Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Freitag, 19.10.07, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 1

Seien X, Y Mengen, dann versteht man unter einer Abbildung von X nach Y eine Vorschrift f, die jedem x ∈ X eindeutig ein f(x) ∈ Y zuordnet. Wir schreiben f : X → Y für die Abbildung zwischen Mengen und f : x ↦ f(x) für die Zuordnung der Elemente.

Eine Abbildung f : X → Y heißt • injektiv, falls für x, x′ ∈ X aus f(x) = f(x′) stets x = x′ folgt

• surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt mit y = f(x)

• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist

Aufgabe 1. Man prüfe folgende Abbildungen für f : ℝ^{2} → ℝ^{2} auf Injektivität und Surjektivität:

a) (x, y) ↦ (y, 3)

b) (x, y) ↦ (x + 2, y + 7)

c) (x, y) ↦ (xy, x + 1)

d) (x, y) ↦ (xy, x + y)

Aufgabe 2. Man zeige: Ist X eine endliche Menge (d.h. X besteht aus endlich vielen Elementen), dann sind für eine Abbildung f : X → X Injektivität und Surjektivität äquivalent.

Aufgabe 3. Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung f : ℕ → ℕ an, die injektiv, aber nicht surjektiv ist.