Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 25.10.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Für n ∈ ℕ sei n! := n · (n − 1)! mit 0! := 1. Für α ∈ ℝ und n ∈ ℕ sei

\binom{α}{n} := \frac{∏_{k=0}^{n−1}(α − k)}{n!} , \binom{α}{n} := 0 für n ∈ ℤ, n < 0. Zeige:

(1) \binom{α}{0} = 1

(2) \binom{α}{n + 1} = \binom{α}{n}\frac{α − n}{n + 1} = \binom{α − 1}{n}\frac{α}{n + 1} für n ≠ −1

(3) \binom{−α}{n} = (−1)^{n}\binom{n + α − 1}{n}

(4) \binom{α + 1}{n} = \binom{α}{n} + \binom{α}{n − 1}

Aufgabe 2. Es sei M eine Menge mit n unterscheidbaren Elementen (n ∈ ℕ, n ≥ 0). Zeigen Sie:

a) Die Anzahl aller Anordnungen der n Elemente von M ist n! .

b) Für k ∈ \{0, …, n\} gibt es genau \binom{n}{k} k-elementige Teilmengen von M.

c) Beweisen Sie mit b), daß für a, b ∈ ℝ mit a, b ≠ 0 und n ∈ ℕ gilt:

(a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n−k}

d) M besitzt 2^{n} Teilmengen.

Aufgabe 3. Zeigen Sie:

(1) ∑_{k=0}^{n} k · k! = (n + 1)! − 1  (2) ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}

(3) ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) (4) 2^{n+1}+3·7^{n} ist für alle n ∈ ℕ durch 5 teilbar.

Aufgabe 4. Es sei f_{0} := 0, f_{1} := 1, f_{n} = f_{n−1} + f_{n−2} für n ∈ ℕ, n ≥ 2. Zeige:

f_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n}) .