Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 24.01.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 13

Aufgabe 1. Es sei −∞ < a < b < +∞, und f : [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion.

a) Zeige: Für die Zerlegung a + kh, k = 0, …, n mit h = \frac{b−a}{n} gilt

∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n→∞} h ∑_{k=0}^{n−1} f(a + kh) .

b) Berechne mit a) für α ∈ ℝ, α ≠ 0, das Integral ∫_{a}^{b} dx e^{αx} .

Aufgabe 2. Es sei 0 < a < b < +∞, und f : [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion.

a) Zeige: Für die Zerlegung aq^{k}, k = 0, …, n mit q = \sqrt[n]{\frac{b}{a}} gilt

∫_{a}^{b} dx f(x) = lim_{n→∞}(q − 1)a ∑_{k=0}^{n−1} q^{k}f(aq^{k}) .

b) Berechne mit a) für α ∈ ℝ, α ∉ {0, −1}, das Integral ∫_{a}^{b} dx x^{α} .

Aufgabe 3. Es seien p, q ∈ ℕ mit 0 < p < q. Zeige:

lim_{n→∞} ∑_{k=pn+1}^{qn} \frac{1}{k} = ln \frac{q}{p} .

Hinweis: Benutze ∫_{p}^{q} dt \frac{1}{t} = ln \frac{p}{q}.

Aufgabe 4. Berechne für n ∈ ℕ und α, β ∈ ℝ die Integrale

a) ∫_{0}^{x} dt t^{n}e^{t}

b) ∫_{0}^{x} dt t^{n} sin t

c) ∫_{1}^{x} dt t^{n} ln t

d) ∫_{a}^{b} dt e^{αt} cos(βt).