Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 10.01.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Wo ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) := |x| + |x − 1| + |x − 2| differenzierbar?

Aufgabe 2. Differenziere die Funktionen

a) f(x) = x^{(x^{x})} (x > 0)

b) f(x) = x^{\frac{1}{x}} (x > 0)

c) f(x) = ln(2 + sin x)

Aufgabe 3. Es sei a ∈ ℝ, f in einer Umgebung von a erklärt und in a differenzierbar. Berechne:

a) lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a + h^{2}) − f(a)}{h}

b) lim_{{x→a \atop x≠a}} \frac{xf(a) − af(x)}{x − a}

c) lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a + αh) − f(a − βh)}{h} mit (festem) α, β ∈ ℝ.

Aufgabe 4. Es seien n ∈ ℕ, a ∈ ℝ und die Funktionen f_{i} in a differenzierbar für i = 1, …, n.

a) Zeige: (∏_{i=1}^{n} f_{i})′(a) = ∑_{j=1}^{n} ( ∏_{{i=1 \atop i≠j}}^{n} f_{i}(a))f′_{j}(a) .

b) Zeige: Gilt (∏_{i=1}^{n} f_{i})(a) ≠ 0, so gilt

\frac{(∏_{i=1}^{n} f_{i})′(a)}{(∏_{i=1}^{n} f_{i})(a)} = ∑_{i=1}^{n} \frac{f′_{i}(a)}{f_{i}(a)} .