Teil B der Klausur mit Lösungsstrategie

Aufgabe 2. Bestimme:

a) lim_{x→0} \frac{tan x − sin x}{x(1 − cos x)}

dreimal l’Hospital oder (besser) \frac{tan x − sin x}{x(1 − cos x)} = \frac{tan x}{x} · \frac{(1 − cos x)}{(1 − cos x)} verwenden und einmal l’Hospital bzw. lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1

b) lim_{x→∞} x[ln(1 + \sqrt{1 + x^{2}}) − ln x]

x[ln(1 + \sqrt{1 + x^{2}}) − ln x] = \frac{ln (\frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} )}{\frac{1}{x}}. Jetzt x^{−1} = y setzen und y → 0 mit l’Hospital

Aufgabe 3. Berechne:

a) ∫_{1}^{e} dx \frac{1}{x}(ln x)^{α} , α ∈ ℝ_{+}

Substitution ln x = t

b) ∫_{0}^{1} dx \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + e^{−x}}

Substitution e^{x} = t. Die Stammfunktion von f(t) = \frac{t}{t^{2} + 1} ist \frac{1}{2} ln(1 + t^{2}), die Stammfunktion von f(t) = \frac{1}{1 + t^{2}} ist arctan t.

c) ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{(1 + x)(1 + x^{2})}

Partialbruchzerlegung \frac{1}{(1 + x)(1 + x^{2})} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1 + x} + \frac{1 − x}{1 + x^{2}} ). Stammfunktionen des zweiten Terms wie in b)