Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 17.01.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Berechne für |x| < 1

a)  ∑_{n=1}^{∞} n x^{n}  b)  ∑_{n=1}^{∞} n^{2}x^{n}  c)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n}

Aufgabe 2. Es sei f : ] − ε, ε[ → ℝ für alle x ≠ 0 differenzierbar, ε > 0, und der Grenzwert lim_{x→0} f′(x) := η existiere. Zeige: f ist in 0 differenzierbar, und es gilt f′(0) = η.

Aufgabe 3. Bestimme (falls existent)

a) lim_{x→0} \frac{x − sin x}{x(1 − cos x)}

b) lim_{x→1} \frac{x^{α} − 1}{ln x}
c) lim_{x→∞} \frac{x ln x}{x^{2} − 1}

d) lim_{x→∞} x ln (1 + \frac{1}{x})

Aufgabe 4. f : [0, ∞[ → ℝ sei differenzierbar und der Grenzwert lim_{x→∞} f′(x) existiere. Zeige:

a) lim_{x→∞}(f(x + 1) − f(x)) = lim_{x→∞} f′(x)

b) Ist f beschränkt, so gilt lim_{x→∞} f′(x) = 0.