞ falls & n ungerade \end{matrix}

Für a_{n} < 0 tauschen sich die Vorzeichen.

14 Stetige Funktionen auf Intervallen und auf kompakten Mengen

14.1 Zwischenwertsatz

Satz 14.1 (Zwischenwertsatz) Es seien a < b reelle Zahlen und f : [a, b] → ℝ stetig. Dann existiert zu jedem γ ∈ [f(a), f(b)] bzw. γ ∈ [f(b), f(a)] ein c ∈ [a, b] mit γ = f(c).

Beweis. (für f(a) < f(b)) Durch Intervallhalbierung konstruiert man eine Intervallschachtelung ([a_{n}, b_{n}])_{n∈ℕ} mit a_{0} = a, b_{0} = b und |[a_{n}, b_{n}]| = \frac{1}{2^{n}} |[a, b]|, so daß f(a_{n}) ≤ γ ≤ f(b_{n}). Die Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} konvergieren gegen den in jedem Intervall enthaltenen Punkt c ∈ [a_{n}, b_{n}]. Wegen der Stetigkeit von f gilt

f(c) = lim_{n→∞} f(a_{n}) ≤ γ und f(c) = lim_{n→∞} f(b_{n}) ≥ γ ,

also f(c) = γ. □

Der Zwischenwertsatz beschreibt die anschauliche Tatsache, daß man stetige Funktionen lückenlos durchzeichnen kann. Das ist eine weitere Version der Vollständigkeit von ℝ. Der Zwischenwertsatz ist nützlich in vielen Existenzbeweisen:

Satz 14.2 (Existenz n-ter Wurzeln) Jedes reelle Polynom P (x) = x^{n}−α mit α > 0 hat eine positive Nullstelle.

Beweis. Es ist P (0) = −α < 0 und P (1 + α) = (1 + α)^{n} − 1 > 0 (binomische Formel). Da Polynome stetig sind, hat P in [0, 1 + α] mindestens eine Nullstelle y mit y^{n} = α. □

Die Eindeutigkeit der Nullstelle ergibt sich aus der Monotonie von P (x).

Satz 14.3 Jedes reelle Polynom P (x) = ∑_{i=0}^{2n+1} a_{i}x^{i} ungeraden Grades (a_{2n+1} ≠ 0) besitzt in ℝ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. (für a_{2n+1} > 0) Wegen lim_{x→∞} P (x) = ∞ und lim_{x→−∞} P (x) = −∞ gibt es reelle Zahlen a < b mit P (a) < 0 und P (b) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es mindestens eine Punkt c ∈ [a, b] mit P (c) = 0. □

Satz 14.4 Sei I ⊂ ℝ ein (möglicherweise unbeschränktes) Intervall und f : I → ℝ stetig. Dann ist auch f(I) ⊂ ℝ ein Intervall.

Beweis. Sei B := sup_{x∈I} f(x) ∈ ℝ ∪ {∞} und A := inf_{x∈I} f(x) ∈ ℝ ∪ {−∞}. Wir zeigen: ]A, B[ ⊂ f(I). Sei y ∈ ]A, B[ beliebig. Dann gibt es a, b ∈ I mit f(a) < y < f(b), und nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein x ∈ I mit f(x) = y. Je nachdem, ob Supremum und Infimum angenommen werden, ist f(I) somit eines der Intervalle ]A, B[, [A, B[, ]A, B] oder [A, B]. □

Satz 14.5 Es sei D ⊂ ℝ ein Intervall und f : D → ℝ eine stetige streng monotone Funktion. Dann bildet f das Intervall D bijektiv auf das Intervall D′ := f(D) ab, und die Umkehrfunktion f^{−1} : D′ → D ist ebenfalls streng monoton (im gleichen Sinn) und stetig.

Beweis. Nach Satz 14.4 ist D′ := f(D) ein Intervall, so daß f als streng monotone Funktion D bijektiv auf D′ abbildet. Wir beweisen die Stetigkeit von f^{−1} für f streng monoton wachsend. Sei zunächst b ∈ D′ ein innerer Punkt. Dann ist auch a := f^{−1}(b) ein innerer Punkt. Sei ϵ > 0 derart, daß [a − ϵ, a + ϵ] ⊂ D. Mit b_{1} := f(a − ϵ) und b_{2} := f(a + ϵ) gilt b_{1} < b < b_{2}, und f bildet [a − ϵ, a + ϵ] bijektiv auf [b_{1}, b_{2}] ab. Also bildet f^{−1} das Intervall [b_{1}, b_{2}] bijektiv auf [a−ϵ, a+ϵ] ab. Somit gilt für δ := min(b−b_{1}, b_{2} −b), daß |f^{−1}(y)−f^{−1}(b)| < ϵ für alle y ∈ D′ mit |y−b| < δ, d.h. f^{−1} ist stetig in jedem inneren Punkt von D′. Ist b Randpunkt von D′, so ist auch a = f^{−1}(b) Randpunkt von D, und der Beweis verläuft analog über die Intervalle [a, a + ϵ] bzw. [a − ϵ, a]. □

14.2 Satz vom Maximum/Minimum

Stetige Funktionen auf kompakten Mengen haben besondere Eigenschaften. Wir geben hier nicht die allgemeine Definition kompakter Mengen, sondern nutzen die Tatsache, daß kompakte Teilmengen von ℝ und ℂ genau die beschränkten abgeschlossenen Mengen sind.

Definition 14.6 Eine Teilmenge A ⊂ ℝ oder A ⊂ ℂ heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder in ℂ bzw. ℝ konvergenten Folge (x_{n})_{n∈ℕ} von Punkten x_{n} ∈ A ebenfalls in A liegt. Außerdem wird die leere Menge als abgeschlossen definiert.

Man kann zeigen, daß die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind.

Definition 14.7 Eine Menge K ⊂ ℂ bzw. K ⊂ ℝ heißt kompakt, wenn K abgeschlossen und beschränkt ist (K beschränkt ⇔ ∃M ∈ ℝ mit |z| ≤ M für alle z ∈ K). Außerdem wird die leere Menge als kompakt definiert.

Satz 14.8 (vom Maximum und Minimum) Es sei K ⊂ ℂ bzw. K ⊂ ℝ eine kompakte Menge. Dann gilt: Jede stetige Funktion f : K → ℝ ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an, d.h. es gibt Punkte p, q ∈ K mit

f(p) = sup_{x∈K} f(x) , f(q) = inf_{x∈K} f(x) .

Beweis. (für das Maximum) Es sei s := sup_{x∈M} f(x) ∈ ℝ ∪ {∞}. Dann gibt es eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} von Punkten x_{n} ∈ K mit lim_{n→∞} f(x_{n}) = s (eventuell uneigentlich). Die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} ist beschränkt und besitzt nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine in ℂ bzw. ℝ konvergente Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Wegen der Abgeschlossenheit von K liegt dieser Grenzwert in K, d.h. lim_{k→∞} x_{n_{k}} =: p. Wegen der Stetigkeit von f gilt f(p) = lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = s, d.h. f ist nach oben beschränkt und nimmt das Maximum in p an. Analog für das Minimum. □

Für komplexwertige Funktionen gibt es kein Minimum/Maximum; es gilt aber folgende Verallgemeinerung, die wir nicht beweisen: Das Bild f(K) einer kompakten Menge K ⊂ ℂ unter einer stetigen Funktion f : K → ℂ ist ebenfalls kompakt.

Der Satz vom Minimum/Maximum ist ein mächtiges Hilfsmittel in Beweisen. Wir können hier einen Beweis angeben für den

Satz 14.9 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. Es genügt, das Polynom P (z) = z^{n}+a_{n−1}z^{n−1}+… a_{1}z+a_{0} zu betrachten. i) Wir zeigen: |P | nimmt auf ℂ ein Minimum an. Für |z| ≥ 1 gilt:

P (z) = z^{n}(1 + r(z)) ,  r(z) := \frac{a_{n−1}}{z} + ⋯ + \frac{a_{0}}{z^{n}} ,
|r(z)| ≤ \frac{A}{|z|} mit A := |a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}| .

Damit gilt |r(z)| ≤ \frac{1}{2} für |z| ≥ R := max(1, 2A) und weiter |P (z)| ≥ \frac{|z|}{2} ≥ A für alle z ∈ ℂ mit |z| ≥ R. Auf der kompakten Kreisscheibe \overline{K_{0}(R)} um 0 mit Radius R nimmt die stetige Funktion |P (z)| ein Minimum an, wegen |P (0)| = |a_{0}| ≤ A ist dieses dann das Minimum in ganz ℂ.

ii) Wir zeigen: Ist P (z_{0}) ≠ 0, dann hat |P (z)| in z_{0} kein Minimum. (Also wird das Minimum |P (z_{0})| = 0 in einem Punkt z_{0} ∈ \overline{K_{0}(R)} angenommen.) Dazu betrachten wir das Polynom Q(w) := \frac{P (w+z_{0})}{P (z_{0})}. Wegen Q(0) = 1 gilt Q(w) = 1 + b_{1}w^{1} + ⋯ + b_{n}w^{n}. Da P nicht konstant ist, verschwinden nicht alle b_{i}. Sei 1 ≤ k ≤ n der kleinste Index mit b_{k} ≠ 0. Durch Skalieren^{2} w ↦ βw mit β^{k} = −\frac{1}{b_{k}} erreicht man Q(βw) = 1 − w^{k} + w^{k+1}Q′(w) für ein neues Polynom Q′(w). Dieses ist auf \overline{K_{0}(R)} beschränkt: |Q′(w)| ≤ c mit c > 0. Somit gilt |w^{k+1}Q′(w)| < |w|^{k} für alle w ∈ ℂ mit 0 < |w| < min(1, \frac{1}{c}, R). Wählt man w_{0} ∈ ℝ mit 0 < w_{0} < min(1, \frac{1}{c}, R), so ergibt sich

|P (βw_{0})| ≤ 1 − w_{0}^{k} + |w_{0}^{k+1}Q′(w_{0})| < 1 ,

also |P (z + βw_{0})| < |P (z_{0})|. □

14.3 Gleichmäßige Stetigkeit

Definition 14.10 Eine Funktion f : D → ℂ heißt gleichmäßig stetig auf D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß |f(x) − f(x′)| < ϵ für alle x, x′ ∈ mit |x − x′| < δ.

53 Der Unterschied zur bisher betrachteten Stetigkeit (Definition 12.1) ist, daß δ nur von ϵ, nicht aber von einem Punkt aus D abhängt. In den Beispielen 12.2 und 12.3 hatten wir jeweils eine z_{0}-Abhängigkeit von δ erhalten. Die Beispiele 12.4 und 12.5 sind gleichmäßig stetig.

2Eine komplexe Zahl b ≠ 0 schreibt sich als b = |b|(cos α + i sin α), dann gilt β^{k} = b für β := \sqrt[k]{|b|}(cos \frac{α}{k} + i sin \frac{α}{k}).

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Satz 14.11 Jede stetige Funktion f : K → ℂ auf einer kompakten Menge K ist sogar gleichmäßig stetig.

Beweis. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig auf K, d.h. es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle δ > 0, insbesondere für δ = \frac{1}{n+1} gilt: Es gibt x = x_{n}, x′ = x′_{n} ∈ K mit |x_{n} − x′_{n}| < \frac{1}{n+1} und |f(x_{n}) − f(x′_{n})| ≥ ϵ. Wegen der Beschränktheit von K besitzt die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ}, und wegen der Abgeschlossenheit von K liegt ihr Grenzwert ξ in K. Wegen |x_{n} − x′_{n}| < \frac{1}{n+1} konvergiert auch (x′_{n_{k}})_{k∈ℕ} gegen den gleichen Grenzwert ξ. Da f stetig ist, gibt es nach dem Folgenkriterium ein N ∈ ℕ, so daß |f(x_{n_{k}}) − f(ξ)| < \frac{ϵ}{2} und |f(x′_{n_{k}}) − f(ξ)| < \frac{ϵ}{2} für alle k ≥ N. Dann ist nach Dreiecksungleichung |f(x_{n_{k}}) − f(x′_{n_{k}})| ≤ |f(x_{n_{k}}) − f(ξ)| + |f(x′_{n_{k}}) − f(ξ)| < ϵ, im Widerspruch zur Annahme, daß f nicht gleichmäßig stetig ist. □

Beispiel 14.12 Die Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist stetig in jedem Punkt x ∈ ]0, 1], aber nicht gleichmäßig stetig: Zu ϵ = 1 und δ_{n} = \frac{1}{n+1} gilt für x_{n} = \frac{δ}{2} und x′_{n} = δ einerseits |x − x′| < \frac{1}{n+1} und andererseits |f(x_{n}) − f(x′_{n})| = n + 1 ≥ 1.

15 Die Exponentialfunktion

15.1 Logarithmus und komplexe Potenzen

Die Exponentialfunktion exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} ist nach Beispiel 12.3 in jedem Punkt

z ∈ ℂ stetig. Insbesondere ist auch die reelle Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ stetig und nach Bemerkung iv) im Anschluß an Satz 10.6 streng monoton wachsend. Wegen exp(0) = 1 und lim_{x→∞} exp(x) = ∞ nimmt exp auf ℝ_{+} jeden Wert y ≥ 1 genau einmal an. Dann folgt aus exp(−x) = \frac{1}{exp(x)}, daß exp auf ℝ_{−} jeden Wert 0 < y ≤ 1 genau einmal annimmt, d.h. exp : ℝ → ℝ_{+}^{∗} ist bijektiv. Somit existiert die Umkehrfunktion, der (natürliche) Logarithmus:

ln : ℝ_{+}^{∗} → ℝ mit ln(x) := {y ∈ ℝ : exp(y) = x} ,

und nach Satz 14.5 ist ln : ℝ_{+}^{∗} → ℝ stetig und streng monoton wachsend. Speziell ist ln(1) = 0.

Satz 15.1 Es gilt die Funktionalgleichung ln(xy) = ln(x) + ln(y) für alle x, y ∈

ℝ_{+}^{∗} sowie lim_{x→0} \frac{ln(1 + x)}{x} = 1.

Beweis. i) Setze ξ := ln(x) und η := ln y, dann ist exp(ξ + η) = exp(ξ) · exp(η) = x · y. Einsetzen in ln liefert die Behauptung.

ii) Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge mit x_{n} ≠ 0 für alle n und y_{n} := ln(1+x_{n}). Wegen ln(1) = 0 ist auch (y_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge. Dann gilt \frac{ln(1+x_{n})}{x_{n}} = \frac{y_{n}}{exp(y_{n})−1}, und nach Beispiel 13.3 konvergiert (\frac{y_{n}}{exp(y_{n})−1})_{n∈ℕ} gegen 1. □

Die Funktionalgleichung des Logarithmus führt auf folgende Definition allgemeiner komplexer Potenzen:

x^{z} := exp(z ln x) , x ∈ ℝ_{+}^{∗} , z ∈ ℂ .

Insbesondere gilt e^{z} = exp(z) für alle z ∈ ℂ und x^{0} = 1 für alle x ∈ ℝ_{+}^{∗}. Die so definierten komplexen Potenzen haben folgende Eigenschaften:

i) Als Komposition stetiger Funktionen ist x ↦ x^{z} stetig in jedem Punkt x ∈ ℝ_{+}^{∗} (dabei ist z festgehalten), und z ↦ x^{z} ist stetig in jedem Punkt z ∈ ℂ (dabei ist x festgehalten).

ii) Für reelle Exponenten a ∈ ℝ ist x ↦ x^{a} streng monoton wachsend falls a > 0 und streng monoton fallend falls a < 0 (für a = −b mit b > 0 gilt x^{−b} = exp(−b ln x) = \frac{1}{exp(b ln x)} = \frac{1}{x^{b}}). Folglich bildet die Funktion x ↦ x^{a} den Definitionsbereich ℝ_{+}^{∗} bijektiv auf ℝ_{+}^{∗} ab.

iii) Für x, y ∈ ℝ_{+}^{∗}, a, b ∈ ℝ und z, w ∈ ℂ gelten die Identitäten

(x^{a})^{b} = x^{a·b} , x^{z} · y^{z} = (xy)^{z} .

1) (x^{a})^{b} := exp(b ln(x^{a})) = exp(b ln(exp(a ln x))) = exp(ba ln x) = x^{ab}, dabei ist x^{a} ∈ ℝ_{+}^{∗} entscheidend.

2) x^{z} · y^{z} = exp(z ln x) · exp(z ln y) = exp(z(ln x + ln x)) = exp(z ln(xy)) = (xy)^{z}.

iv) Es gelten folgende Grenzwerte:

lim_{x→∞} x^{a} = \{ \begin{matrix}∞ für & a > 0 \\ 0 für & a < 0 \end{matrix}  lim_{x→0} x^{a} = \{ \begin{matrix}0 für & a > 0 \\ ∞ für & a < 0 \end{matrix}
lim_{x→∞} \frac{ln x}{x^{a}} = 0 für a > 0 ,  lim_{x→0} x^{a} ln x = 0 für a > 0 .

Die erste Zeile folgt aus der Tatsache, daß x ↦ x^{a} streng monoton ist und ℝ_{+}^{∗} bijektiv auf ℝ_{+}^{∗} abbildet. In der ersten Gleichung der zweiten Zeile verwende lim_{y→∞} \frac{y}{exp(ay)} = 0 für a > 0 und setze y = ln x.

v) Als Konsequenz aus lim_{x→0} x^{a} = 0 für a > 0 kann x ↦ x^{a} stetig nach

x = 0 fortgesetzt werden, so daß f_{a}(x) = \{ \begin{matrix}x^{a} für & x > 0 \\ 0 für & x = 0 \end{matrix} eine stetige

Funktion f_{a} : ℝ_{+} → ℝ_{+} ist (für a > 0).

Satz 15.2 Für alle s ∈ ℂ und x ∈ ] − 1, 1[ gilt

(1 + x)^{s} = B_{s}(x) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}x^{n} ,  ln(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} .

Beweis. Für z ∈ ℂ mit |z| < 1 und s ∈ ℂ^{∗} schreiben wir

\frac{B_{s}(z) − 1}{s} = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(s, z) , f_{n}(s, z) := \frac{1}{s}\binom{s}{n}z^{n} = \frac{(s − 1) ⋯ (s − n + 1)}{n!}z^{n} .

Es gilt |\frac{f_{n+1}(s, z)}{f_{n}(s, z)}| = \frac{|s − n|}{n + 1}|z|, so daß für |z| < 1 und |s| < M die Reihe

∑_{n=1}^{∞} f_{n}(s, z) nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent ist. Sie definiert

deshalb für festes s eine stetige Funktion in z, andererseits kann sie für festes z umgeordnet werden in eine Potenzreihe in s, die in jedem Punkt s ∈ ℂ mit |s| < M, insbesondere in s = 0, stetig ist. Wegen f_{n}(0, z) = \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} gilt somit

L(z) := lim_{s→0} \frac{B_{s}(z) − 1}{s} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} , |z| < 1 .

Zusammen mit dem Additionstheorem B_{s+t}(z) = B_{s}(z) · B_{t}(z) folgt aus Beispiel 13.3, daß für festes z gilt B_{s}(z) = exp(sL(z)). Für s = 1 ergibt sich B_{1}(z) = (1 + z) = exp(L(z)) für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1. Für z = x ∈ ] − 1, 1[ wird durch Logarithmieren ln(1 + x) = L(x) und dann B_{s}(x) = exp(sL(x)) = (1 + x)^{s} erhalten. □

15.2 Trigonometrische Funktionen

Für die Exponentialfunktion gilt \overline{exp(z)} = exp(z̄), deshalb für rein imaginäre Zahlen z = ix mit x ∈ ℝ zunächst \overline{exp(ix)} = exp(−ix) = \frac{1}{exp(ix)}, also

|e^{ix}|^{2} = exp(ix) exp(−ix) = 1 .

Damit liegt jeder Punkt e^{ix} auf dem Einheitskreis S^{1} = {z ∈ ℂ ; |z| = 1}. Wir definieren

cos x := Re(e^{ix}) = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix}) , sin x := Im(e^{ix}) = \frac{1}{2i}(e^{ix} − e^{−ix}) .

Damit gilt für alle x ∈ ℝ

e^{ix} = cos x + i sin x , cos^{2} x + sin^{2} x = 1 .

Insbesondere sind sin, cos : ℝ → [−1, 1] stetige Funktionen.

Satz 15.3 Es gelten die Additionstheoreme

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y , sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ,

die Potenzreihendarstellungen

cos x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} , sin x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}

sowie der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1.

Beweis. Zum Beweis der Additionstheoreme zerlegt man e^{i(x+y)} = e^{ix} · e^{iy} nach Real- und Imaginärteil. Die Potenzreihen ergeben sich aus der Exponentialfunktion unter Beachtung, daß i^{n} reell ist für n gerade und rein imaginär für n ungerade. Der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1 folgt aus der Reihendarstellung des Sinus und Lemma 10.7. □

Wir kommen nun zur Definition der Zahl π:

Satz 15.4 Der Cosinus hat im Intervall [0, 2] genau eine Nullstelle, die mit \frac{π}{2} bezeichnet wird. Es gilt cos \frac{π}{2} = 0 und sin \frac{π}{2} = 1.

Beweis. Wir zeigen, daß cos : [0, 2] → [−1, 1] streng monoton fallend ist mit cos 0 = 1 > 0 und cos 2 < 0. Der Zwischenwertsatz liefert dann die Existenz einer Nullstelle, aus der Monotonie folgt ihre Eindeutigkeit. Insbesondere is 0 < π < 4.

Die Reihen für cos und sin sind alternierend. Für x ∈ ]0, 2] bilden die Beträge der Summanden a_{k} in der Cosinusreihe bzw. der Sinusreihe eine streng monoton fallende Nullfolge ab k = 1 bzw. k = 0. Nach der Fehlerabschätzung im Leibniz-Kriterium (Satz 7.10) gilt damit für x ∈ ]0, 2]

\underbrace{1 − \frac{x^{2}}{2}}_{s_{1}} < cos x < \underbrace{1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}}_{s_{3}} ,  \underbrace{x − \frac{x^{3}}{6}}_{s_{1}} < sin x < \underbrace{x}_{s_{0}} ,

insbesondere ist cos 2 < −\frac{1}{3} und sin x > 0 für x ∈ ]0, 2]. Die Monotonie des Cosinus folgt aus folgenden Differenzengleichung

cos x − cos y = cos(\frac{x+y}{2} + \frac{x−y}{2}) − cos(\frac{x+y}{2} − \frac{x−y}{2}) = −2 sin \frac{x−y}{2} sin \frac{x+y}{2} .

Ist 0 ≤ y < x ≤ 2, so ist die rechte Seite negativ. □

Somit gelten e^{\frac{iπ}{2}} = i und damit e^{iπ} = −1, e^{\frac{3iπ}{2}} = −i und e^{2πi} = 1 und damit

e^{i(x+ \frac{π}{2} )} = ie^{ix} , e^{i(x+π)} = −e^{ix} , e^{i(x+ \frac{3π}{2} )} = −ie^{ix} , e^{i(x+2π)} = e^{ix} .

Zerlegung nach Real- und Imaginärteil liefert die folgenden Periodizitäten für Cosinus und Sinus:

cos(x+\frac{π}{2}) = − sin x , cos(x+π) = − cos x , cos(x+\frac{3π}{2}) = sin x , cos(x+2π) = cos x ,
sin(x+\frac{π}{2}) = cos x , sin(x+π) = − sin x , sin(x+\frac{3π}{2}) = − cos x , sin(x+2π) = sin x .

Wegen cos x = cos(−x) sind ±\frac{π}{2} die einzigen Nullstellen des Cosinus im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] Aus cos(x+π) = − cos x folgt dann, daß x_{k} = \frac{(2k+1)π}{2} mit k ∈ ℤ die einzigen Nullstellen des Cosinus sind, und entsprechend sind x_{k} = kπ die einzigen Nullstellen des Sinus.

Satz 15.5 e^{z} = 1  ⇔  z = 2iπk für k ∈ ℤ.

Beweis. (⇐) ist klar. Umgekehrt sei z = x + iy mit x, y ∈ ℝ, dann gilt |e^{z}| = e^{x}|e^{iy}| = e^{x}, also x = 0 und dann 1 = e^{iy} = cos y + i sin y. Folglich ist cos y = 1 und sin y = 0, der Sinus liefert zunächst y = kπ mit k ∈ ℤ, wegen cos(0 + π) = − cos(0) = −1 und der 2π-Periodizität sind aber nur y = 2πk Lösungen. □

Folglich besitzt jede komplexe Zahl z ≠ 0 die Darstellung z = re^{iϕ} mit r = |z| ∈ ℝ_{+}^{∗} und ϕ ∈ ℝ, wobei ϕ nur bis auf Addition eines Vielfachen von 2π bestimmt ist.

15.3 Weitere trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Außerhalb der Nullstellen von cos bzw. sin werden Tangens und Cotangens definiert als

tan x := \frac{sin x}{cos x} ,  x ∈ ℝ \ \{(k + \frac{1}{2})π , k ∈ ℤ\}
cot x := \frac{cos x}{sin x} ,  x ∈ ℝ \ \{kπ , k ∈ ℤ\}

Diese sind stetig und π-periodisch, und als Hauptzweig wählt man das Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ für den Tangens und das Intervall ]0, π[ für den Cotangens.

Satz 15.6 i) cos ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und bildet somit [0, π] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arccos : [−1, 1] → [0, π].

ii) sin ist im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] streng monoton wachsend und bildet somit [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arcsin : [−1, 1] → [0, π].

iii) tan ist im Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ streng monoton wachsend und bildet ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ bijektiv auf ℝ ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arctan : ℝ → ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[.

Beweis. i) cos ist nach dem Beweis von Satz 15.4 streng monoton fallend in [0, \frac{π}{2}], und wegen cos(π−x) = − cos(−x) = − cos x ist cos auch in [\frac{π}{2}, π] streng monoton fallend.

ii) folgt aus i) mit sin x = cos(\frac{π}{2} − x).

iii) Da sin in [0, \frac{π}{2}[ streng monoton wächst und cos dort streng monoton fällt und beide nichtnegativ sind, ist tan streng monoton wachsend in [0, \frac{π}{2}[. Wegen tan(−x) = − tan x ist tan streng monoton wachsend in [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[. Wegen sin \frac{π}{2} = 1 und cos \frac{π}{2} = 0 ist tan nach oben unbeschränkt in [0, \frac{π}{2}[, so daß tan das Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ bijektiv auf ℝ abbildet. □

Satz 15.7 Es gilt arctan x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}x^{2n+1} für x ∈ ] − 1, 1[.

Beweis. Zunächst ist tan x = \frac{1}{i} \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{e^{ix}+e^{−ix}} = \frac{e^{2ix}−1}{e^{2ix}+1}. Auflösen nach e^{2ix} ergibt

e^{2ix} = \frac{1 + i tan x}{1 − i tan x}  ⇒^{x=arctan y} e^{2i arctan y} = \frac{1 + iy}{1 − iy} .

Im Beweis von Satz 15.2 haben wir (1 + z) = exp(L(z)) für z ∈ ℂ mit |z| < 1

gezeigt, wobei L(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n}. Somit gilt \frac{1 + iy}{1 − iy} = exp(L(iy) − L(−iy)).

Für gerades n = 2k ist (iy)^{2k} = (−iy)^{2k}, deshalb heben sich in L(iy) − L(−iy) die geraden Potenzen von y auf und die ungeraden verdoppeln sich:

L(iy) − L(−iy) = 2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2n + 1}(iy)^{2n+1} = 2i ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}y^{2n+1} .

Aus exp(2i arctan y) = exp(L(iy) − L(−iy)) und Satz 15.5 folgt

arctan y + 2kπ = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}y^{2n+1} , k ∈ ℤ

für alle y ∈ ℝ. Einsetzen von y = 0 liefert k = 0. □

Interessant ist der Punkt x = 1, denn tan \frac{π}{4} = \frac{sin( \frac{π}{2} − \frac{π}{4} )}{cos \frac{π}{4}} = \begin{matrix}cos & \frac{π}{4} \\ cos & \frac{π}{4} \end{matrix} = 1, also \frac{π}{4} = arctan 1. Die Arcustangensreihe ist für x = 1 nicht mehr absolut konvergent,

jedoch konvergent nach dem Leibniz-Kriterium. Da | tan x − ∑_{n=0}^{N} \frac{(−1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1}|

stetig ist und durch den nachfolgenden Term \frac{|x|^{2N+3}}{2N+3} abgeschätzt werden kann,

konvergiert die Reihe für x = 1 gegen arctan 1, also \frac{π}{4} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}. Über das

Additionstheorem des Tangens kann \frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} − arctan \frac{1}{239} gezeigt werden, was eine sehr viel schneller konvergierende Reihendarstellung liefert.

Aus der Exponentialfunktion werden auch die folgenden hyperbolischen Funktionen Cosinus hyperbolicus, Sinus hyperbolicus, Tangens hyperbolicus, Cotangens hyperbolicus erhalten:

cosh x := \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) ,  sinh x = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) ,  tanh x := \frac{sinh x}{cosh x} ,

Alle diese Funktionen sind stetig in ℝ, und coth x := \frac{cosh x}{sinh x} ist stetig in ℝ^{∗}. Es gelten cosh^{2} x − sinh^{2} x = 1, die Additionstheoreme

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y ,
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y ,

die Potenzreihendarstellungen

cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} , sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}

sowie der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sinh x}{x} = 1. Weiter gilt:

i) cosh wächst streng monoton auf ℝ_{+} mit Bild cosh(ℝ) = {y ∈ ℝ : y ≥ 1}, die Umkehrfunktion ist arcosh : {y ∈ ℝ : y ≥ 1} → ℝ_{+}

ii) sinh wächst streng monoton auf ℝ mit Bild sinh(ℝ) = ℝ, die Umkehrfunktion ist arsinh : ℝ → ℝ,

iii) tanh wächst streng monoton auf ℝ mit Bild tanh(ℝ) = ] − 1, 1[, die Umkehrfunktion ist artanh : ] − 1, 1[ → ℝ.

Diese Umkehrfunktionen lassen sich durch den Logarithmus darstellen:

arcosh(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} − 1}) ,  arsinh(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) ,
artanh(x) = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 − x} .

Teil IV

Differentialrechnung

16 Die Ableitung

Wir behandeln hier die Differentiation von Funktionen, die auf Intervallen I ⊂ ℝ definiert sind. Die Funktionen dürfen aber komplexwertig sein, z.B. f(x) = x^{s} für s ∈ ℂ und f(x) = e^{ix}, jeweils mit x ∈ I ⊂ ℝ.

Definition 16.1 Eine Funktion f : I → ℂ heißt differenzierbar im Punkt x_{0} ∈ I,

wenn der Grenzwert lim_{{x→x_{0} \atop x≠x_{0}}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung

oder Differentialquotient von f in x_{0} und wird mit f′(x_{0}), (Df)(x_{0}) oder \frac{df}{dx}(x_{0}) bezeichnet. Die Funktion f heißt differenzierbar in I, wenn sie in jedem Punkt x_{0} ∈ I differenzierar ist.

Äquivalent dazu ist f′(x) = (Df)(x_{0}) = lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{1}{h}(f(x_{0} + h) − f(x_{0})). Dabei ist h

so zu wählen, daß x_{0} + h ∈ I gilt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werde vereinbart, daß lim_{h→0} und lim_{x→x_{0}} stets h ≠ 0 und x ≠ x_{0} bedeuten. Für reellwertige Funktionen ist \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} die Steigung der Sekante des Graphen von f durch die beiden Punkte (x, f(x)) und (x_{0}, f(x_{0})). Im Grenzübergang x → x_{0} geht die Sekante in die Tangente an den Graphen im Punkt x_{0} über.

Beispiel 16.2 Es sei a < 0 und b > 0. Die Funktion f(x) = |x| ist nicht diffe-

renzierbar in x_{0} = 0 ∈ [a, b]. Denn \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} = \frac{|x|}{x} = \{ \begin{matrix}1 für & x > 0 \\ −1 für & x < 0 \end{matrix}

Zu jedem c ∈ ℂ und ϵ = \frac{1}{2} gibt es für alle δ > 0 ein x ∈ [a, b] mit |x − 0| < δ und |\frac{|x|}{x} − c| ≥ \frac{1}{2}. Dagegen wäre f(x) = |x| differenzierbar in [a, 0] und in [0, b] mit Ableitung f′(x) = −1 bzw. f′(x) = 1.

Satz 16.3 i) f(x) = x^{n} für x ∈ ℝ und n ∈ ℕ ⇒ f′(x) = nx^{n−1} (und f′(x) = 0 für n = 0)

ii) f(x) = e^{cx} für x ∈ ℝ und c ∈ ℂ ⇒ f′(x) = ce^{cx}
(insbesondere f(x) = a^{x} ⇒ f′(x) = a^{x} ln a)
iii) f(x) = ln x für x ∈ ℝ_{+}^{∗} ⇒ f′(x) = \frac{1}{x}

Beweis. i) \frac{ξ^{n}−x^{n}}{ξ−x} = ∑_{k=0}^{n−1} x^{k}ξ^{n−1−k}. Die rechte Seite konvergiert für ξ → x gegen nx^{n−1}.

ii) \frac{e^{c(x+h)}−e^{cx}}{h} = e^{cx} \frac{e^{ch}−1}{h}. Nach Beispiel 13.3 ist lim_{h→0} \frac{e^{ch}−1}{h} = c.

iii) \frac{ln(x+h)−ln x}{h} = \frac{1}{x} \frac{ln(1+ \frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}. Nach Satz 15.1 ist lim_{y→0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1. □

Satz 16.4 (Lineare Approximierbarkeit) Eine Funktion f : I → ℂ ist genau dann differenzierbar in x_{0} ∈ I, wenn es eine Konstante c ∈ ℂ gibt, so daß für die Funktion ϕ : I → ℂ mit f(x) = f(x_{0})+c(x−x_{0})+ϕ(x) gilt lim_{x→x_{0}} \frac{ϕ(x)}{x−x_{0}} = 0. In diesem Fall ist f′(x_{0}) = c.

Beweis. (⇒) Sei f differenzierbar in x_{0} mit f′(x_{0}) = c. Für x ≠ x_{0} gilt \frac{ϕ(x)}{x−x_{0}} = \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − f′(x_{0}). Der Grenzwert der rechten Seite für x → x_{0} ist 0.

(⇐) Es gelte f(x) = f(x_{0}) + c(x − x_{0}) + ϕ(x) mit lim_{x→x_{0}} \frac{ϕ(x)}{x−x_{0}} = 0. Dann ist 0 = lim_{x→x_{0}} (\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − c), d.h. der Grenzwert c = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} existiert. □

Für reellwertige Funktionen f : I → ℝ ist der Graph der Funktion g(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}) die Tangente an den Graphen von f im Punkt x_{0}.

Satz 16.5 Ist f : I → ℂ differenzierbar in x_{0} ∈ I, dann ist f in x_{0} auch stetig.

Beweis. Nach Satz 16.4 gilt insbesondere lim_{x→x_{0}} ϕ(x) = 0, also lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} (f(x_{0}) + c(x − x_{0}) + ϕ(x)) = f(x_{0}). □

Satz 16.6 Die Funktionen f, g : I → ℂ seien in x ∈ I differenzierbar. Dann sind auch f + g, f · g und für g(x) ≠ 0 auch \frac{f}{g} differenzierbar in x, und es gilt

(f + g)′(x) = f′(x) + g′(x)
(f · g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)  (Produktregel bzw. Leibniz-Regel)
(\frac{f}{g})′(x) = \frac{f′(x)g(x) − f(x)g′(x)}{(g(x))^{2}}  (Quotientenregel)

Beweis. Man schreibt die Differenzenquotienten wie folgt:

\frac{(f + g)(x+h) − (f + g)(x)}{h} = \frac{f(x+h) − f(x)}{h} + \frac{g(x+h) − g(x)}{h} ,

\frac{(f · g)(x + h) − (f · g)(x)}{h} = \frac{f(x+h) − f(x)}{h}g(x+h) + f(x)\frac{g(x+h) − g(x)}{h} ,

\frac{(\frac{f}{g})(x+h) − (\frac{f}{g})(x)}{h} = \frac{1}{g(x)g(x+h)}(\frac{f(x+h) − f(x)}{h}g(x) − f(x)\frac{g(x+h) − g(x)}{h}).

Da g nach Satz 16.5 in x stetig ist, ist in der letzten Gleichung nach Satz 12.8.ii) g(x + h) ≠ 0 für δ > h > 0. Nach Satz 13.4 haben die Grenzwerte für h → 0 die behaupteten Eigenschaften. □

Beispiel 16.7 i) Polynome f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} sind differenzierbar in jedem

Punkt x ∈ ℝ, und es gilt f′(x) = ∑_{k=1}^{n} ka_{k}x^{k−1}.

ii) Rationale Funktionen f(x) = \frac{∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}}{∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l}} sind differenzierbar außerhalb der Nullstellen des Nennerpolynoms, und es gilt f′(x) = \frac{∑_{k=0}^{n} ∑_{l=0}^{m}(k−l)a_{k}b_{l}x^{k+l−1}}{( ∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l})^{2}} . Insbesondere gilt für die in der Partialbruchzer-

legung (Satz 11.4) entstehenden elementaren Funktionen g(x) = \frac{1}{(x−a)^{k}}, daß g′(x) = \frac{−k}{(x−a)^{k+1}} .

iii) cos, sin sind als Summen von Exponentialfunktionen differenzierbar in jedem Punkt x ∈ ℝ, und es gilt cos′(x) = − sin(x) und sin′(x) = cos(x). (Verwende \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix})′ = \frac{1}{2}(ie^{ix} − ie^{−ix}) und analog für sin).

iv) tan und cot sind als Quotienten der differenzierbaren Funktionen sin und cos differenzierbar in jedem Punkt des Definitionsbereiches, und es gilt tan′(x) = \frac{sin′(x) cos(x)−sin(x) cos′(x)}{cos^{2}(x)} = \frac{1}{cos^{2}(x)} und cot′(x) =

\frac{cos′(x) sin(x)−cos(x) sin′(x)}{sin^{2}(x)} = −\frac{1}{sin^{2}(x)}.

Satz 16.8 (Kettenregel) Die Funktion f : I → J ⊂ ℝ sei differenzierbar in x_{0} ∈ I, und die Funktion g : J → ℂ sei differenzierbar in f(x_{0}) ∈ J. Dann ist auch die zusammengesetzte Funktion g ∘ f : I → ℂ differenzierbar in x_{0}, und es gilt (g ∘ f′)(x_{0}) = g′(f(x_{0})) · f′(x_{0}).

Beweis. Sei y_{0} := f(x_{0}). Durch γ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{g(y)−g(y_{0})}{y−y_{0}} für & y ≠ y_{0} \\ g′(y_{0}) für & y = y_{0} \end{matrix} werde eine

Funktion γ : J → ℂ definiert. Da g in y_{0} differenzierbar ist, ist γ in y_{0} stetig, und es gilt g(y) − g(y_{0}) = (y − y_{0})γ(y) für alle y ∈ J. Dann erhalten wir

(g ∘ f)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{g(f(x)) − g(f(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} \frac{γ(f(x)) · (f(x) − f(x_{0}))}{x − x_{0}}

= lim_{x→x_{0}} γ(f(x)) · lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}

= γ(f(x_{0})) · f′(x_{0}) = g′(f(x_{0}) · f′(x_{0}) .  □

Beispiel 16.9 i) Für f(x) = x^{z} mit z ∈ ℂ und x ∈ ℝ_{+}^{∗} gilt f′(x) = zx^{z−1}: Setze g(y) = e^{zy} und g̃(x) = ln x, dann ist f(x) = (g ∘ g̃)(x) = e^{z ln x} und

f′(x) = ze^{z ln x} · \frac{1}{x}.

ii) Für f(x) = \sqrt{1 + x} mit x > −1 gilt f′(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}: Setze g(y) = y^{\frac{1}{2}} mit

g′(y) = \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2} −1} und g̃(x) = 1 + x.

Satz 16.10 (Differentiation der Umkehrfunktion) Es sei g = f^{−1} die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion f : I → ℝ. Ist f differenzierbar in y_{0} ∈ I mit f′(y_{0}) ≠ 0, dann ist g differenzierbar in x_{0} := f(y_{0}), und es gilt

g′(x_{0}) = \frac{1}{f′(y_{0})} = \frac{1}{f′(g(x_{0}))}.

Beweis. Wie im Beweis von Satz 16.8 ist ϕ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(y)−f(y_{0})}{y−y_{0}} für & y ≠ y_{0} \\ f′(y_{0}) für & y = y_{0} \end{matrix} eine in

y_{0} stetige Funktion ϕ : I → ℝ mit f(y) − f(y_{0}) = (y − y_{0})ϕ(y) für alle y ∈ I und f′(y_{0}) = ϕ(y_{0}). Wegen der strengen Monotonie von f und ϕ(y_{0}) ≠ 0 ist ϕ(y) ≠ 0 für alle y ∈ I. Dann folgt mit y := g(x) und x = f(y)

\frac{y − y_{0}}{f(y) − f(y_{0})} = \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = \frac{1}{ϕ(g(x))} .

Für x → x_{0} folgt aus der Stetigkeit von g in x_{0} und der Stetigkeit von ϕ in y_{0} = g(x_{0}) die Behauptung. □

Beispiel 16.11 i) arctan′(x) = \frac{1}{1+x^{2}} . Sei y := arctan x, so gilt arctan′(x) = \frac{1}{tan′(y)} = cos^{2} y = \frac{cos^{2} y}{cos^{2} y+sin^{2} y} = \frac{1}{1+tan^{2} y} = \frac{1}{1+x^{2}} .

ii) arcsin′(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} für x ∈ ] − 1, 1[. Mit y = arcsin x und y ∈ ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[

gilt arcsin′(x) = \frac{1}{sin′(y)} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{\sqrt{1−sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} .

Satz 16.12 Es seien f_{n} : I → ℂ differenzierbare und Lipschitz-stetige Funktionen mit 0 ≤ \frac{|f_{n}(x)−f_{n}(y)|}{|x−y|} ≤ L_{n} < ∞ für alle n ∈ ℕ und alle x, y ∈ I. Wenn

i) ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) konvergent ist in jedem Punkt x ∈ I und

ii) ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0}) und ∑_{n=0}^{∞} L_{n} konvergent sind,

dann ist die Funktion f = ∑_{n=0}^{∞} f_{n} in x_{0} differenzierbar, und es gilt f′(x) = ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x).

Insbesondere ist jede Potenzreihe f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} mit Konvergenzradius R > 0 in jedem Punkt x ∈ ] − R, R[ differenzierbar, und es gilt f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1}.

Beweis. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß gleichzeitig gilt ∑_{n=N+1}^{∞} L_{n} < \frac{ϵ}{3} und ∑_{n=N+1}^{∞} f′(x_{0}) < \frac{ϵ}{3}. Dann gilt für beliebige x ∈ I \ \{x_{0}\}

|\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} − ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0})|

≤ ∑_{n=0}^{N} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0})| + ∑_{n=N+1}^{∞} L_{n} + | ∑_{n=N+1}^{∞} f′(x_{0})| .

Wegen der Differenzierbarkeit der f_{n} mit 0 ≤ n ≤ N gibt es ein gemeinsames δ > 0, so daß ∑_{n=0}^{N} |\frac{f_{n}(x)−f_{n}(x_{0})}{x−x_{0}} −f′_{n}(x_{0})| < \frac{ϵ}{3} für alle x ∈ I \\{x_{0}\} mit |x−x_{0}| < δ.

Somit ist |\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0})| < ϵ für alle x ∈ I mit |x − x_{0}| < δ.

Für Potenzreihen ist f_{n} = a_{n}x^{n}, und für x, y ∈ ] − r, r[ mit 0 < r < R gilt |\frac{a_{n}x^{n}−a_{n}y^{n}}{x−y} | = | ∑_{k=0}^{n−1} a_{n}x^{k}y^{n−1−k}| ≤ n|a_{n}|r^{n−1} =: L_{n}. Nach dem Wurzelkriterium und lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1 besitzt die Reihe ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1} den gleichen Konvergenzradius R, so daß die Reihen ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x_{0}) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x_{0}^{n−1} mit |x_{0}| < r und ∑_{n=1}^{∞} L_{n} = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}r^{n−1} konvergieren. Dann folgt die Behauptung aus dem allgemeinen Teil mit I = ] − r, r[, denn jeder Punkt −R < x_{0} < R liegt in I für r = \frac{|x_{0}|+R}{2} < R. □

Beispiel 16.13 Die Funktionen f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{s}} und g(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{s}} sind für alle s > 2 differenzierbar in ℝ mit f′(x) = − ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{s−1}} und g′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{s−1}}.

Zum Beweis der Lipschitz-Bedingung verwende man |\frac{cos(nx)−cos(ny)}{x−y} | = \frac{2}{|x−y|}| sin \frac{n(x+y)}{2}|| sin \frac{n(x−y)}{2}| ≤ n sup_{r∈ℝ_{+}^{∗}} |\frac{sin r}{r} | ≤ n sup_{r∈]0, \frac{π}{2} ]} |\frac{sin r}{r} | = 1. Der letzte Schritt folgt aus lim_{r→0} \frac{sin r}{r} = 1 und 1 > \frac{sin r}{r} > 1 − \frac{r^{2}}{6} für r ∈ ]0, \frac{π}{2}] nach dem Leibniz-Kriterium. Analog für g.

17 Lokale Extrema, Mittelwertsatz

Extrama von Funktionen lassen sich zunächst für beliebige Definitionsbereiche definieren; für Intervalle liefert dann die Differenzierbarkeit ein wichtiges Kriterium.

Definition 17.1 Eine Funktion f : D → ℝ hat in x_{0} ∈ D

i) ein globales Maximum bzw. globales Minimum, wenn f(x) ≤ f(x_{0}) bzw. f(x) ≥ f(x_{0}) für alle x ∈ D,

ii) ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U von

x_{0} gibt mit f(x) ≤ f(x_{0}) bzw. f(x) ≥ f(x_{0}) für alle x ∈ U ∩ D. Ein lokales/globales Extremum ist ein lokales/globales Minimum oder Maximum. Gilt in i) und ii) das Gleichheitszeichen nur für den Punkt x = x_{0}, so hat f in x_{0} ein strenges Extremum.

Satz 17.2 Eine Funktion f : ]a, b[ → ℝ besitze in x_{0} ∈ ]a, b[ ein lokales Extremum und sei differenzierbar in x_{0}. Dann gilt f′(x_{0}) = 0.

Beweis. (für lokales Maximum) Es gibt eine Umgebung U von x mit f(x) − f(x_{0}) ≤ 0 für alle x ∈ U, und U enthält Punkte x > x_{0} und Punkte y < x_{0}. Somit gilt

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ 0 für alle x ∈ U mit x > x_{0}
\frac{f(y) − f(x_{0})}{y − x_{0}} ≥ 0 für alle y ∈ U mit y < x_{0}

65 Da f in x_{0} differenzierbar ist, folgt aus beiden Ungleichungen f′(x_{0}) = 0. □

Preliminary version – 7. Februar 2008

Bemerkungen:

i) Stetige Funktionen f : [a, b] → ℝ nehmen ihr globales Maximum und Minimum an. Als Kandidaten dieser Extremalpunkte kommen die Randpunkte a, b und, falls f differenzierbar ist, die Lösungen von f′(x) = 0 in Frage. Für ein globales Extremum an Randpunkten a oder b muß f′(a) = 0 bzw. f′(b) = 0 nicht gelten.

ii) f′(x) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für das Vorliegen eines lokalen Extremums im Punkt x. Z.B. gilt für f(x) = x^{3} zwar f′(0) = 0, aber f besitzt als streng monoton wachsende Funktion kein lokales Extremum.

Beispiel 17.3 (Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz) Gesucht ist der schnellste Weg zwischen einem Punkt (0, h_{1}) und einem Punkt (a, −h_{2}), wenn der Betrag der Geschwindigkeit v_{1} ist in M_{1} := ℝ×ℝ_{+}^{∗} und v_{2} in M_{2}ℝ×ℝ_{−}^{∗}, und die Bewegung in M_{1} und M_{2} geradlinig verläuft.

Die Zeit für einen Weg durch (x, 0) ist t(x) = \frac{1}{v_{1}} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}+ \frac{1}{v_{2}} \sqrt{h_{1}^{2} + (a − x)^{2}}. Diese Funktion ist in ]0, a[ differenzierbar. Liegt ein lokales Extremum in x ∈ ]0, a[ vor, so gilt dort

0 = t′(x) = \frac{1}{v_{1}} \frac{x}{\sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}} − \frac{1}{v_{2}} \frac{a − x}{\sqrt{h_{1}^{2} + (a − x)^{2}}} ,

also die geometrische Bedingung \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{sin α_{1}}{sin α_{2}}

[figure: α_{1}; α_{2}; h_{1}; −h_{2}; x; 0; a]

Satz 17.4 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Die Funktion f : [a, b] → ℝ sei stetig auf dem kompakten Intervall [a, b] und differenzierbar auf

dem offenen Intervall ]a, b[. Dann gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit \frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f′(ξ).

Ein wichtiger Spezialfall ist der Satz von Rolle: Gilt zusätzlich f(a) = f(b), so gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit f′(ξ) = 0.

Beweis. i) für den Satz von Rolle. Ist f konstant auf [a, b], so ist f′(ξ) = 0 für alle ξ ∈ ]a, b[. Ansonsten nimmt f als stetige Funktion nach dem Satz vom Maximum/Minimum ein Maximum und ein Minimum an, und zumindest eines ist von f(a) = f(b) verschieden. Damit wird dieses Extremum in einem Punkt ξ ∈ ]a, b[ angenommen, und wegen der Differenzierbarkeit von f in ξ gilt f′(ξ) = 0.

ii) Man betrachte die Funktion F (x) = f(x) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x − a). Diese ist wie f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf ]a, b[, außerdem gilt F (a) = F (b) = f(a). Nach dem Satz von Rolle gibt es ξ ∈ ]a, b[ mit 0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}. □

Satz 17.5 (Schrankensatz) Es sei f : [a, b] → ℂ stetig und differenzierbar auf ]a, b[ mit beschränkter Ableitung |f′(x)| ≤ L für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstanten L, d.h. |f(x)−f(y)| ≤ L|x−y| für alle x, y ∈ [a, b].

Für reellwertige differenzierbare Funktionen f : [a, b] → ℝ gilt unter sonst gleichen Voraussetzungen: Ist m ≤ f′(x) ≤ M für alle x ∈ ]a, b[, so gilt m(x_{2} − x_{1}) ≤ f(x_{2}) − f(x_{1}) ≤ M(x_{2} − x_{1}) für alle x_{1}, x_{2} ∈ [a, b] mit x_{1} ≤ x_{2}.

Beweis. ii) Die Aussage für reelle Funktionen ist eine Umformulierung des Mittelwertsatzes, insbesondere werden für m, M nur innere Punkte ξ ∈ ]a, b[ benötigt.

i) Sei f(x) ≠ f(y), insbesondere x ≠ y, sonst ist nichts zu zeigen. Setze c := \frac{|f(x)−f(y)|}{f(x)−f(y)} ∈ ℂ mit |c| = 1 und ϕ := Re(cf). Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu x, y ∈ [a, b] ein ξ ∈ ]x, y[ mit ϕ(x) − ϕ(y) = (x − y)ϕ′(ξ). Somit gilt

|f(x) − f(y)| = cf(x) − cf(y) = ϕ(x) − ϕ(y) = (x − y)ϕ′(ξ)

≤ |x − y| sup_{ξ∈]x,y[} |ϕ′(x)| ≤ L|x − y|

wegen |Re(cf′)(x)| ≤ |f′(x)| ≤ L. □

Satz 17.6 Sei f : [a, b] → ℂ stetig und differenzierbar in ]a, b[ mit f′(x) = 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist f konstant.

Insbesondere gilt: Zwei differenzierbare Funktionen f, g : [a, b] → ℂ mit f′(x) = g′(x) für alle x ∈ ]a, b[ unterscheiden sich nur um eine Konstante, f − g = const.

Beweis. Nach dem Schrankensatz ist f(x) = f(y) für alle x, y ∈ [a, b]. Der zweite Teil folgt aus dem ersten für die Funktion f − g. □

Als Anwendung geben wir eine weitere Charakterisierung der Exponentialfunktion als eindeutige Lösung einer Differentialgleichung zu gegebener Anfangsbedingung:

Satz 17.7 Es sei f : ℝ → ℂ eine differenzierbare Funktion, und es gelte f′(x) = cf(x) für alle x ∈ ℝ und ein c ∈ ℂ. Ist f(0) =: A ∈ ℂ, so gilt f(x) = A e^{cx}.

Beweis. Für F (x) := f(x)e^{−cx} gilt nach Produktregel F′(x) = f′(x)e^{−cx} − cf(x)e^{−cx} = 0 für alle x ∈ ℝ. Dann ist F nach Satz 17.6 eine konstante Funktion, also F (x) = F (0) = f(0) = A für alle x ∈ ℝ. Also gilt f(x) = A e^{cx} für alle x ∈ ℝ. □

Satz 17.8 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz) Die Funktionen f, g : [a, b] → ℝ seien stetig auf [a, b] und differenzierbar auf ]a, b[, und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist g(a) ≠ g(b), und es gibt ein ξ ∈ ]a, b[

mit \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}.

Beweis. Wäre g(b) = g(a), so gäbe es nach dem Satz von Rolle ein ξ ∈ ]a, b[ mit g′(ξ) = 0, Widerspruch. Wir können deshalb den Satz von Rolle auf die Funktion

F (x) = f(x) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}(g(x) − g(a)) anwenden. Es gilt F (a) = F (b) = f(a),

also gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit 0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}g′(ξ). □

Die folgende Rechenregel erlaubt in vielen Fällen eine einfache Berechnung von Grenzwerten:

Satz 17.9 (Regel von de l’Hospital) Die Funktionen f, g : ]a, b[ → ℝ seien differenzierbar, und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]a, b[. In beiden Fällen

i) lim_{x↘a} f(x) = 0 und lim_{x↘a} g(x) = 0
ii) sowie lim_{x↘a} f(x) = ∞ und lim_{x↘a} g(x) = ∞

gilt: Existiert der Grenzwert lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}, so existiert auch lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)}, und es gilt

lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}. Analog für x ↗ a sowie x → ∞ und x → −∞.

Beweis. i) Definieren wir f(a) := 0 und g(a) := 0, so sind die Funktionen f, g stetig in a. Damit sind zu jedem x ∈ ]a, b[ die Voraussetzungen des verallgemeinerten Mittelwertsatzes für f, g : [a, x] → ℝ erfüllt, und es existiert ein ξ ∈ ]a, x[ mit \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}. Nach Voraussetzung existiert der Limes x ↘ a und hat die behauptete Eigenschaft.

ii) Nach Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes A := lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)} gibt es

zu ϵ > 0 ein δ > 0, so daß für alle x ∈ ]a, a + δ[ gilt |\frac{f′(x)}{g′(x)} − A| < ϵ. Nach

dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gilt dann auch |\frac{f(x)−f(y)}{g(x)−g(y)} − A| < ϵ für alle x, y ∈ ]a, a + δ[ mit x ≠ y. Wir betrachten

\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} = \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}(\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1) .

68 Wir halten y fest und lassen x gegen a gehen. Wegen lim_{x↘a} f(x) = ∞ und

Preliminary version – 7. Februar 2008

lim_{x↘a} g(x) = ∞ gibt es ein δ′ mit 0 < δ′ < y − a < δ, so daß |\frac{1− \frac{g(y)}{g(x)}}{1− \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| < \frac{ϵ}{|A|+ϵ}

für alle x ∈ ]a, a + δ′[. Damit ergibt sich

|\frac{f(x)}{g(x)} − A| ≤ |\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}| + |\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} − A|

< |\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}||\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| + ϵ < 2ϵ

für alle x ∈ ]a, a + δ′[. □

Beispiel 17.10 Für α > 0 untersuchen wir Existenz des Grenzwertes lim_{x↘0} x^{α} ln x.

Die Regel von de l’Hospital ist anwendbar für die Funktionen f(x) = − ln x und g(x) = x^{−α} mit lim_{x↘0} f(x) = ∞ und lim_{x↘0} g(x) = ∞, und es gilt

lim_{x↘0} \frac{f′(x)}{g′(x)} = lim_{x↘0} \frac{−\frac{1}{x}}{−αx^{−α−1}} = lim_{x↘0} \frac{x^{α}}{α} = 0 .

Somit erhalten wir lim_{x↘0} x^{α} ln x = 0 für alle α > 0.

18 Monotonie, höhere Ableitungen, Konvexität

Satz 18.1 (Monotoniekriterium) Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann gilt:

f′ > 0 in ]a, b[ ⇒ f wächst in ]a, b[ streng monoton,
f′ < 0 in ]a, b[ ⇒ f fällt in ]a, b[ streng monoton,
f′ ≥ 0 in ]a, b[ ⇔ f wächst in ]a, b[ monoton,
f′ ≤ 0 in ]a, b[ ⇔ f fällt in ]a, b[ monoton.

Beweis. (⇒) folgt jeweils aus dem Mittelwertsatz bzw. Schrankensatz. (⇐) folgt aus Definition des Grenzwertes. □

Das Beispiel der streng monoton wachsenden Funktion f(x) = x^{3} mit f′(0) = 0 zeigt, daß in den ersten beiden Implikationen in Satz 18.1 die Umkehrungen (⇐) nicht gelten.

Die Ableitung f′ : I → ℂ einer auf I ⊂ ℝ differenzierbaren Funktion f : I → ℂ kann erneut auf Differenzierbarkeit in x_{0} ∈ I untersucht werden, und gegebenenfalls heißt die Ableitung von f′ in x_{0} die zweite Ableitung von f in x_{0}. Man schreibt f′′(x_{0}) = (f′)′(x_{0}) oder auch (DDf)(x_{0}) oder \frac{d^{2}f}{dx} (x_{0}). Die n-te Ableitung f^{(n)} von f wird dann rekursiv definiert als f^{(n)}(x_{0}) := (f^{(n−1)})′(x_{0}), falls f^{(n−1)} in x_{0} differenzierbar ist. Dabei ist f^{(0)}(x_{0}) := f(x_{0}) und f^{(1)}(x_{0}) := f′(x_{0}). Ist die n-te Ableitung f^{(n)} stetig, so heißt f n-mal stetig differenzierbar.

Existiert f^{(n)} für alle n ∈ ℕ, so heißt f beliebig oft differenzierbar (Stetigkeit ist automatisch). Nach Satz 16.12 ist jede Potenzreihe f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} beliebig oft differenzierbar im Inneren ihres Konvergenzkreises, und dort gilt f^{(k)}(x) =

∑_{n=k}^{∞} \frac{n!}{(n − k)!}a_{n}x^{n−k}. Die Menge der beliebig oft differenzierbare Funktionen ist

“größer” als die Menge der durch Potenzreihen darstellbaren Funktionen. Eine nützliche beliebig oft auf ℝ differenzierbare Funktion ist die Einschaltfunktion

f(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} für & x > 0 \\ 0 für & x ≤ 0 \end{matrix}

Satz 18.2 Eine in ]a, b[ differenzierbare Funktion f : ]a, b[ → ℝ sei in x_{0} ∈ ]a, b[ zweimal differenzierbar, und es gelte f′(x_{0}) = 0 sowie f′′(x_{0}) ≠ 0. Dann besitzt f in x_{0} ein strenges lokales Extremum, und zwar ein strenges lokales Minimum für f′′(x_{0}) > 0 bzw. ein strenges lokales Maximum für f′′(x_{0}) < 0.

Beweis. (für f′′(x_{0}) > 0). Wegen f′′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x) − f′(x_{0})}{x − x_{0}} > 0 gibt es ein

ϵ > 0, so daß unter Verwendung von f′(x_{0}) = 0 gilt \frac{f′(x)}{x − x_{0}} > 0 für alle x ∈ ]a, b[

mit 0 < |x − x_{0}| < ϵ. Nach Satz 18.1 ist f′ in ]x_{0} − ϵ, x_{0}[ streng monoton fallend und in ]x_{0}, x_{0} + ϵ[ streng monoton wachsend, besitzt also in x_{0} ein strenges lokales Minimum. □

Definition 18.3 Eine Funktion f : I → ℝ heißt konvex auf dem Intervall I ⊂ ℝ, wenn für alle x_{1} < x_{2} ∈ I und alle λ ∈ ]0, 1[ gilt

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) .

Gilt sogar die Relation ‘<’, so heißt f streng konvex. Eine Funktion f : I → ℝ heißt (streng) konkav, wenn −f (streng) konvex ist.

Setzen wir x = λx_{1} + (1 − λ)x_{2}, dann ist x_{1} < x < x_{2} und λ = \frac{x−x_{2}}{x_{1}−x_{2}} . Somit ist x ↦ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) = f(x_{2}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{2}) die Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})). Folglich bedeutet Konvexität, daß (x, f(x)) unterhalb der Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})) liegt, und zwar für beliebige x_{1}, x_{2} ∈ I mit x_{1} < x < x_{2}.

[figure: f(x_{1}); f(x_{2}); x_{1}; x; x_{2}; 0]

Die Definition von Konvexität erfordert keine Differenzierbarkeit: Z.B: ist f(x) = |x| in jedem Punkt x ∈ ℝ konvex. Für differenzierbare Funktionen haben wir

Satz 18.4 (Konvexitätskriterium) Eine in [a, b] stetige und in ]a, b[ differenzierbare Funktion f ist genau dann konvex in [a, b], wenn f′ in ]a, b[ monoton wächst.

Beweis. (⇒) Sei f konvex und x_{1} < x_{2} Punkte aus ]a, b[. Dann gilt f(x) ≤ f(x_{2}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{2}) = f(x_{1}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{1}) für alle x ∈ ]x_{1}, x_{2}[, also

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} .

Für x ↘ x_{1} einerseits und x ↗ x_{2} andererseits folgt aus der Differenzierbarkeit

in x_{1}, x_{2} die Relation f′(x_{1}) ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ f′(x_{2}). Da x_{1} < x_{2} beliebig sind,

wächst f′ monoton.

(⇐) Sei f′ monoton wachsend und x_{1} < x < x_{2} Punkte aus [a, b]. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ξ_{1} ∈ ]x_{1}, x[ und ξ_{2} ∈ ]x, x_{2}[ mit

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} = f′(ξ_{1}) und \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} = f′(ξ_{2}) .

Es ist ξ_{1} < ξ_{2} und damit f′(ξ_{1}) ≤ f′(ξ_{2}), also \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x} für alle x ∈ ]x_{1}, x_{2}[. Dann ist x−x_{1} = (1−λ)(x_{2}−x_{1}) und x_{2}−x = λ(x_{2}−x_{1}) für λ ∈ ]0, 1[, also λ(f(x) − f(x_{1})) ≤ (1 − λ)(f(x_{2}) − f(x)) und dann f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}). □

Satz 18.5 Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und zweimal differenzierbar in ]a, b[. Dann gilt:

i) f′′ ≥ 0 in ]a, b[ ⇔ f ist konvex in [a, b].
ii) f′′ > 0 in ]a, b[ ⇒ f ist streng konvex in [a, b].

Beweis. i) ist Satz 18.1 für f′ zusammen mit Satz 18.4.

ii) f ist zumindest konvex. Wäre f nicht streng konvex, so gibt es x_{1} < x < x_{2} ∈ [a, b] mit \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} = \frac{f(x_{2})−f(x_{1})}{x_{2}−x_{1}} = \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x}. Nach dem Mittelwertsatz gibt es dann Punkte ξ_{1} ∈ ]x_{1}, x[ und ξ_{2} ∈ ]x, x_{2}[ mit

f′(ξ_{1}) = \frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} = \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} = f′(ξ_{2}) ,

im Widerspruch zur strengen Monotonie von f′ nach Satz 18.1 für f′. □

Beispiel 18.6 Die Funktionen f(x) = x^{2n} mit n ∈ ℕ \ {0} sind streng konvex auf ℝ wegen f′′(x) = 2n(2n − 1)x^{2n−2} > 0. Ebenso ist f(x) = e^{x} streng konvex auf ℝ wegen f′′(x) = e^{x} > 0. Schließlich ist f(x) = ln x streng konkav auf ℝ_{+}^{∗}, da (− ln x)′′ = \frac{1}{x^{2}} > 0.

Definition 18.7 Eine stetige Funktion f : [a, b] → ℝ hat in x_{0} ∈ ]a, b[ einen Wendepunkt, wenn es Intervalle ]α, x_{0}[,]x_{0}, β[ ⊂ [a, b] gibt, so daß eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

i) f ist in ]α, x_{0}[ konvex und in ]x_{0}, β[ konkav, oder

ii) f ist in ]α, x_{0}[ konkav und in ]x_{0}, β[ konvex.

Ist f zweimal differenzierbar in ]a, b[, so sind die Bedingungen i) und ii) äquivalent zu

i’) f′′ ≥ 0 in ]α, x_{0}[ und f′′ ≤ 0 in ]x_{0}, β[, oder
ii’) f′′ ≤ 0 in ]α, x_{0}[ und f′′ ≥ 0 in ]x_{0}, β[.

In diesem Fall ist f′′(x_{0}) = 0 eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt in x_{0}.

Beispiel 18.8 Die Funktionen f(x) = x^{2n+1} mit n ∈ ℕ \ {0} haben in x_{0} = 0 einen Wendepunkt.

Eine wichtige Anwendung der Konvexität ist das Newtonsche Iterationsverfahren zur numerischen Berechnung von Nullstellen.

Satz 18.9 (Newtonsches Iterationsverfahren) Eine stetige und konvexe Funktion f : [a, b] → ℝ mit f(a) < 0 und f(b) > 0 sei zweimal stetig differenzierbar in ]a, b[. Dann gilt:

i) Es gibt genau ein ξ ∈ ]a, b[ mit f(ξ) = 0.

ii) Ist x_{0} ∈ ]a, b[ ein beliebiger Punkt mit f(x_{0}) ≥ 0, dann ist die durch

x_{n+1} := x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})}

rekursiv definierte Folge (x_{n})_{n∈ℕ} wohldefiniert und konvergiert monoton fallend gegen ξ.

Bemerkung: Analoge Aussagen gelten für konkave Funktionen und/oder für f(a) > 0 und f(b) < 0. Man kann zeigen, daß das Verfahren quadratisch konvergiert, d.h. x_{n} approximiert ξ für große n auf 2n Dezimalstellen genau.

Beweis. i) Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zumindest eine Nullstelle ξ von f in ]a, b[. Außerdem gibt es nach dem Satz vom Minimum in q ∈ [a, b] ein globales Minimum mit f(q) ≤ f(x) für alle x ∈ [a, b]. Damit ist f(q) < 0. Ist q ≠ a, so hat f in q ein lokales Minimum, d.h. es gilt f′(q) = 0. Nach Satz 18.4 und Satz 18.5 ist f′ monoton wachsend in ]a, b[, also gilt f′(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, q]. Somit liegen alle Nullstellen von f in ]q, b[.

Angenommen, es gäbe zwei Nullstellen ξ_{1} < ξ_{2}. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t ∈ ]q, ξ_{1}[ mit f′(t) = \frac{f(ξ_{1})−f(q)}{ξ_{1}−q} = \frac{−f(q)}{ξ_{1}−q} > 0. Daraus folgt f′(x) > 0 für alle x ∈ [t, b[, insbesondere ist f in [ξ_{1}, b] streng monoton wachsend und kann keine zweite Nullstelle besitzen.

ii) Für den Anfangspunkt der Folge gilt x_{0} ≥ ξ. Wir zeigen durch vollständige Induktion f(x_{n}) ≥ 0 und ξ ≤ x_{n} ≤ x_{n−1} für alle n ≥ 1.

a) Aus x_{n} ≥ ξ folgt f′(x_{n}) ≥ f′(ξ) > 0, also \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} ≥ 0 und somit x_{n+1} =

x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} ≤ x_{n}.

b) Die Funktion ϕ_{n}(x) := f(x)−f(x_{n})−f′(x_{n})(x−x_{n}) beschreibt die Differenz von f(x) zur ihrer Tangenten in x_{n}. Es gilt ϕ′_{n}(x) = f′(x)−f′(x_{n}), also ϕ′_{n}(x) ≤ 0 für x ≤ x_{n}. Aus ϕ_{n}(x_{n}) = 0 folgt dann ϕ_{n}(x) ≥ 0 für x ≤ x_{n}, insbesondere 0 ≤ ϕ_{n}(x_{n+1}) = f(x_{n+1}) − f(x_{n}) − f′(x_{n})(x_{n+1} − x_{n}) = f(x_{n+1}). Damit ist x_{n+1} ≥ ξ, so daß (x_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende und durch ξ nach unten beschränkte Folge ist. Sei x^{∗} := lim_{n→∞} x_{n} ihr Grenzwert, dann folgt aus der Stetigkeit von f und

f′ in ]a, b[ die Gleichung x^{∗} = x^{∗} − \frac{f(x^{∗})}{f′(x^{∗})}, also f(x^{∗}) = 0 und damit x^{∗} = ξ. □

Beispiel 18.10 Für k ∈ ℕ mit k ≥ 2 und a ∈ ℝ_{+}^{∗} betrachten wir die durch f(x) = x^{k} − a definierte Funktion f : ℝ_{+} → ℝ. Diese ist konvex auf ℝ_{+} mit f(0) = −a < 0 und f(1 + a) > 0. Das Newtonsche Iterationsverfahren zur Berechnung der Nullstellen ist damit anwendbar und liefert die Folge

x_{n+1} := x_{n} − \frac{x_{n}^{k} − a}{kx_{n}^{k−1}} = \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) ,

die für einen beliebigen Startwert x_{0} mit x_{0}^{k} ≥ a monoton fallend gegen \sqrt[k]{a} konvergiert. (Wählt man 0 < x_{0}^{k} < a, dann ist x_{1}^{k} > a, und das Verfahren konvergiert ebenfalls. Siehe Satz 5.13)

Teil V

Integralrechnung

Es gibt verschiedene Integralbegriffe, die sich unterscheiden hinsichtlich der Menge der integrierbaren Funktionen. Wir behandeln hier das Riemann-Integral. Eine andere Möglichkeit wäre das Regelintegral. Dieses ist einfacher einzuführen, wenn bereits der Begriff des normierten Vektorraums zur Verfügung steht. Da wir das erst im Anschluß an die lineare Algebra einführen, entscheiden wir uns hier für das Riemann-Integral.

19 Das Riemannsche Integral

Definition 19.1 Eine Funktion ϕ : [a, b] → ℂ heißt Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b von [a, b] derart gibt, daß ϕ auf jedem offenen Teilintervall ]x_{k}, x_{k+1}[ konstant ist. Die Werte von ϕ an den Punkten x_{0}, …, x_{n} dürfen dabei beliebig (aber beschränkt) sein.

Die Menge aller Treppenfunktionen auf [a, b] werde mit T [a, b] bezeichnet. Es gilt:

i) Die Nullfunktion ϕ(x) = 0 liegt in T [a, b].

ii) Aus ϕ, ψ ∈ T [a, b] folgt ϕ + ψ ∈ T [a, b].

iii) Aus ϕ ∈ T [a, b] und λ ∈ ℂ folgt λϕ ∈ T [a, b].

i) und iii) sind klar, zum Beweis von ii) betrachte man die Unterteilung {x_{0}, …, x_{n}} zu ϕ und {x′_{0}, …, x′_{m}} zu ψ und bilde die Unterteilung {t_{0}, …, t_{k}} := {x_{0}, …, x_{n}} ∪ {x′_{0}, …, x′_{m}} mit k ≤ m + n − 1 und t_{j} < t_{j+1}. Dann sind ϕ, ψ und damit ϕ + ψ Treppenfunktionen bezüglich der gemeinsamen Unterteilung {t_{0}, …, t_{k}}. In der Sprache der lineren Algebra bedeuten i)–iii), daß T [a, b] ein (unendlich-dimensionaler) Vektorraum ist.

Definition 19.2 (Integral für Treppenfunktionen) Sei ϕ ∈ T [a, b] definiert bezüglich der Unterteilung a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b, und auf den Teilintervallen ]x_{k−1}, x_{k}[ habe ϕ den Wert c_{k}. Dann setzt man

∫_{a}^{b} dx ϕ(x) := ∑_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} − x_{k−1}) .

Für reellwertige positive Treppenfunktionen ist das Integral ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) gleich

dem Inhalt der Fläche, die vom Graphen von ϕ und den Geraden x = a, x = b und y = 0 begrenzt wird. Streng genommen muß noch gezeigt werden, daß das so definierte Intgral unabhängig von der gewählen Unterteilung der Treppenfunktion ist. Das geschieht durch Zurückführen zweier Unterteilungen auf eine gemeinsame noch feinere Unterteilung und Berücksichtigung der Tatsache, daß die endlich vielen Randpunkte der Teilintervalle zum Integral nicht beitragen. (Für positive Funktionen haben die Kanten {x_{k}} × [0, ϕ(x_{k})] die Fläche 0, was sich dann auf allgemeine Funktionen überträgt.)

Für reellwertige Funktionen f, g : [a, b] → ℝ erklären wir f ≤ g ⇔ f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b].

Satz 19.3 Für Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ T [a, b] und Zahlen α, β ∈ ℂ gilt:

i) ∫_{a}^{b} dx (αϕ + βψ)(x) = α ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) + β ∫_{a}^{b} dx ψ(x) (Linearität)

ii) | ∫_{a}^{b} dx ϕ(x)| ≤ (b − a) · sup_{x∈[a,b]} |ϕ(x)| (Beschränktheit)

iii) Sind ϕ, ψ reellwertig mit ϕ ≤ ψ, so gilt

∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx ψ(x) (Monotonie)

(Man sagt: Das Integral ist ein lineares, beschränktes und monotones Funktional auf T [a, b].)

Beweis. Nach Wahl gemeinsamer Unterteilungen sind das die üblichen Eigenschaften endlicher Summen. □

Definition 19.4 (Ober- und Unterintegral) Sei f : [a, b] → ℝ eine beschränkte reellwertige Funktion. Dann heißt

∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) := inf { ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) : ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≥ f}

das Oberintegral von f und

∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) := sup { ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) : ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≤ f}

das Unterintegral von f. (Dabei sind die Treppenfunktionen ϕ ∈ T [a, b] reellwertig.)

Es gilt stets ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) ≥ ∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) wegen der Monotonie des Integrals nach

Satz 19.3.iii).

Für reellwertige Treppenfunktionen ψ ∈ T [a, b] gilt ∫_{a}^{b}^{∗} dx ψ(x) = ∫_{a}^{b}_{∗} dx ψ(x),

denn die Treppenfunktion selbst realisiert das Infimum und Supremum.

Definition 19.5 Eine beschränkte reellwertige Funktion f : [a, b] → ℝ heißt Riemann-integrierbar, wenn ihre Ober- und Unterintegrale übereinstimmen; in diesem Fall setzt man

∫_{a}^{b} dx f(x) := ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) = ∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) .

Eine beschränkte komplexwertige Funktion f : [a, b] → ℂ heißt Riemann-integrierbar, wenn Re f und Im f Riemann-integrierbar sind; in diesem Fall setzt man

∫_{a}^{b} dx f(x) := ∫_{a}^{b} dx (Re f)(x) + ∫_{a}^{b} dx (Im f)(x) .

Damit ist jede Treppenfunktion auch Riemann-integrierbar, und ihr Riemann-Integral stimmt mit dem Integral nach Definition 19.2 überein. Im folgenden meinen wir mit ‘integrierbar’ stets ‘Riemann-integrierbar’.

Satz 19.6 Eine Funktion f : [a, b] → ℝ ist genau dann integrierbar, wenn zu jedem ϵ > 0 reellwertige Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ T [a, b] existieren mit ϕ ≤ f ≤ ψ und

∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≤ ϵ .

Beweis. (⇒) Nach Definition von inf und sup gibt es eine Treppenfunktionen

ψ ≥ f mit ∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) ≤ \frac{ϵ}{2} und eine Treppenfunktion ϕ ≤ f mit

∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) − ∫_{a}^{b} ϕ(x) ≤ \frac{ϵ}{2}.

(⇐) Nach Definition ist ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) − ∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) ≤ ϵ für jedes ϵ > 0, also

stimmen Ober- und Unterintegral überein. □

Satz 19.7 Jede stetige Funktion f : [a, b] → ℝ ist integierbar.

Beweis. Nach Satz 14.11 sind stetige Funktionen auf kompakten Intervallen auch gleichmäßig stetig. Also gibt es zu ϵ > 0 ein δ > 0 mit |f(x)−f(y)| < \frac{ϵ}{b−a} für alle x, y ∈ [a, b] mit |x−y| < δ. Wähle n ∈ ℕ mit \frac{b−a}{n} < δ und die Unterteilungsstellen x_{k} := a + k \frac{b−a}{n} mit 0 ≤ k ≤ n. Für 1 ≤ k ≤ n setze c_{k} := sup_{x∈[x_{k−1},x_{k}]} f(x) und c′_{k} := inf_{x∈[x_{k−1},x_{k}]} f(x). Konstruiere die Treppenfunktionen ϕ, ψ mit der Unterteilung {x_{0}, …, x_{k}} derart, daß ψ auf [x_{k−1}, x_{k}] den Wert c_{k} hat und ϕ auf [x_{k−1}, x_{k}] den Wert c′_{k}. Nach Konstruktion gilt ϕ ≤ f ≤ ψ.

Nach dem Satz vom Minimum/Maximum wird das Supremum und Infimum angenommen, d.h. es gibt ξ_{k}, ξ′_{k} ∈ [x_{k−1}, x_{k}] mit c_{k} = f(ξ_{k}) und c′_{k} = f(ξ′_{k}).

Wegen |ξ_{k} − ξ′_{k}| < δ ist |c_{k} − c′_{k}| < \frac{ϵ}{b−a} für alle k und deshalb ψ(x) − ϕ(x) < \frac{ϵ}{b−a} für alle x ∈ [a, b]. Dann gilt nach Satz 19.3

∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) = ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) ≤ (b − a) sup_{x∈[a,b]} |ψ(x) − ϕ(x)| < ϵ .

Nach Satz 19.6 ist f integrierbar. □

Satz 19.8 Jede monotone beschränkte Funktion f : [a, b] → ℝ ist integrierbar.

Beweis. (für f monoton wachsend) Wir wählen eine äquidistante Unterteilung x_{k} = a + k \frac{b−a}{n} und die Treppenfunktionen

ϕ(x) := f(x_{k−1})  für x_{k−1} ≤ x < x_{k}
ψ(x) := f(x_{k})  für x_{k−1} ≤ x < x_{k}

und ϕ(b) = ψ(b) = f(b). Dann gilt ϕ ≤ f ≤ ψ und

∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) = ∑_{k=1}^{n}(f(x_{k}) − f(x_{k−1}))(x_{k} − x_{k−1})

= \frac{b − a}{n} ∑_{k=1}^{n}(f(x_{k}) − f(x_{k−1})) = \frac{b − a}{n}(f(b) − f(a)) .

Wähle n > \frac{1}{ϵ}(b − a)(f(b) − f(a)), dann ist f integrierbar nach Satz 19.6. □

Beispiel 19.9 Wir betrachten die monotone Funktion f : [0, b] → ℝ mit f(x) = x^{2}. Dann ist mit den Bezeichnungen im vorigen Beweis

∫_{0}^{b} dx ψ(x) = \frac{b}{n} ∑_{k=1}^{n} (\frac{kb}{n})^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

= \frac{b^{3}}{3} (1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{2n}) ,

∫_{0}^{b} dx ϕ(x) = \frac{b}{n} ∑_{k=1}^{n} (\frac{(k − 1)b}{n})^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} ∑_{k=0}^{n−1} k^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} \frac{(n − 1)n(2n − 1)}{6}

= \frac{b^{3}}{3} (1 − \frac{1}{n})(1 − \frac{1}{2n}) .

Damit gilt

\frac{b^{3}}{3} (1 − \frac{1}{n})(1 − \frac{1}{2n}) ≤ ∫_{0}^{b} dx x^{2} ≤ \frac{b^{3}}{3} (1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{2n})

für alle n ∈ ℕ \ \{0\}, also ∫_{0}^{b} dx x^{2} = \frac{b^{3}}{3} .

77

Preliminary version – 7. Februar 2008

Wir werden nun grundlegende Eigenschaften des Riemann-Integrals zeigen. Diese Beweise beruhen auf der Einschachtelung integrierbarer Funktionen durch Treppenfunktionen und sind leider etwas mühsam.

Satz 19.10 Seien f, g : [a, b] → ℂ integrierbare Funktionen und α, β ∈ ℂ. Dann ist auch die Funktion αf + βg integrierbar, und es gilt

∫_{a}^{b} dx (αf + βg)(x) = α ∫_{a}^{b} dx f(x) + β ∫_{a}^{b} dx g(x) .

Beweis. Es genügt, den Satz für reellwertige f, g und α, β ∈ ℝ zu beweisen. Der allgemeine Fall läßt sich dann mit Definition 19.5 darauf zurückführen. Wir betrachten zunächst α, β ∈ ℝ_{+}^{∗}. Nach Voraussetzung gibt es zu ϵ > 0 Treppenfunktionen ϕ_{1}, ϕ_{2}, ψ_{1}, ψ_{2} mit ϕ_{1} ≤ f ≤ ψ_{1} und ϕ_{2} ≤ g ≤ ψ_{2} sowie

∫_{a}^{b} dx ψ_{1}(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ_{1}(x) ≤ \frac{ϵ}{2α} , ∫_{a}^{b} dx ψ_{2}(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ_{2}(x) ≤ \frac{ϵ}{2β} .

Dann ist αϕ_{1} + βϕ_{2} ≤ αf + βg ≤ αψ_{1} + βψ_{2}, und nach Satz 19.3 gilt

∫_{a}^{b} dx (αψ_{1} + βψ_{2})(x) − ∫_{a}^{b} dx (αϕ_{1} + βψ_{2})(x) ≤ ϵ .

Damit ist αf + βg integrierbar. Sowohl I_{1} = ∫_{a}^{b} dx (αf + βg)(x) als auch

I_{2} = α ∫_{a}^{b} dx f(x) + β ∫_{a}^{b} dx g(x) liegen zwischen ∫_{a}^{b} dx (αϕ_{1} + βϕ_{2})(x) und

∫_{a}^{b} dx (αψ_{1} + βψ_{2})(x), also gilt I_{1} = I_{2}.

Mit f ist auch −f integrierbar durch Wahl der Treppenfunktionen −ψ_{1} ≤ −f ≤ −ϕ_{1}, so daß die Aussage auch für α < 0 und/oder β < 0 gilt. □

Satz 19.11 Seien f, g : [a, b] → ℝ integrierbare Funktionen. Dann gilt:

i) Ist f ≤ g, so folgt ∫_{a}^{b} dx f(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx g(x).

ii) Die Funktionen f_{+} := max(f, 0) und f_{−} := max(−f, 0) sowie |f| =

f_{+} + f_{−} sind integrierbar, und es gilt | ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)|.

iii) Für jedes p ∈ [1, ∞[ ist die Funktion |f|^{p} integrierbar.

iv) Die Funktion fg ist integrierbar.

Beweis. i) Es ist g − f ≥ 0 eine integrierbare Funktion, deren (Unter)integral ≥

dem Integral der Treppenfunktion 0 ist. Also ist ∫_{a}^{b} dx (g − f)(x) ≥ 0.

ii) Aus ψ ≥ f ≥ ϕ folgt ψ_{+} ≥ f_{+} ≥ ϕ_{+} und ϕ_{−} ≥ f_{−} ≥ ψ_{−}. Dann gilt ψ − ϕ = (ψ_{+} − ψ_{−}) − (ϕ_{+} − ϕ_{−}) = ψ_{+} − ϕ_{+} + (ϕ_{−} − ψ_{−}) ≥ ψ_{+} − ϕ_{+}, also

∫_{a}^{b} dx (ψ_{+} − ϕ_{+})(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) ≤ ϵ. Damit ist f_{+} integrierbar, analog

auch f_{−} = (−f)_{+} und damit |f| = f_{+} + f_{−}. Wegen f ≤ |f| und −f ≤ |f|

gelten ∫_{a}^{b} dx f(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)| und − ∫_{a}^{b} dx f(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)|, folglich

| ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)|.

iii) Die Funktion f ist beschränkt, |f| ≤ M. Wegen der Linearität genügt es, 0 ≤ f ≤ 1 zu betrachten. Nach Voraussetzung gibt es Treppenfunktionen ϕ, ψ mit

0 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 und ∫_{a}^{b} dx ψ(x)−∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≤ \frac{ϵ}{p}. Die Funktionen ϕ^{p} und ψ^{p}

sind wieder Treppenfunktionen mit ϕ^{p} ≤ |f|^{p} ≤ ψ^{p}. Nach dem Schrankensatz 17.5 für die Funktion h : ψ ↦ ψ^{p} mit 0 ≤ h′ ≤ p auf [0, 1] gilt \frac{ψ^{p}−ϕ^{p}}{ψ−ϕ} ≤ p und damit

∫_{a}^{b} dx (ψ^{p} − ϕ^{p})(x) ≤ p ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) ≤ ϵ .

Damit ist |f|^{p} integrierbar.

iv) Verwende fg = \frac{1}{4}((f + g)^{2} − (f − g)^{2}). □

Insbesondere sind auch max(f, g) = \frac{1}{2}(f + g + |f − g|) und min(f, g) = \frac{1}{2}(f + g − |f − g|) integrierbar.

Wir zeigen nun, daß eine approximierende Treppenfunktion weitgehend beliebig ist, solange die Unterteilung genügend fein wird.

Satz 19.12 (Riemannsche Summen) Sei f : [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0, so daß für eine beliebige Unterteilung a = x_{0} < x_{1} ⋯ < x_{n} = b von [a, b] mit |x_{k} − x_{k−1}| < δ und beliebige Wahl von Stützstellen ξ_{k} ∈ [x_{k−1}, x_{k}] gilt

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})| < ϵ .

Beweis. i) Sei zunächst f eine Treppenfunktion, die bezüglich einer Unterteilung a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = b definiert ist, und M := sup_{x∈[a,b]} |f(x)|. Sei a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b eine Unterteilung von [a, b] mit |x_{k}−x_{k−1}| < δ, und für beliebige Wahl von Stützstellen ξ_{k} ∈ [x_{k−1}, x_{k}] definieren wir eine Treppenfunktion Φ ∈ T [a, b] durch Φ(x) = f(ξ_{k}) für x_{k−1} < x ≤ x_{k} und Φ(a) = f(ξ_{1}). Dann gilt

∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1}) = ∫_{a}^{b} dx Φ(x) und

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x) − Φ(x)| .

Die Funktionen f und Φ stimmen auf jedem offenen Intervall ]x_{k−1}, x_{k}[ überein, für das [x_{k−1}, x_{k}] keinen Punkt t_{j} enthält. Damit ist f − Φ ≠ 0 höchstens auf 2m Teilintervallen. Deren Gesamtlänge ist < 2mδ. Wegen |f(x) − Φ(x)| ≤ 2M für alle x ∈ [a, b] folgt

∫_{a}^{b} dx |f(x) − Φ(x)| < 4Mδ .

ii) Sei nun f wieder eine beliebige integrierbare Funktion. Wähle δ < \frac{ϵ}{8M} für

die beiden Treppenfunktion ϕ, ψ mit ϕ ≤ f ≤ ψ und ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) < \frac{ϵ}{2}.

Dann ist auch

∑_{k=1}^{n} ϕ(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1}) ≤ ∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1}) ≤ ∑_{k=1}^{n} ψ(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})

d.h. es gilt

∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1}) ∈ ] − \frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx ϕ(x), \frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx ψ(x)[

Aus ∫_{a}^{b} dx ψ(x) ≤ \frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx f(x) und ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≥ −\frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx f(x) folgt die

Behauptung. □

Satz 19.13 Für komplexwertige integrierbare Funktionen f : [a, b] → ℂ gilt

| ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx|f(x)| ≤ (b − a) sup_{x∈[a,b]} |f(x)|.

Beweis. Angenommen, | ∫_{a}^{b} dx f(x)| − ∫_{a}^{b} dx |f(x)| = ϵ > 0. Wir wählen Rie-

mannsche Summen für Re f, Im f und |f| mit

| ∫_{a}^{b} dx (Re f)(x) − ∑_{i=1}^{n}(Re f)(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})| < \frac{ϵ}{4} ,

| ∫_{a}^{b} dx (Im f)(x) − ∑_{i=1}^{n}(Im f)(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})| < \frac{ϵ}{4} ,

| ∫_{a}^{b} dx |f(x)| − ∑_{i=1}^{n} |f(ξ_{k})|(x_{k} − x_{k−1})| < \frac{ϵ}{4} .

Die ersten beiden Ungleichungen ergeben

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{i=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})| < \frac{ϵ}{4} .

Wegen |α| = |β + α − β| ≤ |β| + |α − β| für alle α, β ∈ ℂ folgt

| ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ \frac{ϵ}{2} + | ∑_{i=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1})| ≤ \frac{ϵ}{2} + ∑_{i=1}^{n} |f(ξ_{k})|(x_{k} − x_{k−1})

< \frac{3ϵ}{4} + ∫_{a}^{b} dx |f(x)| ,

Widerspruch. Die Ungleichung ∫_{a}^{b} dx|f(x)| ≤ (b − a) sup_{x∈[a,b]} |f(x)| folgt aus

|f(x)| ≤ sup_{x∈[a,b]} |f(x)|. □

Satz 19.14 Sei a < b < c. Eine Funktion f : [a, c] → ℂ ist genau dann integrierbar, wenn f über [a, b] und über [b, c] integrierbar ist, und dann gilt

∫_{a}^{c} dx f(x) = ∫_{a}^{b} dx f(x) + ∫_{b}^{c} dx f(x).

Beweis. Folgt durch Unterteilung der approximierenden Treppenfunktionen in b. □

Man setzt ∫_{a}^{a} dx f(x) := 0 und ∫_{b}^{a} dx f(x) = − ∫_{a}^{b} dx f(x) für b ≥ a, falls f

über [a, b] integrierbar ist. Die Zusammensetzungsformel aus Satz 19.14 gilt dann für beliebige a, b, c, wenn f über [min(a, b, c), max(a, b, c)] integrierbar ist. Daraus erhalten wir im Beispiel 19.9

∫_{a}^{b} dx x^{2} = ∫_{a}^{0} dx x^{2} + ∫_{0}^{b} dx x^{2} = ∫_{0}^{b} dx x^{2} − ∫_{0}^{a} dx x^{2} = \frac{1}{3}(b^{3} − a^{3}) .

Satz 19.15 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Es sei f : [a, b] → ℝ eine stetige Funktion und g : [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion mit g ≥ 0.

Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit ∫_{a}^{b} dx (fg)(x) = f(ξ) ∫_{a}^{b} dx g(x). Für g = 1 gilt

speziell ∫_{a}^{b} dx f(x) = (a − b)f(ξ) für ein ξ ∈ [a, b].

Beweis. Setzte M := sup_{x∈[a,b]} f(x) und m := inf_{x∈[a,b]} f(x), dann gilt mg ≤ fg ≤ Mg und folglich

m ∫_{a}^{b} dx g(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx (fg)(x) ≤ M ∫_{a}^{b} dx g(x) .

Somit gibt es ein λ ∈ [m, M] mit ∫_{a}^{b} dx (fg)(x) = λ ∫_{a}^{b} dx g(x). Die stetige

Funktion f : [a, b] → ℝ nimmt ihr Supremum M und Infimum m an. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein ξ ∈ [a, b] mit f(ξ) = λ. □

Man nennt M(f) := \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} dx f(x) den Mittelwert der stetigen Funktion f :

[a, b] → ℝ. Allgemeiner heißt M_{g}(f) := \frac{∫_{a}^{b} dx (fg)(x)}{∫_{a}^{b} dx g(x)} der bezüglich g gewichtete

Mittelwert von f.

20 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

20.1 Regelfunktionen

Definition 20.1 Eine Funktion f : [a, b] → ℂ heißt Regelfunktion, wenn es zu jedem ϵ > 0 eine Treppenfunktion ϕ ∈ T [a, b] gibt mit |f(x) − ϕ(x)| ≤ ϵ für alle x ∈ [a, b].

Wegen Re ϕ−ϵ ≤ Re f ≤ Re ϕ+ϵ sowie ∫_{a}^{b} dx (Re ϕ+ϵ)(x)−∫_{a}^{b} dx (Re ϕ−ϵ)(x) =

2ϵ(b−a) und analog für die Imaginärteile ist jede Regelfunktion integrierbar. Die Konstruktionen in den Beweisen zu Satz 19.7 und Satz 19.8 zeigen, daß jede stetige Funktion und jede monotone Funktion eine Regelfunktion ist.

Satz 20.2 Es sei f : [a, b] → ℂ eine Regelfunktion. Dann existieren in jedem Punkt x_{0} ∈ [a, b[ die rechtsseitigen Grenzwerte lim_{x↘x_{0}} f(x), und in jedem Punkt x_{0} ∈ ]a, b] existieren die linksseitigen Grenzwerte lim_{x↗x_{0}} f(x).

Beweis. (für rechsseitige Grenzwerte) Sei ϕ die Treppenfunktion mit |f(x) − ϕ(x)| ≤ \frac{ϵ}{2} für alle x ∈ [a, b] und ]x_{0}, β[ das Intervall, auf dem ϕ konstant ist. Dann gilt für alle x, x′ ∈ ]x_{0}, β[ die Abschätzung |f(x) − f(x′)| ≤ |f(x) − ϕ(x)| + |ϕ(x′) − f(x′)| ≤ ϵ. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium existiert der Limes lim_{x↘x_{0}} f(x). □

Wir betrachten nun die Abhängigkeit des Integrals von einer der Integrationsgrenzen als neue Funktion, die man auch unbestimmtes Integral nennt.

Satz 20.3 Sei F : I → ℂ eine Regelfunktion und a ∈ I. Für x ∈ I werde durch

F (x) := ∫_{a}^{x} dt f(t) eine Funktion F : I → ℂ definiert. Dann gilt: Die Funktion

F : I → ℂ ist stetig und in jedem Punkt x_{0} ∈ I sowohl linksseitig als auch rechtsseitig differenzierbar mit

lim_{h↘0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↘x_{0}} f(x) ,  lim_{h↗0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↗x_{0}} f(x) .

Insbesondere ist F differenzierbar in jedem Punkt x ∈ I, in dem f stetig ist, mit F′(x) = f(x).

Beweis. Wegen |F (x_{1}) − F (x_{2})| ≤ |x_{1} − x_{2}| sup_{x∈[x_{1},x_{2}]} |f(x)| ist F auf jedem abgeschlossenen Intervall Lipschitz-stetig und damit stetig.

Sei A := lim_{x↘x_{0}} f(x). Zu ϵ > 0 wähle δ > 0, so daß |f(x) − A| < ϵ für alle x ∈ ]x_{0}, x_{0} + δ[. Dann gilt für einen solchen Punkt x

|\frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} − A| = |\frac{1}{x−x_{0}} ∫_{x_{0}}^{x} dx (f(x) − A)| ≤ \frac{1}{x−x_{0}} ∫_{x_{0}}^{x} dx |f(x) − A| ≤ ϵ .

Damit existiert der rechtsseitige Grenzwert lim_{x↘x_{0}} \frac{F (x)−F (x_{0})}{x−x_{0}} und ist gleich A. Analog für den linksseitigen Grenzwert. □

20.2 Stammfunktionen

Definition 20.4 Eine stetige Funktion F : I → ℂ, für die eine Regelfunktion f : I → ℂ existiert mit

lim_{h↘0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↘x_{0}} f(x) ,  lim_{h↗0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↗x_{0}} f(x) ,

heißt Stammfunktion zu f.

Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Regelfunktion f : I → ℂ heißt das

unbestimmte Integral zu f, geschrieben ∫ dx f(x).

Nicht jede differenzierbare Funktion ist eine Stammfunktion. Es läßt sich zeigen (Königsberger, Analysis I), daß Funktionen, die mit Ausnahme abzählbar vieler Punkte stetig differenzierbar sind, Stammfunktion sind.

Satz 20.5 Es sei F : I → ℂ Stammfunktion zu einer Regelfunktion f : I → ℂ. Eine weitere Funktion G : I → ℝ ist genau dann Stammfunktion zu f, wenn F − G konstant ist.

Beweis. (⇒) Nach dem Identitätssatz 17.6 für stetige und differenzierbare Funktionen ist F − G konstant in jedem offenen Intervall, in dem f stetig ist. Wegen der Stetigkeit von F, G ist F − G dann auf ganz I konstant.

(⇐) ist klar. □

Satz 20.6 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Es sei G : I → ℂ eine beliebige Stammfunktion zu einer Regelfunktion f : I → ℂ. Dann gilt für beliebige a, b ∈ I

∫_{a}^{b} dx f(x) = G(b) − G(a) .

Beweis. Das ist klar für die Stammfunktion F (x) = ∫_{a}^{x} dx f(x). Für jede weitere

Stammfunktion G gilt G(x) = F (x) + c für ein c ∈ ℂ, und in der Differenz G(b) − G(a) = F (b) − F (a) hebt sich die Konstante weg. □

Jede Ableitungsformel der Differentialrechnung liefert damit ein unbestimmtes Integral. Die Grundintegrale sind

∫ dx x^{s} = \frac{x^{s+1}}{s + 1} + c ,  x ∈ ℝ für s ∈ ℕ , x ∈ ℝ^{∗} für s ∈ ℤ , s ≤ 2 , x ∈ ℝ_{+}^{∗} für s ∈ ℂ \ \{−1\}

∫ dx \frac{1}{x} = ln |x| + c ,  x ≠ 0
∫ dx e^{ax} = \frac{1}{a}e^{ax} + c ,  a ∈ ℂ
∫ dx sin x = − cos x + c ,
∫ dx cos x = sin x + c ,
∫ dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = arcsin x + c ,  |x| < 1
∫ dx \frac{1}{1 + x^{2}} = arctan x + c ,
∫ dx \frac{1}{cos^{2} x} = tan x + c ,  x ∉ \frac{π}{2} + πℤ
∫ dx \frac{1}{sin^{2} x} = − cot x + c ,  x ∉ πℤ

Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefern diese unbestimmten Integrale ein Riemannsches Integral, falls das Intervall [a, b] im Definitionsbereich der Stammfunktion liegt. So erhalten wir z.B.

∫_{a}^{b} dx x^{n} = \frac{b^{n+1} − a^{n+1}}{n + 1}  n ∈ ℕ ,
∫0^{\frac{π}{2}} dx cos x = sin(\frac{π}{2}) − sin(0) = 1 ,
∫_{0}^{a} dx e^{x} = e^{a} − 1 .

Ist F die Stammfunktion zu f, dann ist für das Riemannsche Integral die folgende Schreibweise üblich:

∫_{a}^{b} dx f(x) = F (x)|_{a}^{b} := F (b) − F (a) ,

also z.B. ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{1 + x^{2}} = arctan x|_{0}^{1} = \frac{π}{4} .

20.3 Partielle Integration

Aus der Produktregel für das Differential gewinnt man die folgende Rechenregel:

Satz 20.7 (partielle Integration) . Es seien u, v : I → ℂ Stammfunktionen zu Regelfunktionen f = v′ : I → ℂ und g = u′ : I → ℂ (die Ableitung ist im Sinne von Definition 20.4 zu verstehen). Dann ist auch uv eine Stammfunktion, und es gilt

∫ dx (uv′)(x) = (uv)(x) − ∫ dx (u′v)(x) ,
∫_{a}^{b} dx (uv′)(x) = uv|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} dx (u′v)(x) .

Beweis. Folgt (mit einseitigen Grenzwerten) aus der Rechnung zur Produktregel in Satz 16.6. □

Beispiel 20.8 I_{n}(x) := ∫ dx sin^{n} x für n ∈ ℕ, n ≥ 2. Wir setzen u = sin^{n−1} x,

v = − cos x, dann folgt mit partieller Integration (die Konstante c ist weggelassen)

∫ dx sin^{n} x = − sin^{n−1} x cos x + ∫ dx ((n − 1) cos x sin^{n−2} x) cos x
= − sin^{n−1} x cos x + (n − 1) ∫ dx sin^{n−2} x(1 − sin^{2} x) .

Daraus ergibt sich die Rekursionsformel

I_{n}(x) = −\frac{1}{n} sin^{n−1} x cos x + \frac{n − 1}{n}I_{n−2} ,

aus der mit I_{0} = x und I_{1} = − cos x die unbestimmten Integrale berechnet werden

können, z.B. ∫ dx sin^{2} x = \frac{1}{2}(x − sin x cos x). Interessant sind die Riemannschen

Integrale (k ∈ ℕ \ {0})

A_{2k} := ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{2k} x = \frac{(2k − 1)(2k − 3) ⋯ 1}{2k(2k − 2) ⋯ 2} · \frac{π}{2} ,
A_{2k+1} := ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{2k+1} x = \frac{2k(2k − 2) ⋯ 2}{(2k + 1)(2k − 1) ⋯ 3} .

85 Wegen 0 ≤ sin^{2k+2} x ≤ sin^{2k+1} x ≤ sin^{2k} x ≤ 1 für x ∈ [0, \frac{π}{2}] gilt 0 ≤ A_{2k+2} ≤ A_{2k+1} ≤ A_{2k} ≤ \frac{π}{2}. Andererseits ist lim_{k→∞} \frac{A_{2k+2}}{A_{2k}} = lim_{k→∞} \frac{2k+1}{2k+2} = 1, also auch lim_{k→∞} \frac{A_{2k+1}}{A_{2k}} = 1 und daraus

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\frac{π}{2} = lim_{k→∞} \frac{(2k)^{2}(2k − 2)^{2} ⋯ 2^{2}}{(2k + 1)(2k − 1)(2k − 2 + 1)(2k − 2 − 1) ⋯ (2 + 1)(2 − 1)}

= lim_{k→∞} ∏_{n=1}^{k} \frac{4n^{2}}{4n^{2} − 1} = ∏_{n=1}^{∞} \frac{4n^{2}}{4n^{2} − 1} .

Diese Formel heißt Wallissches Produkt.

Beispiel 20.9 ∫ dx arcsin x. Wir setzen u = arcsin x, v = x, dann folgt mit partieller Integration und \sqrt{1 − x^{2}}′ = −\frac{x}{\sqrt{1−x^{2}}}

∫ dx arcsin x = x arcsin x − ∫ dx \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} = x arcsin x + \sqrt{1 − x^{2}} .

Ähnlich zeigt man ∫ dx arctan x = x arctan x − \frac{1}{2} ln(1 + x^{2}).

Beispiel 20.10 ∫ dx \sqrt{1 − x^{2}}. Wir setzen v = x, u = \sqrt{1 − x^{2}}, dann folgt

∫ dx \sqrt{1 − x^{2}} = x\sqrt{1 − x^{2}} − ∫ dx x · \frac{−x}{\sqrt{1 − x^{2}}} = x\sqrt{1 − x^{2}} − ∫ dx \frac{(1 − x^{2}) − 1}{\sqrt{1 − x^{2}}}
= x\sqrt{1 − x^{2}} − ∫ dx \sqrt{1 − x^{2}} + arcsin x

also ∫ dx \sqrt{1 − x^{2}} = \frac{1}{2}x\sqrt{1 − x^{2}} + \frac{1}{2} arcsin x. Der Graph (x, \sqrt{1 − x^{2}}) für x ∈ [0, 1] beschreibt einen Viertelkreisbogen mit Radius 1. Dementsprechend ist ∫_{0}^{1} dx \sqrt{1 − x^{2}} = (\frac{1}{2}x\sqrt{1 − x^{2}} + \frac{1}{2} arcsin x)|_{0}^{1} = \frac{π}{4} die Fläche der Viertelkreisscheibe, d.h. die Kreisscheibe vom Radius 1 hat die Fläche π.

Satz 20.11 (Trapezregel) Es sei f : I → ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und a, b ∈ I. Dann ist

∫_{a}^{b} dx f(x) = \frac{b − a}{2}(f(b) + f(a)) − R ,
R = \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} dx (x − a)(b − x)f′′(x) = \frac{(b − a)^{3}}{12} f′′(ξ) für ein ξ ∈ [a, b] .

Beweis. Setze g = \frac{1}{2}(x − a)(b − x) mit g′(x) = \frac{1}{2}(b + a − 2x) und g′′(x) = −1. Zweimalige partielle Integration liefert

R = ∫_{a}^{b}dx (gf′′)(x) = (gf′)(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b}dx (g′f′)(x)

= −(g′f)(x)|_{a}^{b} + ∫_{a}^{b}dx (g′′f)(x) = \frac{b − a}{2}(f(b) + f(a)) − ∫_{a}^{b} dx f(x) .

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ist

\frac{1}{2} ∫_{a}^{b} dx (x−a)(b−x)f′′(x) = \frac{1}{2}f′′(ξ) ∫_{a}^{b} dx (x − a)(b − x)

= \frac{1}{2}f′′(ξ)(\frac{x^{2}}{2} (a + b) − \frac{x^{3}}{3} − abx)|_{a}^{b} = \frac{(b − a)^{3}}{12} f′′(ξ) . □

Approximiert man eine viermal stetig differenzierbare Funktion f durch eine Parabel mit gleichen Funktionswerten in a, b, \frac{a+b}{2}, so entsteht die Keplersche Faßregel

∫_{a}^{b} dx f(x) = \frac{b − a}{6}(f(b) + f(a) + 4f(\frac{a+b}{2})) − R ,  R = \frac{(b − a)^{5}}{2880} f^{(4)}(ξ)

für ein ξ ∈ [a, b]. Sie liefert für Graphen kubischer Polynome eine exakte Formel (d.h. R = 0) zur Flächenberechnung.

20.4 Substitutionsregel

Aus der Kettenregel für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gewinnen wir die sehr wichtige Substitutionsregel:

Satz 20.12 Es sei f : I → ℂ eine Regelfunktion, F : I → ℂ eine Stammfunktion zu f und t : [a, b] → I eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion. Dann ist F ∘ t : [a, b] → ℂ eine Stammfunktion zu (f ∘ t) · t′ : [a, b] → ℂ, und es gilt

∫_{a}^{b} dx f(t(x)) · t′(x) = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt f(t) .

Beweis. Wir wiederholen den Beweis der Kettenregel in Satz 16.8 für rechtsseitige Grenzwerte und t streng monoton wachsend. Für x_{0} ∈ [a, b[ sei y_{0} := t(x_{0}) ∈ I

und A := lim_{y↘y_{0}} f(y). Setze ϕ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{F (y)−F (y_{0})}{y−y_{0}} für & y > y_{0} \\ A für & y = y_{0} \end{matrix} Nach Vorausset-

zung gilt lim_{y↘y_{0}} ϕ(y) = ϕ(y_{0}) = A und F (y) − F (y_{0}) = (y − y_{0})ϕ(y) für alle y ∈ I mit y ≥ y_{0}. Dann erhalten wir

lim_{x↘x_{0}} \frac{F (t(x)) − F (t(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x↘x_{0}} \frac{ϕ(t(x)) · (t(x) − t(x_{0}))}{x − x_{0}}

= lim_{x↘x_{0}} ϕ(t(x)) · lim_{x↘x_{0}} \frac{t(x) − t(x_{0})}{x − x_{0}}

= ϕ(t(x_{0})) · t′(x_{0}) = A · t′(x_{0}) = lim_{x↘x_{0}} f(t(x)) · t′(x) .

Analog für linksseitige Grenzwerte und/oder t streng monoton fallend. Also ist (F ∘t)(x) Stammfunktion zu ((f ∘t)·t′)(x). Nach dem Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung gilt

∫_{a}^{b} dt f(t(x)) · t′(x) = (F ∘ t)(x)|_{a}^{b} = F (t(b)) − F (t(a)) = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt f(t) . □

Beispiel 20.13 ∫_{a}^{b} dx f(αx + β) mit α ≠ 0. Setze t(x) = αx + β, t′(x) = α,

dann ist

∫_{a}^{b} dx f(αx + β) = \frac{1}{α} ∫_{a}^{b} f(t(x)) · t′(x) = \frac{1}{α} ∫_{αa+β}^{αb+β} dt f(t) .

Beispiel 20.14 Oft gelingt es, Integrale in der Form ∫ dx \frac{t′(x)}{t(x)} zu identifizieren

für eine stetig differenzierbare Funktion t : [a, b] → ℝ mit t(x) ≠ 0 für alle x ∈ [a, b]. Setzt man f(t) = \frac{1}{t}, so ist

∫_{a}^{b} dx \frac{t′(x)}{t(x)} = ∫_{a}^{b} dx f(t(x))t′(x) = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt f(t) = ln |t||_{t(a)}^{t(b)} = ln |\frac{t(b)}{t(a)}| .

Z.B. erhalten wir für [a, b] ⊂ ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[

∫_{a}^{b} dx tan x = − ∫_{a}^{b} dx \frac{cos′(x)}{cos x} = − ln |\frac{cos b}{cos a}| .

Das entsprechende unbestimmte Integral ist ∫ dx tan x = − ln | cos x|+c. Analog

ist ∫ dx cot x = ln | sin x| + c.

Beispiel 20.15 ∫_{a}^{b} dx \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} . Setze x = sinh t, also t(x) = arsinh x =

ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}). (Siehe den letzten Teil von 15.3.) Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt

arsinh′(x) = \frac{1}{sinh′(t(x))} = \frac{1}{cosh t(x)} = \frac{1}{\sqrt{1 + sinh^{2} t(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

88 Also ist f(t) = 1 und

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∫_{a}^{b} dx \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = ∫_{arsinh(a)}^{arsinh(b)} dt 1 = arsinh(b) − arsinh(a) = ln \frac{b + \sqrt{b^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} + 1}} .

Das entsprechende unbestimmte Integral ist ∫ dx \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = arsinh x = ln(x +

\sqrt{1 + x^{2}}) + c. Analog zeigt man ∫ dx \frac{1}{\sqrt{x^{2} − 1}} = arcosh x = ln(x + \sqrt{x^{2} − 1}) + c

für |x| ≥ 1.

Beispiel 20.16 (Integration rationaler Funktionen) Durch Partialbruchzerlegung (Satz 11.4) lassen sich rationale Funktionen darstellen als Summe von Polynomen und Funktionen der Form \frac{b}{(x−a)^{k}} mit a, b ∈ ℂ und k ∈ ℕ \ \{0\}. Handelt es sich um eine reelle rationale Funktion, so treten die zueinander komplexkonjugierten Funktionen \frac{b}{(x−a)^{k}} und \frac{b̄}{(x−ā)^{k}} in der Summe gemeinsam auf. Für

k ≥ 2 wird für reelle und komplexe Nullstellen gleichermaßen ∫ dx \frac{b}{(x − a)^{k}} =

\frac{b}{(1 − k)(x − a)^{k−1}} + c erhalten. Für k = 1 und eine reelle Nullstelle a ∈ ℝ hat

man ∫ dx \frac{b}{(x − a)} = b ln |x − a| + c. Ist k = 1 und a ∉ ℝ, so muß man, wenn

man komplexe Logarithmen vermeiden möchte, die beiden komplex-konjugierten Funktionen wieder zusammenfassen zu

\frac{b}{(x − a)} + \frac{b̄}{(x − ā)} = \frac{2xRe(b) − 2Re(b̄a)}{(x − Re(a))^{2} + (Im(a))^{2}} =: \frac{Bx + C}{(x + p)^{2} + q^{2}} ,

mit B, C, p, q ∈ ℝ und q > 0. Man schreibt Bx + C = \frac{B}{2} (2x + 2p) + (C − Bp), so daß ein Term \frac{B}{2} \frac{f′(x)}{f(x)} mit f(x) = (x + p)^{2} + q^{2} entsteht, der die Stammfunktion \frac{B}{2} ln |f(x)| hat. Der verbleibende Teil wird nach Substitution t = \frac{x+p}{q} zum arctan:

∫ dx \frac{Bx + C}{(x + p)^{2} + q^{2}} = \frac{B}{2} ln((x + p)^{2} + q^{2}) + \frac{C − Bp}{q} arctan \frac{x + p}{q} .

In vielen anderen Fällen gibt es Substitutionen t(x), die auf rationale Funktionen in t führen:

Beispiel 20.17 Es sei ∫ dx R(cos x, sin x) für eine rationale Funktion R von

sin x und cos x. Setzt man

t = tan \frac{x}{2} ⇒ cos x = \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} , sin x = \frac{2t}{1 + t^{2}} , t′(x) = \frac{1}{2}(1 + t^{2}) ,

so entsteht

∫_{a}^{b} dx R(cos x, sin x) = ∫\begin{matrix}tan & \frac{b}{2} \\ tan & \frac{a}{2} \end{matrix} dt R(\frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} , \frac{2t}{1+t^{2}} )\frac{2}{1+t^{2}} .

Eine solche rationale Funktion kann mit dem in Beispiel 20.16 beschriebenen Verfahren integriert werden.

Beispiel 20.18 ∫ dx R(e^{px}) für p ∈ ℝ^{∗} und eine rationale Funktion R. Die

Transformation t = e^{px} führt auf

∫_{a}^{b} dx R(e^{px}) = \frac{1}{p} ∫_{e^{pa}}^{e^{pb}} dt R(t)\frac{1}{t} .

Insbesondere lassen sich auf diese Weise rationale Funktionen von sinh x und cosh x integrieren.

Beispiel 20.19 ∫ dx R(x, \sqrt[n]{px + q}) für n ∈ ℕ \ \{0\} und p ∈ ℝ^{∗}, q ∈ ℝ. Die

Transformation t = \sqrt[n]{px + q} führt auf eine rationale Funktion:

∫_{a}^{b} dx R(x, \sqrt[n]{px + q}) = \frac{n}{p} ∫ \begin{matrix}^{n} & \sqrt{pb+q} \\ ^{n} & \sqrt{pa+q} \end{matrix} dt R(\frac{t^{n}−q}{p}, t)t^{n−1} .

Beispiel 20.20 ∫ dx R(x, \sqrt{px^{2} + qx + r}) für p ∈ ℝ^{∗} und q, r ∈ ℝ mit r ≠ \frac{q^{2}}{4p}.

Durch quadratische Ergänzung px^{2} + qx + r = p(x + \frac{q}{2p})^{2} + r − \frac{q^{2}}{4p} und linearer

Substitution t = \sqrt{|\frac{4p^{2}}{4pr−q^{2}} |}(x+ \frac{q}{2p})^{2} entsteht je nach Vorzeichen von p und 4pr−q^{2} eines der Integrale

∫ dt R′(t, \sqrt{t^{2} + 1}) , ∫ dt R′(t, \sqrt{t^{2} − 1}) , ∫ dt R′(t, \sqrt{1 − t^{2}}) ,

welches durch t = sinh y, t = cos y bzw. t = sin y auf eine rationale Funktion von e^{sy} bzw. sin y und cos y zurückgeführt wird.

21 Uneigentliche Integrale

Wir haben bisher nur Funktionen über kompakten (beschränkt und abgeschlossen) Intervallen intgriert. Wünschenswert wäre aber auch die Integration über offene Intervalle sowie über unbeschränkte Intervalle. Solche “uneigentlichen Integrale” können über einen Grenzprozeß Riemannscher Integrale erhalten werden.

Definition 21.1 Eine Funktion f : [a, ∞[ → ℂ sei über jedes kompakte Intervall [a, R] mit R > a integrierbar. Existiert der Limes lim_{R→∞} ∫_{a}^{R} dx f(x), dann heißt das

Integral ∫_{a}^{∞} dx f(x) konvergent, und man setzt ∫_{a}^{∞} dx f(x) := lim_{R→∞} ∫_{a}^{R} dx f(x).

Analog wird für f : ] − ∞, b] → ℂ im Fall der Konvergenz das Integral ∫_{−∞}^{b} dx f(x) definiert.

Beispiel 21.2 Das Integral ∫_{1}^{∞} dx \frac{1}{x^{s}} konvergiert für s > 1. Es gilt

∫_{1}^{R} dx \frac{1}{x^{s}} = \{ \begin{matrix}\frac{R^{1−s}−1}{1−s} für & s ≠ 1 \\ ln R für & s = 1 \end{matrix}

Der Grenzwert für R → ∞ existiert genau für s > 1, und es gilt ∫_{1}^{∞} dx \frac{1}{x^{s}} =

\frac{1}{s − 1} für alle s > 1.

Definition 21.3 Es sei f : [a, b[ → ℂ eine Funktion, die über jedes Teilintervall [a, b − ϵ] mit 0 < ϵ < b − a integrierbar ist. Existiert der einseitige Grenzwert lim_{ϵ↘0} ∫_{a}^{b−ϵ} dx f(x), so heißt das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x) konvergent, und man setzt

∫_{a}^{b} dx f(x) := lim_{ϵ↘0} ∫_{a}^{b−ϵ} dx f(x).

Analog wird für f : ]a, b] → ℂ im Fall der Konvergenz das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x) definiert. Beispiel 21.4 ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} . Die Funktion f(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} ist auf [0, 1[ definiert, und auf dem kompakten Teilintervall [0, 1 − ϵ] gilt

∫_{0}^{1−ϵ} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = arcsin x|_{0}^{1−ϵ} = arcsin(1 − ϵ) .

Der arcsin ist stetig auf [−1, 1], so daß gilt lim_{ϵ↘0} arcsin(1 − ϵ) = arcsin 1 = \frac{π}{2}

und damit ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = \frac{π}{2} .

Definition 21.5 Es sei f : ]a, b[ → ℂ eine Funktion mit −∞ ≤ a < b ≤ ∞, die über jedes kompakte Teilintervall [α, β] ⊂ ]a, b[ integrierbar ist, und c ∈ ]a, b[. Existieren die uneigentlichen Integrale

∫_{c}^{b} dx f(x) = lim_{β↗b} ∫_{c}^{β} dx f(x) und ∫_{a}^{c} dx f(x) = lim_{α↘a} ∫_{α}^{c} dx f(x) ,

so heißt das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x) konvergent, und man setzt ∫_{a}^{b} dx f(x) :=

∫_{a}^{c} dx f(x)+∫_{c}^{b} dx f(x). (Die Definition ist unabhängig von der Wahl von c ∈ ]a, b[.)

Beispiel 21.6 ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{1}{1 + x^{2}} . Zu betrachten sind die Integrale ∫_{0}^{R} dx \frac{1}{1 + x^{2}} =

arctan(R) und ∫_{−R′}^{0} dx \frac{1}{1 + x^{2}} = − arctan(−R′) = arctan R′. Der Grenzwert

lim_{R→∞} arctan(R) = \frac{π}{2} existiert, somit gilt ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{1}{1 + x^{2}} = π.

Satz 21.7 (Majorantenkriterium) Es seien f : [a, b[ → ℂ und g : [a, b[ → ℝ

Regelfunktionen mit |f| ≤ g. Existiert das Integral ∫_{a}^{b} dx g(x), dann existiert

auch ∫_{a}^{b} dx f(x).

Beweis. Seien F, G die Stammfunktionen zu f, g für kompakte Teilintervalle in [a, b[, d.h.

∫_{a}^{u} dx f(x) = F (u) − F (a) ,  ∫_{a}^{u} dx g(x) = G(u) − G(a) ,  a < u < b .

Aus der Existenz von ∫_{a}^{b} dx g(x) folgt, daß es zu jedem ϵ > 0 ein β ∈ ]a, b[ gibt,

so daß für alle u, v ∈ ]β, b[ gilt |G(u) − G(v)| ≤ ϵ. Für diese u > v gilt dann

|F (u) − F (v)| = | ∫_{v}^{u}dx f(x)| ≤ ∫_{v}^{u}dx |f(x)| ≤ ∫_{v}^{u}dx g(x) = G(u) − G(v) ≤ ϵ .

(G ist monoton wachsend wegen g ≥ 0). Nach dem Cauchyschen Konvergenz-

kriterium existiert der Limes lim_{u↗b} F (u) und damit das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x).

□

Beispiel 21.8 Das Integral ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} ist konvergent.

Beweis. Die Funktion f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x} für & x ≠ 0 \\ 1 für & x = 1 \end{matrix} ist stetig auf ℝ und damit

über jedes kompakte Teilinvervall von ℝ integrierbar. Damit ist nur die obere Integrationsgrenze kritisch, und es genügt, das Integral über [1, ∞[ zu betrachten. Partielle Integration liefert

∫_{1}^{R} dx \frac{sin x}{x} = −\frac{cos x}{x}|_{1}^{R} − ∫_{1}^{R} dx \frac{cos x}{x^{2}} = cos 1 − \frac{cos R}{R} − ∫_{1}^{R} dx \frac{cos x}{x^{2}} .

Es gilt |\frac{cos x}{x^{2}} | ≤ \frac{1}{x^{2}} für alle x ∈ [1, ∞[ und ∫_{1}^{R} dx\frac{1}{x^{2}} = 1 − \frac{1}{R}. Damit ist das

Integral ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} konvergent. Der Grenzwert kann später mit Fourier-Reihen

berechnet werden; es gilt ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} = \frac{π}{2} .

Das Integral ist aber nicht absolut konvergent. Zerlegung in Intervalle der Länge π ergibt

∫_{0}^{nπ} dx |\frac{sin x}{x}| = ∑_{k=1}^{n} ∫_{(k−1)π}^{kπ} dx |\frac{sin x}{x}|

≥ ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{(k−1)π}^{kπ} dx | sin x| = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{0}^{π} dx sin x = \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} .

Die harmonischen Reihe divergiert, d.h. der Limes n → ∞ existiert nicht.

Satz 21.9 (Integralvergleichskriterium für Reihen) Es sei f : [1, ∞[ → ℝ_{+} eine monoton fallende Funktion. Dann konvergiert die Folge der Differenzen

a_{n} := ∑_{k=1}^{n} f(k) − ∫_{1}^{n+1} dx f(x) ,

und für ihren Grenzwert gilt 0 ≤ lim_{n→∞} a_{n} ≤ f(1). Insbesondere konvergiert die

Reihe ∑_{k=1}^{∞} f(k) genau dann, wenn das Integral ∫_{1}^{∞} dx f(x) konvergiert, und in

diesem Fall gilt

0 ≤ ∑_{k=1}^{∞} f(k) − ∫_{1}^{∞} dx f(x) ≤ f(1) .

Beweis. Es gilt f(k) ≥ ∫_{k}^{k+1} dx f(x) ≥ f(k + 1), da f monoton fallend. Damit

wächst (a_{n})_{n≥1} monoton, andererseits gilt

a_{n} = ∑_{k=1}^{n} f(k)−∫_{1}^{n+1} dx f(x) ≤ ∑_{k=1}^{n} f(k)−∑_{k=1}^{n} f(k+1) = f(1)−f(n+1) ≤ f(1) .

Somit ist (a_{n})_{n≥1} konvergent mit Grenzwert zwischen 0 und f(1). □

Beispiel 21.10 Es existiert der Grenzwert γ := lim_{n→∞} ( ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ln n) mit 0 ≤ γ ≤ 1. Zum Beweis verwende man den Satz 21.9 für f(x) = \frac{1}{x} und lim_{n→∞}(ln(n + 1) − ln(n))0. Der Grenzwert heißt Eulersche Konstante oder auch Euler-Mascheroni-Konstante. Mit Methoden analog zur Trapezregel kann man γ = 0.5772 … berechnen.

Teil VI

Wichtige Ergänzungen

22 Gleichmäßig konvergente Funktionsfolgen und Reihen

Wir verallgemeinern zunächst Definition 12.11 auf allgemeine Folgen von Funktionen:

Definition 22.1 Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von Funktionen f_{n} : D → ℂ heißt gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion f : D → ℂ, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |f_{n}(x) − f(x)| ≤ ϵ für alle x ∈ D und alle n ≥ N.

Eine Reihe ∑_{k=0}^{∞} f_{k} von Funktionen f_{K} : D → ℂ heißt gleichmäßig konvergent auf D, wenn die Folge der Partialsummen F_{n} := ∑_{k=0}^{n} f_{k} gleichmäßig konvergiert.

Nach Satz 12.12 ist die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder stetig. Gleichmäßige Konvergenz kann mit dem Cauchy-Kriterium überprüft werden:

Satz 22.2 (Cauchy-Kriterium) Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von Funktionen f_{n} : D → ℂ ist genau dann gleichmäßig konvergent auf D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |f_{n}(x) − f_{m}(x)| ≤ ϵ für alle m, n ≥ N und alle x ∈ D.

Beweis. (⇒) durch Dreiecksungleichung für f_{n} − f_{m} = (f_{n} − f) + (f − f_{m}), wenn f die Gremzfunktion ist.

(⇐) Grenzfunktion f existiert punktweise nach Cauchy-Kriterium. Für m → ∞ ergibt sich |f_{n}(x) − f(x)| ≤ ϵ für alle n ≥ N und alle x ∈ D. □

Entsprechend gilt für Reihen, daß ∑_{k=0}^{∞} f_{k} genau dann gleichmäßig konvergent

ist, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß | ∑_{k=n}^{m} f_{k}(x)| ≤ ϵ für alle m, n ≥

N und alle x ∈ D. Insbesondere ist jede Potenzreihe gleichmäßig konvergent im Inneren ihres Konvergenzkreises.

Bei der Untersuchung der gleichmäßigen Konvergenz und der Bestimmung der Grenzfunktion sind Methoden aus der Integralrechnung oft hilfreich.

Beispiel 22.3 Es gilt ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} = \frac{π − x}{2} für alle x ∈ [δ, 2π −δ] mit 0 < δ < π.

Beweis. Es gilt

∑_{k=1}^{n} e^{ikt} = e^{it} \frac{1 − e^{int}}{1 − e^{it}} = \frac{e^{i \frac{(2n+1)t}{2}} − e^{i \frac{t}{2}}}{2i sin \frac{t}{2}}

= (\frac{sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2}) + i(\frac{1}{2} cot \frac{t}{2} − \frac{cos \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} ) ,

94

Preliminary version – 7. Februar 2008

also ∑_{k=1}^{n} cos(kx) = \frac{sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2} und ∑_{k=1}^{n} sin(kx) = \frac{cos \frac{t}{2} − cos \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} . Wegen

\frac{sin(kx)}{k} = ∫_{π}^{x} dt cos(kt) gilt für endliche Summen nach partieller Integration

∑_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k} = ∫_{π}^{x} dt ∑_{k=1}^{n} cos(kt) = ∫_{π}^{x} dt (\frac{sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2})

= \frac{π − x}{2} − \frac{1}{2n+1} \begin{matrix}cos & \frac{(2n+1)t}{2} \\ sin & \frac{t}{2} \end{matrix} |_{π}^{x} + ∫_{π}^{x} dt \frac{cos \frac{(2n+1)t}{2}}{2n + 1} · \frac{(− cos \frac{t}{2})}{2 sin^{2} \frac{t}{2}} .

Punktweise für festes x ∈ ]0, 2π[ erhalten wir im Limes n → ∞ die behauptete Grenzfunktion. □

Für x = 0 und x = 2π ist offenbar ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} = 0. Somit gilt unter Beachtung

der Periodizität des Sinus

∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} = \{ \begin{matrix}0 für & x ∈ 2πℤ \\ \frac{(2n+1)π−x}{2} für & x ∈ ]2πn, 2π(n + 1)[ \end{matrix}

d.h. die Grenzfunktion ist nicht stetig.

Beispiel 22.4 ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} konvergiert auf [δ, 2π − δ] mit 0 < δ < π gleichmäßig

gegen die Grenzfunktion.

Beweis. Es sei s_{n}(x) := ∑_{k=1}^{n} sin(kx). Aus Beispiel 22.3 folgt |s_{n}(x)| ≤ \frac{1}{sin \frac{δ}{2}} für alle

x ∈ [δ, 2π − δ] und alle n ∈ ℕ. Wir schreiben für m ≥ n ≥ 1 den Cauchy-Term der interessierenden Reihe als

| ∑_{k=n}^{m} \frac{sin(kx)}{k}| = | ∑_{k=n}^{m} \frac{s_{k}(x) − s_{k−1}(x)}{k}|

= |( ∑_{k=n}^{m} s_{k}(x)(\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1})) + \frac{s_{m}(x)}{m + 1} − \frac{s_{n−1}(x)}{n}|

≤ ( ∑_{k=n}^{m} |s_{k}(x)||\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}|) + |\frac{s_{m}(x)}{m + 1}| + |\frac{s_{n−1}(x)}{n}|

≤ \frac{1}{sin \frac{δ}{2}} (\frac{1}{n} − \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{n}) = \frac{2}{n sin \frac{δ}{2}} .

Nach dem Cauchy-Kriterium ist ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} gleichmäßig konvergent auf [δ, 2π−δ].

□

Solche Summierungstechniken sind oft hilfreich bei der Untersuchung von Rei-

hen der Form ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x)f_{k}(x) für monoton fallende reellwertige positive Funktio-

nen f_{k} und komplexertige Funktionen a_{k} mit kontrollierter Summe | ∑_{k=0}^{n} a_{k}|.

Satz 22.5 Es sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge integrierbarer Funktionen f_{n} : [a, b] → ℂ, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f : [a, b] → ℂ konvergiert. Dann ist auch f integrierbar, und es gilt

∫_{a}^{b} dx f(x) = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} dx f_{n}(x) .

Beweis. Es genügt, reellwertige Funktionen zu betrachten. Nach Definition der gleichmäßigen Konvergenz gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß |f(x) − f_{n}(x)| ≤ \frac{ϵ}{3(b−a)} für alle n ≥ N und alle x ∈ [a, b]. Aus der Integrierbarkeit von f_{n} folgt, daß

es Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ T [a, b] gibt mit ϕ ≤ f_{n} ≤ ψ und ∫_{a}^{b} dx (ψ −ϕ)(x) ≤

\frac{ϵ}{3}. Dann gilt auch ϕ − \frac{ϵ}{3(b−a)} ≤ f ≤ ψ + \frac{ϵ}{3(b−a)} sowie

∫_{a}^{b} dx (ψ+ \frac{ϵ}{3(b − a)})(x)−∫_{a}^{b} dx (ϕ− \frac{ϵ}{3(b − a)})(x) ≤ \frac{ϵ}{3} + \frac{2ϵ}{3(b − a)} ∫_{a}^{b} dx 1 = ϵ .

Somit ist f integrierbar. Damit gilt

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∫_{a}^{b} dx f_{n}(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x) − f_{n}(x)| ≤ \frac{ϵ}{3} ,

d.h. Grenzwert und Integration vertauschen. □

Auf gleichmäßige Konvergenz der Funktionsfolge kann nicht verzichtet werden.

Beispiel 22.6 Für n ≥ 2 sei f_{n} : [0, 1] → ℝ definiert durch f_{n} := max(n − n^{2}|x− \frac{1}{n}|, 0). Die punktweise gebildete Grenzfunktion ist lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0. Denn f(0) = 0 für alle n ≥ 2, und für jedes x_{0} ∈ [0, 1] gilt für N ≥ \frac{2}{x_{0}} mit N ∈ ℕ, daß f_{n}(x_{0}) = 0 für alle n ≥ N. Allerdings ist (f_{n})_{n≥2} nicht gleichmäßig konvergent gegen 0, da es für ϵ = 1 und für jedes N ≥ 2 ein x ∈ [0, 1] und ein n ≥ N gibt, z.B. x = \frac{1}{n}, mit |f_{n}(x) − 0| > 1. Für die Integrale haben wir

∫_{0}^{1} dx f_{n}(x) = ∫0^{\frac{1}{n}} dx (n + n^{2}(x − \frac{1}{n})) + ∫ \frac{2}{n} ; \frac{1}{n} dx (n − n^{2}(x − \frac{1}{n}))

= (n^{2} \frac{x^{2}}{2} )|0^{\frac{1}{n}} + (2nx − n^{2} \frac{x^{2}}{2} )|\frac{2}{n} ; \frac{1}{n} = 1 ,

aber für die Grenzfunktion ∫ dx 0 = 0.

Entsprechend Satz 22.5 gilt:

Satz 22.7 Es sei ∑_{n=0}^{∞} f_{n} eine Reihe integrierbarer Funktionen f_{n} : [a, b] → ℂ, die gleichmäßig gegen f : [a, b] → ℂ konvergiert. Dann ist auch f integrierbar, und es gilt

∫_{a}^{b} dx ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{a}^{b} dx f_{n}(x) .

Beweis. Man wende Satz 22.5 auf die Folge der Partialsummen F_{k} = ∑_{n=0}^{k} f_{n}, welche wieder integrierbare Funktionen sind, an. □

Beispiel 22.8 (Wahrscheinlichkeitsintegral) Die Funktion W (x) :=

∫_{0}^{x} dt e^{− \frac{t^{2}}{2}} heißt Gaußsches Wahrscheinlichkeitsintegral. Die Exponentialfunkti-

on ist gleichmäßig konvergent in jedem kompakten Intervall [0, x] ⊂ ℝ_{+}, so daß Integration und Summe vertauschen:

W (x) = ∫_{0}^{x} dt ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}t^{2k}}{2^{k}k!} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2^{k}k!} ∫_{0}^{x} dt t^{2k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{2^{k}(2k + 1)k!} .

Beispiel 22.9 (Elliptisches Integral) Die Berechnung der Schwingungsdauer T des mathematischen Pendels als Lösung der Differentialgleichung f′′(x) +

ω^{2} sin(f(x)) = 0 führt auf das elliptische Integral \frac{T ω}{4} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{1}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2} x}}

mit Anfangsauslenkung k = sin \frac{x_{0}}{2} . Unter Verwendung der Binomialreihen aus Beispiel 10.5 erhalten wir

∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{1}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2} x}} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx ∑_{n=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{n}(−k^{2} sin^{2} x)^{n} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}\binom{−\frac{1}{2}}{n}k^{2n}A_{2n}

mit den Integralen A_{2n} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{2n} x aus Beispiel 20.8. Damit gilt

\frac{T ω}{4} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{1}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2} x}} = \frac{π}{2} (1 + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1 · 3 ⋯ (2n − 1)}{2 · 4 ⋯ (2n)})^{2}k^{2n}) .

Wir nutzen nun den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um eine zu Satz 16.12 ähnliche Aussage über die Differenzierbarkeit von Funktionsreihen zu erhalten:

Satz 22.10 Es seien f_{n} : I → ℂ mit I ⊂ ℝ stetig differenzierbare Funktionen, für die gilt:

i) Die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert punktweise auf I.

ii) Die Folge (f′_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig auf I.

Dann ist die Grenzfunktion f = lim_{n→∞} f_{n} stetig differenzierbar, und es gilt

f′(x) = lim_{n→∞} f′_{n}(x).

Beweis. Die Grenzfunktion der Ableitungen f^{∗} := lim_{n→∞} f′_{n} ist nach Satz 12.12

stetig auf I. Für festes a ∈ I gilt f_{n}(x) = f_{n}(a) + ∫_{a}^{x} dt f′_{n}(t) für alle x ∈ I.

Nach Satz 22.5 wird im Limes n → ∞ daraus f(x) = f(a) + ∫_{a}^{x} dt f^{∗}(t). Nach

dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist f differenzierbar mit f′ = f^{∗}, also sogar stetig differenzierbar. □

Auf gleichmäßige Konvergenz der Folge der Ableitungen kann nicht verzichtet werden. Z.B. konvergiert die Folge der Funktionen f_{n} = \frac{1}{(n+1)} sin((n + 1)x) gleichmäßig gegen 0, aber die Folge der Ableitungen f′_{n} = cos((n + 1)x) hat überhaupt keine Grenzfunktion.

Beispiel 22.11 Wir berechnen erneut f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} für |x| < 1. Inerhalb des

Konvergenzradius R = 1 konvergiert f absolut, insbesondere auch punktweise.

Die Reihe der Ableitungen ∑_{n=1}^{∞} x^{n−1} ist für |x| < 1 absolut, damit gleichmäßig,

konvergent gegen \frac{1}{1−x}. Nach Satz 22.10 gilt f′(x) = \frac{1}{1−x}, also f(x) = − ln |1−x|+c für ein c ∈ ℝ. Die Integrationskonstante ergibt sich für x = 0 zu c = 0, d.h. es

gilt ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} = − ln(1 − x) für alle x ∈ ] − 1, 1[.

Beispiel 22.12 Für alle x ∈ [0, 2π] gilt ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k^{2}} = (\frac{π − x}{2})^{2} − \frac{π^{2}}{12}, insbe-

sondere ζ(2) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Beweis. Die Reihe f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k^{2}} ist absolut konvergent auf ℝ, damit auch

gleichmäßig konvergent. Die Reihe der Ableitungen f′(x) = − ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} ist

nach Beispiel 22.4 gleichmäßig konvergent auf [δ, 2π − δ] gegen die Grenzfunktion \frac{x−π}{2}. Somit gilt für alle x ∈ ]0, 2π[ nach Satz 22.10 die Beziehung f(x) = \frac{(x−π)^{2}}{4} +c für ein c ∈ ℝ. Da f als gleichmäßig konvergente Reihe stetig ist, gilt diese Beziehung sogar für x ∈ [0, 2π]. Integration liefert

∫_{0}^{2π} dx f(x) = (\frac{(x − π)^{3}}{12} + cx)|_{0}^{2π} = \frac{π^{3}}{6} + 2πc .

Andererseits gilt nach Satz 22.5

∫_{0}^{2π} dx f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} ∫_{0}^{2π} dx cos(kx) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{3}} sin(kx)|_{0}^{2π} = 0 .

Somit gilt c = −\frac{π^{2}}{12} . □

23 Die Γ-Funktion

Satz 23.1 Das uneigentliche Integral Γ(x) := ∫_{0}^{∞} dt t^{x−1} e^{−t} ist konvergent für

alle x ∈ ℝ_{+}^{∗}. Es gilt

i) Γ(x + 1) = xΓ(x) für alle x ∈ ℝ_{+}^{∗}
ii) Γ(1) = 1 ⇒ Γ(n) = (n − 1)! für alle n ∈ ℕ \ {0}

Beweis. Kritisch sind beide Integrationsgrenzen. Wegen lim_{t→∞} t^{x+1}e^{−t} = 0 gibt es für jedes x ∈ ℝ_{+}^{∗} ein t_{0} ∈ ℝ_{+}^{∗}, so daß t^{x−1}e^{−t} ≤ \frac{1}{t^{2}} für alle t ≥ t_{0}. Zerschneiden des Integrals bei t_{0} liefert für 0 < ϵ < t_{0}

0 ≤ ∫_{ϵ}^{t_{0}} dt t^{x−1} e^{−t} ≤ ∫_{ϵ}^{t_{0}} dt t^{x−1} = \frac{t_{0}^{x} − ϵ^{x}}{x} ≤ \frac{t_{0}^{x}}{x} ,

d.h. lim_{ϵ↘0} ∫_{ϵ}^{t_{0}} dt t^{x−1} e^{−t} existiert für alle x ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für t_{0} < R < ∞ gilt

0 ≤ ∫_{t_{0}}^{R} dt t^{x−1} e^{−t} ≤ ∫_{t_{0}}^{R} dt \frac{1}{t^{2}} = −\frac{1}{t}|_{t_{0}}^{R} ≤ \frac{1}{t_{0}} .

Somit ist Γ(x) konvergent.

i) partielle Integration liefert für x > 0

∫_{ϵ}^{R} dt t^{x} e^{−t} = −t^{x} e^{−t}|_{ϵ}^{R}+∫_{ϵ}^{R} dt \frac{d}{dt}(t^{x}) e^{−t} = −R^{x} e^{−R}+ϵ^{x} e^{−ϵ}+x ∫_{ϵ}^{R} dt t^{x−1} e^{−t} .

Die Behauptung folgt aus lim_{ϵ→0} ϵ^{x} = 0 für x > 0.

ii) Es gilt

Γ(1) = lim_{ϵ↘0} ∫_{ϵ}^{1} dt e^{−t} + lim_{R→∞} ∫_{1}^{R} dt e^{−t} = − lim_{ϵ↘0} e^{−t}|_{ϵ}^{1} − lim_{R→∞} e^{−t}|_{1}^{R} = lim_{ϵ↘0} e^{−ϵ} = 1 .

□

Die Funktion Γ : ℝ_{+} → ℝ interpoliert damit die Fakultät. Eine andere Interpolation wird wie folgt erhalten: Für x ∈ ℕ \ {0} und beliebige n ∈ ℕ \ {0} gilt

(x − 1)! = \frac{(x + n)!}{x(x + 1) ⋯ (x + n)} = \frac{n!n^{x}}{x(x + 1) ⋯ (x + n)} · (\frac{n + 1}{n} ⋯ \frac{n + x}{n}) .

Das bleibt auch im Limes n → ∞ richtig. Im Limes werden die Brüche \frac{n+p}{n} zu 1. Läßt man sie weg, dann kann man die so entstehende rechte Seite sogar für komplexe Zahlen x ∈ ℂ definieren (mit n^{x} = e^{x ln n}). Zweckmäßigerweise betrachtet man das Inverse:

G_{n}(z) := \frac{z(z + 1) ⋯ (z + n)}{n!n^{z}} .

Satz 23.2 Die Folge (G_{n})_{n≥1} konvergiert an jeder Stelle z ∈ ℂ. Ihre Grenzfunktion G : ℂ → ℂ mit G(z) := lim_{n→∞} G_{n}(z) ist stetig und hat Nullstellen genau in den Punkten 0, −1, −2, . . .. Es gilt

i) G(z + 1) = \frac{1}{z}G(z) für alle z ∈ ℂ^{∗}
ii) G(1) = 1 ⇒ G(n) = \frac{1}{(n−1)!} für alle n ∈ ℕ \ \{0\}

Beweis. Für z ∈ {0, −1, −2, … } konvergiert (G_{n}) gegen 0. Sei also z ∈ ℂ \ {0, −1, …, } fest. Wähle R, N ∈ ℕ mit N ≥ 2R > 2|z|. Dann ist G_{n}(z) ≠ 0 für

alle 2R ≤ n ≤ N, und es gilt G_{N}(z) = G_{2R−1}(z) · ∏_{n=2R}^{N} \frac{G_{n}(z)}{G_{n−1}(z)}. Die Quotienten

sind \frac{G_{n}(z)}{G_{n−1}(z)} = \frac{z + n}{n}·(\frac{n − 1}{n})^{z} = (1+\frac{z}{n})e^{z ln(1− \frac{1}{n})}. Nach Satz 15.2 gilt (1+\frac{z}{n}) =

e^{L( \frac{z}{n})} für |z| < n und damit

G_{N}(z) = G_{2R−1}(z) · exp ( ∑_{n=2R}^{N} ( ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{z^{k}}{n^{k}k} − z ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{n^{k}k} )) .

Die Summanden mit k = 1 heben sich gegeneinander auf, und wir erhalten für n ≥ 2R > 2|z| die Abschätzung

| ∑_{k=2}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{z^{k}}{n^{k}k} − z ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{n^{k}k} | ≤ ∑_{k=2}^{∞} \frac{R^{k}}{n^{k}} + R ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{n^{k}} ≤ (\frac{R^{2}}{n^{2}} + \frac{R}{n^{2}} ) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} ≤ \frac{4R^{2}}{n^{2}} .

Somit ist die Reihe ∑_{n=2R}^{∞} ln \frac{G_{n}(z)}{G_{n−1}(z)} gleichmäßig konvergent auf K_{R}(0) = \{z ∈

ℂ : |z| < R}, so daß die Grenzfunktion lim_{N→∞} G_{N}(z) existiert und stetig in jedem Punkt z ∈ ℂ ist. i) folgt aus G_{n}(z + 1) = \frac{z+n+1}{nz}G_{n}(z) und Grenzwertbildung. ii) folgt aus G_{n}(1) = \frac{n+1}{n} und Grenzwertbildung. □

Man definiert die Gamma-Funktion Γ : ℂ \ {0, −1, −2, … } → ℂ als Γ(z) := \frac{1}{G(z)}. Nach Satz 23.2 ist Γ stetig und nullstellenfrei auf dem Definitionsbereich, es gilt Γ(z + 1) = zΓ(z) sowie Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ ℕ \ {0}. Zu zeigen ist allerdings, daß auf ℝ_{+}^{∗} die Integraldefinition aus Satz 23.1 mit \frac{1}{G(z)} übereinstimmt. Der Beweis, den wir hier nicht angeben, beruht auf der Konvexität von ln Γ.

Satz 23.3 Es gilt Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π} sowie ∫_{0}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \frac{\sqrt{π}}{2} und ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \sqrt{π}.

Beweis. Für x ∈ ℝ \ ℕ gilt

Γ(x)Γ(1 − x) = (−x)Γ(x)Γ(−x) = (−x)( lim_{n→∞} \frac{1}{G_{n}(x)})( lim_{n→∞} \frac{1}{G_{n}(−x)})

= (−x) lim_{n→∞} \frac{1}{G_{n}(x)G_{n}(−x)}

= (−x) lim_{n→∞} \frac{(n!)^{2}}{(0 + x)(0 − x)(1 + x)(1 − x) ⋯ (n + x)(n − x)}

= \frac{1}{x} lim_{n→∞} ∏_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{k^{2} − x^{2}} .

Mit dem Wallisschen Produkt ∏_{k=1}^{n} \frac{4k^{2}}{4k^{2}−1} = \frac{π}{2} aus Beispiel 20.8 gilt für x = \frac{1}{2} die Gleichung Γ(\frac{1}{2})^{2} = π. Aus der Nullstellenfreiheit von Γ folgt dann Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π}.

Nach Substitution t(x) = x^{2} mit t′ = 2x = 2\sqrt{t} erhält man

∫_{ϵ}^{R} dx e^{−x^{2}} = ∫_{ϵ}^{R} dx e^{−t(x)}t′(x)\frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} ∫_{ϵ^{2}}^{R^{2}} dt t^{\frac{1}{2} −1}e^{−t} .

Für ϵ ↘ 0 und R → ∞ folgt die Behauptung. □

Satz 23.4 (Stirlingsche Formel) Für n ∈ ℕ \ \{0\} gilt n! = \sqrt{2πn}(\frac{n}{e})^{n}e^{μ(n)}

mit 0 ≤ μ(n) ≤ \frac{1}{12n}. (Wir zeigen nur 0 ≤ μ(n) ≤ \frac{1}{8n}.)

Beweis. Nach Trapezregel (Satz 20.11) für f(x) = ln x und (ln x)′′ = −\frac{1}{x^{2}} gilt

∫_{k}^{k+1} dx ln x = \frac{1}{2}(ln k + ln(k + 1)) + \frac{1}{2} ∫_{k}^{k+1} dx \frac{(x − k)(k + 1 − x)}{x^{2}}

für k > 0. Summieren über k von 1 bis n − 1 ergibt

∫_{1}^{n} dx ln x = ∑_{k=1}^{n} ln k − \frac{1}{2} ln n + ∫_{1}^{n} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}}

101 mit ϕ : ℝ_{+} → ℝ_{+} gegeben durch ϕ(x) := \frac{1}{2}(x − [x])(1 + [x] − x), wobei [x] ∈ ℕ der ganze Teil von x ∈ ℝ_{+} ist. Wegen

Preliminary version – 7. Februar 2008

∫_{1}^{n} dx ln x · 1 = x ln x|_{1}^{n} − ∫_{1}^{n} dx 1 = n ln n − n + 1 = 1 + ln (\frac{n}{e})^{n}

sowie ∑_{k=1}^{n} ln n = ln(n!) gilt ln(n!) = ln ((\frac{n}{e})^{n}\sqrt{n} · c_{n}) mit

c_{n} := exp (1 − ∫_{1}^{n} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}}) .

Da 0 ≤ ϕ ≤ \frac{1}{8} eine beschränkte Funktion ist und das Integral ∫_{1}^{∞} dx x^{−2} kon-

vergent ist, existiert der Limes c := lim_{n→∞} c_{n} = exp (1 − ∫_{1}^{∞} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}}) = lim_{n→∞} \frac{c_{n}^{2}}{c_{2n}}.

Für den letzten Bruch ergibt sich

\frac{c_{n}^{2}}{c_{2n}} = \frac{(n!)^{2}(2n/e)^{2n}\sqrt{2n}}{(2n)!(n/e)^{2n}n} = \sqrt{\frac{2}{n}} \frac{(n!)^{2}4^{n}}{(2n)!} = \sqrt{\frac{2}{n}} \frac{2 · 4 ⋯ (2n)}{1 · 3 ⋯ (2n − 1)}

= \sqrt{\frac{2(2n + 1)}{n}}\sqrt{\frac{2 · 2 · 4 · 4 ⋯ (2n) · (2n)}{(2 − 1)(2 + 1) · (4 − 1)(4 + 1) ⋯ (2n − 1)(2n + 1)}} .

Im Limes n → ∞ entsteht unter der letzten Wurzel das Wallissche Produkt (Beispiel 20.8) für \frac{π}{2}, d.h. es gilt lim_{n→∞} \frac{c_{n}^{2}}{c_{2n}} = \sqrt{2π}. Somit ist die Behauptung

bewiesen mit

μ(n) := ∫_{n}^{∞} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}} .

Wegen 0 ≤ ϕ ≤ \frac{1}{8} gilt 0 ≤ μ(n) ≤ \frac{1}{8n}, was sich unter Verwendung der Konvexität noch etwas verbessern läßt. □

Bemerkung: Man kann zeigen, daß die Stirlingsche Formel auch richtig bleibt für die Γ-Funktion, d.h. für x > 0 gilt Γ(x + 1) = \sqrt{2πx}(\frac{x}{e})^{x}e^{μ(x)} mit 0 ≤ μ(x) ≤ \frac{1}{12x}.

24 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen

Nach Satz 16.4 liefern Funktionswert f(x_{0}) und Ableitung f′(x_{0}) einer differenzierbaren Funktion f : I → ℂ eine lineare Approximation der Funktion in der Nähe des Punktes x_{0} mit Kontrolle des Fehlers. Die Taylorsche Formel beschreibt eine polynomiale Approximation der Funktion:

Satz 24.1 (Taylorsche Formel) Es sei f : I → ℂ eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gilt für alle x ∈ I

f(x) = f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n} + R_{n+1}(x) .
R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) .

Beweis. Durch Induktion nach n ∈ ℕ. Die Formel gilt für n = 0 auf Grund des Hauptsatzes des Differential- und Integralrechnung. Angenommen sie gilt bis einschließlich n − 1 ≥ 0, dann ergibt partielle Integration des Restgliedes

R_{n}(x) = \frac{1}{(n − 1)!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n−1}f^{(n)}(t) = −\frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (\frac{d}{dt}(x − t)^{n})f^{(n)}(t)

= −\frac{1}{n!}(x − t)^{n}f^{(n)}(t)|_{a}^{x} + \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)

= \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} + R_{n+1}(x) .  □

Für eine mindestens (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f heißt

(T_{n}f)(x; a) := f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n}

das Taylor-Polynom n-ter Ordnung von f mit Entwicklungspunkt a, und R_{n+1}(x)

heißt das Restglied (n + 1)-ter Ordnung. Für Potenzreihen f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}

mit Konvergenzradius R > 0 stimmt wegen f^{(k)}(0) = k!a_{k} das Taylor-Polynom N-ter Ordnung von f mit der bei N abgebrochenen Potenzreihe überein, d.h.

(T_{N}f)(x; 0) = ∑_{n=0}^{N} a_{n}x^{n} für |x| < R. Für das Restglied gibt es verschiedene For-

mulierungen, z.B.

Satz 24.2 (Lagrangesche Form des Restgliedes) Es sei f : I → ℝ eine reellwertige Funktion, die ansonsten die Voraussetzungen von Satz 24.1 erfüllt. Dann gibt es ein ξ zwischen a und x mit

R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1} .

Beweis. Man wende den Mittelwertsatz der Integralrechnung auf R_{n+1}(x) an. □

Damit liefert die Taylorsche Formel Fehlerabschätzungen der folgenden Art:

Beispiel 24.3 Für f(x) = sin x gilt f^{(2k)}(x) = (−1)^{k} sin x und f^{(2k+1)}(x) = (−1)^{k} cos x, d.h. |f^{(n)}(ξ)| ≤ 1 für alle ξ ∈ ℝ und alle n ∈ ℕ. Unter Verwendung der Sinus-Reihe gilt somit für alle x ∈ ℝ und n ∈ ℕ

| sin x − ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{(2k + 1)!} | ≤ \frac{|x|^{2n+3}}{(2n + 3)!} .

Satz 24.4 (hinreichendes Kriterium für lokale Extrema) Es sei f : I → ℝ eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. In einem inneren Punkt a ∈ I gelte f(a) = f′(a) = ⋯ = f^{(n)}(a) = 0, aber f^{(n+1)}(a) ≠ 0. Dann hat f im Punkt a

i) ein strenges lokales Minimum, falls n ungerade ist und f^{(n+1)}(a) > 0;

ii) ein strenges lokales Maximum, falls n ungerade ist und f^{(n+1)}(a) < 0;

iii) kein lokales Extremum, falls n gerade ist.

Beweis. Einsetzen der Voraussetzungen in die Taylorsche Formel mit Lagrangeschen Restglied ergibt f(x) = f(a)+ \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1} für ein ξ zwischen x und a. Wegen der Stetigkeit von f^{(n+1)} gibt es nach Satz 12.8.ii) eine Umgebung U ⊂ I von a, in der f^{(n+1)}(ξ) das gleiche Vorzeichen wie f^{(n+1)}(a) hat. Ist n + 1 gerade und f^{(n+1)}(a) > 0, so folgt f(x) > f(a) für alle x ∈ U \ {a}, d.h. f hat in a ein strenges lokales Minimum. Analog für ii). Ist dagegen n + 1 ungerade und z.B. f^{(n+1)}(a) > 0, so folgt f(x) < f(a) für x < a und f(x) > f(a) für x > a, d.h. f hat in a kein lokales Extremum. □

Satz 24.5 Es sei f : I → ℂ eine n-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gibt es eine stetige Funktion r : I → ℂ mit r(a) = 0 und f(x) = (T_{n}f)(x; a) + (x − a)^{n}r(x).

Beweis. Stetigkeit von r in x ≠ 0 folgt aus der Definition, so daß nur lim_{x→a} r(x) = 0 zu zeigen ist. Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil genügt der Beweis für reellwertige Funktionen. Mit der Lagrangeschen Form des Restgliedes gilt

(f(x) − (T_{n−1}f)(x; a)) − \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} = \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} − \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

für ein ξ zwischen x und a, d.h. r(x) = \frac{f^{(n)}(ξ) − f^{n}(a)}{n!} für x ≠ a. Mit x → a

geht auch ξ → a, so daß aus der Stetigkeit von f^{(n)} folgt lim_{x→a} r(x) = 0. □

Für diese Eigenschaft ist das Landau-Symbol “o” gebräuchlich, f(x) = (T_{n}f)(x; a) + o((x − a)^{n}). Darunter versteht man

f(x) = o(g(x)) für x → a  ⇔  lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 .

Definition 24.6 Es sei f : I → ℂ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Die

Potenzreihe (T f)(x; a) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x−a)^{k} heißt die Taylor-Reihe von f im Punkt

a ∈ I. Konvergiert (T f)(x; a) gegen f(x) für alle x aus einer Umgebung U ⊂ I von a, so sagt man: f besitzt in U eine Taylor-Entwicklung um a.

Warnung: Die Taylor-Reihe ist ein formaler Ausdruck! Während die Taylorsche Formel mit Restglied exakt gilt, muß die Taylor-Reihe für x ≠ a nicht konvergieren (der Konvergenzradius ist dann 0), und selbst wenn die Taylor-Reihe konvergiert, muß (T f)(x; a) nicht gleich f(x) sein!

Beispiel 24.7 Wir erinnern an die schon in Abschnitt 18 eingeführte Einschaltfunktion

f(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} für & x > 0 \\ 0 für & x ≤ 0 \end{matrix}

Die Ableitungen in x > 0 sind von der Form f^{(n)}(x) = P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}}) für ein Polynom P_{n} vom Grad 2n in \frac{1}{x}, denn nach Produkt- und Kettenregel ist

f^{(n+1)}(x) = (P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}} )′ = ( − P′_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} + P_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} )e^{− \frac{1}{x}} .

Dabei ist die Ableitung P′ des Polynoms ein Polynom (2n − 1)-ter Ordnung. Somit ist lim_{x↘0} f^{(n+1)}(x) = 0 für alle n ∈ ℕ und folglich (T f)(x; 0) = 0 ≠ f(x).

Ist eine Funktion f durch eine Potenzreihe darstellbar, so stimmt die Taylor-Reihe (innerhalb des Konvergenzkreises) mit f überein. Insbesondere lassen sich die im Laufe des Semesters hergeleiteten Potenzreihen reproduzieren:

e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} ,  x ∈ ℝ ,

cos x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k}}{(2k)!} ,  x ∈ ℝ ,

sin x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{(2k + 1)!} ,  x ∈ ℝ ,

cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} ,  x ∈ ℝ ,

sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!} ,  x ∈ ℝ ,

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k}x^{k} ,  x ∈ ℝ für α ∈ ℕ , x ∈ ] − 1, 1[ für α ∈ ℂ ,

ln(1 + x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}x^{k}}{k} ,  x ∈ ] − 1, 1] ,

arctan x = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}x^{2k+1}}{2k + 1} ,  x ∈ [−1, 1] ,

Zu beachten ist, daß einige dieser Potenzreihen sogar für komplexe Zahlen x ∈ ℂ \ ℝ gelten, während wir die Differentiation nur im Reellen eingeführt hatten.

Beispiel 24.8 (Reihe des Arcus sinus) Unter Verwendung der Binomialreihe und Vertauschbarkeit von Integration und Reihe nach Satz 22.7 gilt für |x| < 1

arcsin x = ∫_{0}^{x} dt (1 − t^{2})^{− \frac{1}{2}} = ∫_{0}^{x} dt ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k}t^{2k}

= ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} .

25 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Unter einer gewönlichen Differentialgleichung versteht man eine Gleichung zwischen einer Funktion y, ihren Ableitungen y′, y′′, … y^{(n)} und der Variablen x. Viele Probleme der Physik lassen sich durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben. Beispiele sind eindimensionale Bewegungen in der Mechanik, die durch das Newtonsche Gesetz

y′′(x) = F (x, y(x), y′(x))

beschrieben werden. Dabei ist x die Zeit, y(x) der Ort, y′(x) die Geschwindigkeit, y′′(x) die Beschleunigung und F die Kraft. Gesucht ist die Bahnkurve y(x). Man möchte wissen, unter welchen Bedingungen die Bahnkurve existiert und durch welche Bedingungen die Bahnkurve eindeutig bestimmt ist. Ein weiteres Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der radioaktive Zerfall, beschrieben durch y′(x) = −λy(x). Dabei ist wieder x die Zeit, y die Zahl der Teilchen und y′ die Zerfallsrate. Ein ähnliches Gesetz y′(x) = λy beschreibt auch das anfängliche Wachstum von Bakterienpopulationen.

Wir werden hier nur einen kurzen Einblick in die Lösungsmethode für einen besonders einfachen Typ von Differentialgleichungen geben. Die allgemeine Lösungstheorie folgt im 3. Semester.

Definition 25.1 (DGL 1. Ordnung mit getrennten Variablen) Seien I, J ⊂ ℝ offene Intervalle und f : I → ℝ und g : I → ℝ stetige Funktionen, wobei g(y) ≠ 0 für alle y ∈ J. Dann heißt

y′(x) = f(x) g(y)

Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Formell können wir diese Differentialgleichung als

\frac{dy}{g(y)} = dx f(x)

schreiben und beide Seiten getrennt integrieren, wobei gewisse Anfangsbedingungen ins Spiel kommen.

Satz 25.2 Zu gegebenem Anfangspunkt (x_{0}, y_{0}) ∈ I×J definieren wir Funktionen F : I → ℝ und G : J → ℝ durch

F (x) := ∫_{x_{0}}^{x} dt f(t) , G(y) := ∫_{y_{0}}^{y} \frac{ds}{g(s)} .

Ist I′ ⊂ I ein Intervall mit F (I′) ⊂ G(J), dann gibt es genau eine Lösung y : I′ → ℝ der Differentialgleichung y′ = f(x) g(y) mit der Anfangsbedingung y(x_{0}) = y_{0}. Diese Lösung erfüllt die Gleichung

G(y(x)) = F (x) für alle x ∈ I′ .

Beweis. Angenommen, y(x) ist eine Lösung des Problems, d.h. es gilt y′(x) = f(x) g(y(x)) und y(x_{0}) = x_{0}. Wir setzen x ↦ t und integrieren über t von x_{0} nach x:

∫_{x_{0}}^{x} dt \frac{y′(t)}{g(y(t))} = ∫_{x_{0}}^{x} dt f(t) .

Nach Substitution s = y(t) ergibt sich

∫_{y_{0}}^{y(x)} \frac{ds}{g(s)} = ∫_{x_{0}}^{x} dt f(t) ,

also G(y(x)) = F (x). Zu beachten ist, daß wir die Zulässigkeit der Substitution s = y(t) nicht prüfen! Das wird nun nachgeholt.

Wir nehmen die Gültigkeit von G(y(x)) = F (x) an. Wegen G′(y) = \frac{1}{g(y)} ≠ 0 für alle y ∈ J ist G streng monoton (und stetig differenzierbar), so daß die eindeutig bestimmte Umkehrfunktion G^{−1} : G(J) → ℝ existiert und nach Satz 16.10 stetig differenzierbar ist. Somit gilt y(x) = G^{−1}(F (x)) für alle x ∈ I′, d.h. im Fall der Existenz ist die Lösung eindeutig. Für Y := G^{−1} ∘ F : I′ → ℝ gilt mit Kettenregel und Satz 16.10

Y′(x) = (G^{−1})′(F (x)) · F′(x) = \frac{1}{G′(G^{−1}(F (x)))} · F′(x) = g(Y (x)) · f(x) ,

d.h. Y erfüllt die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung Y (x_{0}) = G^{−1}(F (x_{0})) = G^{−1}(0) = y_{0}. Also existiert eine Lösung. □

Beispiel 25.3 Wir betrachten die Differentialgleichung y′ = e^{y} sin x zu beliebigem Anfangspunkt (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{2}. Damit ist F (x) = cos x_{0} − cos x und G(y) = e^{−y_{0}} − e^{−y}, also

e^{−y(x)} = cos x − cos x_{0} + e^{−y_{0}} .

Wegen e^{−y_{0}} > 0 gibt es ein offenes Intervall I′ ⊂ ℝ mit x_{0} ∈ I′, so daß cos x − cos x_{0} +e^{−y_{0}} > 0 für alle x ∈ I′. Dann ergibt sich die Lösung zu y = − ln ( cos x− cos x_{0} + e^{−y_{0}}) für alle x ∈ I′.

Definition 25.4 (lineare Differentialgleichung 1. Ordnung) Es seien I ⊂ ℝ und a, b : I → ℝ stetige Funktionen. Dann heißt

y′(x) = a(x) y(x) + b(x)

eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Diese heißt für b = 0 homogen, sonst inhomogen.

Satz 25.5 Es sei x_{0} ∈ I und y_{0} ∈ ℝ. Dann gibt es genau eine Lösung y : I → ℝ der Differentialgleichung y′ = a(x)y mit der Anfangsbedingung y(x_{0}) = y_{0}, nämlich

y(x) = y_{0} exp ( ∫_{x_{0}}^{x} dt a(t)) .

Beweis. Es handelts sich um einen Spezialfall einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen. □

Der inhomogene Fall wird durch Variation der Konstanten gelöst. Darunter versteht man den Ansatz y(x) = ỹ(x)u(x), wobei ỹ(x) die homogene Gleichung ỹ′ = a(x)ỹ mit ỹ(x_{0}) = 1 löst. Damit ergibt sich

y′(x) = ỹ′(x) u(x) + ỹ(x) u′(x) = (a(x) u(x) + u′(x))ỹ(x)
= a(x) u(x) ỹ(x) + b(x) ,

also u′ỹ(x) = b(x) mit Anfangsbedingung u(x_{0}) = y_{0}. Das ist wieder eine spezielle Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit der eindeutigen Lösung

u(x) = y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} dt \frac{b(t)}{ỹ(t)} .

Somit ist bewiesen:

Satz 25.6 Es seien I ⊂ ℝ ein Intervall, a, b : I → ℝ stetige Funktionen sowie x_{0} ∈ I und y_{0} ∈ ℝ. Dann gibt es genau eine Lösung y : I → ℝ der Differentialgleichung y′ = a(x)y + b(x) mit der Anfangsbedingung y(x_{0}) = y_{0}, nämlich

y(x) = ỹ(x)(y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} dt \frac{b(t)}{ỹ(t)})  mit  ỹ(s) = exp ( ∫_{x_{0}}^{s} dt a(t)) .

Beispiel 25.7 Betrachtet werde die Differentialgleichung y′ = 2xy+x mit y(0) = c. Dann hat die homogene Gleichung ỹ′ = 2xỹ mit ỹ(0) = 1 die Lösung

ỹ(x) = exp ( ∫_{0}^{x} dt 2t) = e^{x^{2}} .

Also erhalten wir

y(x) = e^{x^{2}}(c + ∫_{0}^{x} dt te^{−t^{2}}) = e^{x^{2}}(c + \frac{1}{2}(1 − e^{−x^{2}}))

= \frac{2c + 1}{2}e^{x^{2}} − \frac{1}{2} .

Beispiel 25.8 (Freier Fall mit Reibung) Es sei x die Zeit. Der freie Fall eines Massenpunktes (in y-z-Ebene) wird bei geschwindigkeitsproportionaler Reibungskraft beschrieben durch die Differentialgleichungen

mz′′ = −mg − rz′ , my′′ = −ry′ .

Als Anfangsbedingung sei z′(0) = v_{z} und y′(0) = v_{y} gegeben. Damit ergeben sich die Geschwindigkeiten zu

y′(x) = v_{y} exp ( ∫_{0}^{x} dt (−\frac{r}{m})) = v_{y}e^{− \frac{r}{m} x} ,
z′(x) = e^{− \frac{r}{m} x}(v_{z} − ∫_{0}^{x} dt ge^{\frac{r}{m} t}) = v_{z}e^{− \frac{r}{m} x} − \frac{mg}{r} (1 − e^{− \frac{r}{m} x}) .

Für x → ∞ fällt der Massenpunkt also mit konstanter Geschwindigkeit \frac{mg}{r} in negative z-Richtung. Die Anfangsgeschwindigkeiten sind exponentiell gedämpft.

Beide Lösungen sind selbst Differentialgleichungen mit getrennten Variablen. Sind die Anfangsbedingungen z(0) = h und y(0) = 0, dann ergibt sich

y(x) = ∫_{0}^{x} dt v_{y}e^{− \frac{r}{m} t} = \frac{v_{y}m}{r}(1 − e^{− \frac{r}{m} x}) ,
z(x) = h + ∫_{0}^{x} dt(v_{z}e^{− \frac{r}{m} t} − \frac{mg}{r} (1 − e^{− \frac{r}{m} t}))

= h + \frac{v_{z}m}{r}(1 − e^{− \frac{r}{m} x}) − \frac{mg}{r} (x − \frac{m}{r}(1 − e^{− \frac{r}{m} x})) .