Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 20.12.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Sei f : ℝ → ℝ stetig, und es gelte f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ ℝ. Es sei f(1) =: a. Zeigen Sie: f(x) = ax ∀x ∈ ℝ.

Aufgabe 2. Für φ ∈ ℝ, φ ≠ 2kπ, k ∈ ℤ und n ∈ ℕ gilt

∑_{j=0}^{n} cos(jφ) = \frac{1}{2} + \frac{sin((n + \frac{1}{2})φ)}{2 sin \frac{φ}{2}} = \frac{sin((n + 1)\frac{φ}{2})}{sin \frac{φ}{2}} cos(n\frac{φ}{2})

∑_{j=0}^{n} sin(jφ) = \frac{sin((n + 1)\frac{φ}{2})}{sin \frac{φ}{2}} sin(n\frac{φ}{2}) .

Aufgabe 3. a) Berechnen Sie cos \frac{π}{n} und sin \frac{π}{n} für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

b) Sei n ∈ ℕ, n ≥ 2, ζ_{n} := cos \frac{2π}{n} + i sin \frac{2π}{n}. Zeige:

i) ∑_{k=0}^{n−1} ζ_{n}^{k} = 0 ii) ∏_{k=0}^{n−1} ζ_{n}^{k} = (−1)^{n−1}

Aufgabe 4. Für x ∈ ℝ sei f(x) := ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k}. Sei δ ∈ ℝ mit 0 < δ < 2π.

a) Für s_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} sin kx gilt |s_{n}(x)| ≤ \frac{1}{sin \frac{δ}{2}} im Intervall [δ, 2π − δ] (vgl. Aufgabe 2).

b) Für m > n > 0 folgt | ∑_{k=n}^{m} \frac{sin kx}{k}| = | ∑_{k=n}^{m} \frac{s_{k}(x) − s_{k−1}(x)}{k}| ≤ \frac{2}{n sin \frac{δ}{2}} für x ∈

[δ, 2π − δ]

c) lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{sin kx}{k} existiert für alle x ∈ ℝ und f(x) ist in [δ, 2π − δ] stetig.